广东广州市第八十六中学2025-2026学年高二下学期数学周测试题（2026.5.21）

**基本信息** 以中国空间站、碳中和等时代情境为载体，融合二项式定理、正态分布、统计案例等知识，通过问题设计培养数学抽象、数据观念与逻辑推理能力，适配高二周测学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|二项式定理、正态分布、导数应用|基础概念辨析，如第5题以空间站航天员安排考排列组合| |多选题|3题|概率互斥独立、正态分布应用|选项分层，如第10题结合密度曲线考数据分析| |填空题|4题|集合子集概率、随机运动模型|情境创新，如第14题质点运动考递推与概率| |解答题|5题|统计案例、数列求和、概率分布列|综合应用，如第19题碳中和背景下考分布列与期望，体现数学建模|

广东广州市第八十六中学2025-2026学年高二下学期数学周测试题答案（2026.5.21） 一、单选题 1. 在展开式中，常数项为（ ） A. 60 B. 120 C. 180 D. 240 【答案】D【详解】展开式的通项为， 令， 所以，所以常数项为240.故选：D. 2．已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 答案：D【详解】由随机变量服从正态分布，得，而， 则， 所以.故选：D 3. 已知函数，是的导函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A【详解】如图过点A作切线，斜率设为，过点B作切线，斜率设为，连接，得到直线，斜率设为，由图可知，. 又根据导数的几何意义以及斜率的定义可知， ，， 所以.故选：A． 4.已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且满足an+2SnSn-1=0（n≥2）.若S5=，则a1等于（　　） A.1 B.-3 C. D.- 答案　C解析　由an+2SnSn-1=0（n≥2），得Sn-Sn-1+2Sn·Sn-1=0，同时除以SnSn-1，得-=2，所以数列是公差为2的等差数列，所以=+4×2=11，所以a1=S1=. 5．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2023年，中国空间站正式进入运营阶段．假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有(　　)A．450种 B．72种 C．90种 D．360种 答案　A解析　当按照1,2,3的人数安排时，有CCCA＝360(种)安排方法； 当按照2,2,2的人数安排时，有CCC＝90(种)安排方法，故共有360＋90＝450(种)方法． 6.设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，且满足a1+a4=，S6=9S3.若，则数列｛bn｝的前10项和是（　　）A.-35 B.-25 C.25 D.35 答案　C解析　设等比数列｛an｝的公比为q.由题意知q≠1， 则解得 所以an=×2n-1=，所以bn=n-3， 所以数列｛bn｝的前10项和T10==5×（-2+7）=25. 7. 银行储蓄卡的密码由6位数字组成．某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字．如果记得密码的最后1位是偶数，不超过3次就按对的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C【详解】记得密码的最后1位是偶数，不超过3次就按对的概率：．故选：C 8.已知数列的前n项和Sn=n2-16n，则等于（　　） A.-55 B.0 C.55 D.73 答案　D解析　∵Sn=n2-16n，∴当n=1时，a1=-15， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-16n-［（n-1）2-16（n-1）］=2n-17， 令an≤0，解得n≤8， 令Tn= =-a1-a2-a3-…-a8+a9+a10+a11 =15+13+11+9+7+5+3+1+1+3+5=73. 二、多选题 9. 抛掷一枚质地均匀的骰子，记试验的样本空间为，事件，事件，则（ ）A. 与是互斥事件 B. 与是相互独立事件 C. D. 【答案】BD【详解】已知，，则，所以与不是互斥事件，A错误； 计算，，，所以， 因为，所以与是相互独立事件，B正确； 已知，，，则，，所以，C错误； ，则，， ，则，， 所以，D正确.故选：BD. 10. 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列正确的是（ ） （参考数据：，，） A. B. C. D. 为了保证84.135%的概率不迟到，李明不管选择哪种交通工具都需至少预留36分钟时间 【答案】BD【详解】对于A中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量，所以，所以A错误； 对于B中，根据正态分布密度曲线图像，可得时， 随机变量对应的曲线与围成的面积小于时随机变量对应的曲线与围成的面积，所以， 所以B正确； 对于C中，根据正态分布密度曲线图像， 可得， ， 即，所以C错误； 对于D中，因为，所以， 为了保证84.135%的概率不迟到，李明不管选择哪种交通工具都需至少预留36分钟时间，所以D正确；故选：BD. 11. 已知函数，下列正确的是（ ） A. 当时，的图象关于点对称 B. 当时，恒成立 C. 若函数在上有两个不同的极值点，则 D. 若函数上有两个零点，则 【答案】BCD【详解】对于A，若时，，定义域为，又， 所以函数是偶函数，图象关于轴对称，故A错误； 对于B，若时，则，求导得对恒成立，所以在上单调递增， 又，所以恒成立； 对于C，由，可得， 令，可得， 若函数在上有两个不同的极值点，则在有两个不等的实数解， 所以，解得， 所以若函数在上有两个不同的极值点，则，故C正确； 对于D，因为，所以是函数的一个零点， 若函数在上有两个零点，则函数在上还需有一个零点， 由，可得， 令，令， 令，求导得， 令，可得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 又， 又， 所以，使， 所以当时，，当时，，当，， 所以以当时，，当时，，当，， 又时，，当时，，当，， 所以当时，与有一个大于0的交点， 所以函数在上有两个零点，则，故D正确.故选：BCD. 三、填空题 12．从集合的所有子集中任取一个集合，它含有2个元素的概率为__________． 答案：【详解】由题意得，集合有个子集，含有2个元素的集合共有种，故含有2个元素的概率为.故答案为：. 13．已知，，则______． 答案：0.18#【详解】由得， 所以，故答案为：0.18 14. 如图，一质点在随机外力的作用下，在x轴上从原点0出发向右运动，每次移动1个单位或2个单位，其中每次移动1个单位的概率均为，移动2个单位的概率均为. 记质点从原点0移动到数字n的位置的方法种数为，则______，记质点从原点0移动5次后位于数字8的位置的概率为，则的最大值是______. 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】【详解】第一空：由于， 故从原点0移动到数字4的方法种数为，即； 第二空：设第次移动个单位，其中， 所以， 所以中有三个2，两个1， 所以， 求导得， 而， 从而在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值是.故答案为：5；. 4、 解答题 15．海水养殖场进行某水产品的新､旧网箱养殖法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各水箱水产品的产量（单位：），其频率分布直方图如图所示． (1)求新养殖法的频率分布直方图中小矩形高度x的值： (2)根据频率分布直方图，填写下面列联表，并根据小概率的独立性检验，分析箱产量与养殖方法是否有关．（计算结果保留三位小数） 养殖法 箱产量 合计 箱产量 箱产量 旧养殖法 新养殖法 合计 ． 答案．(1)(2)表格见解析，有关 【详解】（1）由题得，， 解得． （2）由频率分布直方图得旧养殖法箱产量的频数为， 由频率分布直方图得新养殖法箱产量的频数为， 所以列联表如下： 养殖法 箱产量 合计 箱产量 箱产量 旧养殖法 60 40 100 新养殖法 34 66 100 合计 94 106 200 零假设为：箱产量与养殖方法独立，即箱产量与养殖方法无关． 因， 所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即箱产量与养殖方法有关，此推断犯错误的概率不大于． 16.在等差数列｛an｝中，a2=3，a5=9，在等比数列｛bn｝中，b1=a2，b2=a5. （1）求数列｛an｝，｛bn｝的通项公式； （2）若cn=anbn，求数列｛cn｝的前n项和Tn. 解　（1）在等差数列｛an｝中，设首项为a1，公差为d.由a2=3，a5=9， 得解得 所以an=2n-1. 又设的公比为q，由b1=a2=3，b2=a5=9，得q=3，所以bn=3n. （2）cn=anbn=（2n-1）·3n， Tn=3+3×32+5×33+…+（2n-1）·3n， ① 3Tn=32+3×33+5×34+…+（2n-3）×3n+（2n-1）·3n+1， ② 由①-②得-2Tn=3+2（32+33+34+…+3n）-（2n-1）·3n+1 =3+2×-（2n-1）·3n+1 =-6+2（1-n）·3n+1，所以Tn=3+（n-1）·3n+1. 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程; （2）若有两个不同的零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】【小问1详解】时，，则， 所以，又， 则曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】，若有两个不同的零点，即， 则令，解得， 所以在区间上，，单调递减； 在区间上，，单调递增， 所以的极小值也即是最小值为， 因为当时，；当时，， 又因为函数有两个不同的零点，所以的最小值， 即，所以，即的取值范围是． 18. 为了研究广告支出与销售额的关系，现随机抽取5家超市作为样本，得到其广告支出x（单位：万元）与销售额W（单位：万元）数据如下： 超市 A B C D E 广告支出x 1 2 3 4 5 销售额W 4 9 14 18 （1）当时，根据表中样本数据，计算相关系数r，并推断它们的相关程度（保留两位小数）； （2）根据表中样本数据，用最小二乘法得到销售额W关于广告支出x的回归直线方程为，销售额W的方差为52.4，求的值，并计算广告支出为5（万元）时销售额的残差； （3）收集更多变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型得到经验回归模型，对应的残差如图所示，则模型误差是否满足一元线性回归模型的与的假设（直接写出结果）． 附：相关系数，回归系数，参考数据：． 【答案】（1），相关性很强 （2），0.8 （3）满足一元线性回归模型的的假设，不满足一元线性回归模型的的假设． 【解析】【小问1详解】由题知， 0 1 2 1 5 7 ， ， ， 相关系数， 接近于1，可以推断两个变量正线性相关，且相关性很强； 【小问2详解】因为销售额的方差52.4， 即， 所以， 化为，解得（舍去）， 所以， 因为回归直线方程为经过样本中心点， 把代入得， 销售量关于广告支出的回归直线方程为， 当时，代入得预测值， 而观测值，所以广告支出为5（万元）时销售额度的残差：（万元）； 【小问3详解】由残差图，模型误差满足一元线性回归模型的的假设， 不满足一元线性回归模型的的假设． 19.我国承诺2030年前达到“碳达峰”，2060年实现“碳中和”.“碳达峰”就是我们国家承诺在2030前，二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；而到2060年，针对排放的二氧化碳要采取植树､节能减排等各种方式全部抵消掉，这就是“碳中和”.做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废物造成的二氧化碳的排放，助力“碳中和”.某校为加强学生对垃圾分类意义的认识以及养成良好的垃圾分类的习惯，团委组织了垃圾分类知识竞赛活动，竞赛分为初赛､复赛和决赛，只有通过初赛和复赛，才能进入决赛.甲､乙､丙三队参加竞赛，已知甲､乙两队通过初赛和复赛获胜的概率均为；丙队通过初赛和复赛的概率分别为p和，其中，三支队伍是否通过初赛和复赛互不影响. (1)求P取何值时，丙队进入决赛的概率最大：. (2)在（1）的条件下，求进入决赛的队伍数X的分布列和数学期望； (3)求进入决赛的队伍数X的数学期望的最大值及此时p的值. 答案：(1)(2)分布列答案见解析，数学期望： (3)当时，进入决赛的队伍数X的数学期望的最大值为 【详解】（1）由题知：丙队通过初赛和复赛的概率， 又因为，所以. 所以，当时，丙队进入决赛的概率最大为. （2）由（1）知：甲､乙､丙三队进入决赛的概率均为， 因为进入决赛的队伍数， 所以；； ；. 所以，随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以，. （3）由（1）､（2）知，甲､乙两队进入决赛的概率均为； 丙队进入决赛的概率为. 又因为进入决赛的队伍数X的所有可能取值为0，1，2，3， ， ； ； . 所以， 整理得：，. 对称轴，所以当时，. 即当时，进入决赛的队伍数X的数学期望的最大值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东广州市第八十六中学2025-2026学年高二下学期数学周测试题（2026.5.21）姓名：___________班级：___________ 一、单选题 1. 在展开式中，常数项为（ ） A. 60 B. 120 C. 180 D. 240 2．已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 3. 已知函数，是的导函数，则（ ） A. B. C. D. 4.已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且满足an+2SnSn-1=0（n≥2）.若S5=，则a1等于（　　） A.1 B.-3 C. D.- 5．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2023年，中国空间站正式进入运营阶段．假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有(　　)A．450种 B．72种 C．90种 D．360种 6.设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，且满足a1+a4=，S6=9S3.若，则数列｛bn｝的前10项和是（　　）A.-35 B.-25 C.25 D.35 7. 银行储蓄卡的密码由6位数字组成．某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字．如果记得密码的最后1位是偶数，不超过3次就按对的概率是（ ） A. B. C. D. 8.已知数列的前n项和Sn=n2-16n，则等于（　　） A.-55 B.0 C.55 D.73 二、多选题 9. 抛掷一枚质地均匀的骰子，记试验的样本空间为，事件，事件，则（ ）A. 与是互斥事件 B. 与是相互独立事件 C. D. 10. 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列正确的是（ ）（参考数据：，，） A. B. C. D. 为了保证84.135%的概率不迟到，李明不管选择哪种交通工具都需至少预留36分钟时间 11. 已知函数，下列正确的是（ ） A. 当时，的图象关于点对称 B. 当时，恒成立 C. 若函数在上有两个不同的极值点，则 D. 若函数上有两个零点，则 三、填空题 12．从集合的所有子集中任取一个集合，它含有2个元素的概率为__________． 13．已知，，则______． 14. 如图，一质点在随机外力的作用下，在x轴上从原点0出发向右运动，每次移动1个单位或2个单位，其中每次移动1个单位的概率均为，移动2个单位的概率均为. 记质点从原点0移动到数字n的位置的方法种数为，则______，记质点从原点0移动5次后位于数字8的位置的概率为，则的最大值是______. 四、解答题 15．海水养殖场进行某水产品的新､旧网箱养殖法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各水箱水产品的产量（单位：），其频率分布直方图如图所示． (1)求新养殖法的频率分布直方图中小矩形高度x的值： (2)根据频率分布直方图，填写下面列联表，并根据小概率的独立性检验，分析箱产量与养殖方法是否有关．（计算结果保留三位小数） ． 养殖法 箱产量 合计 箱产量 箱产量 旧养殖法 新养殖法 合计 16.在等差数列｛an｝中，a2=3，a5=9，在等比数列｛bn｝中，b1=a2，b2=a5. （1）求数列｛an｝，｛bn｝的通项公式；（2）若cn=anbn，求数列｛cn｝的前n项和Tn. 17. 已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程;（2）若有两个不同的零点，求的取值范围． 18. 为了研究广告支出与销售额的关系，现随机抽取5家超市作为样本，得到其广告支出x（单位：万元）与销售额W（单位：万元）数据如下： 超市 A B C D E 广告支出x 1 2 3 4 5 销售额W 4 9 14 18 （1）当时，根据表中样本数据，计算相关系数r，并推断它们的相关程度（保留两位小数）； （2）根据表中样本数据，用最小二乘法得到销售额W关于广告支出x的回归直线方程为，销售额W的方差为52.4，求的值，并计算广告支出为5（万元）时销售额的残差； （3）收集更多变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型得到经验回归模型，对应的残差如图所示，则模型误差是否满足一元线性回归模型的与的假设（直接写出结果）． 附：相关系数，回归系数，参考数据：． 19.我国承诺2030年前达到“碳达峰”，2060年实现“碳中和”.“碳达峰”就是我们国家承诺在2030前，二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；而到2060年，针对排放的二氧化碳要采取植树､节能减排等各种方式全部抵消掉，这就是“碳中和”.做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废物造成的二氧化碳的排放，助力“碳中和”.某校为加强学生对垃圾分类意义的认识以及养成良好的垃圾分类的习惯，团委组织了垃圾分类知识竞赛活动，竞赛分为初赛､复赛和决赛，只有通过初赛和复赛，才能进入决赛.甲､乙､丙三队参加竞赛，已知甲､乙两队通过初赛和复赛获胜的概率均为；丙队通过初赛和复赛的概率分别为p和，其中，三支队伍是否通过初赛和复赛互不影响.(1)求P取何值时，丙队进入决赛的概率最大：.(2)在（1）的条件下，求进入决赛的队伍数X的分布列和数学期望； (3)求进入决赛的队伍数X的数学期望的最大值及此时p的值. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $