押题06 三角形压轴题综合（期末预测20题）-2025-2026学年七年级数学下学期期末总复习押题预测（沪教版五四制）

**基本信息** 聚焦三角形综合压轴，以图形变换、模型应用为核心，通过操作探究与逻辑推理构建系统性解题方法，培养几何直观与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图形变换与拼接|第1题|分割-旋转-平移转化，中点性质应用|从四边形到五边形拼接，体现转化思想，衔接三角形三边关系| |几何模型应用|第7、8、17题|手拉手全等、一线三等角模型，构造辅助线|以全等判定为基础，拓展特殊图形（等边、等腰直角）性质应用| |动态几何与旋转|第4、5、10题|旋转角计算，分类讨论位置关系|结合三角尺特性，建立静态性质与动态变化的逻辑链| |综合探究与拓展|第16、18题|费马点构造与证明，等边三角形外作辅助线|从距离最短问题出发，关联三角形内角性质与全等变换|

押题06 三角形压轴题综合（期末预测20题） 一、解答题 1．如何将任意一个四边形剪开拼成一个三角形？ (1)操作：如图，依次取四边形四条边的中点、、、，连接、、，沿着、、把四边形剪开成个三角形，个四边形；右上角的四边形保持不动，把左上角的三角形绕点旋转，把右下角的四边形绕点旋转，把左下角三角形平移使得点与点重合．通过以上操作，得到的图形就是拼接之后形成的三角形． 通过以上操作，若拼得的三角形是三边长均为的三角形，则_____； (2)思考：以上操作中，如果，则拼接之后形成的三角形的三个内角分别是、_____、_____； (3)应用：以上操作引起了同学们极大的兴趣，大家尝试把五边形拼成三角形．小马虎仿照前面操作：把一边中点和其余四边中点分别连起来，得到2个三角形、3个四边形，通过旋转平移拼三角形，他（能，不能）拼成三角形． (4)小牛试着把特殊的五边形拼成一个特殊三角形；如图3，五边形可以看作由一个正方形和等腰直角三角形重合一边组成的五边形；小牛取中点，连接，通过分割、旋转三角形把五边形拼成了一个以为腰的等腰直角三角形．请参考小牛的做法，设计一个把图3拼成三角形的方法．（直接作图，不需要写做法） 2．小海同学在做完数学书中的一道题（图1）后产生了疑惑：为什么光线经过镜子反射时，．于是自己查阅资料，开展了光线与镜子夹角的项目探究： 【背景资料】 如图2，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角（）叫做入射角，反射光线与法线的夹角（）叫做反射角．反射角等于入射角，即．这就是光的反射定律．由可得． 【初步探究】 (1)如图3，两块平面镜和相交于点，如果入射光线与反射光线平行，求的度数． 【深入思考】 (2)如图4，两块平面镜的夹角为；光线射到平面镜上，分别经过平面镜两次反射后，进入光线与离开光线形成的夹角为．请写出与之间的数量关系并证明． 【拓展探究】 (3)如图5，有三块平面镜、、，镜子与的夹角，入射光线与平面镜的夹角，入射光线从镜面开始反射，依次经过平面镜、、的三次反射，当反射光线与入射光线平行时，请直接写出的度数． 3．如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，猜想与的数量关系，并证明． 4．如图1，把一把含角的三角尺的边放置于直尺的边上． (1)填空：如图1，______°，______°． (2)如图2，现把三角尺绕点逆时针方向旋转，当且点恰好落在边上，若恰好是的2倍，求的值． (3)按图1所示的方式放置三角尺和直尺，现将射线从开始绕点以每秒的速度逆时针方向旋转至与重合时立即停止，射线从开始绕点以每秒的速度顺时针方向旋转至与重合时立即回转，旋转至与重合时再回转，如此循环往复．若射线转动20秒后，射线才开始转动，那么在射线停止运动之前，射线转动______秒，可使得． 5．综合与实践 如图（1）将三角板与三角板摆放在一起，其中，，；如图（2），固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记． 【操作发现】 (1)在旋转过程中，当为_________度时，； (2)当与的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角的所有可能的度数； 【拓展应用】 (3)当时，连接，利用图（3）探究的值的大小是否变化，并说明理由． 6．如图，在中，已知，平分，， (1)若的面积是，求的面积； (2)求证：． 7．【问题背景】如图1，在探究手拉手全等模型时，小明发现了平分，他探究此问题的方法是“作”构造等边三角形解决问题． 【学以致用】 (1)如图2，等边三角形中，为边上一点，，交延长线于点． ①直接写出的度数； ②若，，求的长． (2)课后小明对手拉手模型进行了进一步的探究； ①和都是等边三角形，位置如图所示，此时平分的结论是否成立？______（填“成立”，“不成立”或“不能确定”）； ②求的值． 8．某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 9．如图①所示，在中，若，则称，分别为的“三分线”．其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． (1)如图②，在中，，，若的邻三分线交于点，则________； (2)如图③，在中，是的邻三分线，是的邻三分线，若，求的度数； (3)在中，是的外角，的三分线与的邻三分线交于点．若，，直接写出的度数．(用含、的代数式表示) 10．在一副三角尺中，，， (1)将一副三角尺按如图1所示方式摆放（两条直角边在同一条直线上） ①联结，测得，则的度数是多少？ ②将三角尺绕点P以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺的边与射线重合时停止运动，经历多久使得其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行？ (2)若将这幅三角尺按照如图2所示方式摆放（两条斜边在同一条直线上）．三角尺绕点P以每秒的速度逆时针旋转，同时三角尺以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边与射线重合时两块三角尺都停止运动，运动______秒，使得其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行？（只写答案） 11．【问题情境】 在数学综合与实践课上，小滨和小波借助“两条平行线和直角三角尺”开展数学活动． 素材提供：三角板与三角板，其中，，， (1)【操作发现】 如图，小滨把三角板的顶点放在直线上，若，则_________． (2)【实践探究】 小滨和小波将三角板与三角板按如图所示摆放，点在直线上，点在直线上，小滨将三角板向左平移．在三角板向左平移过程中（初始状态三点共线），连接，记，．当点在右侧时，试探究与的数量关系． (3)【思维拓展】 小滨和小波一起将两块三角板旋转，如图，小滨将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时小波将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设时间为秒，且，若边与三角板的一条边平行时，请直接写出所有满足条件的的值． 12．如图，在RtABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB． (1)求∠AOE的度数； (2)求证：AC=AE+CD． 13．如图，在中，，高、相交于点，，且． (1)请说明的理由； (2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，求当为何值时，的面积为． (3)在(2)的条件下，点是直线上的一点且．当为何值时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？请直接写出符合条件的值． 14．如图，和是等腰直角三角形，，，垂足为F． (1)求证：； (2)判断和的位置关系，并说明理由； (3)求证：． 15．已知：如图1，点D是的中点，，平分，点F在线段上，且． (1)求证：； (2)如图2，连接，交于点G，如果，． ⅰ）当时，求四边形的面积； ⅱ）延长至点P，使，连接，求的度数． 16．费马是17世纪的法国数学家，他曾研究过一种特殊的点，它满足“在一个三角形所在平面上，到该三角形的三个顶点距离之和最短”，这样的点被称为“该三角形的费马点”． (1)如图，中，，，点D在线段上且线段，请判断：点D是否为的费马点，并说明理由． (2)现有真命题：在中，三个内角都小于，在其内部存在一点P，满足，则点P称为的费马点． 小明利用该真命题，尝试用尺规作费马点，他的作法如下： 如图，对一个所有内角都小于的，分别以线段为边向外侧作等边三角形和等边三角形，连接交于点P．请完成证明： ①求证：； ②在线段上取点F使，连接， 求证：点P是的费马点． 17．（1）观察理解：如图1，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，由此可得：，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以___________；（请填写全等判定的方法） （2）理解应用：如图2，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标的数据计算图中的面积是___________； （3）拓展提升：如图3，等边中，，点在上，且，动点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段． ①当时，的长是___________． ②当点恰好落在射线上时，请直接写出的长． 18．设平面上的三个点A、B、C．需确定点P的位置，使最小．当点A、B、C共线时，点P应取三点中居中的点．当点A、B、C不共线时，分成两类；有一个内角大于或等于和的三个内角均小于．约1640年，法国数学家费马（PierredeFermat，1601﹣1665）提出了这个问题，此问题中求得的点P也称为费马点，并由意大利数学家托里拆利首次证明． 下面来探究当点A、B、C不共线时的情况： (1)如图1，已知：在中，时，　　　为所求费马点． (2)如图2，已知：在中，最大角时，我们可以快速找到这类三角形的费马点，作法如下：分别以的边为边向外作等边三角形和等边三角形，此时和交于一点P，点P就是所求的费马点． ①请找出图中与相等的线段，并说明理由； ②为了验证作图中找到的点P就是费马点，连接，求证：． 19．数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． (1)发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系：__________， ； (2)类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长BE，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； (3)拓展应用：在和中，，，，连接，，将绕它们共同的顶点A旋转一定的角度后，若B，E，F三点刚好在同一直线上，求此时的度数． 20．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到_________，推理依据是___________．进而得到_________，_________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，试猜想和的数量关系，并说明理由． 试卷第2页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 押题06 三角形压轴题综合（期末预测20题） 一、解答题 1．如何将任意一个四边形剪开拼成一个三角形？ (1)操作：如图，依次取四边形四条边的中点、、、，连接、、，沿着、、把四边形剪开成个三角形，个四边形；右上角的四边形保持不动，把左上角的三角形绕点旋转，把右下角的四边形绕点旋转，把左下角三角形平移使得点与点重合．通过以上操作，得到的图形就是拼接之后形成的三角形． 通过以上操作，若拼得的三角形是三边长均为的三角形，则_____； (2)思考：以上操作中，如果，则拼接之后形成的三角形的三个内角分别是、_____、_____； (3)应用：以上操作引起了同学们极大的兴趣，大家尝试把五边形拼成三角形．小马虎仿照前面操作：把一边中点和其余四边中点分别连起来，得到2个三角形、3个四边形，通过旋转平移拼三角形，他（能，不能）拼成三角形． (4)小牛试着把特殊的五边形拼成一个特殊三角形；如图3，五边形可以看作由一个正方形和等腰直角三角形重合一边组成的五边形；小牛取中点，连接，通过分割、旋转三角形把五边形拼成了一个以为腰的等腰直角三角形．请参考小牛的做法，设计一个把图3拼成三角形的方法．（直接作图，不需要写做法） 【答案】(1) (2)； (3)见解析 (4)图见解析 【分析】（）利用旋转后线段共线的性质，通过拼接三角形边长与的倍数关系，算出； （）利用平角和三角形内角和，结合已知角度，算出拼接后三角形的另外两个内角为； （）分析五边形的分割拼接方式，发现无法实现无缝拼接，因此不能拼成三角形； （）通过选取中点连线、分割旋转的方法，将五边形拼接成以为腰的等腰直角三角形 【详解】（1）解：绕旋转后，与旋转后的线段共线， 且总长度，拼接后的三角形边长为，即为该边长， ∴； （2）解：在边上，共线， 故， 拼接后三角形的三个内角分别等于图1中的、，第三个内角为． （3）解：仿照四边形的操作，该分割方法旋转平移后，无法让所有顶点、边恰好拼接为三角形， 因此不能拼成三角形； （4）解：如图：，即：拼成三角形后的三角形． 2．小海同学在做完数学书中的一道题（图1）后产生了疑惑：为什么光线经过镜子反射时，．于是自己查阅资料，开展了光线与镜子夹角的项目探究： 【背景资料】 如图2，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角（）叫做入射角，反射光线与法线的夹角（）叫做反射角．反射角等于入射角，即．这就是光的反射定律．由可得． 【初步探究】 (1)如图3，两块平面镜和相交于点，如果入射光线与反射光线平行，求的度数． 【深入思考】 (2)如图4，两块平面镜的夹角为；光线射到平面镜上，分别经过平面镜两次反射后，进入光线与离开光线形成的夹角为．请写出与之间的数量关系并证明． 【拓展探究】 (3)如图5，有三块平面镜、、，镜子与的夹角，入射光线与平面镜的夹角，入射光线从镜面开始反射，依次经过平面镜、、的三次反射，当反射光线与入射光线平行时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，证明见详解 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和性质，平角的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合反射角等于入射角，得出，再根据平行线的性质以及三角形内角和性质进行分析，即可作答． （2）同理得，再根据平角的性质以及三角形内角和性质进行分析，即可作答． （3）先根据反射角等于入射角，平角的性质以及三角形内角和性质，得出，，再把数值代入计算，又因为，，故，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： 依题意，得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 在中，． （2）解：，过程如下： 如图所示： 依题意，得， ∵， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：依题意，如图所示： 则， ∴ ∵， 则， ∴， 则， ∴， 过点作， ∵反射光线与入射光线平行， ∴， 即， ∴， 则， 即， ∵，， ∴， 即． 3．如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，猜想与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)；证明见解析 【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数； （2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵交的延长线于点E， ∴， ∵， ∴． （2）解：； 证明：∵，平分， ∴， ∴， ∵交的延长线于点E， ∴， ∴， 即． 4．如图1，把一把含角的三角尺的边放置于直尺的边上． (1)填空：如图1，______°，______°． (2)如图2，现把三角尺绕点逆时针方向旋转，当且点恰好落在边上，若恰好是的2倍，求的值． (3)按图1所示的方式放置三角尺和直尺，现将射线从开始绕点以每秒的速度逆时针方向旋转至与重合时立即停止，射线从开始绕点以每秒的速度顺时针方向旋转至与重合时立即回转，旋转至与重合时再回转，如此循环往复．若射线转动20秒后，射线才开始转动，那么在射线停止运动之前，射线转动______秒，可使得． 【答案】(1)， (2) (3)或或140 【分析】（1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答； （2）根据两直线平行，内错角相等求出，继而表示出，再用三角形外角定理和邻补角可得，，最后根据恰好是的2倍列方程，计算可求解； （3）分三种情况，根据画出图形，列方程可解得答案． 【详解】（1）解：由题意，得：，， ∵， ∴，， ∴； （2）解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵恰好是的2倍， ∴， 解得； （3）解：设射线转动秒，可使得， 如图：由题意，得：，， ∵， ∴， ∴， 解得； 如图： ∵， ∴， ∴， 解得． 如图： ∵， ∴， ∴， 解得． 综上所述，t的值为或或140． 5．综合与实践 如图（1）将三角板与三角板摆放在一起，其中，，；如图（2），固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记． 【操作发现】 (1)在旋转过程中，当为_________度时，； (2)当与的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角的所有可能的度数； 【拓展应用】 (3)当时，连接，利用图（3）探究的值的大小是否变化，并说明理由． 【答案】(1) (2)，， (3)当，，保持不变，理由见解析 【分析】（1）如图1所示，记与的交点为F，根据三角形内角和定理得出，进而根据，即可求解； （2）分三种情况求解：①当时，②，③，再结合图形求解； （3）在中，根据三角形内角和定理，根据，，可得，即可得出． 【详解】（1）解：如图1所示，记与的交点为F， ， ， ， ， 即； （2）解：①当时，如图2所示， 记与的交点为点F， ， ， ， ，即； ②当时，如图1所示， 结合（1）得，，， ∴； ③当时，如图3所示，， ， ，即， 综上所述：旋转角α的所有可能的度数是：，，； （3）拓展应用：当，，保持不变，理由如下： 如图4，设分别交、于点、， 在中，， ，， ， ，， ． 6．如图，在中，已知，平分，， (1)若的面积是，求的面积； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（）延长交于点，可证，可得，进而由中线性质可得，，即得，即可求解； （）过点作于，过点作的延长线于，可证，可得，又由（）得，即可得，即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：过点作于，过点作的延长线于，则， ∵，平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴． 7．【问题背景】如图1，在探究手拉手全等模型时，小明发现了平分，他探究此问题的方法是“作”构造等边三角形解决问题． 【学以致用】 (1)如图2，等边三角形中，为边上一点，，交延长线于点． ①直接写出的度数； ②若，，求的长． (2)课后小明对手拉手模型进行了进一步的探究； ①和都是等边三角形，位置如图所示，此时平分的结论是否成立？______（填“成立”，“不成立”或“不能确定”）； ②求的值． 【答案】(1)①；② (2)①成立；② 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）①由等边三角形的性质和外角的性质可求解； ②由可证，可得，，即可求解； （2）①由可证，可得，，由面积公式可求，即可求解； ②通过证明和是等边三角形，可得，，，由可证，，可得，，即可求解． 【详解】（1）①是等边三角形， ，， ， ， ， 故答案为：； ②如图，在上截取，连接， ， ， ， ， 又， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ； （2）①如图，过点A作于F，于G， ，都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， 又，， 平分， 故答案为：成立； ②如图，在上截取，在上截取，连接，， ， ， ，， ， ， ， ，， 和是等边三角形， ，，， ，， ，， ，， 8．某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 【答案】(1) (2)（1）中的结论成立，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质； （1）证明得，由此即可得出、、的数量关系； （2）同（1）证得，进而得，据此即可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，由等腰直角三角形，得到，根据同角的余角相等得到，再根据和得到，即可证明，得到，再由，得到，即可证明得到，据此即可得出结论． 【详解】（1）解：、、的数量关系为：，理由如下： 如图1所示： ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：（1）中的结论成立，证明如下： 如图2所示： ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：证明：过点作，交的延长线于点，如图3所示： ∵和都是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点． 9．如图①所示，在中，若，则称，分别为的“三分线”．其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． (1)如图②，在中，，，若的邻三分线交于点，则________； (2)如图③，在中，是的邻三分线，是的邻三分线，若，求的度数； (3)在中，是的外角，的三分线与的邻三分线交于点．若，，直接写出的度数．(用含、的代数式表示) 【答案】(1) (2) (3)当是“邻三分线”时，；当是“邻三分线”时， 【分析】本题考查了三角形的外角性质和三角形内角和定理； （1）根据的邻三分线交于点，得出，进而根据三角形的外角的性质，即可求解； （2）根据三角形内角和定理求得，进而根据新定义，以及三角形内角和定理可得； （3）根据题意画出符合的所有情况，①当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，②当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∵的邻三分线交于点， ∴ ∴ 故答案为：． （2）解：∵在中，是的邻三分线，是的邻三分线 ∴ ∵ ∴ ∴ （3）分为两种种情况： 情况一：如图1， 当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， 由外角可得：， ； 情况二：如图2， 当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， 由外角可知：， ； 综上所述，当是“邻三分线”时，；当是“邻三分线”时， 10．在一副三角尺中，，， (1)将一副三角尺按如图1所示方式摆放（两条直角边在同一条直线上） ①联结，测得，则的度数是多少？ ②将三角尺绕点P以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺的边与射线重合时停止运动，经历多久使得其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行？ (2)若将这幅三角尺按照如图2所示方式摆放（两条斜边在同一条直线上）．三角尺绕点P以每秒的速度逆时针旋转，同时三角尺以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边与射线重合时两块三角尺都停止运动，运动______秒，使得其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行？（只写答案） 【答案】(1)①；②10秒或15秒 (2)6或9或42或45 【分析】（1）①先由平角的意义求出，再对由三角形内角和定理即可求解； ②分两种情况讨论：当和，作出图形，根据旋转的性质以及平行线的性质进行角度和差计算求出旋转角即可； （2）设旋转时间为秒，由题意得，，，然后分四种情况讨论，当当时，得到；当时，得到；当时，得到；当时，得到，分别建立起关于时间的方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴； ②当时， 则， ∴， ∴（秒）； 当时， ∵， ∴， ∵旋转， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴（秒）， 综上所述：当10秒或15秒时，其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行； （2）解：设旋转时间为秒，由题意得，，， 当时， 则， ∵， ∴ 解得：； 当时， ∴， ∵ ∴， 解得：； 当时， 则， ∵， ∴， 解得：； 当时， 则， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， 解得：， 综上所述：运动时间为6或9或42或45秒，使得其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，角的和差计算，以及一元一次方程的应用，难度较大，注意分类讨论思想的应用， 11．【问题情境】 在数学综合与实践课上，小滨和小波借助“两条平行线和直角三角尺”开展数学活动． 素材提供：三角板与三角板，其中，，， (1)【操作发现】 如图，小滨把三角板的顶点放在直线上，若，则_________． (2)【实践探究】 小滨和小波将三角板与三角板按如图所示摆放，点在直线上，点在直线上，小滨将三角板向左平移．在三角板向左平移过程中（初始状态三点共线），连接，记，．当点在右侧时，试探究与的数量关系． (3)【思维拓展】 小滨和小波一起将两块三角板旋转，如图，小滨将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时小波将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设时间为秒，且，若边与三角板的一条边平行时，请直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（）由图可得，根据平行线的性质列出方程解答即可求解； （）延长交于点，根据平行线的性质和三角形内角和定理可得出结论； （）分且在的上方、、和且在的下方四种情况，根据平行线的性质和三角形内角和定理解答即可求解； 本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理及外角性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：； （2）解：如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：①当且在的上方时，延长交于点，交于点，如图， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； ②当时，延长交于，交于点，如图， 则， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， 解得； ③当时，作直线分别交于点，如图， 则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得； ④当且在的下方时，延长交于点，设交于点，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； 综上，若边与三角板的一条边平行时，的值为或或或． 12．如图，在RtABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB． (1)求∠AOE的度数； (2)求证：AC=AE+CD． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用三角形的内角和求出的度数，再利用角平分线得到、的大小，最后求出外角的度数； （2）在上，构造，再利用条件证明，从而得到解题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴,， ∵是的外角， ∴； （2）证明：在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中 ，     ∴ ， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的定义、全等三角形的判定和性质，证明线段的和差常用“截长或补短”的方法． 13．如图，在中，，高、相交于点，，且． (1)请说明的理由； (2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，求当为何值时，的面积为． (3)在(2)的条件下，点是直线上的一点且．当为何值时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？请直接写出符合条件的值． 【答案】(1)见解析 (2)当为或时，的面积为 (3)或时，与全等 【分析】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识， （1）首先推导出，通过即可证明； （2）分两种情形讨论求解即可①当点在线段上时，②当点在射线上时，时；依据三角形面积计算公式解答即可； （3）分两种情形求解即可①如图中，当时，．②如图中，当时，． 【详解】（1）如图1中， 是高， ， 是高， ， ，， ， 在和中， ， ， （2）解：由（1）知， ， ， ， 由题意 ①当点在线段上时， ， 解得：； ②当点在延长线上时，， ， 解得：， 综上，当为或时，的面积为； （3）存在． ①如图2中，当时， ，， ． ， ， 解得， ②如图中，当时， ，， ． ， ， 解得． 综上所述，或时，与全等． 14．如图，和是等腰直角三角形，，，垂足为F． (1)求证：； (2)判断和的位置关系，并说明理由； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、线段的和差等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形求解线段问题是解答的关键． （1）先根据等角的余角相等证得，再根据全等三角形的判定证明即可得出，根据邻补角的定义，即可得证； （2）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质求得，再根据直角三角形的两锐角互余求得即可得出，进而证明，即可得出结论； （3）延长到，使得，根据全等三角形的判定与性质证明，得到即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴； ∴， ∴； （2）解：，理由如下， ∵，， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， （3）证明：延长到，使得， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，， ∵，   ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 15．已知：如图1，点D是的中点，，平分，点F在线段上，且． (1)求证：； (2)如图2，连接，交于点G，如果，． ⅰ）当时，求四边形的面积； ⅱ）延长至点P，使，连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①18；② 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，正确构造全等三角形是解题的关键． （1）延长交于点，先证明，然后证明，再证明，则，由得到； （2）①过点作于点，则，由三线合一得到，根据平行线间的距离相等得到，，则，那么，则，再由即可求解； ②连接，过点作交延长线于点，则，先证明，再证明，再证明，则，根据平行线的距离相等得到，则，那么． 【详解】（1）证明：延长交于点， ∵， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①过点作于点，则 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②连接，过点作交延长线于点，则 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 16．费马是17世纪的法国数学家，他曾研究过一种特殊的点，它满足“在一个三角形所在平面上，到该三角形的三个顶点距离之和最短”，这样的点被称为“该三角形的费马点”． (1)如图，中，，，点D在线段上且线段，请判断：点D是否为的费马点，并说明理由． (2)现有真命题：在中，三个内角都小于，在其内部存在一点P，满足，则点P称为的费马点． 小明利用该真命题，尝试用尺规作费马点，他的作法如下： 如图，对一个所有内角都小于的，分别以线段为边向外侧作等边三角形和等边三角形，连接交于点P．请完成证明： ①求证：； ②在线段上取点F使，连接， 求证：点P是的费马点． 【答案】(1)点D不是的费马点，理由见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）作于点E，连接，由等腰三角形的性质可知，结合可知E、D不重合．再根据在三角形中大角对大边，即得出，即，从而得出点D不是的费马点； （2）①由等边三角形的性质易证，即得出； ②连接．由①知，，结合三角形外角的性质即得出，从而可求．易证为等边三角形，得出，，即可证，从而可证，得出，即点P是的费马点． 【详解】（1）结论：点D不是的费马点． 理由：如图，作于点E，连接， ∴． ∵， ∴E、D不重合． 在中，， ∴， ∴点E到各顶点的距离之和点D到各顶点的距离之和， ∴点D不是的费马点； （2）①证明：∵和都为等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴； ②证明：如图，连接． 由①知，， ∴， ∴． 又∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴． 由，得， ∴点P是的费马点． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识，理解“费马点”的定义是解题关键． 17．（1）观察理解：如图1，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，由此可得：，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以___________；（请填写全等判定的方法） （2）理解应用：如图2，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标的数据计算图中的面积是___________； （3）拓展提升：如图3，等边中，，点在上，且，动点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段． ①当时，的长是___________． ②当点恰好落在射线上时，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）8；（3）①；② 【分析】（1）根据证明过程，不难发现其判定的依据是，解答即可． （2）利用（1）的全等三角形结论，解答即可． （3）①当时，证明是等边三角形，解答即可． ②证明解答即可． 【详解】（1）解：如图1，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，由此可得：，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以（）， 故答案为：； （2）解：由（1）同理可证，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的面积是， 故答案为：8． （3）①如图，当时， 则， ∵等边中，，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：． ②如图所示，当点恰好落在射线上时， ∵等边中，，且， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 18．设平面上的三个点A、B、C．需确定点P的位置，使最小．当点A、B、C共线时，点P应取三点中居中的点．当点A、B、C不共线时，分成两类；有一个内角大于或等于和的三个内角均小于．约1640年，法国数学家费马（PierredeFermat，1601﹣1665）提出了这个问题，此问题中求得的点P也称为费马点，并由意大利数学家托里拆利首次证明． 下面来探究当点A、B、C不共线时的情况： (1)如图1，已知：在中，时，　　　为所求费马点． (2)如图2，已知：在中，最大角时，我们可以快速找到这类三角形的费马点，作法如下：分别以的边为边向外作等边三角形和等边三角形，此时和交于一点P，点P就是所求的费马点． ①请找出图中与相等的线段，并说明理由； ②为了验证作图中找到的点P就是费马点，连接，求证：． 【答案】(1)A (2)①，理由见解析；②见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）将绕点C顺时针旋转得到，得到，根据等边三角形的性质得到，推出点B，A，三点共线，于是得到结论； （2）①根据等边三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到； ②设与交于G，根据全等三角形的性质得到，求得，在上截取，得到是等边三角形，根据全等三角形的性质得到，于是得到． 【详解】（1）解：将绕点C顺时针旋转得到，连接 ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴点三点共线， ∴最短， ∴点A为所求费马点； 故答案为：A； （2）①解：， 理由：∵与是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②证明：设与交于G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在上截取， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． (1)发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系：__________， ； (2)类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长BE，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； (3)拓展应用：在和中，，，，连接，，将绕它们共同的顶点A旋转一定的角度后，若B，E，F三点刚好在同一直线上，求此时的度数． 【答案】(1)，30 (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形以及等腰直角三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）设交于点G，由可得，而、，即可根据“”证明，所以，，则即可解答； （2）根据等腰三角形的性质，利用证明可得，然后再根据等腰三角形的性质即可解答； （3）根据等腰直角三角形的性质，利用证明可得，再分两种情况说明或即可． 【详解】（1）解：如图1，设交于点G， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：，30． （2）解：，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：如图3所示： ∵和都是等腰三角形， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴, ∴； 当F点在线段上时， 同法可证得：， ， ， ， ； 综上，或． 20．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到_________，推理依据是___________．进而得到_________，_________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，试猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，，， (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，理解“一线三等角”的全等模型以及该模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键． （1）通过证明，再根据全等三角形的判定与性质逐步分析即可解答； （2）作，利用“K字模型”的结论可得，故可推出，再证即可证明结论； （3）作，利用“K字模型”的结论可得，进一步可证即可求解． 【详解】（1）解：∵过点B作于点C，过点D作于点E． ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：，，，． （2）证明：如图：作， 由“K字模型”可得： ∴， ， ∵， ∴， ∴，即：点G是的中点． （3）解：，理由如下： 如图：作， ∵四边形和为正方形， ∴， 由“K字模型”可得：， ，， ， ∴ ， ∴∴． 试卷第2页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $