四川成都外国语学校2025-2026学年下学期期中考试高一数学试卷

**基本信息** 成都外国语学校高一下期期中数学试卷，聚焦复数、三角函数、向量、解三角形、立体几何，通过生态鸟类数量分析（第7题）、海域救援（第17题）等真实情境，结合新定义运算（第19题），实现基础巩固与创新应用的梯度考查，体现数学眼光、思维与语言的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|复数虚部、三角函数图像变换、向量投影|基础概念辨析，如第3题考查图像平移| |多项选择|3/18|立体几何命题、复数性质、解三角形判定|多维度辨析，如第9题棱柱棱锥概念判断| |填空题|3/15|斜二测画法面积、解三角形应用|空间直观与实际问题结合，如第13题汽车测山高| |解答题|5/77|向量运算、三角函数性质、新定义运算|综合应用与创新，如第19题新运算探究，第17题海域救援建模|

成都外国语学校2025-2026学年度下期期中考试 高一数学参考答案 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1-8 BAACA DCB 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错或不选得0分) 9. ABC 10. ACD 11. BD 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 8 13. 14. 四、解答题(本大题共5小题，共77分) 15.【详解】（1）解：由向量，可得…………………………………………………2分 因为，可，………………………5分 即，解得.…………………………………………………………………7分 （2） 解：，可得………9分 因为，可得，………………………………………………11分 即，解得.………………………………………………………………13分 16.【详解】（1），……4分 所以最小正周期；…………………………………………………………………7分 （2） 因为，所以，………………………………………………9分 则，……………………………………………………………………12分 的最大值为2，此时，即.……………………………15分 17.【详解】（1）由题意知：，，， 所以，………………………………………………………3分 在中，由正弦定理可得：即， 所以（海里）；………………………………………7分 （2）救援路线是直线时，时间最短. 在中，，，，………………9分 由余弦定理可得：， ……………………………………………………11分 所以海里.………………………………………………………………………13分 需要的最短时间为（小时）.…………………………………………………15分 18.【详解】（1）因为， 由正弦定理得，，………………………………………………………2分 又由余弦定理得，，故.……………………………3分 （2） 法1:由正弦定理得， ，……………………………………………6分 ， …………9分 周长的取值范围为． 法2:几何法 作圆，但要用余弦定理说明周长与面积关系，如下：  即 则 而 则……………………………………………………………7分 则，当最大时最大，当最小时最小 周长的取值范围为．……………………………………………9分 （3）由余弦定理得，， 即.，两边平方得.……………………………10分 由正弦定理可知，，故， 因此 ，……………………………………13分 又因为是锐角三角形，故，解得，………………15分 故，，， 即，则.………………………………………………………17分 19.【详解】（1）因为，所以 可得.………………………………4分 （2），，， ，………………………………………………………………………6分 ， ，.…………………………………………………8分 （3） 由结论， 可得 ．……………………………………………………………12分 由垂径定理知， ，…………………………………………………13分 ……………………………………15分 当且仅当时等号成立，…………………………………………………16分 则， 当且仅当时等号成立， 综上所述三角形的面积的最大值为．……………………………………………17分 高一（下）数学半期考试答案第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都外国语学校2025-2026学年度下期期中考试 高一数学试卷 考试说明 1. 本试卷分第I卷（选择题部分）和第II卷（非选择题两部分）； 2. 本堂考试120分钟，满分150分； 3. 答题前考生务必将自己的姓名，考号准确填写在答题卡，并用2B铅笔准确填涂考号； 4. 缺考标志由监考老师填涂，考生禁涂； 5. 考试结束后，将答题卡交回。 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．已知复数（其中为虚数单位），则的虚部为（    ） A．1 B． C． D． 2．（   ） A． B． C． D． 3．要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 4．已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 5．，则（    ） A． B． C． D． 6．在△ABC，角，，所对的边分别为，，．已知，，，则角为（   ） A． B．或 C．或 D． 7．随着生态环境的改善，每年来某地湖泊繁育幼鸟的各种鸟类越来越多，鸟类众多、比较集中，且各种鸟类的数量在3500及以上的时间称为鸟类繁育“旺季”．第个月，当地湖泊中各种鸟类的数量可近似用函数来表示，那么一年中是“旺季”的月份有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 8．如图，在中，，过点P的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N．设，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．4 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错或不选得0分) 9．下列命题中，正确的有（    ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱 B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 D．有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 10．已知为虚数单位，下列说法正确的有（    ） A． B．复数的模为 C．复数的共轭复数 D．已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线 11.在△ABC中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则△ABC为钝角三角形 C．若，且，则△ABC为直角三角形 D．若满足条件，则动点经过△ABC的垂心 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12．如图所示，是用斜二测画法画出的的直观图，其中，则△ABC的面积为__________. 13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到达处时测得公路右侧一山底在西偏北的方向上；行驶后到达处，测得此山底在西偏北的方向上，山顶的仰角为，则此山的高度______． 14．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为、b、c，且，点M在线段AB上，且∠ACM=∠BCM， ，则cos∠BCM的值为 四、解答题(本大题共5小题，共77分) 15．（13分）已知向量． (1)若，求实数k的值； (2)若，求实数m的值． 16．（15分）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)当时，求函数的最大值，以及相应的值. 17．（15分）某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里，现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东45°方向，位于点北偏西75°方向，这时位于点南偏西45°方向且与点相距80海里的点有一救援船，其航行速度为28海里/小时. (1)求点到点的距离； (2)若接到指示命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的最短时间. 18．（17分）在锐角中，设角所对的边分别为，已知且. (1)求角； (2)求周长的取值范围； (3)求边上的中线的取值范围. 19．（17分）已知平面内两个非零向量，定义一种运算：，且此运算满足如下运算律①；②；用此运算求解下列问题： (1)设点，，，求． (2)在（1）的条件下，求证． (3)其实对任意，此结论均成立．设四边形有外接圆，圆心为，半径为2，对角线相互垂直且交点为交于分别为的中点，求三角形的面积的最大值． 高一（下）半期数学试卷第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $二诊考试数学 成都外国语学校2025级高一下半期考试数学命题双向细目表 内容板块 具体内容 题型 题号 分值 难度预估 预估分 评价要求 了解 理解 掌握 权重比例 复数 复数的概念 选择题 1 5 0.95 4.75 √ 11分（7.3%） 复数的运算及其几何意义 选择题 10 6 0.8 4.8 √ √ 平面向量与正余弦定理 平面向量的线性运算 选择题 2 5 0.95 4.75 √ 98分（65.4%） 平面向量的应用 选择题 4 5 085 √ 正弦定理解三角形 选择题 6 5 0.85 4.25 √ 平面向量共线定理与基本不等式 选择题 8 5 0.8 4 √ 平面向量与正余弦定理 选择题 11 6 0.5 3 √ 正余弦定理的实际应用求高度 填空题 13 5 0.8 4 √ 正余弦定理的综合应用 填空题 14 5 0.4 √ 平面向量的坐标运算 解答题 15 13 0.95 √ 正余弦定理的实际应用（角度） 解答题 17 15 0.75 √ 正余弦定理综合应用求范围 解答题 18 17 0.65 √ 平面向量和正余弦定理的新定义 解答题 19 17 0.4 √ 三角函数及其恒等变换 三角函数的图象 选择题 3 5 0.85 4.25 √ 30分（20%） 三角恒等变换 选择题 5 5 0.85 4.25 √ 三角函数的应用 选择题 7 5 0.75 3.75 √ 三角恒变变换 解答题 16 15 0.85 √ 立体几何 基本图形 选择题 9 6 0.95 √ 11分（7.3%） 直观图 填空题 12 5 0.95 4.75 √ 统计百分比 150 0.75 46.55 40 60 50 100% 打分板 成都市2022级高三二诊考试数学网上评卷题组切分计划 切分 题组号 阅卷任务（题号） 打分板 分值 分值区间 1 一 三、12～14 3 15 均为0～5； 2 二 四、15 2 13 （1）0～6，（2）0～7； 3 三 四、16 3 15 （1）0～4，（2）0～5，（3）0～6； 4 四 四、17 2 15 （1）0～6，（2）0～9； 5 五 四、18 3 17 （1）0～4，（2）0～6，（3）0～7； 6 六 四、19 3 17 （1）0～4，（2）0～6，（3）0～7； 【注】 1.打分板分值设置最小单位为1分。 2.多选题中，（1）如果选项为三个，则按照0-2-4-6给分，即有选错的给零分，选对一个给2分，选对2个给4分，三个全部选对给6分；（2）如果选项为二个，则按照0-3-6给分，即有选错的给零分，选对一个给3分，二个全部选对给6分。 $