专题15 分式的化简求值&专题16 由分式方程解的情况确定字母的值或取值范围（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

∴.△PDD'≌△PCC'(AAS), ∴.CC'=DD',PC'=PD', ..OD+OC=OD+OC+CC'=OC'+OD'. 在Rt△PD'O和Rt△PC'O中， PC'=PD',OP=OP,.Rt△PD'O≌Rt△PC'O(HL), ∴.OC'=OD',∠POC'=∠POD'=45°， &0C'号0p=22,0D+0C=20C'=42, (2)6(3)8 专题12利用旋转求线段最值 (“费马点”模型) 1.(1)①等边②两点之间线段最短③120°④A (2)5(3)213a 【变式】(1)43(2)30/132.9 【变式】2JI0【解析】解法1：如图，将△BCD绕点D顺 时针旋转60°，得到△B'AD,连接BB',过点B'作B'E⊥ BA,交BA的延长线于点E. :∠ABC=75,∠ADC=60°， B ∴·∠BAD+∠BCD=360°-∠ABC ∠ADC=225°， ∴∠BAD+∠B'AD=225°， ∠BAB'=135°，∠B'AE=45. .B'A=BC=22,..B'E=AE=2, ∴.BE=AB+AE=4十2=6 ∴.BB'=√22+6=2√10. 由旋转的性质，得DB=DB',∠BDB'=60°， ∴△BDB'是等边三角形，∴.BD=BB'=2√/I0. 解法2：如图，将BC绕点C逆时针旋转60°，得到CB′，连接 BB',AB'. D B' 易证△ACD,△BCB'均为等边三角形， △ACB'≌△DCB(SAS), .AB'=BD,BB'=BC=2√2 ∠ABB'=∠ABC+∠CBB'=135° 如图，过点A作AH⊥BB',交B'B的延长线于点H, ∠ABH=∠BAH=45,.AH=BH=号AB=22 ∴.B'H=BB'+BH=4√2 ∴AB'=√AH+BH=√(2√2)2+(4√2)2=2√/10， ∴.BD=2/10. 第四章因式分解 专题13因式分解的七种类型 1.(1)2a(a-2)(2)ab(3b+a)(3)(m-2)(5-m) 2.(1)(2x+5)(2x-5)(2)(a+2)2 ·答豸 (3)(5m-n)(m-5n)(4)(x+2)4 3.解：(1)原式=3(a十3)(a-3). (2)原式=-3a(x-1)2. 1 (3)原式=-2(2x-1). (4)原式=3m(2x-y十n)(2x-y-n). 4.(1)x(x+4)(2)(x+2y)2 5.(1)(x+3)(x+4)(2)(x+1)(x-4) (3)(x+2)(x-2)(x+1)(x-1)(4)士7，士2 6.(1)(p-q)(m-n)(8+a十3b)(8-a-3b) (2)15(3)2024 7.(1)(x一1)(x+7)(2)当x=一1时，多项式一2x2 4x+5有最大值，最大值是7(3)a=2,b=1 专题14因式分解的应用（阅读材料题） 1.(1)(a+2b)(2a+b) (2)30(3)x3-4.x=x(x+2)(x-2) 2.解：(1)原式=(8am-2bm)+(4a-bn) =2m(4a-b)+n(4a-b) =(2m+n)(4a-b). (2)7(3)因式分解的结果为(a+2b+1)2,值为25 3.解：(1)2x一3 (2)x2-2x.理由如下： .x2-7x+10=(x-2)(x-5),x2-2x=x(x-2), ∴.共因多项式x2一7x十10和x2一2x的同因子是x一2， ∴.多项式x2一7x十10和x2一2x为共因多项式.（答案不 唯一) (3)①由题图可得，a2十3a十2=(a十 1)(a+2). ②如图，则a2+4a十4=(a十2)2. ,a2+3a十2与a2+4a+4的同因子是 a十2，∴.多项式a2+4a十4和a2十3a十2 为共因多项式， 4.(1)060912(2)010509(3)m=29,n=8 第五章分式与分式方程 专题15分式的化简求值 1化简结果为弄，值为22化简结果为名，值为 3.化简结果为二)值为2 4.化简结果为m2-m-2,m=0,值为-2 5.化简结果为x一1，x=3,值为2 6解：原式= (号-岛)0 a2-1_31 =a+2)(a-2).a-1=a-2 a-1 ·(a+2)2-a+2 由题意，得a≠1且a≠一2. 令0=2，州原气-名是-0（答案不度-小 7.化简结果为 1,值为一1 x十y x-2 8.化简结果为一工+2x=0,值为1 23· 9.化简结果为x十2，x=1,值为310.一2 1化简结果为，千6值为号12，-号 b 专题16由分式方程解的 情况确定字母的值或取值范围 1D2.C3.±14.A5.166.D7.C 1-a-=1, 85或号【解折】“2z十3号 方程两边都乘(2x十3)(x一5)，得x-5一(a-x)(2x十 3)=(2x+3)(x-5). 整理，得(11-2a)x=3a-10. 11 当11-2a=0,即a=2时，整式方程无解，分式方程也无解) 3a-10=5或z=1-2a 3a-103 当x=11-2a 一2时，分式方程无解。 3a-10 当x=11-2a =5时，a=5, 3a-10 8时a不存在， 3 当x= 11-2a 当a=5或a二=2时，分式方程无解 .11 故答案为5或2： 第六章平行四边形 专题17平行四边形性质与判定的综合 1.A2.43.334.60°5.36°6.5 7.解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,AB∥CD,即AB∥DE,∴.∠ADB=∠DBC ,∠EAD=∠DBC,.∠EAD=∠ADB,.AE∥BD. 又，AB∥DE,.四边形ABDE为平行四边形. (2)104 8.解：(1)当BE=DF时，四边形AECF是平行四边形， 理由如下： ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB=CD,AB∥CD,∴.∠ABE=∠CDF .BE=DF,∴.△ABE≌△CDF(SAS),.AE=CF 同理，AF=CE,∴四边形AECF是平行四边形. (2)当∠AEB=∠CFD时，四边形AECF是平行四边形. 理由略 9.解：(1)证明：连接BD,交AC于 点O. ,·四边形ABCD为平行四边形， ∴.OB=OD,OA=OC. AE=CF,∴.OA-AE=OC-CF,∴.OE=OF, .四边形BFDE是平行四边形. (2)35° 10.解：(1)证明：.AB=AC,AD⊥BC,.BD=CD. .CE=BD,..CD=CE. EF∥AD,∴.∠DAC=∠EFC. 又，∠DCA=∠ECF,∴.△ACD≌△FCE(AAS), AD=EF,.四边形ADFE是平行四边形. (2)4√6 ·答 专题18动态儿何中的平行四边形 存在性问题 1.(1)t(12-t)(15-2t)2t (2)当t的值为5时，四边形APQB是平行四边形 【变式1】2或6 【变式2】C【解析】，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,∠AFB=∠CBF. ,BF是∠ABC的平分线， .∠ABF=∠CBF=∠AFB, ∴.AF=AB=6cm E是BC的中点，∴CE2BC=8cm, ∴.点P运动到点F的时间为6÷1=6(s),点Q运动到，点E 的时间为8÷2=4(s). 当以P,Q,E,F为顶，点的四边形是平行四边形时， PF=QE. 设运动的时间为ts, 当0≤t<4时，AP=tcm,CQ=2tcm,则PF=(6-t)cm, QE=(8-2t)cm, ∴.6一t=8一2t,解得t=2; 当4≤t<6时，AP=tcm,CQ=2tcm,则PF=(6一t)cm, QE=(2t-8)cm, 14 6-t=2t-8,解得1=3 综上所述，当以P,Q,E,F为顶点的四边形是平行四边形 14 时，运动的时间为2s或了s故选C 2.(1)60 (2)当运动时间为4.8s或8s或9.6s时，以P,D,Q,B为 顶点的四边形是平行四边形 专题19坐标系中的平行四边形存在性问题 1.(3,-3)或(-3,3)或(7,3) 2.(1)(-1,8) (2)存在.点P的坐标为(1，一8)或(5,8) 3.(1)36(2)点M的坐标为(-9,0)或(9,0)或(1,0) 4.(1)y=-2x+2 (2)存在.点D的坐标为(0,8)或(0，一4) 专题20“中位线”模型 1.B2.13.14.B5.D6.37.C【变式1】7.5 【变式2】2√4红【变式3】33-38.B 9.610.c 11.证明：如图，连接BD,取BD的中点H,连接EH,FH. ,E,H分别是AD,BD的中点， EH∥AB,EH=合AB, ∴.∠BME=∠HEF. F,H分别是BC,BD的中点， ∴FH/CD,FH=2CD ∴.∠CNE=∠HFE. ,AB=CD,∴.EH=FH,∴.∠HEF=∠HFE, ∴.∠BME=∠CNE. 324·第五章分式与分式方程 专题1⑤分 类型1字母是指定的值 1.(2025·苏州)先化简，再求值：(2十1· x-x x2+2x+1其中x=-2. 2.(2025·宁夏)化简求值：(。品a千）÷ a-其中a=23. a 3先化简，博求值号 x2-y2 2号其中-（台y-（-2025. 式的化简求值 类型2选择合适（使分式有意义）的值 4.先化简m一1.m2-4 m+2`m2-2m+÷m2-一，再从 一2，一1,0,1中选择一个适合的数代入 求值. 5.(2024·装字)先化简(1一） x2-2x+1再从1,2,3中选择一个合适的 x-2 数作为x的值代人求值. 6无化简(a+1一。》÷什中，写选择 一个你喜欢的数代入求值. 第五章分式与分式方程23 类型3字母满足方程（组）或不等式（组） 7.(2025·眉山)先化简，再求值：（y十 十)广其中y满足红十2十 |y-1=0. 8先化简，再求值：(1-x十1)÷ x+4x+4,其中工为满足一2≤x≤0的 x+1 整数. 9.(2025·沈阳法库月考)先化简十4x十4： x2+x (匠，再从不等武组 5x+23(x+2), x一1一2x一1的整数解中选取一个恰 2≤3 当的x的值代入求值. 24数学8年级下册BS版 类型4整体思想在分式运算中的运用 10.已知m2-2m+2=0,求代数式（m- 4m-41.m2 n）·m-2的值. 1.(204·广元)先化简，再求值：。”b宁 。6其中。6我足6 2a=0. 12.已知a2+3a-2=0,求3-0÷(a+2- a2-2a 。5g的值 专题16由分式方程解的情 类型1由特殊解确定字母的取值范围 ·方法指导 由特殊解确定字母的取值范围的一般步骤如下： (1)求出分式方程的根（用含有字母的式子表示）： (2)由分式方程的根为特殊解列出关于字母的不等 式，并求出解集； (3)由分式方程的解必须使分母不为0列出关于字 母的不等式，并求出解集； (4)求(2)(3)中两个解集的公共部分 1.若关于x的分式方程3x二m x-3 =2的解是正 数，则m的取值范围是 ( A.m<6 B.m<6且m≠3 C.m>6 D.m>6且m≠9 2.(2024·阜新太平区期末)已知关于x的分式方 程 x-1 一2 Γ1- 一的解是非负数，则m的取 值范围是 A.m≤5且m≠-3 B.m≥5且m≠-3 C.m≤5且m≠3 D.m≥5且m≠3 3.若关于x的分式方程2红二 -4=-2.x+a x-1 x+1 的解为整数，则整数a的值为 类型2与不等式组的解集结合确定字母的取 值范围 ·方法指导 与不等式组的解集结合确定字母的取值范围的一 般步骤如下： (1)由分式方程的根为特殊解确定字母的取值范围 (方法同类型1)； (2)由不等式组的解集确定字母的取值范围； (3)取(1)(2)中两个解集的公共部分. 况确定字母的值或取值范围 2x+3 4.已知关于x的分式方程 x-2 k (x-2)(x+3) 十2的解满足-4<x<-1, 且k为整数，则符合条件的所有的值的乘 积为 () A.正数 B.负数 C.零 D.无法确定 5.(2024·重庆)若关于x的不等式组 4红1∠x十1， 3 至少有2个整数解，且 2(x+1)≥-x+a 关于y的分式方程号}？己的解为 非负整数，则所有满足条件的整数a的值之 和为 类型3由无解（有增根）求字母的值 ·方法指导 分式方程无解可能有两种情况：(1)去分母后化成 的整式方程有解，但这个解使原方程的最简公分母 为0，即方程的增根；(2)去分母后化成的整式方程 无解，即ax=b中，a=0且b≠0. 3 6.已知关于x的方程 =x十a 】x(-)的增根 是x=1,则a的值为 () A.-1 B.1 C.-2 D.2 7若关于x的分武方程+”2=1有增 根，则m的值是 () A.m=2 B.m=6 C.m=2或m=6 D.m=2或m=一6 8.(2024·抚顺新宾月考)已知关于x的分式方程 1一a一工=1无解，则a的值为 2x+3-x-5 第五章分式与分式方程25