微专题05 一元一次不等式（组）实际应用问题（专项训练）数学新教材人教版七年级下册

微专题05 一元一次不等式（组）实际应用问题 题型一 一元一次不等式应用---球场积分问题 1. 设未知数：将核心未知量（如胜场数、平场数）设为字母 x； 2. 找等量关系：根据球赛 / 竞赛积分规则，用含 x 的代数式表示总积分； 3. 列不等式：结合题目限定条件，列出一元一次不等式； 4. 解不等式：按照不等式运算法则求解，得到 x 的取值范围； 5. 定最终解：结合场次为非负整数的实际意义，确定符合要求的最终解。 1．（23-24七年级下·新疆和田·期末）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分，某队在14场比赛中至少要得20分．请问这个队胜场数至少为（   ） A．4场 B．6场 C．7场 D．9场 2．某次知识竞赛共有20道题，答对一题得10分，答错或不答均扣5分，小玉得分超过95分，他至少要答对 道题． 3．（25-26八年级下·山东青岛·期中）某校举行“学以致用，数你最行”数学知识抢答赛，规则如下：每位选手有基础分20分，需回答20道题，每答对一道题得4分，每答错或不答一道题扣2分．在这次抢答赛中，八年级1班代表队被评为优秀（88分或88分以上），则这个队至少答对了______道题． 4．（2026·江苏泰州·一模）甲、乙两队进行了场足球对抗赛，比赛规则规定每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分． (1)若甲队负了场，则甲队的得分能否为分？请说明理由； (2)若乙队保持不败，得分超过分，求乙队至少胜了多少场？ 5．（2024春·山西临汾·八年级校联考期中）某电视台组织学习党史知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，答对一题得5分，可以选择不答，下表记录的是3名参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 不答题数 答错题数 得分 A 19 0 1 94 B 18 1 1 91 C 18 2 0 94 （1）由表格知，不答一题得______分，答错一题扣______分． （2）某参赛者D答错题数比不答题数的2倍多1题，最后得分为64分，他答对几道题？ （3）在前10道题中，参赛者E答对8题，1题放弃不答，1题答错，则后面10题中，至少要答对几题才有可能使最后得分不低于79分？为什么？ 题型二 一元一次不等式应用---商品销售问题 1. 设未知数：将核心未知量（如商品定价、销量、折扣数）设为字母 x； 2. 梳核心公式：明确利润 =（售价 - 进价）× 销量、利润率 = 利润 ÷ 进价 ×100%、折后售价 = 原价 × 折扣数等核心公式； 3. 列不等式：结合题目限定条件，列出一元一次不等式； 4. 解不等式：按照不等式运算法则求解，得到 x 的取值范围； 5. 定最终解：结合售价、销量为正数的实际意义，确定符合要求的最终解。 1．（2026·山东菏泽·一模）某商场计划从厂家购进甲、乙、丙三种型号的电冰箱共80台，其中甲种电冰箱的台数是丙种的2倍，甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价分别是每台1200元、1600元、2000元，要求总金额不超过119000元．则商场至少购进丙种电冰箱的台数为（   ） A．20台 B．21台 C．22台 D．23台 2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）小知和同学利用暑假勤工俭学，以每件元的价格购进了一批哪吒主题的卫衣，标价为每件元，为了尽快出售，小知准备打折销售，但要使利润率不低于，则至多可以打__________折． 3．（25-26七年级下·河南周口·期中）某文具店售卖笔记本和中性笔，已知购买3本笔记本和2支中性笔共需22元；购买2本笔记本和3支中性笔共需18元． (1)求每本笔记本和每支中性笔的单价； (2)若计划一次性购买两种文具共40件，总费用不超过200元，求最多可购买笔记本多少本？ 4．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）近年来，我国人形机器人不断取得新的突破，许多中学生也在心中种下了一个科技梦．某玩具店有A，B两款热销的机器人玩具，若购买1个A款机器人玩具和2个B款机器人玩具共花费280元，购买2个A款机器人玩具比购买1个B款机器人玩具多花费160元． (1)求A，B两款机器人玩具的单价； (2)某机器人社团计划购买A，B两款机器人玩具共14个（两款都购买），恰逢该玩具店周年店庆，A款机器人玩具打八折，B款机器人玩具打九折．若预算不超过1200元，则最多购买A款机器人玩具多少个？ 5．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）德强学校社会实践活动丰富多彩，知行合一育人用心，让学生在实践中成长、在体验中收获．在刚刚结束的寒假社会实践中，七年级某班爱心义卖摆摊销售A，B两种商品，其进价和售价如下表： 进价/元 售价/元 A 2 3.5 B 2.5 4.5 (1)该班第一次用350元购进A，B两种商品，销售完后，共获利275元，第一次购进A，B两种商品各多少件？ (2)若该班第二次共购进A，B两种商品250件，在进价和售价均不变的情况下，要使售完所有商品的利润不低于400元，则至少需要购进B种商品多少件？ 题型三一元一次不等式应用---方案问题 1. 设未知数：将方案核心变量设为字母 x； 2. 找限制条件：梳理题目中关于总费用、总数量、总载重等核心限制要求； 3. 列不等式：根据核心限制条件，列出一元一次不等式； 4. 解不等式：求解得到 x 的取值范围； 5. 定可行方案：结合 x 为正整数的实际意义，列举出所有符合条件的可行方案。 1．（25-26八年级下·广东深圳·期中）根据以下素材，探究完成任务． 背景 红岭教育集团为了奖励竞赛中表现突出的学生，董老师提前在线 上平台购买了笔袋与书签等文创品作为奖品． 素材一 线上平台无促销活动，若买6个笔袋和10个书签共需210元； 若买12个笔袋和12个书签共需324元． 素材二 2026年线上平台促销活动信息如下：方式一：购买48元会员卡后所有商品打8折；方式二：非会员所有商品打9折． 解决问题： (1)任务一：线上平台在无促销活动时，求笔袋和书签的销售单价各是多少元？ (2)任务二：董老师计划在促销期间购买笔袋和书签共35个，其中购买笔袋m个（），若董老师按方式一购买，共需____________元；若董老师按方式二购买，共需____________元．（均用含m的代数式表示） (3)任务三：请你帮董老师算一算，在任务二的条件下，购买笔袋的数量在什么范围内时，选择方式一更划算？ 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）为加大污水处理量，某治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格与月处理污水量如下表： A型 B型 价格（万元/台） x y 处理污水量（吨/月） 240 200 经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元． (1)求x、y的值； (2)如果治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，求该治污公司有哪几种购买方案． 3．（25-26七年级下·河南南阳·期中）为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我县某村出产的甲、乙两种猕猴桃．已知2箱甲种猕猴桃和3箱乙种猕猴桃的售价之和为460元；5箱甲种猕猴桃和2箱乙种猕猴桃的售价之和为600元． (1)求甲、乙两种猕猴桃每箱的售价； (2)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种猕猴桃共20箱，总花费不超过1800元，且乙种猕猴桃的箱数不少于8箱．该公司有哪几种购买方案？ 4．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某纪念品商店购进若干亚运会徽章和钥匙扣．已知徽章的进价为5元/个，吉祥物钥匙扣的进价为18元/个，如图表是近两周的销售情况．该纪念品商店准备用不超过770元的金额再采购徽章和钥匙扣共50个． 销售时段 徽章（个） 钥匙扣（个） 销售收入（元） 第一周 4 3 130 第二周 5 5 200 （进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本） (1)请尝试求出亚运会徽章、钥匙扣的销售单价 (2)该商店至少采购徽章多少个？ (3)帮助该纪念品商店设计采购方案，使这50个纪念品利润不低于516元，在这些采购方案中，哪种方案商店获利最高？ 5．（25-26八年级下·广东梅州·期中）综合与实践： 【背景】夏季来临之际，某电器商城想通过市场调研了解如何采购电风扇才能获取最大销售利润． 【素材】素材1：市场畅销的某品牌电风扇有两个型号，其中A型号的进价为140元，B型号的进价为120元； 素材2：该电器商城准备用不超过7830元的金额采购这两种型号的电风扇共60台； 素材3：该电器商城在销售过程中发现：销售2台A型号电风扇和1台B型号电风扇，共获得销售收入510元；销售3台A型号电风扇和2台B型号电风扇，共获得销售收入840元； 【任务】 (1)求A，B两种型号的电风扇的销售单价； (2)求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ (3)该电器商城销售完这60台电风扇能否实现利润超过2080元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 题型四一元一次不等式组应用---几何图形问题 1. 审题意：明确图形类型、已知几何条件、题目对边长 / 周长 / 面积 / 角度的取值限制； 2. 设未知数：将核心未知量（边长、高、角度等）设为 x，用含 x 的代数式表示相关几何量； 3. 找不等关系：结合图形固有性质（如三角形三边关系）、题目取值限制，拆解所有不等关系； 4. 列不等式组：根据每条不等关系，列出不等式组； 5. 解不等式组：分别求解每个不等式，取解集的公共部分，得到 x 的取值范围；6. 定最终解：结合几何实际意义（边长 / 角度为正等），验证并确定符合要求的最终解。 1．用长为40m的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度AC＝30m，要使靠墙的一边长不小于25rn，那么与墙垂直的一边长x（m）的取值范围为（　　） A．0≤x≤5 B． C． D． 2．如图，“开心”农场准备用50m的护栏围成一块靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为a（m），宽为b（m），受场地条件的限制，已知a的取值范围为18≤a≤26，那么b的取值范围是 　 　． 3．（2024春·河南南阳·八年级统考期中）如图，“开心”农场准备用的护栏围成一块靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为，宽为． (1)写出用表示的式子______．当时，求的值； (2)受场地条件的限制，的取值范围为，求的取值范围． 4．（2024春·吉林·八年级统考期末）王聪和张明分别要把两块边长都为60cm的正方形薄钢片制作成两个无盖的长方形盒子(不计粘合部分)． （1）王聪首先在薄钢片的四个角截去边长为10cm的四个相同的小正方形(如图①)，然后把四边折合粘在一起，便得到甲种盒子，则甲种盒子的底面边长为 cm． （2）张明截去两角后(如图②)，沿虚线折合粘在一起，便得到乙种盒子(如图③)．已知乙种盒子底面的长AB是宽BC的2倍，求乙种盒子底面的长和宽． （3）现将一定量的水注入甲种盒子，当甲种盒子注水高度至少为多少时，再倒入乙种盒子后可以将乙种盒子注满． 题型五一元一次不等式组应用---盈不足问题 1. 审题意：明确分配的物品、分配对象，梳理 “盈（有剩余）”“不足（不够分）” 的核心数量条件； 2. 设未知数：将分配对象的数量（如人数、房间数、车辆数）设为 x，用含 x 的代数式表示物品总数量； 3. 找不等关系：根据 “盈” 的条件列 “总数量＞最低需求”，根据 “不足” 的条件列 “总数量＜最高需求”，拆解两组核心不等关系； 4. 列不等式组：根据两组不等关系，列出不等式组； 5. 解不等式组：分别求解每个不等式，取解集的公共部分，得到 x 的取值范围；6. 定最终解：结合 x 为正整数的实际意义，验证并确定符合要求的最终解，可反向验算物品数量是否符合盈、不足条件。 1．（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）春雨中学九年级（1）班和九年级（2）班的同学外出参观，将两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人．则预定每组学生有 人． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）把一些书分给几名同学，如果每人分5本，那么余6本；如果前面的每名同学分7本，那么最后一人可分到书但不足3本．这些书共有 本． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是 ，小朋友的人数是 ． 4．（2023春•雁塔区校级月考）某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余10人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，该班住宿生有 　　 人． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）为筹备元旦联欢会，张老师想在网上商城购买巧克力分发给全班同学．他购买了5包颗数相同的巧克力，计划每人分20颗，这样会剩余80颗．后来因为网店存货不足，所以少买了2包，于是改成每人分14颗，当分到最后一名同学时，发现只有这名同学拿不到14颗，但是至少拿到7颗．全班至少有多少人？至多有多少人？ 题型六 一元一次不等式组应用---商品销售问题 1. 设未知数：将核心未知量（如购进 A 商品数量、销售单价）设为字母 x； 2. 梳多组限制：梳理题目中多个限制条件； 3. 列不等式组：针对每个限制条件，分别列出一元一次不等式，组成不等式组；4. 解不等式组：分别求解每个不等式，取交集得到 x 的取值范围； 5. 定最终解：结合商品数量、售价为正数的实际意义，确定符合要求的解。 1．（24-25八年级下·广东深圳·期中）某水果店要购进苹果和香蕉两种水果，苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克．已知购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克．如果购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购买这两种水果的总费用少于500元，设购买苹果的质量为x千克，依题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组（　　） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）为创建“文明校园”，琥珀中学学生会计划购买、两种分类垃圾桶，用于校园垃圾分类宣传活动．已知购买个种垃圾桶和个种垃圾桶共需元；购买个种垃圾桶和个种垃圾桶共需元． (1)求、两种垃圾桶每个的单价分别是多少元？ (2)学生会计划购买、两种垃圾桶共个，且总费用不超过元，且购买的种垃圾桶数量不少于种垃圾桶数量的．请问共有几种购买方案，最省钱方案的费用是多少？ 4．（25-26七年级下·上海闵行·期中）某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 2 5 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于20万元，问工厂有哪几种生产方案？ (2)在（1）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润． 5．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）第十五届体育节到来之际，学校计划购买篮球和排球共60个，其中篮球每个120元，排球每个80元，购买总费用不超过5680元，且篮球数量不少于排球数量的一半． (1)设购买篮球个，写出应满足的不等式组； (2)求出符合条件的所有购买方案，并指出哪种方案总费用最低． 题型七 一元一次不等式组应用---分段计费问题 1.审清计费规则：明确题目中分段计费的节点、各区间的计费单价、是否有保底消费 / 起步价等核心规则； 2.设未知数：将核心未知量（如用水量、用电量、行驶里程、总费用）设为字母 x，明确 x 的实际意义； 3.分段列代数式：根据计费节点，分不同区间用含 x 的代数式表示总费用，梳理每个区间对应的 x 取值范围； 4.列不等式组：结合题目限定条件，针对对应区间列出一元一次不等式，组成不等式组； 5. 解不等式组：得到 x 的最终取值范围； 6. 定最终解：结合 x 的实际意义（如用量为正数、费用为正），验证并确定符合题目要求的最终解，必要时可代入原规则验算结果是否正确。 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____． 2．（24-25七年级下·山东临沂·期末）某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围________． 3．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在我们的生活中，经常见到共享自助洗车．它的收费标准如下：洗车13分钟内（包括13分钟）收费6元，超出后加收元/分钟，不足一分钟按一分钟计算．某同学的爸爸洗车花费了元，请你写出洗车的时间的范围（单位：分钟）________． 4.大连地铁票收费标准如下： 不超过6km, 2元/人次; 超过6km到12km (含) , 3元/人次; 超过12km到18km (含) , 4元/人次; 超过18km到26km(含) , 5元/人次; 超过26km到34km(含) , 6元/人次; 超过34km到44km(含) , 7元/人次; 超过44km到54km(含) , 8元/人次; 超过54km部分，票价每增加1元可再乘坐15km. 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了10元，设他乘坐地铁的里程为 xkm.用不等式表示x的范围为      . 5．（2026七年级下·江苏·专题练习）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 题型八 一元一次不等式组应用---方案选择问题 1. 设未知数：将方案核心变量设为字母 x； 2. 列不等式组：根据题目中的多个限制条件，列出一元一次不等式组； 3. 解不等式组：求解得到 x 的取值范围，结合实际意义列举出所有可行方案；4. 算方案成本 / 利润：根据题目中的成本、利润公式，分别计算每个可行方案的总费用 / 总利润； 5. 选最优方案：对比所有方案的计算结果，选出最省钱 / 利润最高的最优方案，并验证是否符合所有限制条件。 1．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）某水果店计划在春节购进杨梅、龙眼两种水果．已知购进杨梅斤，龙眼斤共需元；购进杨梅斤，龙眼斤共需元． (1)杨梅、龙眼每斤的价格分别是多少元？ (2)该水果店计划用不超过元购进杨梅、龙眼共斤，且杨梅的斤数不超过龙眼斤数的倍．若杨梅的购进斤数为整数，则共有多少种进货方案？（不需要一一列出） 2．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）某服装厂设计了甲、乙两种款式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完利润不低于166500元，请通过计算设计该工厂所有可能的生产方案． 3．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）初一年级倡导书目为《我们仨》和《围城》．已知购买3本《我们仨》4本《围城》共需160元．购进2本《我们仨》和1本《围城》共需65元． (1)购买一本《我们仨》和一本《围城》各需多少钱？ (2)冰莹图书馆为方便学生借阅，计划购进两种书籍共100本，且总费用不超过2345元，预计购进《我们仨》的数量不超过《围城》数量的，有哪几种购买方案？ 4．（25-26八年级下·江西景德镇·期中）近年来景德镇旅游业市场迅猛增长，为了缓解景德镇自驾游停车难的问题，某企业计划新建A和B两种类型的停车场．已知新建1个A型停车场和2个B型停车场需要800万元；新建2个A型停车场和1个B型停车场需要700万元． (1)该企业新建1个A型停车场和1个B型停车场各需多少万元？ (2)若该公司计划用不超过3200万元的资金新建15座停车场，且A型停车场的数量不少于B型停车场数量的2倍（B型停车场数量），则共有几种建造方案？并列出所有方案． 5．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）为保障八年级研学旅行顺利开展，学校计划租用、两种型号的新能源客车共13辆，用于接送师生往返研学基地．两种客车的载客量、日租金如表： 车型 载客量（人/辆） 日租金（元/辆） 型客车 55 2000 型客车 19 1000 学校要求：租车总费用不超过25000元． (1)最多能租用型客车多少辆？ (2)若八年级师生共600人，且所有师生都有座位，请写出所有的租车方案，并确定最省钱的租车方案． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题05 一元一次不等式（组）实际应用问题 题型一 一元一次不等式应用---球场积分问题 1. 设未知数：将核心未知量（如胜场数、平场数）设为字母 x； 2. 找等量关系：根据球赛 / 竞赛积分规则，用含 x 的代数式表示总积分； 3. 列不等式：结合题目限定条件，列出一元一次不等式； 4. 解不等式：按照不等式运算法则求解，得到 x 的取值范围； 5. 定最终解：结合场次为非负整数的实际意义，确定符合要求的最终解。 1．（23-24七年级下·新疆和田·期末）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分，某队在14场比赛中至少要得20分．请问这个队胜场数至少为（   ） A．4场 B．6场 C．7场 D．9场 【答案】B 【分析】设这个队胜场，则负场，根据得分范围列出一元一次不等式即可求解． 【详解】解：设这个队胜场，则负场， 由题意得，， 解得， ∴这个队胜场数至少为6场． 2．某次知识竞赛共有20道题，答对一题得10分，答错或不答均扣5分，小玉得分超过95分，他至少要答对 道题． 【答案】14 【分析】根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得x的取值范围，由于x是整数，从而可以解答本题． 【详解】解：设小玉答对了x道题， 解得， ∴小玉至少答对14道， 故答案为：14． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的一元一次不等式． 3．（25-26八年级下·山东青岛·期中）某校举行“学以致用，数你最行”数学知识抢答赛，规则如下：每位选手有基础分20分，需回答20道题，每答对一道题得4分，每答错或不答一道题扣2分．在这次抢答赛中，八年级1班代表队被评为优秀（88分或88分以上），则这个队至少答对了______道题． 【答案】18 【分析】设这个队答对了道题，则答错或不答道题，根据总得分基础分答对的题目数答错或不答的题目数，结合总得分不低于分，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】解：设这个队答对了道题，则答错或不答道题， 根据题意得： ， 展开整理得 解得 的最小值为，即这个队至少答对了道题． 4．（2026·江苏泰州·一模）甲、乙两队进行了场足球对抗赛，比赛规则规定每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分． (1)若甲队负了场，则甲队的得分能否为分？请说明理由； (2)若乙队保持不败，得分超过分，求乙队至少胜了多少场？ 【答案】(1)不能，理由见解析 (2)场 【分析】（1）设甲胜场，则平场，根据得分列方程求出，根据为非负整数，即可得出答案； （2）设乙胜了场，根据乙队保持不败，得分超过分，列不等式，求出，即可得答案． 【详解】（1）解：设甲队胜了场， ∵甲队负了场， ∴平的场次为场， ∵胜一场得分，平一场得分，负一场得分， ∴， 解得：， ∵为非负整数， ∴甲队的得分不能为分． （2）解：设乙胜了场， ∵乙队保持不败， ∴平的场次为场， ∴， 解得：． ∴至少胜5场． 5．（2024春·山西临汾·八年级校联考期中）某电视台组织学习党史知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，答对一题得5分，可以选择不答，下表记录的是3名参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 不答题数 答错题数 得分 A 19 0 1 94 B 18 1 1 91 C 18 2 0 94 （1）由表格知，不答一题得______分，答错一题扣______分． （2）某参赛者D答错题数比不答题数的2倍多1题，最后得分为64分，他答对几道题？ （3）在前10道题中，参赛者E答对8题，1题放弃不答，1题答错，则后面10题中，至少要答对几题才有可能使最后得分不低于79分？为什么？ 【答案】（1）2，1；（2）13道；（3）6道，理由见解析 【分析】（1）根据C和A的数据求解即可； （2）设该选手不答题数为，列出方程求解即可； （3）设后10道题答对道题，列出不等式计算即可； 【详解】解：（1）由C可知，不答一题的得分为：， 由A可知，答错一题的得分为：； 故答案是：2，1； （2）设该选手不答题数为， ∴则答错题数为， ∴答对题数为道， ， 解得：， ∴答对题数； （3）前10道题得分为：分， 设后10道题答对道题， 则，， 解得：， ∴至少要答对6题才有可能使最后得分不低于79分． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用和一元一次不等式的应用，准确计算是解题的关键． 题型二 一元一次不等式应用---商品销售问题 1. 设未知数：将核心未知量（如商品定价、销量、折扣数）设为字母 x； 2. 梳核心公式：明确利润 =（售价 - 进价）× 销量、利润率 = 利润 ÷ 进价 ×100%、折后售价 = 原价 × 折扣数等核心公式； 3. 列不等式：结合题目限定条件，列出一元一次不等式； 4. 解不等式：按照不等式运算法则求解，得到 x 的取值范围； 5. 定最终解：结合售价、销量为正数的实际意义，确定符合要求的最终解。 1．（2026·山东菏泽·一模）某商场计划从厂家购进甲、乙、丙三种型号的电冰箱共80台，其中甲种电冰箱的台数是丙种的2倍，甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价分别是每台1200元、1600元、2000元，要求总金额不超过119000元．则商场至少购进丙种电冰箱的台数为（   ） A．20台 B．21台 C．22台 D．23台 【答案】D 【分析】设商场购进丙种电冰箱台，根据数量关系表示出甲、乙两种电冰箱的台数，再根据总金额的限制列出不等式，求解后取符合要求的最小正整数即可． 【详解】解：设商场购进丙种电冰箱台，则购进甲种电冰箱台，购进乙种电冰箱台， 根据题意，得， 解得， ∵为正整数， ∴的最小值为， 即商场至少购进丙种电冰箱23台． 2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）小知和同学利用暑假勤工俭学，以每件元的价格购进了一批哪吒主题的卫衣，标价为每件元，为了尽快出售，小知准备打折销售，但要使利润率不低于，则至多可以打__________折． 【答案】八 【详解】解：设该卫衣打折销售， 依题意得， 解得， 即至多可以打八折． 3．（25-26七年级下·河南周口·期中）某文具店售卖笔记本和中性笔，已知购买3本笔记本和2支中性笔共需22元；购买2本笔记本和3支中性笔共需18元． (1)求每本笔记本和每支中性笔的单价； (2)若计划一次性购买两种文具共40件，总费用不超过200元，求最多可购买笔记本多少本？ 【答案】(1)笔记本6元，中性笔2元 (2)最多购买30本 【分析】（1）设笔记本x元/本，中性笔y元/支，列二元一次方程组求解即可； （2）设购买笔记本m本，列一元一次不等式，取最大正整数解即可． 【详解】（1）解：设笔记本x元/本，中性笔y元/支， 则，解得：， 答：笔记本6元，中性笔2元； （2）解：设购买笔记本m本，则购买中性笔支， 则， 解得：， 为整数， 的最大取值为， 答：最多可购买笔记本本． 4．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）近年来，我国人形机器人不断取得新的突破，许多中学生也在心中种下了一个科技梦．某玩具店有A，B两款热销的机器人玩具，若购买1个A款机器人玩具和2个B款机器人玩具共花费280元，购买2个A款机器人玩具比购买1个B款机器人玩具多花费160元． (1)求A，B两款机器人玩具的单价； (2)某机器人社团计划购买A，B两款机器人玩具共14个（两款都购买），恰逢该玩具店周年店庆，A款机器人玩具打八折，B款机器人玩具打九折．若预算不超过1200元，则最多购买A款机器人玩具多少个？ 【答案】(1)A款单价为120元，B款单价为80元． (2)最多购买8个A款机器人玩具 【分析】（1）设A款机器人玩具的单价为元，B款机器人玩具的单价为元，根据题意列二元一次方程组，据此求解即可； （2）设购买A款机器人玩具个，根据题意列出不等式，据此求解即可． 【详解】（1）解：设A款机器人玩具的单价为元，B款机器人玩具的单价为元， 根据题意，得方程组：， 解得， 答：所以A款单价为120元，B款单价为80元； （2）解：设购买A款机器人玩具个， 打折后单价：A款元；B款元； 根据题意得， 解得， 答：最多购买8个A款机器人玩具． 5．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）德强学校社会实践活动丰富多彩，知行合一育人用心，让学生在实践中成长、在体验中收获．在刚刚结束的寒假社会实践中，七年级某班爱心义卖摆摊销售A，B两种商品，其进价和售价如下表： 进价/元 售价/元 A 2 3.5 B 2.5 4.5 (1)该班第一次用350元购进A，B两种商品，销售完后，共获利275元，第一次购进A，B两种商品各多少件？ (2)若该班第二次共购进A，B两种商品250件，在进价和售价均不变的情况下，要使售完所有商品的利润不低于400元，则至少需要购进B种商品多少件？ 【答案】(1)第一次购进A商品50件，B商品100件 (2)至少需要购进B种商品50件 【分析】（1）根据总进价和总利润的两个等量关系，设未知数列出二元一次方程组，求解得到两种商品的购进件数； （2）设购进B商品的件数，根据总利润不低于400元列出一元一次不等式，求解得到B商品的最小购进件数． 【详解】（1）解：设第一次购进A商品件，购进B商品件， A商品单件利润为 (元)，B商品单件利润为 (元)， 根据题意可得， 解得 ， 答：第一次购进A商品50件，B商品100件； （2）解：设购进B商品件，则购进A商品件， 根据题意列不等式得 ， 整理得， 解得， 答：至少需要购进B种商品50件． 题型三一元一次不等式应用---方案问题 1. 设未知数：将方案核心变量设为字母 x； 2. 找限制条件：梳理题目中关于总费用、总数量、总载重等核心限制要求； 3. 列不等式：根据核心限制条件，列出一元一次不等式； 4. 解不等式：求解得到 x 的取值范围； 5. 定可行方案：结合 x 为正整数的实际意义，列举出所有符合条件的可行方案。 1．（25-26八年级下·广东深圳·期中）根据以下素材，探究完成任务． 背景 红岭教育集团为了奖励竞赛中表现突出的学生，董老师提前在线 上平台购买了笔袋与书签等文创品作为奖品． 素材一 线上平台无促销活动，若买6个笔袋和10个书签共需210元； 若买12个笔袋和12个书签共需324元． 素材二 2026年线上平台促销活动信息如下：方式一：购买48元会员卡后所有商品打8折；方式二：非会员所有商品打9折． 解决问题： (1)任务一：线上平台在无促销活动时，求笔袋和书签的销售单价各是多少元？ (2)任务二：董老师计划在促销期间购买笔袋和书签共35个，其中购买笔袋m个（），若董老师按方式一购买，共需____________元；若董老师按方式二购买，共需____________元．（均用含m的代数式表示） (3)任务三：请你帮董老师算一算，在任务二的条件下，购买笔袋的数量在什么范围内时，选择方式一更划算？ 【答案】(1)笔袋的销售单价是15元，书签的销售单价是12元 (2) (3)在任务二的条件下，购买笔袋的数量时，选择方式一更划算 【分析】（1）设线上平台在无促销活动时，笔袋的销售单价是x元，书签的销售单价是y元，根据题意列方程组计算即可； （2）由题意可知购买笔袋m个，则购买书签个，再根据购买方式列代数式即可； （3）根据题意列不等式计算即可． 【详解】（1）解：任务一：设线上平台在无促销活动时，笔袋的销售单价是x元，书签的销售单价是y元，根据题意得： ， ． 答：线上平台在无促销活动时，笔袋的销售单价是15元，书签的销售单价是12元； （2）解：任务二：根据题意得：若董老师按方式一购买，共需（元）； 若董老师按方式二购买，共需（元）； （3）解：任务三：根据题意得：， 解得：， 又， ． 答：在任务二的条件下，购买笔袋的数量时，选择方式一更划算． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）为加大污水处理量，某治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格与月处理污水量如下表： A型 B型 价格（万元/台） x y 处理污水量（吨/月） 240 200 经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元． (1)求x、y的值； (2)如果治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，求该治污公司有哪几种购买方案． 【答案】(1) (2)有3种购买方案，方案1：购买10台B型设备，方案2：购买1台A型设备，9台B型设备，方案3：购买2台A型设备，8台B型设备 【分析】（1）根据购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买m台A型设备，根据治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，列出不等式，进行求解即可． 【详解】（1）解：依题意得，解得； （2）解：设购买m台A型设备，则购买台B型设备， 依题意，解得． ∵m为非负整数， ∴m可以为0，1，2， ∴该治污公司有3种购买方案，方案1：购买10台B型设备；方案2：购买1台A型设备，9台B型设备；方案3：购买2台A型设备，8台B型设备． 3．（25-26七年级下·河南南阳·期中）为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我县某村出产的甲、乙两种猕猴桃．已知2箱甲种猕猴桃和3箱乙种猕猴桃的售价之和为460元；5箱甲种猕猴桃和2箱乙种猕猴桃的售价之和为600元． (1)求甲、乙两种猕猴桃每箱的售价； (2)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种猕猴桃共20箱，总花费不超过1800元，且乙种猕猴桃的箱数不少于8箱．该公司有哪几种购买方案？ 【答案】(1)甲种猕猴桃每箱80元，乙种猕猴桃每箱100元 (2)共有三种：①购买甲种猕猴桃12箱，乙种猕猴桃8箱；②购买甲种猕猴桃11箱，乙种猕猴桃9箱；③购买甲种猕猴桃10箱，乙种猕猴桃10箱 【分析】（1）设甲种猕猴桃每箱元，乙种猕猴桃每箱元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，然后求解即可得出答案． （2）设该合作社购买乙种猕猴桃箱，则购买的甲种猕猴桃为箱，根据题意列出关于m的一元一次不等式，求出m的取值范围，进而可求出答案． 【详解】（1）解：设甲种猕猴桃每箱元，乙种猕猴桃每箱元， 依题意，得， 解得 答：甲种猕猴桃每箱80元，乙种猕猴桃每箱100元； （2）解∶设该合作社购买乙种猕猴桃箱，则购买的甲种猕猴桃为箱， 依题意，得， 解这个不等式得，． 又因为，所以， 因为为整数，所以的取值为8，9，10． 当时，； 当时，； 当时，， 该公司购买甲、乙两种猕猴桃的方案共有三种： ①购买甲种猕猴桃12箱，乙种猕猴桃8箱； ②购买甲种猕猴桃11箱，乙种猕猴桃9箱； ③购买甲种猕猴桃10箱，乙种猕猴桃10箱. 4．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某纪念品商店购进若干亚运会徽章和钥匙扣．已知徽章的进价为5元/个，吉祥物钥匙扣的进价为18元/个，如图表是近两周的销售情况．该纪念品商店准备用不超过770元的金额再采购徽章和钥匙扣共50个． 销售时段 徽章（个） 钥匙扣（个） 销售收入（元） 第一周 4 3 130 第二周 5 5 200 （进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本） (1)请尝试求出亚运会徽章、钥匙扣的销售单价 (2)该商店至少采购徽章多少个？ (3)帮助该纪念品商店设计采购方案，使这50个纪念品利润不低于516元，在这些采购方案中，哪种方案商店获利最高？ 【答案】(1)亚运会徽章销售单价为10元，钥匙扣的销售单价为30元. (2)该商店至少采购徽章10个； (3)共有三种采购方案：①采购徽章10个，钥匙扣40个；②采购徽章11个，钥匙扣39个；③采购徽章12个，钥匙扣38个。其中，采购10个徽章，40个钥匙扣时，商店获利最高 【分析】（1）根据题意，亚运会徽章销售单价为x元，钥匙扣的销售单价为y元,由徽章收入+钥匙扣收入=销售总收入列出方程组求解即可； （2）根据题意，由徽章进货费用+钥匙扣进货费用不超过770列不等式求解即可； （3）根据题意，由利润＝单件利润×数量列不等式求解即可． 【详解】（1）解：亚运会徽章销售单价为x元，钥匙扣的销售单价为y元, 根据题意，得， 解得， 答：亚运会徽章销售单价为10元，钥匙扣的销售单价为30元； （2）解：设该商店采购徽章a个，则采购钥匙扣个， 根据题意，得， 解得， 答：该商店至少采购徽章10个； （3）解：根据题意，得， 解得， ∵，且a为正整数， ∴a可以为10，11，12， 当时，总利润为（元）； 当时，总利润为（元）； 当时，总利润为（元）， ∵， ∴共有三种采购方案：①采购徽章10个，钥匙扣40个；②采购徽章11个，钥匙扣39个；③采购徽章12个，钥匙扣38个。其中，采购10个徽章，40个钥匙扣时，商店获利最高． 5．（25-26八年级下·广东梅州·期中）综合与实践： 【背景】夏季来临之际，某电器商城想通过市场调研了解如何采购电风扇才能获取最大销售利润． 【素材】素材1：市场畅销的某品牌电风扇有两个型号，其中A型号的进价为140元，B型号的进价为120元； 素材2：该电器商城准备用不超过7830元的金额采购这两种型号的电风扇共60台； 素材3：该电器商城在销售过程中发现：销售2台A型号电风扇和1台B型号电风扇，共获得销售收入510元；销售3台A型号电风扇和2台B型号电风扇，共获得销售收入840元； 【任务】 (1)求A，B两种型号的电风扇的销售单价； (2)求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ (3)该电器商城销售完这60台电风扇能否实现利润超过2080元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)A型号电风扇销售单价为180元，B型号电风扇销售单价为150元 (2)A种型号的电风扇最多能采购31台 (3)能实现利润超过2080元的目标，采购方案为：方案一：采购A型号29台，B型号31台；方案二：采购A型号30台，B型号30台；方案三：采购A型号31台，B型号29台 【分析】（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据题目给出的两组销售收入条件列二元一次方程组，解方程组即可得到结果； （2）设采购A种型号电风扇m台，根据总采购金额不超过7830元列一元一次不等式，结合m为非负整数即可求出m的最大值； （3）根据利润超过2080元的要求列不等式，结合第二问得到的m的取值范围，找出所有符合条件的正整数m，即可得到对应的采购方案． 【详解】（1）解：设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为元、元． 根据题意可得 ， 解得 ， 答：A型号电风扇销售单价为180元，B型号电风扇销售单价为150元； （2）解：设A种型号电风扇采购台，则B种型号电风扇采购台． 根据题意可得 ， 化简得， 解得， 因为为非负整数， 所以的最大值为31． 答：A种型号的电风扇最多能采购31台． （3）解：∵要使利润超过2080元， ∴， 化简得，， 解得， 由（2）可知，且为正整数， 因此可取29，30，31． 当时，， 当时，， 当时，， 因此该电器商城销售完这60台电风扇能实现利润超过2080元的目标， 对应的采购方案为：方案一：采购A型号电风扇29台，B型号电风扇31台；方案二：采购A型号电风扇30台，B型号电风扇30台；方案三：采购A型号电风扇31台，B型号电风扇29台． 题型四一元一次不等式组应用---几何图形问题 1. 审题意：明确图形类型、已知几何条件、题目对边长 / 周长 / 面积 / 角度的取值限制； 2. 设未知数：将核心未知量（边长、高、角度等）设为 x，用含 x 的代数式表示相关几何量； 3. 找不等关系：结合图形固有性质（如三角形三边关系）、题目取值限制，拆解所有不等关系； 4. 列不等式组：根据每条不等关系，列出不等式组； 5. 解不等式组：分别求解每个不等式，取解集的公共部分，得到 x 的取值范围；6. 定最终解：结合几何实际意义（边长 / 角度为正等），验证并确定符合要求的最终解。 1．用长为40m的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度AC＝30m，要使靠墙的一边长不小于25rn，那么与墙垂直的一边长x（m）的取值范围为（　　） A．0≤x≤5 B． C． D． 【答案】D． 【分析】由垂直于墙的一边长为xm知AC＝（40﹣3x）m，再根据“靠墙的一边长不小于25m且不超过30m”列出关于x的不等式组，解之即可． 【解答】解：垂直于墙的一边长为xm， 则AC＝（40﹣3x）m， 根据题意，得：25≤40﹣3x≤30， 解得x≤5， 故选：D． 【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，解题的关键是根据题意确定其中蕴含的不等关系． 2．如图，“开心”农场准备用50m的护栏围成一块靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为a（m），宽为b（m），受场地条件的限制，已知a的取值范围为18≤a≤26，那么b的取值范围是 　 　． 【答案】12≤b≤16． 【分析】由a的取值范围结合a＝50﹣2b，即可得出关于b的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【解答】解：∵18≤a≤26，a＝50﹣2b， ∴， 解得：12≤b≤16． 即b的取值范围为12≤b≤16， 故答案为：12≤b≤16． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 3．（2024春·河南南阳·八年级统考期中）如图，“开心”农场准备用的护栏围成一块靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为，宽为． (1)写出用表示的式子______．当时，求的值； (2)受场地条件的限制，的取值范围为，求的取值范围． 【答案】(1)a=50-2b，15． (2) 【分析】（1）根据等量关系“围栏的长度为50”可以列出代数式，再将a=20代入所列式子中求出b的值即可； （2）由（1）可得a、b之间的关系式，再用含有b的式子表示a，然后再结合，列出关于b的不等式组，解不等式组求出b的取值范围即可． 【详解】（1）解：由题意得，即a=50-2b 当时，．解得． （2）解：∵，， ∴ 解这个不等式组得：． 答：矩形花园宽的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了列代数式、代数式求值、解不等式组等知识点，审清题意、正确列出不等式组是解答本题的关键． 4．（2024春·吉林·八年级统考期末）王聪和张明分别要把两块边长都为60cm的正方形薄钢片制作成两个无盖的长方形盒子(不计粘合部分)． （1）王聪首先在薄钢片的四个角截去边长为10cm的四个相同的小正方形(如图①)，然后把四边折合粘在一起，便得到甲种盒子，则甲种盒子的底面边长为 cm． （2）张明截去两角后(如图②)，沿虚线折合粘在一起，便得到乙种盒子(如图③)．已知乙种盒子底面的长AB是宽BC的2倍，求乙种盒子底面的长和宽． （3）现将一定量的水注入甲种盒子，当甲种盒子注水高度至少为多少时，再倒入乙种盒子后可以将乙种盒子注满． 【答案】（1）40；（2）乙种盒子底面的长为20cm，宽为10cm；（3）5cm． 【分析】（1）根据王聪首先在薄钢片的四个角截去边长为10cm的四个相同的小正方形（如图①），可得甲种盒子底面边长是60-20=40（cm）； （2）设乙种盒子底面的宽BC为xcm，则长AB为2xcm，根据原边长是60cm，结合图形得方程2x+2y=60，解方程即可求解； （3）设当甲种盒子注水高度为ycm时倒入乙种盒子，可将乙种盒子注满，列出不等式40×40y≥20×10×40即可求解． 【详解】解：（1）60-20=40（cm）； 故答案为：40； （2）设乙种盒子底面的宽为xcm，则盒子底面的长为2xcm，依题意有 2x+x+2x+x=60， 解得x=10， 则2x=20． 答：乙种盒子底面的长为20cm，宽为10cm； （3）设当甲种盒子注水高度为ycm时倒入乙种盒子，可将乙种盒子注满， 根据题意得40×40y≥20×10×40， 解得y≥5． 答：当甲种盒子的注水高度至少为5cm时，将水倒入乙种盒子后可以把乙种盒子注满水． 【点睛】考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，此题关键是能够结合图形正确发现等量关系，列出方程．熟悉长方体的体积公式：长方体的体积=长×宽×高． 题型五一元一次不等式组应用---盈不足问题 1. 审题意：明确分配的物品、分配对象，梳理 “盈（有剩余）”“不足（不够分）” 的核心数量条件； 2. 设未知数：将分配对象的数量（如人数、房间数、车辆数）设为 x，用含 x 的代数式表示物品总数量； 3. 找不等关系：根据 “盈” 的条件列 “总数量＞最低需求”，根据 “不足” 的条件列 “总数量＜最高需求”，拆解两组核心不等关系； 4. 列不等式组：根据两组不等关系，列出不等式组； 5. 解不等式组：分别求解每个不等式，取解集的公共部分，得到 x 的取值范围；6. 定最终解：结合 x 为正整数的实际意义，验证并确定符合要求的最终解，可反向验算物品数量是否符合盈、不足条件。 1．（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）春雨中学九年级（1）班和九年级（2）班的同学外出参观，将两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人．则预定每组学生有 人． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，根据题意列出不等式组是解题的关键． 设预定每组分配人，根据两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人，列出不等式方程组求解即可． 【详解】解：设预定每组分配人，根据题意可得： 解得： ∵为整数， ∴， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）把一些书分给几名同学，如果每人分5本，那么余6本；如果前面的每名同学分7本，那么最后一人可分到书但不足3本．这些书共有 本． 【答案】36 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，求一元一次不等式组的整数解，根据各数量关系正确列出不等式组是解题的关键．设共有名同学，可得图书共有本，再由每名同学分7本，那么最后一人就分不到3本，可列出不等式组，解出后并结合为正整数即可得到答案． 【详解】解：设共有名同学，则图书共有本， 由题意得， 解得：， 又为正整数， ， 当时， 故答案为：36． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是 ，小朋友的人数是 ． 【答案】 42 6 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确建立不等式组是解题关键．设有位小朋友，则这一箱苹果的个数是个，根据若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到，但不足5个苹果建立不等式组，求出不等式组的解集，再根据为正整数求解即可得． 【详解】解：设有位小朋友，则这一箱苹果的个数是个， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴， ∴， 即这一箱苹果的个数是42，小朋友的人数是6． 故答案为：42，6． 4．（2023春•雁塔区校级月考）某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余10人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，该班住宿生有 　　 人． 【答案】34或38． 【分析】设安排住宿的房间有x间，则学生有4x+10人，根据“每间住4人，则还余10人无宿舍住和；每间住6人，则有一间宿舍不空也不满”列不等式组解答即可． 【解答】解：设安排住宿的房间有x间，则学生有（4x+10）人， 根据题意得：， 解得：5.5≤x≤7.5， 又因为x只能取正整数， 所以x＝6或x＝7， 当x＝6时，4×6+10＝34（人）， 当x＝7时，4×7+10＝38（人）， 故答案为：34或38． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题目中的不等关系式正确列出一元一次不等式组是解决本题的关键． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）为筹备元旦联欢会，张老师想在网上商城购买巧克力分发给全班同学．他购买了5包颗数相同的巧克力，计划每人分20颗，这样会剩余80颗．后来因为网店存货不足，所以少买了2包，于是改成每人分14颗，当分到最后一名同学时，发现只有这名同学拿不到14颗，但是至少拿到7颗．全班至少有多少人？至多有多少人？ 【答案】全班至少有25人，至多有27人 【分析】本题考查的是二元一次方程与不等式组的应用，设全班有人，每包有颗巧克力，根据题意，得，再进一步解题即可． 【详解】解：设全班有人，每包有颗巧克力，根据题意，得 由①得：， 将代入②，得， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵是正整数， ∴全班至少有25人，至多有27人． 题型六 一元一次不等式组应用---商品销售问题 1. 设未知数：将核心未知量（如购进 A 商品数量、销售单价）设为字母 x； 2. 梳多组限制：梳理题目中多个限制条件； 3. 列不等式组：针对每个限制条件，分别列出一元一次不等式，组成不等式组；4. 解不等式组：分别求解每个不等式，取交集得到 x 的取值范围； 5. 定最终解：结合商品数量、售价为正数的实际意义，确定符合要求的解。 1．（24-25八年级下·广东深圳·期中）某水果店要购进苹果和香蕉两种水果，苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克．已知购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克．如果购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购买这两种水果的总费用少于500元，设购买苹果的质量为x千克，依题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的运用，理解数量关系，正确列式是关键． 设购买苹果的质量为x千克，则购买香蕉的质量千克，购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，购买这两种水果的总费用少于500元，由此列不等式组即可． 【详解】解：设购买苹果的质量为x千克，由购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克， ∴购买香蕉的质量千克， ∵购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克， ∴， ∵苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克，购买这两种水果的总费用少于500元， ∴， ∴可列不等式组为， 故选：A ． 2．（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，设购买篮球个，则购买足球个，根据购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．列不等式组即可． 【详解】解：设购买篮球个，则购买足球个， 根据题意：， 故选：C． 3．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）为创建“文明校园”，琥珀中学学生会计划购买、两种分类垃圾桶，用于校园垃圾分类宣传活动．已知购买个种垃圾桶和个种垃圾桶共需元；购买个种垃圾桶和个种垃圾桶共需元． (1)求、两种垃圾桶每个的单价分别是多少元？ (2)学生会计划购买、两种垃圾桶共个，且总费用不超过元，且购买的种垃圾桶数量不少于种垃圾桶数量的．请问共有几种购买方案，最省钱方案的费用是多少？ 【答案】(1)种垃圾桶每个元，种垃圾桶每个元 (2)共有种购买方案，最省钱方案费用为元 【分析】（1）列二元一次方程组，根据已知的购买数量和总价求出两种垃圾桶的单价； （2）列一元一次不等式组，确定购买数量的取值范围，然后判断最省钱方案． 【详解】（1）解：设种垃圾桶每个元，种垃圾桶每个元， 可得， 解得， 故种垃圾桶每个元，种垃圾桶每个元． （2）解：设购买种垃圾桶个，则购买种垃圾桶为个， 可得， 解得， ∵是正整数， ， ∴共有种购买方案， ∵种垃圾桶单价高于种垃圾桶， ∴当种垃圾桶的数量最少，即种垃圾桶个，种垃圾桶个时，总费用最低， ∴最省钱方案费用：（元）． 4．（25-26七年级下·上海闵行·期中）某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 2 5 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于20万元，问工厂有哪几种生产方案？ (2)在（1）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润． 【答案】(1)方案1：生产A产品2件，B产品8件；方案2：生产A产品3件，B产品7件；方案3：生产A产品4件，B产品6件 (2)生产A产品2件，B产品8件获利最大，最大利润为26万元 【分析】（1）设生产A种产品件，则生产B种产品件，根据“工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于20万元”列不等式组求解即可； （2）根据（1）中方案分别计算利润，比较即可； 【详解】（1）解：设生产A种产品件，则生产B种产品件（为非负整数）， 根据题意可得：， 解得：， ∵为整数， ∴， 对应三种生产方案：方案1：生产A产品2件，B产品8件； 方案2：生产A产品3件，B产品7件； 方案3：生产A产品4件，B产品6件； （2）解：方案1：总利润（万元）， 方案2：总利润（万元）， 方案3：总利润（万元）， ∵， ∴生产A产品2件，B产品8件获利最大，最大利润为26万元． 5．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）第十五届体育节到来之际，学校计划购买篮球和排球共60个，其中篮球每个120元，排球每个80元，购买总费用不超过5680元，且篮球数量不少于排球数量的一半． (1)设购买篮球个，写出应满足的不等式组； (2)求出符合条件的所有购买方案，并指出哪种方案总费用最低． 【答案】(1) (2)方案一：购买篮球20个，排球40个； 方案二：购买篮球21个，排球39个； 方案三：购买篮球22个，排球38个；方案一费用最低 【分析】本题考查一元一次不等式组的实际应用，能够将生活实际信息转化为数学信息为解题的关键． （1）根据题意即可求解； （2）根据（1）即可计算出，根据为正整数确定所有购买方案，最后计算出各方案的总费用即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ， （2）解：由（1）得，， 解不等式得，， 解不等式得，， 则， 由于为正整数，则有三种方案， 方案一：当时，，即购买篮球20个，排球40个，此时总费用为（元）； 方案二：当时，，即购买篮球21个，排球39个，此时总费用为（元）； 方案三：当时，，即购买篮球22个，排球38个，此时总费用为（元）； ， 方案一费用最低． 题型七 一元一次不等式组应用---分段计费问题 1.审清计费规则：明确题目中分段计费的节点、各区间的计费单价、是否有保底消费 / 起步价等核心规则； 2.设未知数：将核心未知量（如用水量、用电量、行驶里程、总费用）设为字母 x，明确 x 的实际意义； 3.分段列代数式：根据计费节点，分不同区间用含 x 的代数式表示总费用，梳理每个区间对应的 x 取值范围； 4.列不等式组：结合题目限定条件，针对对应区间列出一元一次不等式，组成不等式组； 5. 解不等式组：得到 x 的最终取值范围； 6. 定最终解：结合 x 的实际意义（如用量为正数、费用为正），验证并确定符合题目要求的最终解，必要时可代入原规则验算结果是否正确。 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 根据路程不变，由速度和时间的关系列出不等式组，解之即可得出行驶的平均速度的范围． 【详解】解：依题意得： 解得：． 故答案为：． 2．（24-25七年级下·山东临沂·期末）某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的应用，根据收费标准，超过32部分，每增加1元可再乘坐20，从而得出8元和9元最多乘坐的里程，进而得到x的范围即可． 【详解】解：由题意，7元可以最多乘坐：； 8元可以最多乘坐：； 9元可以最多乘坐：； ∴； 故答案为：． 3．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在我们的生活中，经常见到共享自助洗车．它的收费标准如下：洗车13分钟内（包括13分钟）收费6元，超出后加收元/分钟，不足一分钟按一分钟计算．某同学的爸爸洗车花费了元，请你写出洗车的时间的范围（单位：分钟）________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确列出不等式组是解题关键．先求出超过13分钟后，洗车的最长时间为7分钟，再根据不足一分钟按一分钟计算建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：由题意得：（分钟）， ∵不足一分钟按一分钟计算， ∴， 解得， 故答案为：． 4.大连地铁票收费标准如下： 不超过6km, 2元/人次; 超过6km到12km (含) , 3元/人次; 超过12km到18km (含) , 4元/人次; 超过18km到26km(含) , 5元/人次; 超过26km到34km(含) , 6元/人次; 超过34km到44km(含) , 7元/人次; 超过44km到54km(含) , 8元/人次; 超过54km部分，票价每增加1元可再乘坐15km. 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了10元，设他乘坐地铁的里程为 xkm.用不等式表示x的范围为      . 【答案】69<x≤84 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键.根据“超过54km部分，票价每增加1元可再乘坐15km”，结合一位乘客单次乘坐地铁购票花费了10元，即按里程计算超过9元且不超过10元，可列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围. 【详解】解：根据题意得： 解得: 69<x≤84. 故答案为: 69<x≤84. 5．（2026七年级下·江苏·专题练习）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【分析】（1 ）设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为，根据“7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围； （2 ）求出当7月份用水量是时的水费即可； （3 ）根据该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，可列出关于x的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为， 根据题意得：， 解得：． 答：x的取值范围为； （2）解：根据题意得： （元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元； （3）解：当时，水费差为， 令 解得：，不符合题意，舍去； 当时，， 解得：． 答：该居民7月份的用水量为． 题型八 一元一次不等式组应用---方案选择问题 1. 设未知数：将方案核心变量设为字母 x； 2. 列不等式组：根据题目中的多个限制条件，列出一元一次不等式组； 3. 解不等式组：求解得到 x 的取值范围，结合实际意义列举出所有可行方案；4. 算方案成本 / 利润：根据题目中的成本、利润公式，分别计算每个可行方案的总费用 / 总利润； 5. 选最优方案：对比所有方案的计算结果，选出最省钱 / 利润最高的最优方案，并验证是否符合所有限制条件。 1．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）某水果店计划在春节购进杨梅、龙眼两种水果．已知购进杨梅斤，龙眼斤共需元；购进杨梅斤，龙眼斤共需元． (1)杨梅、龙眼每斤的价格分别是多少元？ (2)该水果店计划用不超过元购进杨梅、龙眼共斤，且杨梅的斤数不超过龙眼斤数的倍．若杨梅的购进斤数为整数，则共有多少种进货方案？（不需要一一列出） 【答案】(1)杨梅每斤的价格是元，龙眼每斤的价格是元； (2)共有种进货方案． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题意，正确列出二元一次方程组或一元一次不等式组是解题的关键． （）设杨梅每斤的价格是元，龙眼每斤的价格是元，根据题意得，然后解方程组即可； （）设杨梅购进斤，则龙眼购进斤，由题意可得，然后解不等式组即可． 【详解】（1）解：设杨梅每斤的价格是元，龙眼每斤的价格是元， 根据题意，得，解得， 答：杨梅每斤的价格是元，龙眼每斤的价格是元； （2）解：设杨梅购进斤，则龙眼购进斤， 由题意，可得， 解得， ∵为整数， ∴共有种进货方案． 2．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）某服装厂设计了甲、乙两种款式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完利润不低于166500元，请通过计算设计该工厂所有可能的生产方案． 【答案】(1)可以生产甲款服装100件，乙款服装200件 (2)共有2种可能的生产方案，方案一：生产甲款服装334件，乙款服装166件；方案二：生产甲款服装335件，乙款服装165件 【分析】（1）设甲款服装x件，则乙款服装件，然后根据题意可得方程，进而求解即可； （2）设甲款服装m件，则乙款服装件，由题意可列出不等式组，进而求解即可． 【详解】（1）解：设甲款服装x件，则乙款服装件，由题意得： ， 解得：， ∴； 答：可以生产甲款服装100件，乙款服装200件． （2）解：设甲款服装m件，则乙款服装件，由题意得： ， 解得：， ∵m是正整数， ∴m的取值为334或335； 答：共有2种可能的生产方案，方案一：生产甲款服装334件，乙款服装166件；方案二：生产甲款服装335件，乙款服装165件． 3．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）初一年级倡导书目为《我们仨》和《围城》．已知购买3本《我们仨》4本《围城》共需160元．购进2本《我们仨》和1本《围城》共需65元． (1)购买一本《我们仨》和一本《围城》各需多少钱？ (2)冰莹图书馆为方便学生借阅，计划购进两种书籍共100本，且总费用不超过2345元，预计购进《我们仨》的数量不超过《围城》数量的，有哪几种购买方案？ 【答案】(1)20元；25元 (2)3种；方案见解析 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用； （1）设购买一本《我们仨》需元，购买一本《围城》需元，根据购买3本《我们仨》4本《围城》共需160元．购进2本《我们仨》和1本《围城》共需65元，再建立方程组解题即可； （2）设购买《我们仨》本，购买《围城》本，根据计划购进两种书籍共100本，且总费用不超过2345元，预计购进《我们仨》的数量不超过《围城》数量的，建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设购买一本《我们仨》需元，购买一本《围城》需元， 由题意得：， 解得：． 答：购买一本《我们仨》需元，购买一本《围城》需元． （2）解：设购买《我们仨》本，购买《围城》本， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴的值为、、， ∴有种购买方案： ①购买《我们仨》本，购买《围城》本； ②购买《我们仨》本，购买《围城》 本； ③购买《我们仨》本，购买《围城》本． 4．（25-26八年级下·江西景德镇·期中）近年来景德镇旅游业市场迅猛增长，为了缓解景德镇自驾游停车难的问题，某企业计划新建A和B两种类型的停车场．已知新建1个A型停车场和2个B型停车场需要800万元；新建2个A型停车场和1个B型停车场需要700万元． (1)该企业新建1个A型停车场和1个B型停车场各需多少万元？ (2)若该公司计划用不超过3200万元的资金新建15座停车场，且A型停车场的数量不少于B型停车场数量的2倍（B型停车场数量），则共有几种建造方案？并列出所有方案． 【答案】(1)新建1个A型停车场需要200万元，1个B型停车场需要300万元 (2)共有3种建造方案，方案1：该公司新建0个B型停车场，则新建15个A型停车场；方案2：该公司新建1个B型停车场，则新建14个A型停车场；方案3：该公司新建2个B型停车场，则新建13个A型停车场． 【分析】（1）设该公司新建1个A型停车场需要万元，一个B型停车场需万元，根据“新建1个A型停车场和2个B型停车场需要800万元；新建2个A型停车场和1个B型停车场需要700万元”列方程组求解即可； （2）设该公司新建个B型停车场，则新建个A型停车场，根据“该公司计划用不超过3200万元的资金新建15座停车场，且A型停车场的数量不少于B型停车场数量的2倍（B型停车场数量）”列方程组求出a的取值范围，进而得到a的取值，即可得到所有方案． 【详解】（1）解：设该公司新建1个A型停车场需要万元，一个B型停车场需万元， 根据题意得：， 解得：， 答：该公司新建1个A型停车场需要200万元，1个B型停车场需要300万元； （2）解：设该公司新建个B型停车场，则新建个A型停车场， 根据题意得：， 解得：， 又为非负整数， 可以为0，1，2， 共有3种建造方案， 方案1：该公司新建0个B型停车场，则新建15个A型停车场； 方案2：该公司新建1个B型停车场，则新建14个A型停车场； 方案3：该公司新建2个B型停车场，则新建13个A型停车场． 5．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）为保障八年级研学旅行顺利开展，学校计划租用、两种型号的新能源客车共13辆，用于接送师生往返研学基地．两种客车的载客量、日租金如表： 车型 载客量（人/辆） 日租金（元/辆） 型客车 55 2000 型客车 19 1000 学校要求：租车总费用不超过25000元． (1)最多能租用型客车多少辆？ (2)若八年级师生共600人，且所有师生都有座位，请写出所有的租车方案，并确定最省钱的租车方案． 【答案】(1)最多能租用A型客车12辆． (2)所有租车方案为：方案1：租用A型客车10辆，B型客车3辆；方案2：租用A型客车11辆，B型客车2辆；方案3：租用A型客车12辆，B型客车1辆． 最省钱的租车方案是租用A型客车10辆，B型客车3辆． 【分析】（1）设租用A型客车x辆，则租用B型客车辆，根据租车总费用不超过25000元建立不等式求解即可； （2）设租用A型客车m辆，则租用B型客车辆，根据租车总费用不超过25000元，总载客量不低于600建立不等式组求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：设租用A型客车x辆，则租用B型客车辆， 由题意得，， 解得， ∴x的最大值为12， 答：最多能租用A型客车12辆； （2）解：设租用A型客车m辆，则租用B型客车辆， 由题意得，， 解得， ∵m为整数， ∴m的值可以为10或11或12， 当时，， 当时，， 当时，， 所有租车方案为：方案1：租用A型客车10辆，B型客车3辆；方案2：租用A型客车11辆，B型客车2辆；方案3：租用A型客车12辆，B型客车1辆； ∵一辆A型客车的租金比一辆B型客车的租金多， ∴当A型客车数量最少时，最省钱， ∴租用A型客车10辆，B型客车3辆最省钱； 答：所有租车方案为：方案1：租用A型客车10辆，B型客车3辆；方案2：租用A型客车11辆，B型客车2辆；方案3：租用A型客车12辆，B型客车1辆． 最省钱的租车方案是租用A型客车10辆，B型客车3辆． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $