2026年江苏省南通市海门区九年级 第二次学业质量监测 数学试题（5月）

2026届第二次学业质量监测 数学试题参考答案与评分标准 说明：本评分标准每题只给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本 评分标准给分， 一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 5 6 1 8 9 10 选项 A C A C C D B B D A 二、填空题（本大题共6小题，11~12每小题3分，13~16每小题4分，共22分) 11.1.567×105 12.3x+3)x-3) 13.1.5 14.k>且≠2 15.22 16.(1)9-3V3:(2) 25 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17.（本小题满分12分) （1)解：两边同乘2(x一1)，得2=3一2X2(x一1)… …2分 解得： …4分 6 检验：当x=2时，2x-1)≠0… …5分 6 ·原方程的解是= …6分 6 (2)解：由①得：x≤1… …8分 由②得：x<4… …10分 ∴.不等式组的解集为x≤1… …12分 18.(本小题满分8分) 解1)号 …2分 (2)列表为： …5分 A B C D A (A,A) (A,B) (A,C) (A,D) B (B,A) (B,B) (B,C) (B,D) C (C,A) (C,B) (C,C) (C,D) D (D,A) (D,B) (D,C) (D,D) 由列表得：两次抽取共有16种等可能的结果， 其中至少有一张是C的有7种…7分 7 ∴两次抽取至少有一张是C的概率为 …8分 6 九年级年级数学答案卷第1页（共6页） 19.(本小题满分10分) 解：（1)a=7.5,b=7.5,c=8,S<2.45.…8分 (2)选A的理由是在平均数相同的情况下，A的中位数高于B,A的方差低于B. 0……………10分 20.（本小题满分10分) 已知：△ABC. 求证：∠A什∠B叶∠C=180°…4分 证明：过点A作BC的平行线MN, M------ .MN∥AB ∴.∠MAB=∠B,∠NAC=∠C…6分 .∠MAB+∠BAC+∠NAC=180°…8分 B ∴.∠B+∠BAC+∠C=180°…10分 21.(本小题满分10分) 解：(1)设每头牛值金x两，每头羊值金y两， 5x+2y=10 可得方程组 …2分 2x+5y=8 34 X= 解得： 21 …4分 20 y= 21 答：每头牛值金4两，每头羊值金20两。.…5分 21 21 (2)设购买牛a头，羊b头， 可得方程： 34时20b-34… -a+- …7分 2121 .a=21- 10 b… …8分 17 ,a,b是正整数 .a=1 a=11 …9分 b=34’b=17 答：有2种方案， 方案一是购买牛1头，羊34头： 方案二是购买牛11头，羊17头： …10分 22.(本小题满分10分) 解：（1)连接CE .⊙C与AB相切于点A, 九年级年级数学答案卷第2页（共6页) CALAB,∠CAE-90°…2分 .DE⊥BC,∴.∠CDE=909 在Rt△CDE和Rt△CAE中 CD=CA CE=CE ∴.Rt△CDE≌Rt△CAE(HL)…4分 (第22题) ∴.AE=DE …5分 用切线长定理证明也可以. (2).AE=DE=1,BE=2,DELBC, DE 1 ∴.sinB= BE 2' ∴.∠B=30°， …6分 .∠BCA=60°，Rt△CDE≌Rt△CAE,∴.∠DCE=∠ACE=30°， .AE=DE=1,..CE=2AE=2, .DC=AC-3 …8分 .阴影部分面积=2S△DCE一S扇形ACD “阴影部分面积=2××1x560 x5-5-支0分 360 23.(本小题满分12分) 解：（1)y=35-(x-1)=-x+36… …3分 (2)当1≤x≤15时，设：p=r+b [4k+b=2.4 k=0.1 可得： 解得： ∴p=0.1x+2 10k+b=3 b=2 当p-4时，0.1x+2=4 解得：X=20(舍)… …5分 当16≤x≤30时，p=m+2,代入20，p3.8,得：m+2=3.8 20 解得：m=36,p36+2,当p-4时，36+2=4 解得：x=18… …7分 (3)设第x次销售获得利润为w万元 当1≤x≤15时，w=(0.1x+2-2(-x+36)=-0.1x2+3.6x=-0.1(x-18)2+32.4 .-0.1<0 九年级年级数学答案卷第3页（共6页） .当炉15时，w1的值最大为31.5…9分 当16≤x≤30时，w+2-2-x+36-36+1296 当X16时，w2的值最大为45万元…11分 .45>31.5∴.第16次获得的利润最大，最大利润是45万元…12分 24.（本小题满分13分) 解：(1)y=x-b)2-2 ∴.顶点坐标为（b,一2) … …2分 2)当0<6s1时，4-4b8-2-(-2-号 解得：众分公子 7 (舍） …4分 当1<6≤2时，6-2-(-2列-=}，解得：±号 …6s3 …………………6分 当6>2时，6-2-4-468-2)=号解得：6名〔会) 综上得：6的值为或号 …8分 (3)当y=1时，x-b)2-2,x=b±Vt+2 点A在点B左侧，A(b-√t+2,),B(b+√t+2,) ∴PA=b-f+2,PB=b++2, PB=2PA,.b+Vt+2=2b-Vf+2…9分 ∴.1当b+√t+2=2(b-Vt+2)时， b=3Vt+2,0<1<2,.3W2<b<6:…11分 IⅡ当b+Vt+2=2(Wt+2-b)时， 3 3<66号<6长号 …13分 九年级年级数学答案卷第4页（共6页） 25.（本小题满分13分) 解：（1)如图I,连接ME,MB D ,∠PEF=90° 在矩形ABCD中，∠ABC=90° ∴.△PEF与△PBF均为直角三角形…1分 ,M是PF中点 图 ME=MB=PE …2分 .点M在BE的中垂线上…3分 (2)如图2，连接ME,MB,.'点M在BE的中垂线上，'.ME=MB .在矩形ABCD中，∴.CD∥AB,∠BCD=∠D=90°，BC=AD=6 又M是PF的中点 .CM=FM "1 BP PF 2 .CM=2, M .BP=4…4分 设AP=x∴.CD=AB=+4 ∴.DM=x+2 图2 在Rt△BCM中，BC2+CM=BM, 在Rt△DEM中，DE2+DM2=EM, ∴.BC2+CMP=DE2+DM .62+22-42+(x+2)2,…5分 AP=x=2W6-2…7分 (3).'AB=6,AD=6∴.AB=AD,矩形ABCD是正方形 由（1)可得，点M始终在线段BE的垂直平分线上，设路径为线段M1M2 如图3，当M与M2重合时，DM长取最大值· 在Rt△ABE中，AE2+AB=BE2AE=2,AB=6,∴BE=2√0.BM=√0 AE BE 易证Rt△ABE∽Rt△M1MB,'.· BM M2B ，∴.BM2=10,∴.CM2=4 在RtACDM2中，CD2+CM=DM经，∴.DM2=2√13 .DM长的最大值为2√3.…9分 当DM与M1M2垂直时，DM长取最小值， 延长DM交BC于点H,易得四边形BEDH是平行四边形， '.BH=ED=4,CH=2,易证△M2MH∽Rt△M2M1B, 九年级年级数学答案卷第5页（共6页） MBM,B1010’h=30 MH M2H,MH 6 DM=2i0-30_7w10 55 ∴DM长的最小值为 W10 5 …11分 7W10 ∴.DM长的取值范围是 ≤DM≤2V13.…13分 E M M H C M2 图3 九年级年级数学答案卷第6页（共6页） 2026届第二次学业质量监测 数学 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请务必将答题纸交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上．在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．若分式有意义，则x的取值范围是 A． B． C． D．且 2．下列各数，化简结果为1的是 A． B． C． D． 3．一个立体图形由多个大小相同的小立方块搭成，从不同方向看到的立体图形的形状图如图所示，则搭成该立体图形的小立方块个数是 A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 4．在平面直角坐标系中，过点O的直线与的图象交于和两点，则的值为 A．-1 B．1 C．-3 D．3 5．一个圆锥，其母线长为，底面圆半径为，则侧面展开图圆心角度数为 A． B． C． D． 6．如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，连接．若，则的面积为 A．1 B．2 C．3 D．4 7．在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向右平移个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则的值为 A．-12 B．12 C．-3 D．3 8．如图，菱形中，对角线、相交于点，的内心与点的距离为，则菱形的面积为 A．12 B． C． D． 9．如图1，在等腰直角三角形中，是斜边上一动点，过点分别作，，垂足分别为点，，设，．若关于的函数图象如图2所示，点和都在函数图象上，，则下列选项正确的是 A． B．当时， C．点在该函数图象上 D．该函数图象的最高点的纵坐标为 10．若实数，，满足，，则的值为 A．11 B．10 C．9 D．8 二、填空题（本大题共6小题，第11~12题每小题3分，第13~16题每小题4分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11．“春假”期间，某市共接待海内外游客约156700人次，将156700用科学记数法表示为________． 12．把多项式因式分解的结果是________． 13．如图，在中，平分，是的中点，，，，则的长为________． 14．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 15．在综合实践活动中，某数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如下： 活动课题 测量旗杆的高度 活动工具 测角仪、皮尺等 测量过程 【步骤一】在看台底部处测得旗杆顶端的仰角为； 【步骤二】测得斜坡的坡度，米； 【步骤三】在看台顶部处测得旗杆顶端的仰角为；（其中点，，，在同一条水平直线上） 解决问题 旗杆的高约为________米． （参考数据：，，） 16．如图，正六边形的边长为，点、、、分别在、、、上，四边形是矩形，且． （1）当时，的长为________； （2）连接，，，，若，则的值为________． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分） （1）解方程：； （2）解不等式组：． 18．（本小题满分8分） 小明同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将A（春分）、B（小暑）、C（立秋）、D（寒露）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀． （1）小明从中随机抽取一张邮票，抽中是A（春分）的概率是________； （2）小明先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票．请用画树状图或列表法求小明两次抽取的邮票中至少有一张是C（立秋）的概率． 19．（本小题满分10分） 随着科学技术的发展，人工智能得到了广泛的应用．经市场调研，小明决定从A，B两个人工智能产品中选择一个进行使用．以下是小明通过调查问卷的方式收集的10位用户对A，B两个人工智能产品的相关评价得分，并整理、描述、分析如下： 对A，B两个人工智能产品的评价得分 得分统计表 产品 平均数 中位数 众数 方差 A a 8 c B 7.5 b 8 2.45 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：________，________，________，________2.45（填“>”或“<”）． （2）请写出小明选择A产品的两个理由． 20．（本小题满分10分） 求证：三角形三个内角的和等于．（要求：根据图形，写出“已知”、“求证”并“证明”．） 21．（本小题满分10分） 《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛羊各值金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5头，共值金8两．” （1）问牛、羊每头各值金多少两？ （2）若同时购买牛和羊恰好用金34两，则有哪几种购买方案？ 22．（本小题满分10分） 如图，在中，以点C为圆心，为半径的与相切于点A，与交于点D，过点D作，交于点E． （1）求证：； （2）若，，求阴影部分的面积． 23．（本小题满分12分） 某水果批发商，对一种特色水果先后进行30次销售，已知该水果每吨成本为2万元，设第x次销售量为y吨，每吨售价p万元． 若第1次销售水果35吨，以后每增加一次销售，水果就少卖出1吨； 若第1次~第15次销售中p与x成一次函数关系，第16次~第30次销售中p与x满足． 经过统计，得到如下数据： x（次） 4 10 20 p（万元） 2.4 3 3.8 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当每吨售价为4万元时，求x的值； （3）在这30次销售中，哪一次销售获得的利润最大，最大利润是多少？ 24．（本小题满分13分） 已知二次函数（）． （1）求抛物线的顶点坐标（用含b的式子表示）； （2）当时，该函数的最大值与最小值之差为，求b的值； （3）若存在直线（）分别交抛物线和y轴于点A、B、P（点A在点B左侧）使，求b的取值范围． 25．（本小题满分13分） 如图，矩形中，点E在边上，，，点P为边上一动点，作，交射线于点F，连接、，点M是的中点． （1）求证：点M在的中垂线上； （2）若点M恰好在边上，且，求的长； （3）连接，若，求线段长的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $