广东广州市第八十六中学2025-2026学年高二下学期数学周测试题（2026.5.15）

**基本信息** 这份高二数学周测试题以生活与文化情境为载体，通过“六艺文化”课程排列、感冒药治愈概率、绿豆发芽温度实验等问题，考查数学眼光观察、思维推理及语言表达能力，适配周测巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|排列组合、概率、数列、二项式定理|第7题结合“六艺文化”设计课程排列问题，渗透文化传承| |多选题|3|统计相关（线性相关系数、正态分布）、函数极值、概率递推|第11题以食堂套餐选择为情境，构建概率递推模型，体现数学思维| |填空题|3|正因数个数、等比数列、导数应用|第14题通过奇函数导数不等式，考查抽象思维与逻辑推理| |解答题|5|独立性检验与分布列、数列证明、线性回归与导数切线、多选题得分概率、函数单调性与零点|第17题将线性回归与导数切线结合，第18题模拟新高考多选题得分概率，突出应用与创新|

广东广州市第八十六中学2025-2026学年高二下学期数学周测试题（2026.5.15）一、单选题 1．的值为（    ） A．40 B．30 C．20 D．10 2．已知，且满足，，则，的值分别是（    ） A．，1 B．1， C．，1 D．1， 3．某位同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒3盒、莲花清瘟胶囊2盒、清开灵颗粒5盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用（用药请遵医嘱），则感冒被治愈的概率为（    ） A． B． C． D． 4．设为数列的前项和，且，则（    ） A． B．2024 C． D．0 5．下表是离散型随机变量的分布列，且满足，则，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．的展开式中含的项的系数是（    ） A．30 B．32 C．34 D．36 7．为弘扬我国古代的“六艺文化”某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（    ） A．某学生从中选2门课程学习，共有20种选法 B．课程“乐”，“射”排在不相邻的两周，共有240种排法 C．课程“御”，“书”，“数”排在相邻的三周，共有120种排法 D．课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法 8．设函数，，若存在，，使得，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D． 二、多选题 9．下列说法正确的是（    ） A．对个变量，进行线性相关检验，得线性相关系数，对两个变量，进行线性相关检验，得线性相关系数，则变量与正相关，变量与负相关，变量与的线性相关性较强 B．若随机变量服从两点分布，且，则 C．在的展开式中，奇数项的二项式系数和为32 D．已知随机变量服从正态分布，且，则 10．已知函数，则下列结论错误的是（    ） A．函数有两个极值点 B．函数的单调递增区间 C．曲线有两条过点的切线 D．有三个零点 11．学校食堂每天中午都会提供两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择A套餐概率为，选择B套餐概率为；而前一天选择了A套餐的学生第二天选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为；前一天选择B套餐的学生第二天选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率也是；如此反复，记某同学第天选择A套餐的概率为，选择套餐的概率为；5个月（150天）后，记甲、乙、丙三位同学选择套餐的人数为，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．1260有 个不同的正因数.（用数字作答） 13．已知数列是等比数列，其前n项和为，若，.则数列的通项公式为______________. 14．已知是定义在上的奇函数，且是的导函数，若对于任意的，都有成立，且，则不等式解集为 四、解答题 15．为提高学生的数学应用能力和创造力，学校打算开设“数学建模”选修课，为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机抽取该校30名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占． (1)根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表判断，依据小概率值的独立性检验，分析学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别是否有关？ (2)若感兴趣的女生中恰有4名是高三学生，现从感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈，记出高三女生的人数为，求的分布列与数学期望． 附：，其中； 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 17．已知某绿豆新品种发芽的适宜温度在之间，一农学实验室研究人员为研究温度与绿豆新品种发芽数（颗）之间的关系，每组选取了成熟种子50颗，分别在对应的的温度环境下进行实验得到如下散点图：   (1)由折线统计图得到可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数加以说明，并建立关于的回归方程； (2)研究发现关于的回归方程刚好与函数在点处的切线重合，求，的值并求函数的单调区间以及极值. 参考数据：，，，. 参考公式：相关系数；，. 18．新高考数学试卷增加了多项选择题，每小题有A、B、C、D四个选项，原则上至少有2个正确选项，至多有3个正确选项，题目要求：“在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．”其中“部分选对的得部分分”是指：若正确答案有2个选项，则只选1个选项且正确得3分；若正确答案有3个选项，则只选1个选项且正确得2分，只选2个选项且都正确得4分． (1)若某道多选题的正确答案是BD，一考生在解答该题时，完全没有思路，随机选择至少一个选项，至多三个选项，写出该生所有选择结果构成的样本空间，并求该考生得正分的概率； (2)若某道多选题的正确答案是ABD，一考生在解答该题时，完全没有思路，随机选择至少一个选项，至多三个选项；在某考生此题已得正分的条件下，求该考生得4分的概率； (3)若某道多选题的正确答案是2个选项或是3个选项的概率均等，一考生只能判断出A选项是正确的，其他选项均不能判断正误，给出以下方案，请你以得分的数学期望作为判断依据，帮该考生选出恰当方案： 方案一：只选择A选项； 方案二：选择A选项的同时，再随机选择一个选项； 方案三：选择A选项的同时，再随机选择两个选项． 19．已知函数. (1)若函数在区间上单调递增，求的取值范围； (2)若曲线在点处的切线方程为，求切点的坐标； (3)若时，函数无零点，求的取值范围. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东广州市第八十六中学2025-2026学年高二下学期数学周测试题（2026.5.15） 答案 1．B 2．D 【详解】因为，所以， 所以，则，，则. 3．C 【详解】记服用金花清感颗粒为事件，服用莲花清瘟胶囊为事件，服用清开灵颗粒为事件，感冒被治愈为事件， 依题意可得，，，，，， 所以 . 4．D 【详解】由， 且，显然，所以是以为首项，为公比的等比数列，即，故 5．A 【详解】由题意，得，所以①． 因为，所以②． 由①②解得：，． 6．C 【详解】因为， 且展开式的通项为， 所以展开式中含的项的系数为. 7．D 【详解】对于A，从六门课程中选两门的不同选法有种，A错误； 对于B，先排“礼”、“御”、“书”、“数”，再用插空法排“乐”“射”，不同排法共有种，对于C，“御”“书”“数”排在相邻的三周，可将“御”“书”“数”视为一个元素，不同排法共有种，C错误； 对于D，从中间四周中任取一周排“礼”，再排其它五门体验课程共有种，D正确. 8．B 【详解】由题意可得，即，所以， 又，所以在上单调递增，即， 所以，且， 令，，则，其中，令，则， 当时，，则单调递增，当时，，则单调递减， 所以当时，有极大值，即最大值，所以，， 所以. 9．ABC 【详解】对于A，因，，且， 故变量与正相关，变量与负相关，变量与的线性相关性较强，即A正确； 对于B，因两点分布的数学期望为，由可得， 则,故,即B正确； 对于C，由的展开式知，取，可得 再取，可得，两式相加可得：， 则二项式展开式中奇数项的二项式系数和为，故C正确； 对于D，由题意，，, 则,故D错误. 10．BD 【详解】对于A，B选项，由，定义域为，可得， 令，可得， 因为，得或；，得， 所以，在单调递减，在，单调递增，故B错误； 所以，是有极大值点，是有极小值点， 所以函数有两个极值点，故A选项正确； 对于C选项，设函数的切点为， ，所以， 所以函数在的切线斜率为， 所以函数在的切线方程为：， 化简可得：， 又因为过点，所以， 则，解得：或， 则曲线有两条过点的切线，故C选项正确； 对于D选项，由A可知极大值为， 极小值， 所以，根据的单调性和零点存在定理可知，函数在R上只有1个零点. 11．ACD 【详解】因每人每次只能选择两种套餐中的一种，故必有，故A正确；依题意，，则， 因，则，故数列是以为首项，为公比的等比数列. 于是，，即故C正确； 因，故， 依题，当时，，故, 则， 因，则，故，故D正确； 因，则，故B错误. 12．36 【详解】， 第一步，可以取，共3种，第二步，可以取，共3种， 第三步，可以取，共2种，第四步，可以取，共2种， 所以一共有种取法，对应36个不同的正因数. 13． (1)或 【详解】（1）设数列的公比为，则， 解得，或，，所以或. 14． 【详解】令，可得 因为对于任意的，都有成立， 可得，所以函数在为单调递增函数， 又因为是定义在上的奇函数， 可得，所以是定义在上的奇函数， 可得是定义在上的单调递增函数， 因为在上连续不断，则在上连续不断，所以函数在上为单调递增函数， 由不等式，可化为，即， 因为，可得，所以，可得， 所以不等式的解集为. 15．【详解】（1）列联表如图所示： 男生 12 4 16 女生 9 5 14 合计 21 9 30 零假设为：：对“数学建模”选修课的兴趣度与性别无关． 根据列联表数据计算可得：， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此认为成立，即认为对“数学建模”选修课的兴趣度与性别无关． （2）由（1）可知对“数学建模”选修课的感兴趣的女生有9人，其中高三女生4人， 依题意可知服从超几何分布，且，，； 的分布列为，； 即： 0 1 2 3 数学期望为， （或 16.【详解】（1）∵，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：, 即, ∴， 显然对于也成立， ∴的通项公式； （2） ∴ 17．【详解】（1）依题意可得：， ， 又， 所以， 接近于1， 与的线性相关性较高，故可以用线性回归模型拟合与的关系； 又，， 关于的回归方程为； （2），，， 依题意有：，解得：， ， 令，解得，或（舍去）， 列表得： 0 极大值 由上表可知的单调递增区间为，单调递减区间为， 极大值为，无极小值. 18．【详解】（1）依题意有，设“某题的答案是，该考生得分”，则， . （2）设“某题的答案是，该考生得正分”，则， ， 设“某题的答案是，该考生得4分”，则，， 所以该考生此题已得正分的条件下，则该考生得4分的概率为. （3）设方案一、二、三的得分分别为，，， 方案一：， ，， 即的分布列为： 2 3 则； 方案二：， ，，， 即的分布列为： 0 4 6 则； 方案三：， ，， 即的分布列为： 0 6 则， ，以得分的数学期望作为判断依据选择方案一更恰当. 19．【详解】（1）因为函数在区间上单调递增， 所以在上恒成立， 所以，，因为函数在单调递减， 所以，所以； （2）由得， 依题意有，化简得：， 解得：，所以，所以切点的坐标为； （3）因为，， 当，即时，，在上单调递减， 因为，所以在上无零点，符合题意； 当，即时，令，解得， 当时，，当， 所以的单调递减区间是，单调递增区间是， 所以的最小值为， 当，即时，无零点，符合题意， 当，即时，有一个零点，不符合题意， 当，即时， 因为，， 所以，使得，即至少有一个零点，不符合题意. 综上所述，当时，对时，函数无零点. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $