押题08 等腰三角形压轴题综合（期末预测20题）-2025-2026学年七年级数学下学期期末总复习押题预测（沪教版五四制）

**基本信息** 聚焦等腰三角形综合应用，以模型化方法体系整合全等构造、动态探究等核心解题技巧，逻辑链覆盖性质应用至压轴题变式。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |模型应用|6题（如一线三垂直、手拉手）|构造全等（倍长中线/旋转）、外角转化|从等腰性质到模型构建，形成“性质→模型→综合”递进| |动态探究|5题（动点/翻折）|方程思想、分类讨论|结合几何直观，建立“静态性质→动态变化”逻辑链| |开放探究|9题（结论探究/类比迁移）|特殊到一般推理、转化思想|通过变式训练，强化推理能力与模型意识|

押题08 等腰三角形压轴题综合（期末预测20题） 一、解答题 1．如图，在中，，，分别为，边上的点，连接，交于点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为边作，，，连接，为中点，连接，求证：； 为解答这个问题，小明所在的小组经过讨论已有部分思路： ①延长至点，使得，连接，通过证明推出； ②通过证明推出，则； …… 请你通过已有思路继续研究，并写出证明过程． (3)如图3，P为上一点，连接，H为中点，连接．分别为，上的点，连接，交于点，若，，请直接写出，与之间的数量关系． 2．如图，已知中，，，点为的中点．若两点分别从两点同时出发，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上以的速度由点向点运动，设运动时间为，回答下列问题： (1)当为何值时，在的垂直平分线上； (2)当为何值时，； (3)经过______秒后，为等腰三角形，且的周长为． 3．如图，和都是等腰三角形，，且，连接、． (1)如图1，当点在的内部时，求证：； (2)如图2，，且点落在边上．若为上的一点，且，求的周长； (3)如图3，在中，，是一个变化的角，以为边作等边，连接，试探究，随着的变化，的长度的取值范围？ 4．【问题探究】 如图1，和都是等腰直角三角形，直角顶点为，固定不动，绕着点旋转． 如图2，将绕点旋转，当点落在边上时，连接． (1)直接写出与的数量关系是__________，位置关系是__________； (2)探索，，之间的数量关系，并完整地证明你的结论： 【拓展应用】 (3)如图3，在中，，以为直角边，为直角顶点向外作等腰直角，连接，若，，求长． 5．【学习概念】 三角形一边的延长线与三角形另一边的夹角叫做三角形的外角．如图1中是的外角，那么与，之间有什么关系呢？ 分析：，， _____， 结论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． (1)【问题探究】 ①如图2，已知：，且，则_____； ②如图3，已知，且，当_____，①中的结论仍然成立； (2)【应用结论】 如图4，，，，，请说明：． (3)【拓展应用】 如图5，四边形，， ，，，，则的长为________． 6．综合与实践 【问题背景】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． (1)如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于点D，于点E，则与的数量关系是____； (2)如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，，，则的长为多少，请说明理由； (3)如图3，在等腰直角中，，，点D是延长线上一点，以A为直角顶点，线段为直角边向左侧作等腰直角，连接交于点F，求证：． 7．数学问题研究常遵循：特殊化探究→一般化推理→综合应用→深化探究的思考路径，请你据此思路回答以下问题．点在直线上，，点、为直线上的动点，且． 【特殊化探究】 (1)如图①，当时，猜想、、之间的数量关系为______； 【一般化推理】 (2)如图②，若为任意锐角或钝角，请问（1）中结论是否仍然成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； 【综合应用】 (3)如图③，是钝角，直线与的延长线交于点，若，的面积是，请用表示与的面积之和； 【深化探究】 (4)如图④，，为等边三角形，求与的数量关系和夹角度数． 8．如图1，已知，射线上有一定点，射线上有一动点，作四边形，使得，且． (1)如图1，当为锐角时， ①若，求的度数（用含的式子表示）； ②过点作于点，若，时，求的面积； (2)如图2，当时，连接交于点，请探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 9．在中，，，点D是边上一点，E为边上一个动点，将沿翻折后得到（点A的对应点为点）． (1)如图1，当点落在上方时，，，则 ；（用含x的代数式表示） (2)点落在上方，当的一边与平行时，求的度数．（用含α的代数式表示） (3)如图2，的延长线与交于点F，若，时，当面积最大时，求的面积． 10．育英中学“巅峰数学”兴趣小组对三角形全等模型展开探究． (1)初步探究：如图1，小华绘制的中，，，过点作直线，于，于，求证：； (2)探究升级：如图2，小丽绘制了另外一个，，，上取一点，连接，线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接交直线于．小丽说点必为线段的中点．你同意她的观点吗？请说明理由． (3)思维发散：在等腰直角三角形中，，，直线过点且，过点为一锐角顶点作，，且点在直线上（不与点重合），如图3，边与线段交于点，连接．试运用所学全等三角形的知识说明是等腰直角三角形． 11．《被数学选中的人》是央视推出的纪录片，节目中说道：“数学区别于其他学科，最主要的特征是抽象与推理．”几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象．形成一些基本的几何模型，用类比等方法，进行探究，推理，以解决新的问题． 【建立模型】 (1)如图1，为等边三角形，点在的延长线上，在的同侧以为边构造等边三角形，连接，交于点．则 ，判定依据为 ， ，并直接写出的度数 ． 【应用模型】 (2)如图2，点为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转60°得到线段，连接，若三点共线，求证：平分； (3)如图3，在Rt中，，，点是外一点，连接，，．当5，时，请直接写出四边形的面积． 12．【理解问题】 如图1，在和中，，，点A，D在底边的同侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形叫做美好等腰三角形．在美好等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，连接顶角顶点的线段叫做轴线．如图1中和是腰角，线段是轴线． (1)【拟定计划】 小颖通过测量、折纸的方法猜想美好等腰三角形有以下性质：美好等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边．小颖利用图1给出如下已知、求证，请帮助小颖完成证明． 已知：如图1，和是美好等腰三角形，连接．求证：，所在直线是线段的垂直平分线． (2)【实施计划】 如图2，在中，，点D在上，，，垂足为E，的延长线与交于点F，点G在线段上，且，连接．求证：和是美好等腰三角形． (3)【回顾反思】①小颖反思证明思路，在图2的基础上继续探究：分别连接，若，请直接写出的度数． ②参考小颖的问题尝试提出一个新的问题（不用解答）． 13．【阅读材料】 如图1，点，分别在的两条边上，若和的角平分线交于点，则平分． 【数学思考】 利用上述材料的结论解决下列问题： 如图2，在等边中，点在边的延长线上，，点在射线上（点不与点重合），平分交射线于点． (1)求； (2)当点在射线上移动时， ①有同学猜想：在上述条件下，始终成立．该猜想是否成立？若成立，请写出推理过程，若不成立，请举出反例； ②连接，若，求的大小． 14．如图1，是以为直角的等腰直角三角形，射线是内部的一条射线，过点A作于点．过点C作于点F． (1)求证：； (2)如图2，现将图1中的射线逆时针旋转至的外部，过点A作于点E，过点B在射线的左侧作，且，连接交射线的反向延长线于点H．若，求的面积； (3)如图3，是以为直角的等腰直角三角形，点D为三角形内部一点，连接和，取的中点E，连接，作，连接与，若，求证：． 15．在等腰中，，点D为上一点，连接，在上分别取点E、F，连接，． (1)如图1，若，，，求的长度； (2)如图2，点E为中点，H为延长线上一点，连接、，满足，．若，求证：； (3)如图3，若，，点D是中点，在上取一点P，连接，使，将沿翻折到所在平面内，得到，点Q为所在直线上一动点，连接，将绕点A顺时针旋转得到，点T为线段上的动点，连接、，当取最小值时，请直接写出此时的面积（用字母m表示）． 16．已知：如图，，，的垂直平分线分别交，于点，点，连接． (1)如图，求证：平分； (2)若点是线段上的一点（点不与点，，重合），现以为一边，作，使得点，在直线的同侧，且． ①求证：、、三点共线； ②试探究，与之间的数量关系，并说明理由． 17．已知在中，，，点是平面内一点，连接、、，． (1)如图1，点在的内部． ①当，求的度数； ②当平分，判断的形状，并说明理由； (2)如果直线与直线相交于点，如果是以为腰的等腰三角形，求的度数（直接写出答案）． 18．如图1，中，，，D、E分别在、上（D、E不与重合）、、交于点． (1)若，则与一定相等吗？若不一定，在图2中举出反例，并简单说明（不写作法，保留痕迹）． (2)如图3，若，则与一定相等吗？试用反证法给出证明． (3)若中有两角相等，中有两角相等，中有两角相等，直接写出度数、度数和度数之和． 19．定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”． 已知在中，，点在边上． (1)如图1，如果，求证：是的“等角分割线”； (2)如图2，如果，且是的“等角分割线”，求的度数； (3)是的“等角分割线”，的平分线交于点．如果，那么的度数为___________． 20．等腰直角三角形是顶角为，底角为的等腰三角形．是等腰直角三角形，，，． (1)如图1，D为外一点，E为内一点，连接，，，，若，，其中，，求的度数． (2)如图2，点D为线段上一点，连接．以为直角边作等腰直角三角形，取的中点F，连接并延长交于点G．求证：． (3)如图3，点D为直线上的动点，连接，将线段绕点C顺时针旋转至，连接，与直线交于点F，当，时，在线段上取一点K满足，点L，H分别在线段与线段上运动，始终满足，当取最小值时，过点L作的垂线l，l上有一动点S，将绕点B顺时针旋转得到，当取最小值时，直接写出的面积． 试卷第2页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 押题08 等腰三角形压轴题综合（期末预测20题） 一、解答题 1．如图，在中，，，分别为，边上的点，连接，交于点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为边作，，，连接，为中点，连接，求证：； 为解答这个问题，小明所在的小组经过讨论已有部分思路： ①延长至点，使得，连接，通过证明推出； ②通过证明推出，则； …… 请你通过已有思路继续研究，并写出证明过程． (3)如图3，P为上一点，连接，H为中点，连接．分别为，上的点，连接，交于点，若，，请直接写出，与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，四边形的内角和等知识点． （1）通过证明，得到对应角相等，从而得证结论． （2）延长至点，使得，连接，通过证明，得到对应边对应角相等，通过证明，得到对应边对应角相等，结合（1）中，得到，从而得证结论． （3）延长至点，使得，连接，则，延长至点L，使得，连接，通过证明，得到对应边对应角相等，结合四边形的内角和为，得证，得到对应边对应角相等，继而再证明，得到，与之间的数量关系． 【详解】（1）证明：∵在与中， ， ∴， ∴； （2）证明：延长至点，使得，连接， ， 为中点， ， ∵在与中， ， ， ， ， ，即， 在与中， ， ， ， ， 由（1）得，， ∴， ∴， ， ， ，即，，即， ∴， ∴在与中， ， ， ， ， ， ； （3）解：，理由如下， 如图，延长至点，使得，连接，则，延长至点L，使得，连接， ∵点H是的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴在四边形中，， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．如图，已知中，，，点为的中点．若两点分别从两点同时出发，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上以的速度由点向点运动，设运动时间为，回答下列问题： (1)当为何值时，在的垂直平分线上； (2)当为何值时，； (3)经过______秒后，为等腰三角形，且的周长为． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）先根据已知条件得到，；再表示出，，利用垂直平分线的性质列等式，解得； （2）由得，结合全等三角形的判定条件，确定需满足且，列出方程组求解得； （3） 先根据周长为得出，再分三种等腰三角形的情况列方程求解，最后验证三种情况均符合要求三角形三边关系即可． 【详解】（1）解：在中，，是中点， 故，， 由动点运动得：，， 因此，， ∵点在的垂直平分线上，根据垂直平分线性质， ∴，即， 解得； （2）解：∵， ∴， 当且， ∴对应边满足， 即， 两个方程同解得， 当时，； （3）解：∵为等腰三角形，且的周长为， ∴， 分三种情况讨论等腰三角形： 若时，， 解得， 此时三边为，，，符合三角形三边关系； 若时，， 解得， 此时三边为，，，符合三角形三边关系； 若时，， 解得， 此时三边为，，，符合三角形三边关系． 综上，经过或或秒后，为等腰三角形，且的周长为． 3．如图，和都是等腰三角形，，且，连接、． (1)如图1，当点在的内部时，求证：； (2)如图2，，且点落在边上．若为上的一点，且，求的周长； (3)如图3，在中，，是一个变化的角，以为边作等边，连接，试探究，随着的变化，的长度的取值范围？ 【答案】(1)见详解 (2)12 (3) 【分析】（1）先证明，证明即可得出结论； （2）先证明，得出，，再证明，即可求出结论； （3）以为边作等边，连接，然后可得，，进而可得，最后根据三角形三边不等关系可进行求解． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，且， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长； （3）解：以为边作等边，连接，如图所示： ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由三角形三边关系可得：， 当B、E、F三点共线时，可取等号， ∴， ∴． 4．【问题探究】 如图1，和都是等腰直角三角形，直角顶点为，固定不动，绕着点旋转． 如图2，将绕点旋转，当点落在边上时，连接． (1)直接写出与的数量关系是__________，位置关系是__________； (2)探索，，之间的数量关系，并完整地证明你的结论： 【拓展应用】 (3)如图3，在中，，以为直角边，为直角顶点向外作等腰直角，连接，若，，求长． 【答案】(1)， (2)，见解析 (3) 【分析】（1）证明，得出，，即可得出结论； （2）证明，，再根据勾股定理和等腰直角三角形的性质，即可得出； （3）在的上方作等腰直角，使得，，连接，根据勾股定理求出，证明，得出即可． 【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）结论：． 证明：和是等腰直角三角形， ，，， ， 即， ，   ， ， ， 即：， ∴根据勾股定理得：， ， ， 在等腰直角三角形中，， ； （3）解：在的上方作等腰直角，使得，，连接，如图所示： ， ，， ， 在Rt中，， ， ， 即：， ，， ， ． 5．【学习概念】 三角形一边的延长线与三角形另一边的夹角叫做三角形的外角．如图1中是的外角，那么与，之间有什么关系呢？ 分析：，， _____， 结论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． (1)【问题探究】 ①如图2，已知：，且，则_____； ②如图3，已知，且，当_____，①中的结论仍然成立； (2)【应用结论】 如图4，，，，，请说明：． (3)【拓展应用】 如图5，四边形，， ，，，，则的长为________． 【答案】(1)①；②45； (2)见解析 (3) 【分析】（1）①由邻补角互补可知，由三角形外角的性质可知，等量代换得，进而可证和全等；②当时，，证法同（1）①； （2）证明，可得，进而可证； （3）在上取一点F使，由角平分线的定义和平行线的性质可得，再证明，然后可证，进而可得． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ②当时，，理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； 故当时，； （2）证明：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，在上取一点F，使，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 6．综合与实践 【问题背景】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． (1)如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于点D，于点E，则与的数量关系是____； (2)如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，，，则的长为多少，请说明理由； (3)如图3，在等腰直角中，，，点D是延长线上一点，以A为直角顶点，线段为直角边向左侧作等腰直角，连接交于点F，求证：． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据，得到，结合，得到，从而得到即可得到即可得到答案， （2）同（1）证明即可得到答案； （3）过点E作交的延长线于点H，证明，得到，，再证明，得到，则可证明． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴； （3）证明：如图所示，过点E作交的延长线于点H， ∴， ∴， ∵是以点A为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 7．数学问题研究常遵循：特殊化探究→一般化推理→综合应用→深化探究的思考路径，请你据此思路回答以下问题．点在直线上，，点、为直线上的动点，且． 【特殊化探究】 (1)如图①，当时，猜想、、之间的数量关系为______； 【一般化推理】 (2)如图②，若为任意锐角或钝角，请问（1）中结论是否仍然成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； 【综合应用】 (3)如图③，是钝角，直线与的延长线交于点，若，的面积是，请用表示与的面积之和； 【深化探究】 (4)如图④，，为等边三角形，求与的数量关系和夹角度数． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3) (4)，且与夹角为． 【分析】（1）由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； （2）由，得到，推出，同理（1）证明，即可得出结论； （3）同理（2）得，得到，设的底边上的高为，则的底边上的高为，求出 ，根据 ，即可求解； （4）证明，可得，，由为等边三角形，证明，得到，，即可解答． 【详解】（1）解：猜想，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：（1）中结论仍然成立；理由如下： ， ， ， 在和中，， ， ，， ； （3）解：同理（2）得， ， 设的底边上的高为，则的底边上的高为， ，， ， ， ， 与的面积之和为． （4）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ，， 为等边三角形， ，． ， ， ， ． 即． 在和中，， ， ，， ． ，且与夹角为． 8．如图1，已知，射线上有一定点，射线上有一动点，作四边形，使得，且． (1)如图1，当为锐角时， ①若，求的度数（用含的式子表示）； ②过点作于点，若，时，求的面积； (2)如图2，当时，连接交于点，请探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)，理由见解析 【分析】（1）①根据三角形内角和定理，进行解答即可； ②先过点作于点，再利用全等三角形的判定与性质，以及三角形的面积公式，进行解答即可； （2）先过点作于点，过点作于点，再利用等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，进行解答即可． 【详解】（1）解：①在中，，， ． ， ． 答：的度数为． ②如图，过点作于点， ， ． 由①得，且， ． 在和中， ， ， ， ． 答：的面积为． （2）解：，理由如下： 如图，过点作于点，过点作于点， 在中，，， ． ， ，， ，． ， ， ． 在和中， ， ， ，． ， ． 在中，，， ， ． ， ． 在和中， ， ， ， ， ． 9．在中，，，点D是边上一点，E为边上一个动点，将沿翻折后得到（点A的对应点为点）． (1)如图1，当点落在上方时，，，则 ；（用含x的代数式表示） (2)点落在上方，当的一边与平行时，求的度数．（用含α的代数式表示） (3)如图2，的延长线与交于点F，若，时，当面积最大时，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，然后再根据三角形外角性质，求出结果即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，进行求解即可； （3）先根据折叠得出，在上取点，使，再证明，从而得出和为定值，说明当时，面积最大，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：当时，延长，交于点G，如图所示： ∵， ∴， ∵在中，，， ∴， 根据折叠可得：，， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， 根据折叠可得：； 综上，或； （3）解：∵，， ∴， 根据折叠可得：， ∴， 在上取点，使，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴和为定值， ∴当时，面积最大， ∴当面积最大时，． 10．育英中学“巅峰数学”兴趣小组对三角形全等模型展开探究． (1)初步探究：如图1，小华绘制的中，，，过点作直线，于，于，求证：； (2)探究升级：如图2，小丽绘制了另外一个，，，上取一点，连接，线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接交直线于．小丽说点必为线段的中点．你同意她的观点吗？请说明理由． (3)思维发散：在等腰直角三角形中，，，直线过点且，过点为一锐角顶点作，，且点在直线上（不与点重合），如图3，边与线段交于点，连接．试运用所学全等三角形的知识说明是等腰直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)同意，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）先证明，然后根据即可证明； （2）过点作于点，证明得．再证明得，可得点为线段的中点； （3）过点作交于点，证明得，进而可证是等腰直角三角形． 【详解】（1）证明：于于， ， ， ， ， 在和中， ； （2）解：同意．理由如下： 如图2，过点作于点， ， ∴． 由旋转的性质得，， ， ． 在和中， ， ． ， ， ，点为线段的中点； （3）解：如图3，过点作交于点， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ，， ∴， ， ∴， ． 在与中， ， ∴． 又， 为等腰直角三角形． 11．《被数学选中的人》是央视推出的纪录片，节目中说道：“数学区别于其他学科，最主要的特征是抽象与推理．”几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象．形成一些基本的几何模型，用类比等方法，进行探究，推理，以解决新的问题． 【建立模型】 (1)如图1，为等边三角形，点在的延长线上，在的同侧以为边构造等边三角形，连接，交于点．则 ，判定依据为 ， ，并直接写出的度数 ． 【应用模型】 (2)如图2，点为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转60°得到线段，连接，若三点共线，求证：平分； (3)如图3，在Rt中，，，点是外一点，连接，，．当5，时，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1)，SAS，AD， (2)见解析 (3)12.5 【分析】(1) 观察图形可知，结合已知条件可以确定全等的判定方法，然后利用全等三角形的对应角相等，再通过进一步推导可以求出； (2) 首先结合第 (1) 问的图形结构证明 ，然后利用全等的性质和已知条件确定 的度数，进而证明即可； (3) 依据前 2 问的解题经验，构造类似的图形结构，通过作辅助线把四边形的面积进行转化而求解． 【详解】（1）解：如图1，设，交于点． ， 为等边三角形， ，，， ，即 ， ， ，， 又， ； （2）证明： 线段绕点 逆时针旋转 得到， ，， ． 为等边三角形， ，， ，即 ． 在 和 中， ， ． 三点共线，， ， ， ， ，即平分； （3）解：答案12.5．理由： 如图 2，延长到，使 ． ，， 在四边形中， ． ， ． 在 和 中， ． ，， ， ． ，， ． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形（等边三角形）的性质．能够在探究的过程中掌握基本图形的结构并加以应用是解题的关键． 12．【理解问题】 如图1，在和中，，，点A，D在底边的同侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形叫做美好等腰三角形．在美好等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，连接顶角顶点的线段叫做轴线．如图1中和是腰角，线段是轴线． (1)【拟定计划】 小颖通过测量、折纸的方法猜想美好等腰三角形有以下性质：美好等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边．小颖利用图1给出如下已知、求证，请帮助小颖完成证明． 已知：如图1，和是美好等腰三角形，连接．求证：，所在直线是线段的垂直平分线． (2)【实施计划】 如图2，在中，，点D在上，，，垂足为E，的延长线与交于点F，点G在线段上，且，连接．求证：和是美好等腰三角形． (3)【回顾反思】①小颖反思证明思路，在图2的基础上继续探究：分别连接，若，请直接写出的度数． ②参考小颖的问题尝试提出一个新的问题（不用解答）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①；②见解析（答案不唯一） 【分析】（1）利用美好等腰三角形的性质得，得，从而有；再由，结合线段垂直平分线的判定即可证明； （2）作射线交于点．由已知，则．再证明得，即可得证； （3）①证明垂直平分得，从而，设，根据可求出，进而可求出的度数； ②证明垂直平分得，从而，设，根据可求出，进而可求出的度数． 【详解】（1）证明：和是美好等腰三角形， ． ，即． ， 点在线段的垂直平分线上． ， 点在线段的垂直平分线上． 直线是线段的垂直平分线． （2）证明：如图，作射线交于点． ，垂足为， ． ． ， ． ． ． ， ． ． ， ． ． ． ， ． ． 和是美好等腰三角形 （3）①解：如图3， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴． 设． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； ②问题：在图2的基础上继续探究：分别连接、，若，请直接写出的度数． 解：如图3， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴． 设． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 13．【阅读材料】 如图1，点，分别在的两条边上，若和的角平分线交于点，则平分． 【数学思考】 利用上述材料的结论解决下列问题： 如图2，在等边中，点在边的延长线上，，点在射线上（点不与点重合），平分交射线于点． (1)求； (2)当点在射线上移动时， ①有同学猜想：在上述条件下，始终成立．该猜想是否成立？若成立，请写出推理过程，若不成立，请举出反例； ②连接，若，求的大小． 【答案】(1) (2)①成立，推理过程见解析；② 【分析】（1）根据平行线的性质，即可得出； （2）①利用是等边三角形，以及，得到，设，则，结合三角形外角的性质得到，在中，，综上，结论成立； ②分别延长，到点H，G，先证明平分，再利用阅读材料的结论平分的外角，设，由平行线的性质得出，求出，又因为是的外角有，得到，最后结合，即可得出答案． 【详解】（1）解：是等边三角形， ∵， ∴． （2）①成立，理由如下： 平分， ， 设，则， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 在中， 又， ． ②解：分别延长，到点H，G，如图2所示： ， ， 平分， 又平分， 由阅读材料的结论得：平分的外角， ， 设，则， ， ， 平分， ， ， ， 由①知，， ， ， ． 14．如图1，是以为直角的等腰直角三角形，射线是内部的一条射线，过点A作于点．过点C作于点F． (1)求证：； (2)如图2，现将图1中的射线逆时针旋转至的外部，过点A作于点E，过点B在射线的左侧作，且，连接交射线的反向延长线于点H．若，求的面积； (3)如图3，是以为直角的等腰直角三角形，点D为三角形内部一点，连接和，取的中点E，连接，作，连接与，若，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析． 【分析】（1）根据证明即可； （2）过点作，交的延长线于点，先证明得到，再证明，得到，根据三角形面积公式即可求解； （3）延长至，使，连接，，证明，得到，，证明，得到，，进而得到，再求得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， 又∵， （2）解：过点作，交的延长线于点，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）证明：延长至，使，连接，，如图： ，，， ， ，， ，， ， 又，， ， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 15．在等腰中，，点D为上一点，连接，在上分别取点E、F，连接，． (1)如图1，若，，，求的长度； (2)如图2，点E为中点，H为延长线上一点，连接、，满足，．若，求证：； (3)如图3，若，，点D是中点，在上取一点P，连接，使，将沿翻折到所在平面内，得到，点Q为所在直线上一动点，连接，将绕点A顺时针旋转得到，点T为线段上的动点，连接、，当取最小值时，请直接写出此时的面积（用字母m表示）． 【答案】(1)3 (2)见详解 (3) 【分析】（1）判定三角形全等，再根据性质：对应边相等，进行等量代换，求出的长度； （2）倍长到点M，使得，根据三角形全等证明，从而得到结论； （3）根据动点Q的运动轨迹及和的关系，确定动点R的运动轨迹，再根据对称性和垂线段最短确定动点T的位置，最后利用三角形面积公式算出结果． 【详解】（1）解：， ，， ，即， ， ， 在和中，， ， ，， ． （2）证明：延长到点M，使得，连接， ∵点E为中点， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 在和中，， ， ， ， ． （3）过点D作的对称点，连接交于点T，过点作的延长线，垂足为点H， ，， 是等边三角形， 点D是中点，， ，， 点Q为所在直线上一动点，且绕点A顺时针旋转得到， 点R的运动轨迹为：在点D左侧，到点D的距离为线段的长的直线l上，且 ， 当时，取最小值，此时，即，此时与的交点为点T， 翻折， ， ， ， 对称， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的性质和判定，对称性、垂线段最短、三角形面积公式，解题关键是数形结合． 16．已知：如图，，，的垂直平分线分别交，于点，点，连接． (1)如图，求证：平分； (2)若点是线段上的一点（点不与点，，重合），现以为一边，作，使得点，在直线的同侧，且． ①求证：、、三点共线； ②试探究，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)①见解析；②或，理由见解析 【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，根据角平分线的定义即可得到结论； （2）①如图，连接，由（1）得，，根据等边三角形的性质得到，，求得，得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论； ②分两种情况讨论：当点在点左侧时，，延长到，使得，连接，根据三角形的内角和定理得到，根据等边三角形的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质即可得到结论；如图所示，当点在点右侧时，，同理可证．于是得到结论． 【详解】（1）证明：，， ， 垂直平分， ， ， ， ， 平分； （2）①证明：如图，连接，， 由（1）得，， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，，三点共线； ②或． 理由：分两种情况讨论： Ⅰ如图所示，当点在点左侧时，， 延长到，使得，连接， ，， ， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即； Ⅱ如备用图2所示，当点在点右侧时，， 同理可证． 综上所述，，与之间的数量关系为或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，正确地作出辅助线是解题的关键． 17．已知在中，，，点是平面内一点，连接、、，． (1)如图1，点在的内部． ①当，求的度数； ②当平分，判断的形状，并说明理由； (2)如果直线与直线相交于点，如果是以为腰的等腰三角形，求的度数（直接写出答案）． 【答案】(1)①；②为等边三角形，见解析 (2)的度数为或． 【分析】（1）①根据，得，则，进而得，再根据，得，进而得，然后根据，得，由此可得的度数； ②根据平分，设，则，根据得，根据得，则，，再根据三角形内角和定理得，则，进而得，，，由此可判定的形状； （2）分两种情况讨论如下：①当直线与线段交于点时，设，则，，再根据得，再根据三角形内角和定理得，则，②当直线与的延长线交于点时，设，则，再求出，得，根据得，再根据三角形内角和定理得，则，综上所述即可得出的度数． 【详解】（1）解：①在中，，， ， ， 又， ， ，， ， 在中，，， ； ②为等边三角形，理由如下： 如图1所示： 平分， 设，则， 在中，， ， 在中，， ， 在中，，， ， ，， 在中，， ， ，，， 为等边三角形； （2）解：的度数为或，理由如下： 直线与直线相交于点，且是以为腰的等腰三角形， 有以下两种情况： ①当直线与线段交于点时，如图2①所示： 设， 是以为腰的等腰三角形，即， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 即， ②当直线与的延长线交于点时，如图2②所示： 设， ， ， 是以为腰的等腰三角形，即， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 综上所述：的度数为或． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 18．如图1，中，，，D、E分别在、上（D、E不与重合）、、交于点． (1)若，则与一定相等吗？若不一定，在图2中举出反例，并简单说明（不写作法，保留痕迹）． (2)如图3，若，则与一定相等吗？试用反证法给出证明． (3)若中有两角相等，中有两角相等，中有两角相等，直接写出度数、度数和度数之和． 【答案】(1)不一定，反例图见解析 (2)一定相等，见解析 (3)或或或 【分析】（1）当点在上某个位置时，以为圆心，为半径画弧与产生两个交点，这两个交点即为点，此时，但； （2）假设，这里不妨设，在上截取，连接，证明，然后根据全等三角形的性质，三角形的外角性质进行证明即可； （3）分9种情况讨论，根据三角形内角和以及三角形的外角性质列二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：若，则与不一定相等，如图： 当点在上某个位置时，以为圆心，为半径画弧与产生两个交点，这两个交点即为点，此时，但， 故若，则与不一定相等； （2）解：若，则与一定相等， 证明：假设，这里不妨设， ∴， ∵， ∴， ∴， 在上截取，连接， ∵， ∴ ∴， ∴， 与（三角形的一个外角大于任何一个与之不相邻的内角）矛盾， 故假设不成立， ∴； 若假设时，同理与三角形的外角性质矛盾， ∴； （3）解：①当时， ∵ ∴ 设， 则在中，由三角形内角和定理可得 ∴， 在中，由三角形内角和定理可得， ∴，解得， ∴； ②当时， ∵ ∴ 设， ∴ 在和中，由三角形内角和定理可得 解得， 此时，不符合题意； ③当时，此时重合，不符合题意； ④当时， ∵， ∴， 设 则在中，由三角形内角和定理得，则 在中，由三角形内角和定理可得 ∴， ∵， ∴， ∴ 解得 ∴； ⑤当时， ∵， ∴，设， 则在中，由三角形内角和定理可得， 在中，由三角形内角和定理可得 ∵， ∴， 在中，由三角形内角和定理可得， ∴ 解得 ∴； ⑥当时，此时重合，不符合题意； ⑦当时， ∵， ∴， 设， ∴， 在中，由三角形内角和定理可得 在中，由三角形内角和定理可得， ∴ 解得 ∴； ⑧当时， 设，，则中，由三角形内角和定理可得， ∴ ∵， ∴， 在中，由三角形内角和定理可得 ∴ 解得 ∴ ⑨时，此时三点重合，不符合题意， 综上：度数、度数和度数之和为或或或． 19．定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”． 已知在中，，点在边上． (1)如图1，如果，求证：是的“等角分割线”； (2)如图2，如果，且是的“等角分割线”，求的度数； (3)是的“等角分割线”，的平分线交于点．如果，那么的度数为___________． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理等知识点． （1）由等边对等角得到，，则，再由三角形的外角性质即可求证； （2）先由等腰三角形性质以及三角形内角和定理得到，再由外角性质得到，，然后再分类讨论即可； （3）分两种情况讨论，当时，由三线合一得到，，，设，则，可得垂直平分，则，然后根据外角性质表示出再由三角形内角和定理得到；当时，设，则，则，由，以及等腰三角形性质得到，在中由三角形内角和定理建立方程求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的“等角分割线”； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∵是的“等角分割线”， ∴①，， 解得：； ②，， 解得：（舍去）， 综上：； （3）解：记的平分线与交于点， ①当时， ∵，平分， ∴，，， 设，则 ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴； ②当时， ∵平分， ∴， 设，则， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴， 综上：的度数为或． 20．等腰直角三角形是顶角为，底角为的等腰三角形．是等腰直角三角形，，，． (1)如图1，D为外一点，E为内一点，连接，，，，若，，其中，，求的度数． (2)如图2，点D为线段上一点，连接．以为直角边作等腰直角三角形，取的中点F，连接并延长交于点G．求证：． (3)如图3，点D为直线上的动点，连接，将线段绕点C顺时针旋转至，连接，与直线交于点F，当，时，在线段上取一点K满足，点L，H分别在线段与线段上运动，始终满足，当取最小值时，过点L作的垂线l，l上有一动点S，将绕点B顺时针旋转得到，当取最小值时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)证明见详解 (3)或 【分析】（1）由角度和差得出，证明，利用三角形内角和定理即可得出结果； （2）过点E作交于点H，交于点I，证明，，利用等腰直角三角形的性质及平行线的判定即可证得结论； （3）先求出的长度，由于点F是直线上的动点，点F分情况讨论：①当点F在点B左侧时；②当点F在点B右侧时，通过全等三角形的判定与性质，逆等线模型，等腰直角三角形的性质需确定点T的运动轨迹，求出相关线段的长度，从而得出最终结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． （2）证明：如图，过点E作交于点H，交于点I， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：∵，，点F为直线上的动点， ∴， 此时点F分情况讨论： ①当点F在点B左侧时： 如图，过点E作交直线于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，点L，H分别是，的动点， 过点B作且，连接， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 当点，，K三点共线时，有最小值， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点为的中点， ∵点S是直线l上的一动点，将绕点B顺时针旋转得到，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点T的运动轨迹是与直线l夹角为的直线m， 当时，有最小值， ∴， ∴， ∴； ②当点F在点B右侧时： 如图，过点E作交直线于点N， 同理可证得：， ∴， 同理可证得：， ∴， ∴， ∴， ∵，，点L，H分别是，的动点， 过点B作且，连接， ∴，， 易证得：， ∴， 当点，，K三点共线时，有最小值， ∴，此时点为的中点， 由情况①可得：点T的运动轨迹是与直线l夹角为的直线m， 当时，有最小值， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的面积为或． 试卷第2页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $