押题05 全等三角形的性质及其判定（6大考点80题）-2025-2026学年七年级数学下学期期末总复习押题预测（沪教版五四制）

**基本信息** 以80题系统覆盖全等三角形6大核心考点，构建“性质理解-判定应用-条件添加-方法选择”的递进式训练体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质|14题|选择/填空/解答|从基础性质（对应边、角）到动态几何应用| |SSS综合|1题|填空|性质与SSS判定的简单结合| |SAS综合|21题|选择/填空/解答|含等边三角形、旋转等背景的SAS应用| |ASA综合|20题|选择/填空/解答|涉及角平分线、垂线的ASA判定推理| |添加条件|6题|选择/填空|针对不同判定方法的条件补全训练| |灵活判定|8题|选择/解答|全等判定方法的辨析与综合应用|

押题05 全等三角形的性质及其判定（6大考点80题） 目录 考点1：全等三角形的性质 1 考点2：全等的性质和SSS综合 12 考点3：全等的性质和SAS综合 13 考点4：全等的性质和ASA综合 44 考点5：添加条件使三角形全等 71 考点6：灵活选用判定方法证全等 76 一、单选题-考点1：全等三角形的性质 1．如图，已知两个三角形全等，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，关键是掌握全等三角形的对应角相等．根据全等三角形的性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图， ∵两个三角形全等， ∴， 故选：D． 2．下列命题中，为假命题的是（    ） A．全等三角形的面积相等 B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．三角形的三条高相交于一点 D．两直线平行，同位角相等 【答案】C 【分析】根据全等三角形的面积相等、平行公理、三角形的高的定义、平行线的性质依次判断即可求解． 【详解】解：A. 全等三角形形状、大小完全相同，面积必然相等，为真命题，不符合题意； B. 平行公理指出过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，为真命题，不符合题意； C. 锐角三角形和直角三角形的三条高交于一点，但钝角三角形的高作为线段时，三条高线段本身并不在三角形内部或外部相交，因此命题表述不严谨，为假命题，符合题意； D. 平行线性质定理明确两直线平行时同位角相等，为真命题，不符合题意； 故选： C． 【点睛】本题考查了命题、全等三角形的性质、三角形的高、平行公理、平行线的性质，解题关键是逐一分析各选项是否为真命题，重点考查三角形高的性质． 3．下列命题中原命题和逆命题都为真命题的是（　　） A．全等三角形对应角相等 B．等腰三角形的两个底角相等 C．直角三角形中有两个锐角 D．对顶角相等 【答案】B 【分析】本题考查了判断命题的真假，全等三角形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的定义，逐一分析各选项的原命题和逆命题的真假，判断是否均为真命题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、原命题“全等三角形对应角相等”为真；逆命题“对应角相等的三角形全等”为假（如相似三角形不全等），故不符合题意； B、原命题“等腰三角形的两个底角相等”为真；逆命题“有两个角相等的三角形是等腰三角形”为真（根据等角对等边），故符合题意； C、原命题“直角三角形中有两个锐角”为真；逆命题“有两个锐角的三角形是直角三角形”为假（如锐角三角形有三个锐角），故不符合题意； D、原命题“对顶角相等”为真；逆命题“相等的角是对顶角”为假（如同位角可能相等但不是对顶角），故不符合题意； 综上，只有选项B的原命题和逆命题均为真命题， 故选：B． 二、填空题-考点1：全等三角形的性质 4．如图，已知，如果，，那么________． 【答案】75 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，先由全等三角形的性质得到，再证明，据此利用三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 5．如图，已知线段米，射线于点，射线于，点从点向运动，每秒走2米，点从点向运动，每秒走3米，、同时从出发，若射线上有一点，使得某时刻和全等，则线段的长度为________米． 【答案】或/24或45 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据题意，分类讨论：当；当；根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据题意，设运动时间为，则，， ①点是中点，时，，， ∵， ∴， ∴， ∴； ②时，，， ∴，即， 解得，， ∴； 综上所述，线段的长度为或， 故答案为：或． 6．如图，已知，点A、B、C的对应点分别是点D、E、B，点E在边上，与交于点F．如果，，则线段的长是 __ ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，根据，得出，，根据，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：20． 7．如图，在中，点、分别在边、上，，．．若，则的周长为________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得，，进而求得，根据三角形的周长公式，即可求解． 【详解】解：∵，，． ∴，， ∴， ∴的周长为 故答案为：． 8．如果，那么的推理依据是___________． 【答案】三角形全等的传递性 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，根据三角形全等的传递性进行解答即可． 【详解】解：如果，那么的推理依据是三角形全等的传递性． 故答案为：三角形全等的传递性． 9．如图，已知与全等，那么__________． 【答案】72 【分析】本题考查全等三角形的性质，全等三角形的对应边所对的角是对应角，由此即可得到答案． 【详解】解：∵与全等，和是对应边， ∴， 故答案为：72． 10．如图，，点、、的对应点分别是点、、，、、、四点在同一直线上，，，那么的长为__________． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到，再由求出，再由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 11．如图，在中，厘米，厘米，且，点D为的中点．如果点P在线段上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点在线段上由C点向A点运动．若点的运动速度为4厘米/秒，则当与全等时，v的值为________． 【答案】3或4 【分析】此题考查了全等三角形的性质．分两种情况讨论：①若，根据全等三角形的性质，则厘米，（厘米），根据速度、路程、时间的关系即可求得；②若，则厘米，，得出，解得：．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 【详解】解：中，厘米，点为的中点， 厘米， 若，则需厘米，（厘米）， 点的运动速度为4厘米秒， 点的运动时间为：， （厘米秒）； 若，则需厘米，， ， 解得：； 的值为3或4． 故答案为：3或4． 12．如图，已知，，，那么______． 【答案】/度 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，平行线的性质，等边对等角，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，已知，并将它们摆成如图所示的形式，那么的度数为______．    【答案】/180度 【分析】此题考查了三角形内角和定理、全等三角形的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理是关键． 根据三角形全等得到，则，进一步根据平角定义和三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 由题意可得，， ∴ 又∵， ∴ 故答案为：． 三、解答题-考点1：全等三角形的性质 14．如图，，顶点A、C分别与顶点D、B对应，点E在边上，边与边相交于点F． (1)若，求线段的长； (2)若，求的度数 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，再由进行计算即可得到答案； （2）由全等三角形的性质可得，再由三角形内角和定理可得，最后由进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ． 15．已知：在等腰中，，．把绕点逆时针旋转得到，其中点，分别是点，的对应点． (1)如图，若，平分，求的度数； (2)在旋转过程中，若直线，相交于点， 如图，当点，在直线右侧时，若，求的度数； 设，请直接用含的式子表示； (3)如图，当时，在线段上取一点，连接，使得，请求出的度数． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题考查几何变换综合应用，涉及等腰三角形的性质及应用，旋转变换，全等三角形的性质等知识， （1）由，，可得，由旋转的性质可得，由角平线的定义得，故； （2）设，有，从而，又，得，故，即得； 设，同的方法可得； （3）由全等三角形的性质得，，可得，设，即可得，由，，根据，，得，可得，故，解得． 【详解】（1）解：，， ， 把绕点逆时针旋转得到， ， 平分， ， ， 的度数是； （2）解：设， ， ， 把绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ； 设， ， ， 把绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ； 即； （3）解：∵， ，， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 解得， ． 四、填空题-考点2：全等的性质和SSS综合 16．如图，已知点、、、在同一直线上，，，如果要运用“”来证明，可以添加的条件是___________．（只需写出一种情况） 【答案】（或等） 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，解题的关键是掌握三角形全等的判定定理；要运用“”来证明三角全等，根据条件，添加的条件需要使得三条边对应相等即可． 【详解】解：，， 要运用“”来证明， 可以添加的条件需要使得即可， 故添加的条件是：， 故答案为：． 五、单选题-考点3：全等的性质和SAS综合 17．如图，在等边中，、分别在、上，，连接、交于，连接．下列判断不正确的是（   ）． A．是等边三角形； B．； C．； D．． 【答案】C 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形的垂直平分线；根据等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形的垂直平分线逐一判断即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形；故A正确； ∵是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故D正确； ∴为中垂线上的点， ∵， ∴为中垂线上的点， ∴垂直平分； ∴；故B正确； 题中并没有说是的中点， ∴无法确定，故C错误； 故选：C． 18．如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下结论不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过证明，得到可判断A正确，通过证明，得到，可判断B错误；证明，得到，故判定结论C正确；利用可判断D正确． 【详解】解：由于和是等边三角形， 可知，，， ∴，， ∴， ∴，， 可判断A正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，可判断B错误； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，故结论C正确； ∵可判断D正确． 故选： B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的定义和性质，平角的定义等知识点．熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 六、填空题-考点3：全等的性质和SAS综合 19．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 __________． 【答案】/度 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构．利用“边角边”证明，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【详解】解：标注字母，如图所示，      在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 20．在中，，D为的中点．则边上的中线的取值范围是_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理的应用，主要考查学生的推理能力．延长到，使，连接，证明，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出结果即可． 【详解】解：延长到，使，连接， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 21．如图，给定一个，用直尺和圆规作，有人的作法是： ①作；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定的依据是_______．（填简记） 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，尺规作图—作三角形，根据作图方法可得，，，据此根据全等三角形的判定定理即可得到答案． 【详解】解：由作图方法可得，，， ∴， 故答案为：． 22．如图，已知在中，，，，点D是边上的一点，，点E是边上一个动点，连接，以为一边在右侧作等边，连接，在点E运动过程中，线段的最小值为______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以为边在上方作等边三角形，连接，过点M作于点P，于点N，证明，得出，说明当最小时，最小，根据垂线段最短，得出最小，即当点E与点N重合时，最小，即最小，求出最小值即可． 【详解】解：如图所示，以为边在上方作等边三角形，连接，过点M作于点P，于点N，如图所示： ∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴当点E与点N重合时，最小，即最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， 又∵， ∴（平行线间间距相等）， ∴的最小值为4， 故答案为：4. 23．如图，和是等边三角形且，则_______°． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等边三角形的性质的应用，能求出是解此题的关键，难度适中．根据等边三角形性质得出求出，证，根据全等三角形的性质得出，求出，根据三角形内角和定理求出即可 【详解】解：和都是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴， ． 故答案为：． 24．如图，点P是三角形内部一点，且满足．如果，，则的度数是_______． 【答案】/度 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，添加合适的辅助线是解题的关键．延长到点D，使得，连接，延长交于点，证明，得到,，进一步证明是等边三角形，得到，则平分，得到垂直平分，则，得到，则，即可求出． 【详解】解：延长到点D，使得，连接，延长交于点， ∵．， ∴， ∴, ∵， ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 25．已知：如图，、都是等边三角形，、相交于点，点、分别是线段、的中点．那么的度数为_________； 【答案】/60度 【分析】由等边三角形的性质得出，，，证明，求出，进一步求得的度数． 【详解】解：∵、都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴ ， ∴， 即的度数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 26．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则______． 【答案】/105度 【分析】利用“边角边”证明，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解．本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质． 【详解】解：个边长相等的正方形的组合图形，如图， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 27．把的中线延长到点E，使，连接．如果，的周长比的周长大2，那么___． 【答案】5 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，根据中线性质得，根据周长差可得，结合求出，再通过证明得出，进而可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长大2， ∴， 即， ∵， ∴， 在和中， ∵，，（对顶角相等）， ∴， ∴． 故答案为：5． 七、解答题-考点3：全等的性质和SAS综合 28．如图，和是等边三角形，连接交于点P，交于点Q．点F为线段上一点，且． 求证： (1)； (2)是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定定理，等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，再证明，据此可利用证明； （2）由全等三角形的性质可得，再由三角形内角和定理可证明，据此可证明结论． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵，，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 29．如图，已知：在中，平分交于点，，点是上一点，连接并延长使得，连接．求证：． 证明：， 又， ， ． 平分， ． 在和中， ． （请完成后面的证明过程） 【答案】详见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 先证明，再证明，则，那么． 【详解】解：补充过程如下： 在和中 ． 30．已知线段，且与不平行． (1)请你用直尺和圆规作出射线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)点在线段上，点在射线上．请你用直尺和圆规在（1）所作的图中作出点和点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (3)根据（2）中的作图痕迹，说明点和点符合题意． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，尺规作图： （1）根据作一个角等于已知角的的作法画出射线，即可求解； （2）先作，连接，再作，即可求解； （3）证明，可得，即可解答． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）解：如图，点D，E即为所求； （3）解：由作法得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 31．如图，已知在四边形中，，E为的中点，连接，，，，，求的长度． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，延长交于F，可证明，得到，；再证明，得到，则． 【详解】解：如图所示，延长交于F， ∵， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴，； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 32．如图，点A、B、C、D在一条直线上，如果，，且，那么．为什么？（完成以下填空和说理过程） 解：（已知）， （①_______）． ，（②_______）， （③_______）， （已知）， ④_______（等式性质），即． 在和中， ， ， （⑤________）， （⑥_______）． 【答案】①两直线平行，内错角相等；②平角定义；③等角的补角相等；④；⑤全等三角形对应角相等；⑥内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行线的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．根据推导过程，写出理由即可，再证，可得出，从而． 【详解】解：（已知）， （①两直线平行，内错角相等）． ，（②平角定义）， （③等角的补角相等）， （已知）， ④（等式性质），即． 在和中， ， ， （⑤全等三角形对应角相等）， （⑥内错角相等，两直线平行）． 33．如图，中，D是延长线上一点，，过点C作且，连接并延长，分别交，于点F，G． (1)试说明：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键． （1）由，得，而，，即可根据边角边证明，则； （2）由，，得，则． 【详解】（1）解：∵D是延长线上一点，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴的度数是． 34．已知：如图，是等边三角形，点O是的中点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，由等边三角形的性质得到，根据线段中点的定义得到，则可证明得到，进而可证明． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴， ∵点O是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即． 35．如图，在中，E是AD上一点，，，请填写理由，说明． 【答案】见解答过程 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明≌是解题的关键． 由，根据“等边对等角”得，所以，则，由“等角对等边”证明，进而根据““证明≌，再根据全等三角形的对应角相等推导出，即可根据等腰三角形的“三线合一”证明，于是得到问题的答案． 【详解】解：已知， 所以等边对等角， 又已知， 等式性质， 即， 等角对等边， 在与中， ， ≌， 全等三角形的对应角相等， 又已知， 等腰三角形的“三线合一”． 36．如图，已知在中，，平分，点E为边上任意一点（不与A、C重合），连接交于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质和三角形中角与边的关系，在上截取，连接，证明，再证明即可得出结论． 【详解】证明：在上截取，连接，如图， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴，, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 37．如图，与的顶点重合，，，，连接、，将绕点旋转． (1)如图，和的关系为___________． (2)如图，将绕点转动至如图所示示位置时，探究（）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程：若不成立，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)结论仍然成立，理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用证明可得，，延长交于， 由，即可得出，进而得出结论； （）与 （）同理可证明结论成立． 【详解】（1）解：∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 延长交于，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：结论仍然成立，理由如下： 如图，设相交于， ∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 38．如图，已知：在中，点分别在边上，．． (1)求证：； (2)连接，如果平分，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． （1）由，得，而，所以，则，而，，即可根据“”证明，得，所以； （2）由平分，得，而，，即可根据“”证明，得，即可由，平分，根据等腰三角形的“三线合一”证明． 【详解】（1）证明： ， （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 且， ． 在和中， ． （全等三角形的对应角相等）． （等角对等边）． （2）证明：平分， ． 在和中， ． （全等三角形的对应角相等）． 又 （等腰三角形三线合一）． 39．如图，已知是等边三角形，，点P从点A出发，沿射线以的速度运动，过点P作交射线于点E，同时点Q从点C出发沿的延长线以的速度运动，连接、，设点P的运动时间为． (1)当点P在边上，且不与点、重合时，求证：； (2)直接写出的长（用含t的代数式表示）； (3)在不添加字母和连接其它线段的条件下，当图中等腰三角形的个数大于3时，直接写出t的值和对应的等腰三角形的个数．（请写出所有的可能性） 【答案】(1)证明过程见解析； (2)当时，的长为；当时，的长为； (3)当时，等腰三角形有5个；当时，等腰三角形有4个． 【分析】本题考查等边三角形，等腰三角形，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确理解图形的运动过程． （1）由等边三角形的性质和平行线的性质，可得角之间的关系和线段长度之间的关系，利用“”即可证得结论； （2）根据运动时间进行分类讨论，写出每种情况对应的线段长度即可； （3）根据题意可知，当或时，等腰三角形的个数大于3，写出对应的等腰三角形即可． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， 根据点的运动过程可知，， ∴， 在和中， ， ∴ （2）解：根据题意可知，点从点到点所需时间为， 当时，， 当时，， 答：当时，的长为；当时，的长为． （3）解：当时，如图，有5个等腰三角形：、、、、， 当时，如图，有4个等腰三角形：、、、， 答：当时，等腰三角形有5个；当时，等腰三角形有4个． 40．如图，在中，是边上的中线，如果，求证：． 证明：延长至点，使，连接（请完成后续证明） 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，理解三角形中线的定义，大边对大角，延长至点E，使，连接，根据三角形中线定义得，进而依据判定得，，再由得，继而根据“大边对大角”得，由此即可得出结论． 【详解】解：延长至点E，使，连接，如图所示： ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 41．已知，分别以、为边作和，且，，，连接与，、分别是与的中点． (1)如图，若，则______； (2)如图，若，则______； (3)如图，若，试探究与的数量关系，并给予证明． 【答案】(1)； (2)； (3)，证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接，证明≌，可得，，，根据、分别是与的中点，可得，即可证明，可得，，即可求得，即可解题． （）根据（）中结论即可求得的值，即可解题； （）根据（）中结论即可求得的值，即可解题． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵、分别是与的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：同（1）可证，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：同（1）可证，， ∵， ∴， ∵， ∴． 42．如图，已知：在中，点、分别在边、上，与相交于点，，． (1)求证：； (2)连接并延长交于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）证明得出，，根据等边对等角可得，进而得出，根据等角对等边，即可得证； （2）证明得出平分，根据三线合一的性质，即可得证． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴ ∴， ∴ ∴，即 ∴； （2）∵，， ∴ ∴，即平分 ∴ 43．如图，四边形中，，，， (1)求证：； (2)求证：； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键： （1）证明即可； （2）证明，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即：， 又∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 44．如图，点、、、在网一条直线上，，，． (1)求证： (2)若，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）先根据得，进而证明； （2）由（1）得，进而根据三角形内角和定理可得，，进而根据等角对等边，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵，， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∴， ∴ 八、单选题-考点4：全等的性质和ASA综合 45．有下列两个命题：①如果，那么；②两角对应相等且其中一组等角的平分线相等的两个三角形全等．对于这两个命题判断正确的是（   ） A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 【答案】C 【分析】本题考查了命题的真假判断．①根据绝对值的性质判断命题真假；②结合全等三角形的判定定理及角平分线性质分析． 【详解】命题①：若，则． 绝对值相等的两个数可能相等或互为相反数，例如，但．因此命题①为假命题； 命题②：两角对应相等且其中一组等角的平分线相等的两个三角形全等． 已知：和中，，，、的角平分线， 求证：．    证明：∵且、的角平分线分别为和， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴． 因此命题②为真命题； 故选：C． 九、填空题-考点4：全等的性质和ASA综合 46．如图，已知点、、在外部，，，图中与线段一定相等的线段是___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．证明，得出即可． 【详解】解：∵在和中 ， ∴， ∴． 故答案为：． 47．如图，点为内一点，平分，，连接，如果的面积为，那么的面积为___________．（用含的式子表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质；延长交于点，证明得出，进而根据三角形中线的性质，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∵的面积为， ∴的面积为 故答案为：． 48．如图，在中，是边上的中线，作，交的延长线于点E．已知，那么______． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的三线合一，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．过点作于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，然后根据线段的和差求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∵在中，是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 49．在中，，，直线经过点，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、．如果，，那么__________． 【答案】8或2 【分析】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，分两种情况讨论，一是点B、点C在直线l同侧，由于点D，于点E，得，而，，由，，推导出，可根据证明，则，，求得；二是点B、点C在直线l异侧，同理可证明，则，，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，点B、点C在直线l同侧， ∵于点D，于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； 如图2，点B、点C在直线l异侧， ∵于点D，于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 综上所述，的长为8或2． 故答案为：8或2． 十、解答题-考点4：全等的性质和ASA综合 50．如图，已知，． (1)尺规作图：在线段的上方作交射线于点，使（要求：不写作法，不下结论，保留作图痕迹）． (2)在（1）问条件下，试说明：．请将下列解题过程补充完整． 证明：∵（已知）， ∴（①________）， ∵，， ∴②________（③________）， 在与中， ∴（⑤________）， ∴， ∴（⑥________）． 【答案】(1)作图见解析 (2)①两直线平行，内错角相等；②；③同角的补角相等；④；⑤；⑥内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查尺规作图作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握作图的方法，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质是解题的关键． （1）利用尺规作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）利用平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质进行推理即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：∵（已知）， ∴（①两直线平行，内错角相等）， ∵，， ∴②（③同角的补角相等）， 在与中， ， ∴（⑤）， ∴， ∴（⑥内错角相等，两直线平行）． 故答案为：①两直线平行，内错角相等；②；③同角的补角相等；④；⑤；⑥内错角相等，两直线平行． 51．已知：如图，、、、四点在同一直线上，，，，和相交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据平行线的性质和全等三角形的判定方法证明和，再根据全等三角形的性质定理即可得到结论． 【详解】证明：∵， ， ， ， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ． 52．如图，已知：、相交于点，，，、是上的两点，且．求证：．    证明：， （___________）． 在和中， （___________）． （___________）． ， ． ． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的判定是解题的关键．先根据平行线的性质得到，再证明即可证明，进而求解即可． 【详解】证明：， （两直线平行，内错角相等）． 在和中， ． （全等三角形的对应边相等）． ， ． ． 53．实践与探究 【提出问题】是等边三角形，点D在的延长线上，平分，点是边上一动点，连接，并以为边作，交射线于点，连接．猜想的形状． 兴趣小组的三位同学根据已知条件画出图形并分别度量和的长度，结果如下： 的长度 的长度 小明 2.6 2.6 小丽 3.4 3.4 小亮 4.1 4.1 根据以上数据，猜想：是___________三角形． 【解决问题】兴趣小组对上述猜想进行了证明，请你补全证明过程． 证明：如图，在边上截取，连接． 是___________三角形． 【答案】[提出问题]等边；[解决问题]见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可作答． （2）理解题意，结合上下已有的过程，先结合等边三角形的性质得出，因为平分以及进行角的等量代换得，再证明，然后进行角的整理，得，即可作答． 【详解】解：[提出问题] ∵根据所测的数据得出 ∵ ∴是等边三角形； 故答案为：等边 [解决问题] 在边上截取，连接． 是等边三角形， ， ∵ ∴ ． 平分 ． 在和中， ． ， 是等边三角形． 54．如图所示，已知，顶点分别与顶点 对应，，，垂足分别是点．求证：． 证明：∵，顶点分别与顶点 对应， ∴_____（全等三角形对应边相等），（              ）， ∵，， ∴_____（              ）， 在和中， ∵， ∴（      ）， ∴（全等三角形对应边相等）． 【答案】，全等三角形对应角相等；，垂直定义；，，；． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直定义，根据全等三角形的判定与性质，垂直定义进行求证即可，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：证明：∵，顶点分别与顶点 对应， ∴（全等三角形对应边相等），（全等三角形对应角相等）， ∵，， ∴（垂直定义）， 在和中， ∵， ∴， ∴（全等三角形对应边相等） 故答案为：，全等三角形对应角相等；，垂直定义；，，；． 55．如图，已知在三角形中，点D是边上一点，P是线段上一点，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，关键是判定，掌握等腰三角形“三线合一”的性质． （1）证明，得到，再由等腰三角形的性质解答即可； （2）根据等腰三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∴； （2）证明：由（1）得：，平分， ∴． 56．如图，已知是等边三角形，点D、E、F分别在BC、AC、AB上，且，，证明：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质和三角形内角和定理，先证明是等边三角形，推出，由等边三角形的性质得到，结合，利用三角形内角和定理证明，从而证明，即可得出结论． 【详解】证明：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 57．如图，在中，，过点作，且，过点作，垂足为点，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，证明，得出，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 58．小明在学习“等腰三角形两底角相等”时，他猜想“等腰三角形底角的平分线相等”．请补全已知、求证，并进行证明，验证小明的猜想． 已知：如图，在中，__________ 求证：__________ 证明： 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，由等腰三角形的性质可得，进而由角平分线的定义可得，再根据可证，据此即可求证，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】已知：如图，在中，，，平分和交，于点F，E， 求证： 证明：∵， ∴， 又∵，平分和， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 59．如图，在中，平分交于点，于点． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．延长交于点，证明，推出，，，继而得到，根据等边对等角得到，根据三角形外角的性质得到． 【详解】证明：如图，延长交于点， ， ， 平分， ， 在和中，， ， ，，， ，， ， ， ， ． 60．已知：如图，点D在线段上，，，平分．求证： (1)是等腰三角形． (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理，等腰三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由等边对等角和角平分线的定义可证明，再证明，即可证明，得到，据此可证明结论； （2）根据三角形内角和定理和可推出，再由平角的定义可得，则，据此可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 61．某数学学习小组成员康康、小海、欢欢和乐乐等同学继续对课本等边三角形开展了深入探究． 问题回顾：课本中有例题，证明：有一个内角等于的等腰三角形是等边三角形．如图．已知：在中，．需要对三个内角分别等于的各种情况进行讨论，其中和是类似的，故只要分两种情况讨论． ①当时，那么可以证明是等边三角形； ②当时，那么可以证明是等边三角形． （1）请写出情况①的证明过程； 问题探究： 于是，康康提出了一个问题：我们将上题中的条件“有一个内角等于”替换为“底边上的高和腰上的高对应相等”，如图2．即：已知：在中，，，，垂足分别为点、，且，求证：是等边三角形． （2）请写出证明过程； 问题拓展： 由此启发，该小组猜想：在等腰三角形中，如果以“一边(底边或腰)上的高”“一边(底边或腰)上的中线”或“一角(顶角或底角)的角平分线”中的两个条件，加以组合(也就是形成一组须同时满足的关系)，使它们对应相等，是否还能新构成一个能判定一个等腰三角形是等边三角形的条件？ 基于此，小组成员小海、欢欢、乐乐进行了探索，并分别提供了自己的已知、求证和图形． 小海 欢欢 乐乐 已知：在中，，中线中线．求证：是等边三角形． 已知：在中，，角平分线高．求证：是等边三角形． 已知：在中，，角平分线角平分线．求证：是等边三角形． （3）你认为________(填小海、欢欢、乐乐其中一个)的探究是正确的，并写出该证明过程． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）欢欢，证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质判定定理，全等三角形的判定定理是解题的关键； （1）根据三角形内角和定理以及已知条件得出，进而得出，则，即可得证； （2）证明得出，则，即可得证； （3）根据（2）的方法证明，只有欢欢的可以证明，即可求解． 【详解】（1）证明：在中， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴是等边三角形； （2）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴是等边三角形； （3）欢欢的探究是正确的，证明如下， ∵，是的角平分线， ∴ ∵是边上的高， ∴ 又∵，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴是等边三角形； 小海：已知中线，，不能证明，则不能得出，故不正确； 乐乐：角平分线角平分线，不能证明，则不能得出，故不正确； 故答案为：欢欢． 62．如图，在中，，、分别是、的平分线，、交于点，过点作交的延长线于点、交于点． (1)求证：； (2)、、之间有怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键。 （1）由角平分线的定义得到，由垂线的性质可得．导角证明，则可利用证明． （2）由全等三角形的性质得到，证明，得到，再由线段的和差关系可得结论． 【详解】（1）证明：分别是的平分线， ． ， ． 又， ． 同理，． ． 在和中， ． （2）解：，理由如下： 由（1）得， ∴， 在和中， ， ． ． ， ． 63．如图，，，垂足分别是点B、C，点E是线段上一点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)4． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，同角的余角相等． （1）利用同角的余角相等求出，，根据证即可； （2）推出，求出，把代入求出即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴. ∴； （2）解：∵， 由（1）得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 64．命题：全等三角形的对应角的平分线相等． (1)请将此命题改写成“如果……，那么……”的形式为______． (2)结合图形，补全此命题的已知和求证． 已知：如图，①______， 平分交于点D， ②______． 求证：③______． (3)此命题是______命题．（填“真”或“假”） 【答案】(1)如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角的平分线相等 (2)，平分交于， (3)真 【分析】（1）根据命题的结构，结合问题中，已知，结论，在结论前面加上那么即可． （2）结合图形，根据已知，结论，具体化写出来即可． （3）根据全等三角形的性质和判定证明即可得此命题是真命题． 本题考查了命题的结构：任何一个命题都可以写成“如果……，那么……”的形式，以及判断命题的真假，全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是分清命题的题设和结论部分． 【详解】（1）解：将此命题改写成“如果，那么”的形式为：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角的平分线相等． 故答案为：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角的平分线相等． （2）解：已知：如图，， 平分交于点， 平分交于， 求证：． 故答案为：，平分交于，． （3）解：此命题是真命题，理由如下： ∵， ，，， 平分，平分， ，， ， 又，， ， ， 全等三角形的对应角的平分线相等． 故答案为：真． 65．（1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，且有于点于点，猜想与之间满足的数量关系，并说明理由． （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为___________． （3）如图3，，，，连接，，且于点与直线交于点．若，求的面积． 【答案】（1），理由见解析；（2）6；（3）133 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）证明，即可得解； （2）证明，得出，，即可得解； （3）过点作于，过点作交的延长线于，根据全等三角形的性质得到，，，，证明，得到，进而求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：（1），理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴；    （2）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，；    ∵，， ∴． 故答案为：6； （3）解：如图，过点作于，过点作交的延长线于， 由（2）思路可证，， ，，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 十一、单选题-考点5：添加条件使三角形全等 66．在与中，，添加下列哪组条件一定能说明与全等（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有． 【详解】解：添加条件，，结合不能利用证明与全等，故A不符合题意； 添加条件，，结合不能利用证明与全等，故B不符合题意； 添加条件，，结合能利用证明与全等，故C符合题意； 添加条件，，结合不能利用证明与全等，故D不符合题意； 故选：C． 67．已知：如图，点E、A、D、B在同一直线上，交于点O，，增加下列条件不能推导出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，等边对等角，根据题意可证明，，再结合全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 添加条件，则，即，则可利用证明，故A不符合题意； 添加条件，则可利用证明，故B不符合题意； 添加条件，不可以利用证明，故C符合题意； 添加条件，则可利用证明，故D不符合题意； 故选：C． 十二、填空题-考点5：添加条件使三角形全等 68．在和中，已知，，请补充一组相等的边，使两个三角形全等，可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，添加可利用证明． 【详解】解：添加，证明如下： ∵，，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 69．如图，，请你添加一个适当的条件，使得：______（只需填写一个）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟悉全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），根据已有条件结合定理添加合适条件． 已知，可得，且为公共边，根据全等三角形判定定理，添加一组对应边相等或一组对应角相等的条件即可． 【详解】，而， ． 同时，是和的公共边，即， ①添加（SAS判定）： 在和中， ， ； ②添加（AAS判定）： 在和中， ， ； ③添加（ASA判定）： 在和中， ． 可添加的条件为（或或等，答案不唯一），这里以为例． 故答案为：（答案不唯一）． 70．如图，已知，如果要利用“”证明成立，那么还需增加一个条件______． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定，两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴要利用“”证明成立，还需增加一个条件． 故答案为：． 71．如图，已知，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是___________．（写出一个即可） 【答案】（或或） 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴即 又∵ 当时， 当时， 当时， 故答案为：或或． 72．如图，已知，，添加一个条件，使得，这个条件可以是________（填写一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL、注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 要使得．由条件可得到，，再加条件，可以用证明其全等． 【详解】解：添加条件； 即：， ， ， ， ， 在和中， 故答案为：（答案不唯一）． 十三、单选题-考点6：灵活选用判定方法证全等 73．下列判断中，不正确的是（   ） A．全等三角形的面积一定相等 B．全等三角形的周长一定相等 C．两个图形全等，与其所处的位置无关，只与形状、大小有关 D．两个等边三角形一定全等 【答案】D 【分析】此题考查了全等三角形的性质、等边三角形的性质等知识．根据等边三角形的性质和全等三角形的性质进行判断即可． 【详解】解：全等三角形的面积一定相等，故选项正确； 全等三角形的周长一定相等，故B选项正确； 两个图形全等，与其所处的位置无关，只与形状、大小有关，故C选项正确； 两个等边三角形，其三个角分别对应相等，都是，但对应边不一定相等， 两个等边三角形不一定全等，故D选项错误． 故选：D 74．下列所叙述的两个三角形，一定全等的是（    ） A．含角的两个直角三角形 B．腰对应相等的两个等腰三角形 C．周长为的两个等边三角形 D．一个钝角对应相等的两个等腰三角形 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是掌握全等三角形的判定方法；由全等三角形的判定方法，即可判断． 【详解】解：A、D、两个三角形全等至少需要一边对应相等的条件，故A、D不符合题意； B、腰的夹角不一定相等，故B不符合题意； C、由判定两个等边三角形全等，故C符合题意． 故选：C． 75．如图，在中，线段，都是的角平分线，连接，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线、全等三角形的判定、等腰三角形的性质，根据已知条件得到，利用全等三角形的判定即可． 【详解】令和的交点为． 都是的角平分线 是和的公共角 故选：B． 76．下列说法中，错误的是（） A．两个全等的三角形面积相等 B．成轴对称的两个三角形全等 C．成中心对称的两个三角形全等 D．两个等边三角形全等 【答案】D 【详解】本题考查全等三角形的判定和性质及对称变换的性质．根据全等三角形的性质和判定方法，逐一判断即可． 【分析】A．全等三角形形状、大小完全相同，面积必然相等，正确． B．轴对称属于全等变换，成轴对称的三角形经翻折后重合，故全等，正确． C．中心对称属于旋转变换（旋转180°），不改变图形形状和大小，故全等，正确． D．等边三角形仅保证内角均为60°且三边相等，但边长可能不同（如边长3与边长5的等边三角形不全等），因此不一定全等，错误． 故选：D． 77．下列命题中，真命题是（　　） A．两个等边三角形全等 B．腰长对应相等的两个等腰三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．成轴对称的两个三角形全等 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定及等腰三角形、等边三角形相关概念，解题的关键是准确理解全等三角形的判定条件和性质． 根据全等三角形的判定条件，逐一分析各选项是否成立． 【详解】A．两个等边三角形全等：错误．等边三角形对应边相等且每个角均为，但若边长不同（如边长为2和3的等边三角形），则不全等； B．腰长对应相等的两个等腰三角形全等：错误．等腰三角形仅腰长相等，但底边长度或顶角可能不同（如腰长均为5，底边分别为6和8的三角形），无法保证全等； C．面积相等的两个三角形全等：错误．面积相等仅说明面积数值相同，但形状和边长可以不同（如底4高3与底6高2的三角形面积均为6），不全等； D．成轴对称的两个三角形全等：正确．轴对称是几何变换中的全等变换，变换前后图形形状、大小完全一致，符合全等定义． 故选：D． 78．下列说法正确的是（   ） ①两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等； ②两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等； ③两边及其第三边上的高对应相等的两个三角形全等； ④两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等． A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形全等的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．利用全等三角形的判定方法，将各选项逐一证明判定即可． 【详解】解：①两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等是真命题，符合题意， 如图，在和中，，且是中线，且，则，理由如下： 延长，使得，连接，则， ， ， ， 同理可证， ， 在和中， ， ， ， 同理， ， 又， ； ②两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等，是假命题，故不符合题意； 反例：如下图，在和中，，高， 但和不一定全等； ③两边和第三边上的高对应相等，不能判断两个三角形全等，理由如图： 在和中，，第三边上的高都是，两个三角形不全等，是假命题，故不符合题意； ④两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等，是真命题，故本选项符合题意； 如图，在和中，，且是中线，且，则，理由如下： 是中线， ， ， ， ， ， ， ， 则说法正确的是①④， 故选：A． 79．下列说法中，错误的是（   ） A．两角对应相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 B．两边对应相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等 C．两边对应相等且其中一组等边上的中线相等的两个三角形全等 D．两角对应相等且其中一组等角的平分线相等的两个三角形全等 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定，需逐一分析各选项是否符合全等条件． 【详解】解：A．两角对应相等，且其中一组等角的对边相等，符合全等判定，正确，不符合题意； B．两边对应相等，但其中一组等边的对角相等，属于条件，无法唯一确定三角形（存在歧义情况），不能保证全等，错误，符合题意； C．两边分别相等且其中一组等边上的中线也相等的两个三角形全等，正确，不符合题意； D．两角对应相等，且一组等角的平分线相等，通过角平分线定理可推第三边相等，符合或全等判定，正确． 故选：B． 十四、解答题-考点6：灵活选用判定方法证全等 80．通过“三角形全等的判定”的学习，大家知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形全等吗？下面请你来探究． 任务：已知，求作，使（即两边和其中一边所对的角分别相等）． (1)【实践与操作】请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹）； ①作线段； ②在线段的上方作； ③作，交射线于点； ④连接得所求三角形． (2)【观察与小结】观察你作的图形，你会发现满足条件的三角形有___________个；其中___________（填三角形的名称）与不全等． 因此可得：“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形全等”是：_______命题．（填“真”或“假”） 【答案】(1)见解析 (2)2；；假 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定； （1）根据步骤尺规作图，得两个三角形； （2）如图，满足条件的三角形有两个，，，其中与△ABC明显不全等，因此可得结论：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定相等． 【详解】（1）解：作图如下， ； （2）解：观察所作的图形，发现满足条件的三角形有2个；其中（填三角形的名称）与不全等． 因此可得：“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形全等”是假命题． 故答案为：2；；假． 试卷第2页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 押题05 全等三角形的性质及其判定（6大考点80题） 目录 考点1：全等三角形的性质 1 考点2：全等的性质和SSS综合 12 考点3：全等的性质和SAS综合 13 考点4：全等的性质和ASA综合 44 考点5：添加条件使三角形全等 71 考点6：灵活选用判定方法证全等 76 一、单选题-考点1：全等三角形的性质 1．如图，已知两个三角形全等，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 2．下列命题中，为假命题的是（    ） A．全等三角形的面积相等 B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．三角形的三条高相交于一点 D．两直线平行，同位角相等 3．下列命题中原命题和逆命题都为真命题的是（　　） A．全等三角形对应角相等 B．等腰三角形的两个底角相等 C．直角三角形中有两个锐角 D．对顶角相等 二、填空题-考点1：全等三角形的性质 4．如图，已知，如果，，那么________． 5．如图，已知线段米，射线于点，射线于，点从点向运动，每秒走2米，点从点向运动，每秒走3米，、同时从出发，若射线上有一点，使得某时刻和全等，则线段的长度为________米． 6．如图，已知，点A、B、C的对应点分别是点D、E、B，点E在边上，与交于点F．如果，，则线段的长是 __ ． 7．如图，在中，点、分别在边、上，，．．若，则的周长为________． 8．如果，那么的推理依据是___________． 9．如图，已知与全等，那么__________． 10．如图，，点、、的对应点分别是点、、，、、、四点在同一直线上，，，那么的长为__________． 11．如图，在中，厘米，厘米，且，点D为的中点．如果点P在线段上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点在线段上由C点向A点运动．若点的运动速度为4厘米/秒，则当与全等时，v的值为________． 12．如图，已知，，，那么______． 13．如图，已知，并将它们摆成如图所示的形式，那么的度数为______．    三、解答题-考点1：全等三角形的性质 14．如图，，顶点A、C分别与顶点D、B对应，点E在边上，边与边相交于点F． (1)若，求线段的长； (2)若，求的度数 15．已知：在等腰中，，．把绕点逆时针旋转得到，其中点，分别是点，的对应点． (1)如图，若，平分，求的度数； (2)在旋转过程中，若直线，相交于点， 如图，当点，在直线右侧时，若，求的度数； 设，请直接用含的式子表示； (3)如图，当时，在线段上取一点，连接，使得，请求出的度数． 四、填空题-考点2：全等的性质和SSS综合 16．如图，已知点、、、在同一直线上，，，如果要运用“”来证明，可以添加的条件是___________．（只需写出一种情况） 五、单选题-考点3：全等的性质和SAS综合 17．如图，在等边中，、分别在、上，，连接、交于，连接．下列判断不正确的是（   ）． A．是等边三角形； B．； C．； D．． 18．如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下结论不正确的是（    ）    A． B． C． D． 六、填空题-考点3：全等的性质和SAS综合 19．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 __________． 20．在中，，D为的中点．则边上的中线的取值范围是_______． 21．如图，给定一个，用直尺和圆规作，有人的作法是： ①作；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定的依据是_______．（填简记） 22．如图，已知在中，，，，点D是边上的一点，，点E是边上一个动点，连接，以为一边在右侧作等边，连接，在点E运动过程中，线段的最小值为______． 23．如图，和是等边三角形且，则_______°． 24．如图，点P是三角形内部一点，且满足．如果，，则的度数是_______． 25．已知：如图，、都是等边三角形，、相交于点，点、分别是线段、的中点．那么的度数为_________； 26．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则______． 27．把的中线延长到点E，使，连接．如果，的周长比的周长大2，那么___． 七、解答题-考点3：全等的性质和SAS综合 28．如图，和是等边三角形，连接交于点P，交于点Q．点F为线段上一点，且． 求证： (1)； (2)是等边三角形． 29．如图，已知：在中，平分交于点，，点是上一点，连接并延长使得，连接．求证：． 证明：， 又， ， ． 平分， ． 在和中， ． （请完成后面的证明过程） 30．已知线段，且与不平行． (1)请你用直尺和圆规作出射线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)点在线段上，点在射线上．请你用直尺和圆规在（1）所作的图中作出点和点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (3)根据（2）中的作图痕迹，说明点和点符合题意． 31．如图，已知在四边形中，，E为的中点，连接，，，，，求的长度． 32．如图，点A、B、C、D在一条直线上，如果，，且，那么．为什么？（完成以下填空和说理过程） 解：（已知）， （①_______）． ，（②_______）， （③_______）， （已知）， ④_______（等式性质），即． 在和中， ， ， （⑤________）， （⑥_______）． 33．如图，中，D是延长线上一点，，过点C作且，连接并延长，分别交，于点F，G． (1)试说明：； (2)若，，求的度数． 34．已知：如图，是等边三角形，点O是的中点，．求证：． 35．如图，在中，E是AD上一点，，，请填写理由，说明． 36．如图，已知在中，，平分，点E为边上任意一点（不与A、C重合），连接交于点F．求证：． 37．如图，与的顶点重合，，，，连接、，将绕点旋转． (1)如图，和的关系为___________． (2)如图，将绕点转动至如图所示示位置时，探究（）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程：若不成立，请说明理由． 38．如图，已知：在中，点分别在边上，．． (1)求证：； (2)连接，如果平分，求证：． 39．如图，已知是等边三角形，，点P从点A出发，沿射线以的速度运动，过点P作交射线于点E，同时点Q从点C出发沿的延长线以的速度运动，连接、，设点P的运动时间为． (1)当点P在边上，且不与点、重合时，求证：； (2)直接写出的长（用含t的代数式表示）； (3)在不添加字母和连接其它线段的条件下，当图中等腰三角形的个数大于3时，直接写出t的值和对应的等腰三角形的个数．（请写出所有的可能性） 40．如图，在中，是边上的中线，如果，求证：． 证明：延长至点，使，连接（请完成后续证明） 41．已知，分别以、为边作和，且，，，连接与，、分别是与的中点． (1)如图，若，则______； (2)如图，若，则______； (3)如图，若，试探究与的数量关系，并给予证明． 42．如图，已知：在中，点、分别在边、上，与相交于点，，． (1)求证：； (2)连接并延长交于点，求证：． 43．如图，四边形中，，，， (1)求证：； (2)求证：； 44．如图，点、、、在网一条直线上，，，． (1)求证： (2)若，，求证：． 八、单选题-考点4：全等的性质和ASA综合 45．有下列两个命题：①如果，那么；②两角对应相等且其中一组等角的平分线相等的两个三角形全等．对于这两个命题判断正确的是（   ） A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 九、填空题-考点4：全等的性质和ASA综合 46．如图，已知点、、在外部，，，图中与线段一定相等的线段是___________． 47．如图，点为内一点，平分，，连接，如果的面积为，那么的面积为___________．（用含的式子表示） 48．如图，在中，是边上的中线，作，交的延长线于点E．已知，那么______． 49．在中，，，直线经过点，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、．如果，，那么__________． 十、解答题-考点4：全等的性质和ASA综合 50．如图，已知，． (1)尺规作图：在线段的上方作交射线于点，使（要求：不写作法，不下结论，保留作图痕迹）． (2)在（1）问条件下，试说明：．请将下列解题过程补充完整． 证明：∵（已知）， ∴（①________）， ∵，， ∴②________（③________）， 在与中， ∴（⑤________）， ∴， ∴（⑥________）． 51．已知：如图，、、、四点在同一直线上，，，，和相交于点．求证：． 52．如图，已知：、相交于点，，，、是上的两点，且．求证：．    证明：， （___________）． 在和中， （___________）． （___________）． ， ． ． 53．实践与探究 【提出问题】是等边三角形，点D在的延长线上，平分，点是边上一动点，连接，并以为边作，交射线于点，连接．猜想的形状． 兴趣小组的三位同学根据已知条件画出图形并分别度量和的长度，结果如下： 的长度 的长度 小明 2.6 2.6 小丽 3.4 3.4 小亮 4.1 4.1 根据以上数据，猜想：是___________三角形． 【解决问题】兴趣小组对上述猜想进行了证明，请你补全证明过程． 证明：如图，在边上截取，连接． 是___________三角形． 54．如图所示，已知，顶点分别与顶点 对应，，，垂足分别是点．求证：． 证明：∵，顶点分别与顶点 对应， ∴_____（全等三角形对应边相等），（              ）， ∵，， ∴_____（              ）， 在和中， ∵， ∴（      ）， ∴（全等三角形对应边相等）． 55．如图，已知在三角形中，点D是边上一点，P是线段上一点，．求证： (1)； (2)． 56．如图，已知是等边三角形，点D、E、F分别在BC、AC、AB上，且，，证明：． 57．如图，在中，，过点作，且，过点作，垂足为点，求线段的长． 58．小明在学习“等腰三角形两底角相等”时，他猜想“等腰三角形底角的平分线相等”．请补全已知、求证，并进行证明，验证小明的猜想． 已知：如图，在中，__________ 求证：__________ 证明： 59．如图，在中，平分交于点，于点． 求证：． 60．已知：如图，点D在线段上，，，平分．求证： (1)是等腰三角形． (2)． 61．某数学学习小组成员康康、小海、欢欢和乐乐等同学继续对课本等边三角形开展了深入探究． 问题回顾：课本中有例题，证明：有一个内角等于的等腰三角形是等边三角形．如图．已知：在中，．需要对三个内角分别等于的各种情况进行讨论，其中和是类似的，故只要分两种情况讨论． ①当时，那么可以证明是等边三角形； ②当时，那么可以证明是等边三角形． （1）请写出情况①的证明过程； 问题探究： 于是，康康提出了一个问题：我们将上题中的条件“有一个内角等于”替换为“底边上的高和腰上的高对应相等”，如图2．即：已知：在中，，，，垂足分别为点、，且，求证：是等边三角形． （2）请写出证明过程； 问题拓展： 由此启发，该小组猜想：在等腰三角形中，如果以“一边(底边或腰)上的高”“一边(底边或腰)上的中线”或“一角(顶角或底角)的角平分线”中的两个条件，加以组合(也就是形成一组须同时满足的关系)，使它们对应相等，是否还能新构成一个能判定一个等腰三角形是等边三角形的条件？ 基于此，小组成员小海、欢欢、乐乐进行了探索，并分别提供了自己的已知、求证和图形． 小海 欢欢 乐乐 已知：在中，，中线中线．求证：是等边三角形． 已知：在中，，角平分线高．求证：是等边三角形． 已知：在中，，角平分线角平分线．求证：是等边三角形． （3）你认为________(填小海、欢欢、乐乐其中一个)的探究是正确的，并写出该证明过程． 62．如图，在中，，、分别是、的平分线，、交于点，过点作交的延长线于点、交于点． (1)求证：； (2)、、之间有怎样的数量关系，请说明理由． 63．如图，，，垂足分别是点B、C，点E是线段上一点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 64．命题：全等三角形的对应角的平分线相等． (1)请将此命题改写成“如果……，那么……”的形式为______． (2)结合图形，补全此命题的已知和求证． 已知：如图，①______， 平分交于点D， ②______． 求证：③______． (3)此命题是______命题．（填“真”或“假”） 65．（1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，且有于点于点，猜想与之间满足的数量关系，并说明理由． （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为___________． （3）如图3，，，，连接，，且于点与直线交于点．若，求的面积． 十一、单选题-考点5：添加条件使三角形全等 66．在与中，，添加下列哪组条件一定能说明与全等（   ） A．， B．， C．， D．， 67．已知：如图，点E、A、D、B在同一直线上，交于点O，，增加下列条件不能推导出的是（    ） A． B． C． D． 十二、填空题-考点5：添加条件使三角形全等 68．在和中，已知，，请补充一组相等的边，使两个三角形全等，可以是______． 69．如图，，请你添加一个适当的条件，使得：______（只需填写一个）． 70．如图，已知，如果要利用“”证明成立，那么还需增加一个条件______． 71．如图，已知，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是___________．（写出一个即可） 72．如图，已知，，添加一个条件，使得，这个条件可以是________（填写一个即可）． 十三、单选题-考点6：灵活选用判定方法证全等 73．下列判断中，不正确的是（   ） A．全等三角形的面积一定相等 B．全等三角形的周长一定相等 C．两个图形全等，与其所处的位置无关，只与形状、大小有关 D．两个等边三角形一定全等 74．下列所叙述的两个三角形，一定全等的是（    ） A．含角的两个直角三角形 B．腰对应相等的两个等腰三角形 C．周长为的两个等边三角形 D．一个钝角对应相等的两个等腰三角形 75．如图，在中，线段，都是的角平分线，连接，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 76．下列说法中，错误的是（） A．两个全等的三角形面积相等 B．成轴对称的两个三角形全等 C．成中心对称的两个三角形全等 D．两个等边三角形全等 77．下列命题中，真命题是（　　） A．两个等边三角形全等 B．腰长对应相等的两个等腰三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．成轴对称的两个三角形全等 78．下列说法正确的是（   ） ①两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等； ②两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等； ③两边及其第三边上的高对应相等的两个三角形全等； ④两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等． A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 79．下列说法中，错误的是（   ） A．两角对应相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 B．两边对应相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等 C．两边对应相等且其中一组等边上的中线相等的两个三角形全等 D．两角对应相等且其中一组等角的平分线相等的两个三角形全等 十四、解答题-考点6：灵活选用判定方法证全等 80．通过“三角形全等的判定”的学习，大家知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形全等吗？下面请你来探究． 任务：已知，求作，使（即两边和其中一边所对的角分别相等）． (1)【实践与操作】请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹）； ①作线段； ②在线段的上方作； ③作，交射线于点； ④连接得所求三角形． (2)【观察与小结】观察你作的图形，你会发现满足条件的三角形有___________个；其中___________（填三角形的名称）与不全等． 因此可得：“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形全等”是：_______命题．（填“真”或“假”） 试卷第2页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $