用不等式解决实际应用问题、用不等式解决几何问题专项训练-2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦不等式在实际应用与几何问题中的综合应用，通过分层典例构建"情境抽象-模型建立-逻辑推理"的解题链条，强化模型意识与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |用不等式解决实际应用问题|4例+4变式|涵盖购物/销售方案、体育积分、优惠比较、低碳减碳等情境，需建立方程与不等式模型|从实际情境抽象数量关系→列方程求基础量→用不等式解决最值/方案问题，体现数学语言表达现实世界的应用意识| |用不等式解决几何问题|3例+3变式|涉及三角形/坐标系中动点运动，结合面积计算列不等式|动点路径分析→分段表示线段长度→面积公式转化→建立不等式求解范围，培养几何直观与推理能力|

用不等式解决实际应用问题、用不等式解决几何问题专项训练 用不等式解决实际应用问题、用不等式解决几何问题专项训练 考点目录 用不等式解决实际应用问题 用不等式解决几何问题 考点一 用不等式解决实际应用问题 例1．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）书香校园，书柜之约，在124中学，书香氤氲的梦想正在生长．为了安放新购置的万千卷册，让每一本书都能在合适的位置静候知音，学校计划购进甲、乙两种规格的书柜，如两位气质不同的待书使者，分层陈列，便于学子借阅与日常打理．后勤部门走访市场，细心询价，获得如下数据： ·若购甲种书柜个，乙种书柜个，共需元 ·若购甲种书柜个，乙种书柜个，共需元 (1)请你帮助学校算一算：甲种书柜与乙种书柜，每一座的单价各是多少元？ (2)如今，学校计划将这两种书柜共购个，携手立于廊下窗边．学校至多可拨付资金元，最多可以购买甲种书柜多少个． 例2．（25-26七年级下·重庆·期中）随着“绿色重庆，低碳出行”理念的推广，新能源汽车在重庆越来越受到市民的喜爱，某新能源汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，2辆A型新能源汽车和3辆B型新能源汽车的进价共计84万元；3辆A型新能源汽车和2辆B型新能源汽车的进价共计96万元． (1)求A、B两种型号的新能源汽车每辆的进价各是多少万元？ (2)该销售公司计划购进这两种型号的新能源汽车共20辆，用于在重庆主城各区开展推广活动．公司投入的购车资金不超过340万元．假设每辆A型汽车的售价为32万元，每辆B型汽车的售价为15万元．若要使销售完这批汽车后获得的利润不少于90万元，该经销商共有哪几种购车方案？ 例3．（25-26七年级下·河南南阳·期中）2026年2月，教育部召开深入落实“健康第一”工作部署会，强调将“健康第一”的教育理念转化为刚性制度，同步印发《关于全面推进健康学校建设的指导意见》，要求落实中小学生每天综合体育活动不低于2小时的要求．某中学积极响应号召，利用课后服务时间在七年级开展班级篮球赛，共16个班级参与，以此激励学生增强体质、热爱运动． (1)比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分．某班在15场比赛中获得的总积分为39分，求该班胜了多少场； (2)投篮评分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分；在3分线上及3分线内投篮，投中一球可得2分．某班在其中一场比赛中，共投中27个球，所得总分不少于58分，求该班在这场比赛中至少投中了多少个3分球． 例4．（25-26七年级下·安徽滁州·期中）综合与实践：某班数学组对某商场进行调研后了解到如下信息： 市场调研 信息一 某体育用品商店新购进4个篮球和5个足球，共付款980元，已知每个篮球比每个足球贵20元． 信息二 该体育用品商店将足球按信息一中的进价提高后标价，实际销售时再打折出售，此时每个足球的利润仍不低于26元． 问题解决 (1)设每个篮球的进价为元，则每个足球的进价为__________元（用含的式子表示）； (2)求每个篮球和足球的进价； (3)求出信息二中的足球的最多打多少折． 变式1．（25-26七年级下·云南昆明·阶段检测）某单位在5月份期间组织部分员工到某地旅游，现在联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为4000元/人，两家旅行社同时都对10人以上的团体推出了优惠措施：甲旅行社对每位游客七五折优惠；而乙旅行社是免去一位游客的费用，其余游客按八折优惠． (1)若设参加旅游的员工共有（）人，则甲旅行社的费用为_____元，乙旅行社的费用为______元；（用含的代数式表示并化简） (2)在（1）的条件下，该单位选择哪一家旅行社比较优惠？并说明理由． 变式2．（25-26七年级下·安徽六安·期中）为响应国家“绿色低碳、全民节能”号召，助力安徽省“千村万户”光伏惠民工程，某新能源配件店销售A，B两种型号的家用光伏配件，进价分别为70元、50元，如表是该店近两天的销售情况： 销售量/件 销售收入/元 A型光伏配件 B型光伏配件 第一天 3 4 600 第二天 6 5 975 (1)求A，B两种型号光伏配件的销售单价； (2)若该店为某乡镇光伏项目购进这两种配件总计50件，购进总费用不超过2900元． ①最多可以购进A型光伏配件多少件？ ②该店销售这50件配件的总利润能否超过1340元？若能，请给出相应的购进方案；若不能，请说明理由． 变式3．（25-26七年级下·广西桂林·期中）当下“即时零售、线上线下同价促销”已成为消费热潮．某品牌日用品线下门店与线上平台推出不同优惠方案，某家庭计划采购该品牌日用品，原价总计为元（）． 线下方案：全场8折，另收配送费10元． 线上方案：每满100元减25元，不满100元的部分不优惠，免配送费． 问题： (1)当原价总计为120元时，选择哪种方案更省钱？省了多少元？ (2)当原价总计超过100元且小于200元时，求满足什么条件，线下方案比线上方案更省钱？ (3)若该家庭预算不超过300元，且选择线上方案，求原价的最大值． 变式4．（25-26七年级下·重庆·期中）综合实践：低碳生活 如何通过出行方式达到减碳目标 信息一 不同交通工具每行驶1千米所产生的碳排放量（单位：千克/辆）    信息二 小妍在出行方面（含通勤、旅游、出差等）制定的碳排放量为220千克／月．某月因出差乘坐飞机，共产生600千克碳排放量．为补偿这些超额碳排放量，小妍决定将之后的通勤方式由自驾改为其他出行方式． 信息三 小妍一年上班天数为240天，每天上班和下班的总距离为20千米． 问题解决 (1)任务一：小妍上下班至少要乘坐公交车多少天，减少产生的碳排放量才能够补偿这月因乘坐飞机而产生的超额碳排放量？ (2)任务二：根据自身的情况，小妍在一年中每天通勤的方式从电动车和共享单车两种方式中选用其中一种方式，若想要一年内通勤时产生的碳排放量不超过330千克，则这一年至少骑行共享单车多少天？ 考点二 用不等式解决几何问题 例1．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止．设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需____秒； (2)当的面积为时，求的值； (3)当的面积大于时，求的取值范围． 例2．（25-26七年级下·重庆·期中）在中，，，，，射线，点在射线上，且，连接．动点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点的运动时间为秒． (1)当时，求线段的长度； (2)当的面积恰好等于的面积的时，求的值； (3)当是的高，且时，求的取值范围． 例3．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，，点D为的中点，动点P从A点出发，先以的速度沿运动，到达点B后再以的速度沿运动，到达C停止．设点P运动的时间为，的面积为，规定线段是特殊的三角形． (1)当__________时，点P运动到点B； (2)当点P在上运动，且点P在点D左侧时，的长度为__________（用含t的代数式表示） (3)在点P运动过程中，请用含t的代数式表示S； (4)当时，请直接写出t的取值范围． 变式1．（24-25七年级下·吉林长春·月考）如图，在中，，，．为的中点，动点从点出发，先以的速度沿运动，到达点后再以的速度沿向终点运动．设点的运动时间为，的面积为． (1)当______时，点运动到点； (2)当点在边上运动时，的长度为多少厘米．（用含的代数式表示）； (3)在点的运动过程中，请用含的代数式表示； (4)当时，请直接写出的取值范围． 变式2．（24-25七年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中， O为坐标原点． 已知点，， 连接． (1)若，，则线段___________； (2)若， ①平移线段，使点A，B的对应点分别为点，，求c的值； ②连接，，记三角形的面积为S，若，，时，求b的取值范围． 变式3．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止，设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需___秒； (2)若的面积为时，求的值； (3)若的面积大于时，求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $用不等式解决实际应用问题、用不等式解决几何问题专项训练 用不等式解决实际应用问题、用不等式解决几何问题专项训练 考点目录 用不等式解决实际应用问题 用不等式解决几何问题 考点一 用不等式解决实际应用问题 例1．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）书香校园，书柜之约，在124中学，书香氤氲的梦想正在生长．为了安放新购置的万千卷册，让每一本书都能在合适的位置静候知音，学校计划购进甲、乙两种规格的书柜，如两位气质不同的待书使者，分层陈列，便于学子借阅与日常打理．后勤部门走访市场，细心询价，获得如下数据： ·若购甲种书柜个，乙种书柜个，共需元 ·若购甲种书柜个，乙种书柜个，共需元 (1)请你帮助学校算一算：甲种书柜与乙种书柜，每一座的单价各是多少元？ (2)如今，学校计划将这两种书柜共购个，携手立于廊下窗边．学校至多可拨付资金元，最多可以购买甲种书柜多少个． 【答案】(1)甲种书柜单价元，乙种书柜单价元 (2)个 【分析】（1）根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设甲种书柜单价x元，乙种书柜单价y元， ， 解得 ， 答：甲种书柜单价元，乙种书柜单价元； （2）解：设购买甲种书柜m个，购买乙种书柜（）个， ， ． 答：最多可以购买甲种书柜个． 例2．（25-26七年级下·重庆·期中）随着“绿色重庆，低碳出行”理念的推广，新能源汽车在重庆越来越受到市民的喜爱，某新能源汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，2辆A型新能源汽车和3辆B型新能源汽车的进价共计84万元；3辆A型新能源汽车和2辆B型新能源汽车的进价共计96万元． (1)求A、B两种型号的新能源汽车每辆的进价各是多少万元？ (2)该销售公司计划购进这两种型号的新能源汽车共20辆，用于在重庆主城各区开展推广活动．公司投入的购车资金不超过340万元．假设每辆A型汽车的售价为32万元，每辆B型汽车的售价为15万元．若要使销售完这批汽车后获得的利润不少于90万元，该经销商共有哪几种购车方案？ 【答案】(1)A型号的新能源汽车每辆的进价为24万元，B型号的新能源汽车每辆的进价为12万元 (2)该经销商共有三种购车方案： 方案一：购买A型号的新能源汽车6辆，B型号的新能源汽车14辆； 方案二：购买A型号的新能源汽车7辆，B型号的新能源汽车13辆； 方案三：购买A型号的新能源汽车8辆，B型号的新能源汽车12辆 【分析】（1）设A、B两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为万元、万元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设购进A型号的新能源汽车辆，则购进B型号的新能源汽车辆，根据“公司投入的购车资金不超过340万元”、“要使销售完这批汽车后获得的利润不少于90万元”，分别列出一元一次不等式，求出的取值范围，即可得购车方案． 【详解】（1）解：设A、B两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为万元、万元， 根据题意得， 解得， 答：A型号的新能源汽车每辆的进价为24万元，B型号的新能源汽车每辆的进价为12万元； （2）解：设购进A型号的新能源汽车辆，则购进B型号的新能源汽车辆， ∵公司投入的购车资金不超过340万元， ∴， 解得， ∵要使销售完这批汽车后获得的利润不少于90万元， ∴， 解得， ∴， ∵m为正整数， ∴或7或8， ∴该经销商共有三种购车方案： 方案一：购买A型号的新能源汽车6辆，B型号的新能源汽车14辆； 方案二：购买A型号的新能源汽车7辆，B型号的新能源汽车13辆； 方案三：购买A型号的新能源汽车8辆，B型号的新能源汽车12辆． 例3．（25-26七年级下·河南南阳·期中）2026年2月，教育部召开深入落实“健康第一”工作部署会，强调将“健康第一”的教育理念转化为刚性制度，同步印发《关于全面推进健康学校建设的指导意见》，要求落实中小学生每天综合体育活动不低于2小时的要求．某中学积极响应号召，利用课后服务时间在七年级开展班级篮球赛，共16个班级参与，以此激励学生增强体质、热爱运动． (1)比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分．某班在15场比赛中获得的总积分为39分，求该班胜了多少场； (2)投篮评分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分；在3分线上及3分线内投篮，投中一球可得2分．某班在其中一场比赛中，共投中27个球，所得总分不少于58分，求该班在这场比赛中至少投中了多少个3分球． 【答案】(1)胜12场 (2)4个 【分析】（1）设该班胜x场，则负y场，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设该班这场比赛中投中3分球个，2分球个，根据题意列出不等式，解不等式，求得最小整数解，即可． 【详解】（1）解：设该班胜x场，则负y场， 由题意得． 解得 答：该班胜12场 （2）解：设该班这场比赛中投中3分球个，2分球个 由题意得 解得 的最小值是4． 答：该班这场比赛中至少投中4个3分球 例4．（25-26七年级下·安徽滁州·期中）综合与实践：某班数学组对某商场进行调研后了解到如下信息： 市场调研 信息一 某体育用品商店新购进4个篮球和5个足球，共付款980元，已知每个篮球比每个足球贵20元． 信息二 该体育用品商店将足球按信息一中的进价提高后标价，实际销售时再打折出售，此时每个足球的利润仍不低于26元． 问题解决 (1)设每个篮球的进价为元，则每个足球的进价为__________元（用含的式子表示）； (2)求每个篮球和足球的进价； (3)求出信息二中的足球的最多打多少折． 【答案】(1) (2)每个篮球的进价为120元，每个足球的进价为100元 (3)七折 【分析】（1）根据每个篮球比每个足球贵20元，列出代数式，即可求解； （2）根据购进4个篮球和5个足球，共付款980元，列出一元一次方程，解方程，即可求解； （3）根据每个足球的利润仍不低于26元，列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）解：设每个篮球的进价为元，每个篮球比每个足球贵20元，则每个足球的进价为元； （2）根据题意得，解得， 所以（元）， 答：每个篮球的进价为120元，每个足球的进价为100元； （3）设信息二中的足球打折， 由题意可得， 解得， 答：信息二中的足球最多打七折． 变式1．（25-26七年级下·云南昆明·阶段检测）某单位在5月份期间组织部分员工到某地旅游，现在联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为4000元/人，两家旅行社同时都对10人以上的团体推出了优惠措施：甲旅行社对每位游客七五折优惠；而乙旅行社是免去一位游客的费用，其余游客按八折优惠． (1)若设参加旅游的员工共有（）人，则甲旅行社的费用为_____元，乙旅行社的费用为______元；（用含的代数式表示并化简） (2)在（1）的条件下，该单位选择哪一家旅行社比较优惠？并说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）按照各自的优惠方案列出代数式解答即可； （2）分三种情况，列出不等式与方程解答即可． 【详解】（1）解：由题意可得：甲旅行社的费用为元； 乙旅行社的费用为元； （2）解：当甲、乙两家旅行社费用相同时， ， 解得：， 当甲旅行社的费用大于乙旅行社的费用时， ， 解得：， 当甲旅行社的费用小于乙旅行社的费用时， ， 解得：， 综上：当参加旅游的人数时，选择乙旅行社比较优惠，当时，选择甲、乙旅行社均可，当时，选择甲旅行社比较优惠． 变式2．（25-26七年级下·安徽六安·期中）为响应国家“绿色低碳、全民节能”号召，助力安徽省“千村万户”光伏惠民工程，某新能源配件店销售A，B两种型号的家用光伏配件，进价分别为70元、50元，如表是该店近两天的销售情况： 销售量/件 销售收入/元 A型光伏配件 B型光伏配件 第一天 3 4 600 第二天 6 5 975 (1)求A，B两种型号光伏配件的销售单价； (2)若该店为某乡镇光伏项目购进这两种配件总计50件，购进总费用不超过2900元． ①最多可以购进A型光伏配件多少件？ ②该店销售这50件配件的总利润能否超过1340元？若能，请给出相应的购进方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)A型光伏配件销售单价为100元，B型光伏配件销售单价为75元 (2)①最多可以购进A型光伏配件20件，②能，购进方案为：方案一：购进A型配件19件，B型配件31件；方案二：购进A型配件20件，B型配件30件 【分析】（1）设A型光伏配件销售单价为元，B型光伏配件销售单价为元，由题意易得，然后求解即可； （2）设购进A型光伏配件件，则购进B型光伏配件件，①根据题意可得不等式，进而问题可求解；②由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）解：设A型光伏配件销售单价为元，B型光伏配件销售单价为元，由题意得： ， 解得：； 答：A型光伏配件销售单价为100元，B型光伏配件销售单价为75元； （2）解：设购进A型光伏配件件，则购进B型光伏配件件， ①由题意得： ， 解得：； 答：最多可以购进A型光伏配件20件 ②该店销售这50件配件的总利润能超过1340元，理由如下： 由题意得： ， 解得：， ∴， ∵为整数， ∴的值为， ∴或； 答：能，购进方案为：方案一：购进A型配件19件，B型配件31件；方案二：购进A型配件20件，B型配件30件． 变式3．（25-26七年级下·广西桂林·期中）当下“即时零售、线上线下同价促销”已成为消费热潮．某品牌日用品线下门店与线上平台推出不同优惠方案，某家庭计划采购该品牌日用品，原价总计为元（）． 线下方案：全场8折，另收配送费10元． 线上方案：每满100元减25元，不满100元的部分不优惠，免配送费． 问题： (1)当原价总计为120元时，选择哪种方案更省钱？省了多少元？ (2)当原价总计超过100元且小于200元时，求满足什么条件，线下方案比线上方案更省钱？ (3)若该家庭预算不超过300元，且选择线上方案，求原价的最大值． 【答案】(1)选择线上方案更省钱，省了元 (2)当时，线下方案比线上方案更省钱 (3)原价的最大值为元 【分析】（1）分别计算两种方案对应的花费，即可解得； （2）先根据两种优惠规则计算不同情况下的实际花费，再列不等式求解即可； （3）分类讨论求x的最大值即可解答． 【详解】（1）解：当原价元时，线下花费：（元）， 线上花费：（元）， 因为，且（元）， 答：选择线上方案更省钱，省了元． （2）解：当时，线下花费元，线上仅满个元，实际花费为元， ∵线下方案比线上方案更省钱， ∴， 解得：， ∴， 答：当时，线下方案比线上方案更省钱． （3）解：预算不超过元，即线上实际花费不超过元， 分类讨论： 当时，无优惠，实际花费，此时； 当时，优惠元，则，解得，此时； 当时，优惠元，得，解得，此时； 当时，优惠元，得，解得，此时； 当时，优惠元，得，解得，此时； 比较所有情况可得，的最大值为元． 答：原价的最大值为元． 变式4．（25-26七年级下·重庆·期中）综合实践：低碳生活 如何通过出行方式达到减碳目标 信息一 不同交通工具每行驶1千米所产生的碳排放量（单位：千克/辆）    信息二 小妍在出行方面（含通勤、旅游、出差等）制定的碳排放量为220千克／月．某月因出差乘坐飞机，共产生600千克碳排放量．为补偿这些超额碳排放量，小妍决定将之后的通勤方式由自驾改为其他出行方式． 信息三 小妍一年上班天数为240天，每天上班和下班的总距离为20千米． 问题解决 (1)任务一：小妍上下班至少要乘坐公交车多少天，减少产生的碳排放量才能够补偿这月因乘坐飞机而产生的超额碳排放量？ (2)任务二：根据自身的情况，小妍在一年中每天通勤的方式从电动车和共享单车两种方式中选用其中一种方式，若想要一年内通勤时产生的碳排放量不超过330千克，则这一年至少骑行共享单车多少天？ 【答案】(1)天 (2)90天 【分析】（1）设小妍上下班要乘坐公交车x天，减少产生的碳排放量才能够补偿这月因乘坐飞机而产生的超额碳排放量，根据题意列出不等式，解不等式即可； （2）设这一年骑行共享单车y天，则骑行电动车天，根据一年内通勤时产生的碳排放量不超过330千克，列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设小妍上下班要乘坐公交车x天，减少产生的碳排放量才能够补偿这月因乘坐飞机而产生的超额碳排放量，根据题意得： ， 解得：， ∵x取整数， ∴小妍上下班至少要乘坐公交车天，减少产生的碳排放量才能够补偿这月因乘坐飞机而产生的超额碳排放量． （2）解：设这一年骑行共享单车y天，则骑行电动车天，根据题意得： ， 解得：， 答：这一年至少骑行共享单车90天． 考点二 用不等式解决几何问题 例1．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止．设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需____秒； (2)当的面积为时，求的值； (3)当的面积大于时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当或时，的面积为 (3)当时，的面积大于 【分析】（1）根据，，可以求出点运动的路程，根据点运动速度即可求出需要的时间； （2）当点在上运动时，，则有，根据三角形的面积公式可得，解方程即可求出的值；当点在上运动时，，则有，根据三角形的面积公式可得，解方程即可求出的值； （3）当点在上运动时，可得，当点在上运动时，可得，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 点的运动速度为个单位长度每秒， 点整个运动过程中，共需秒； （2）解：当点在上运动时，， 则有， ， 解得：； 当点在上运动时，， 则有， ， 解得：； 综上所述，当或时，的面积为； （3）解：当点在上运动时，， 则有， ， 解得：， 当点在上运动时，， 则有， ， 解得：， 当时，的面积大于． 例2．（25-26七年级下·重庆·期中）在中，，，，，射线，点在射线上，且，连接．动点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点的运动时间为秒． (1)当时，求线段的长度； (2)当的面积恰好等于的面积的时，求的值； (3)当是的高，且时，求的取值范围． 【答案】(1)当时，线段的长度为2 (2)的值为或 (3)的取值范围是： 【分析】（1）先求出运动的路程，再根据点的位置解答即可； （2）分两种情况：当点P在时，当点P在上时，根据面积关系列方程即可求解； （3）根据三角形的面积求出的值，分为点P在时，点P在上，两种情况根据列不等式组解答即可． 【详解】（1）解：当时，． ． 答：当时，线段的长度为2． （2）解：， ． 的边的高． ∵， ∴ ∴． ． ①当点在边上，即时． ． ． ， ． 解这个方程，得．        ②当点在边上，即时． ． ． ． 解这个方程，得． 综上所述，的值为或． （3）解：是的高． ． ，，， ． ①当点在边上，即时，． ，且． ，解得． ， ．          ②当点在边上，即时． ． ，且． ． 解不等式，得． ， ．        综上所述，的取值范围是：． 例3．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，，点D为的中点，动点P从A点出发，先以的速度沿运动，到达点B后再以的速度沿运动，到达C停止．设点P运动的时间为，的面积为，规定线段是特殊的三角形． (1)当__________时，点P运动到点B； (2)当点P在上运动，且点P在点D左侧时，的长度为__________（用含t的代数式表示） (3)在点P运动过程中，请用含t的代数式表示S； (4)当时，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)2 (2) (3) (4)当或时， 【分析】（1）根据时间等于路程除以速度求解即可； （2）根据题意列式即可； （3）分或或三种情况讨论，根据题意列式即可； （4）分或或三种情况讨论，列出不等式，计算即可求解． 【详解】（1）解：在上运动的时间为． （2）解：当点在运动时，， 点是的中点， ， 当在的左侧时，即，． （3）解：当在的右侧时，即，； 当点在上时，即， 根据题意，得； 当点在上时，即， 根据题意，得， 当点在上时，即， 根据题意，得， ∴． （4）解：当时， 根据题意，得，解得, ∴； 当时， 根据题意，得，解得 ∴； 当时， 根据题意，得，解得， ∴； 综上所述，当或时，． 变式1．（24-25七年级下·吉林长春·月考）如图，在中，，，．为的中点，动点从点出发，先以的速度沿运动，到达点后再以的速度沿向终点运动．设点的运动时间为，的面积为． (1)当______时，点运动到点； (2)当点在边上运动时，的长度为多少厘米．（用含的代数式表示）； (3)在点的运动过程中，请用含的代数式表示； (4)当时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)的取值范围为或或 【分析】本题考查了列代数式，一元一次不等式的应用，合理分类讨论是解题的关键． （1）根据时间等于路程除以速度求解即可； （2）求出，分点在上运动和点在上运动两种情况，分别列式即可； （3）分点在上，点在上，点在上，三种情况讨论，分别根据三角形的面积公式列式即可； （4）分，，三种情况讨论，分别根据列不等式，求解即可． 【详解】（1）解：∵，以的速度沿运动， ∴点运动到点的时间为， 故答案为：； （2）解：∵，为的中点， ∴， ∴点运动到点的时间为， 点运动到点的时间为， ∴当点在上运动时，， 当点在上运动时，， 综上，； （3）解：当点在上时，即， 根据题意，得； 当点在上时，即， 根据题意，得， 当点在上时，即， 根据题意，得， ∴； （4）解：当时， 根据题意，得， 解得； 当时， 根据题意，得， 解得； 当时， 根据题意，得， 解得； 综上，的取值范围为或或． 变式2．（24-25七年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中， O为坐标原点． 已知点，， 连接． (1)若，，则线段___________； (2)若， ①平移线段，使点A，B的对应点分别为点，，求c的值； ②连接，，记三角形的面积为S，若，，时，求b的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②且 【分析】（1）可求，，可得A、B纵坐标相同，故线段轴，即可求解； （2）①由得，则可得，，由平移的性质可得，，则可得，，进而可求出c的值 ②分四种情况讨论：（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ），（ⅳ），先列出S与b的关系式，再根据列不等式求出b的范围即可． 【详解】（1）解：若，， 则，， 则轴， ． （2）解：①若， 则， ∴，， ∴将点A向左移6个单位，再向上平移2个单位，即可得到B点． ∴平移线段，使点A，B的对应点分别为点，， ∴，， ∴将点P向左移6个单位，再向上平移2个单位，即可得到Q点． ，， 解得，． ②由①得，． （ⅰ）如图，当时， ， ∵， ， 解得， 时，成立； （ⅱ）如图，当时， 此时，，且由图知， ∴，成立； （ⅲ）如图，当时， 此时，，且由图知， ∴，成立； （ⅳ）如图，当时， ， ， ， 解得， ∴当时，成立； 综上，当时，b的取值范围是：且． 变式3．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止，设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需___秒； (2)若的面积为时，求的值； (3)若的面积大于时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的值为或 (3) 【分析】本题考查了一元一次不等式和一元一次方程的应用，动点问题，解题的关键是分类讨论． （1）先求出运动的路程，再根据时间路程速度，即可求解； （2）分两种情况：当在上运动时，当在上运动时，根据三角形的面积公式列方程即可求解； （3）根据当时，，当时，，即可求解． 【详解】（1）解：，， 点整个运动过程中，路程为， 点整个运动过程中，所需时间为秒， 故 答 案 为：； （2）当在上运动时，， 解 得：， 当在上运动时，， 解得：， 综上可得的值为或； （3）当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 综上可得：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $