押题03 相交线与平行线（6大考点58题，期末预测）-2025-2026学年七年级数学下学期期末总复习押题预测（沪教版五四制）

**基本信息** 聚焦相交线与平行线6大核心考点，通过58题构建从概念辨析到性质应用再到综合证明的递进训练，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |相交线|10题（如垂线段最短应用）|概念辨析、角度计算|从垂直定义到性质应用，建立空间观念| |平行线基础|12题（如同旁内角识别）|判定条件、反证法初步|衔接相交线，构建平行线判定逻辑链| |性质求角度|13题（如折叠、旋转问题）|动态情境、多步推理|深化性质应用，培养几何直观| |判定与性质求角度|4题（如道闸模型计算）|实际应用、综合计算|融合判定与性质，提升问题解决能力| |判定与性质证明|7题（如补全证明过程）|逻辑推理、规范表达|强化推理意识，训练数学语言| |命题与证明|12题（如逆命题判断）|命题辨析、真假判断|构建数学证明体系，发展理性精神|

押题03 相交线与平行线（6大考点58题，期末预测） 目录 考点1：相交线 1 考点2：平行线基础问题综合 6 考点3：根据平行线的性质求角的度数 14 考点4：根据平行线判定与性质求角度 31 考点5：根据平行线判定与性质证明 35 考点6：命题与证明 42 一、单选题-考点1：相交线 1．在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是（    ） A．平板弹墨线 B．建筑工人砌墙 C．弯河道改直 D．测量跳远成绩 2．如图，在同一平面上，如果直线垂直于直线，直线垂直于直线，垂足为点，那么直线与直线重合的理由是（   ） A．垂线段相等 B．两点确定一条直线 C．在同一平面上，已知直线的垂线只有一条 D．在同一平面上，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 二、填空题-考点1：相交线 3．如图，已知，垂足为O，若，则直线与的夹角为______．    4．如图，，C为垂足，，D为垂足，，那么点C到的距离是 ________ ． 5．如图，直线、相交于E，，垂足为E．当时，________． 6．如图，在直角三角形中，，过点作于点，则线段___________的长可以表示点到直线的距离． 7．当光线从空气中射入某种液体中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射．如图，为液面，于点，一束光线沿射入液面，在点处发生折射，折射光线为，点为的延长线上一点，若入射角，折射角，则的度数为__________． 8．如图，直线相交于点O，平分，．如果，那么______． 9．如图，在中，，，那么点到直线的距离是线段________的长度． 三、解答题-考点1：相交线 10．如图，已知直线、相交于点O，平分，．若，求的度数．    四、单选题-考点2：平行线基础问题综合 11．下列说法中，正确的是（   ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．相等的角是对顶角 C．在同一平面上，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 D．在同一平面上，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线一定相交 12．如图，要使得与互补，可以添加的条件是（   ） A． B． C． D． 13．用反证法证明“已知：在中，，求证：”时，应先假设（　　） A． B． C． D． 14．下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线都分别交于一点；④平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到这条直线的距离．正确的有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 五、填空题-考点2：平行线基础问题综合 15．如图，直线，被直线所截，若，，，则_____度．    16．如图：与构成同旁内角的角有 _____个． 17．给定如图所示的图形（不再添线），点在的延长线上，请添加一个条件________作为已知条件，通过推理能得到（只需填写一个满足的条件）    18．如图，下列结论：①与是内错角；②与是同位角；③与是同旁内角，其中正确的有________（只填序号）． 19．凸六边形共有_______组同旁内角． 20．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：如图，“已知：在同一平面内，，求证：与不平行”时，应先应假设_________． 21．如图，，，用和表示，_______． 六、解答题-考点2：平行线基础问题综合 22．如图，直线与直线分别相交于点． 请你从①；②；③中选择其中两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，并进行证明． 你选择作为已知条件的是：_______，作为结论的是_______．（填序号） 证明： 23．用反证法证明：在三角形中，大角对大边． 如图，已知：在中，． 求证：． 证明：假设， ________（___________）． 假设________， ________（___________）． （完成以下说理过程） 七、单选题-考点3：根据平行线的性质求角的度数 24．如图，是直线上一点，平分，，，李军同学添加了一个条件后，仍不能判定，他添加的条件可能是（ ） A． B． C． D． 25．如图，现有一张长方形纸片，点E，F在上，点G，H在上，分别沿折叠，使点D和点A都落在点M处，点C的对应点为点．点B对应点为点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 26．如图，现有一张长方形纸片，点，在上，点，在上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，点的对应点为点．点对应点为点．若.，则的度数为（　　） A．104° B．106° C．96° D．132° 八、填空题-考点3：根据平行线的性质求角的度数 27．已知：如图，，三角尺的直角顶点在直线b上，，的度数为_______． 28．光从空气斜射入水中时会发生折射现象，在空气中平行的光线，因同种介质折射率相同，在水中仍保持平行．如图，如果，，那么______°． 29．如图，已知，且，则________度． 30．如图，已知，，与交于点，，那么的度数是___________． 31．如图，已知，，，那么______． 32．如图，直线，将三角板的直角顶点放在直线上，如果，那么的度数是______． 33．如图，在中，，、分别是、的平分线，且，，点D、E在边上，则的周长为________． 34．如图，，点位于两平行线之间且在点、的右侧，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点设的度数是，则的度数用表示为___________．    35．将一副三角尺如图1所示摆放，分别在直线上，，直线．现将三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设时间为秒，当时，如果边与三角尺的一条直角边平行（旋转过程中三角尺任意两边所在的直线不重合），那么所有满足条件的的值为___________． 36．将两块直角三角板（即两个直角三角形，其中，，；的直角顶点按图1方式叠放在一起．绕着点顺时针旋转（），旋转的速度为每秒，当旋转时间为为___________秒，有一边与边平行． 37．如图，将长方形纸条折叠，．按如图折叠，，则_____． 九、解答题-考点3：根据平行线的性质求角的度数 38．如图，，现将一块含的三角板按如图1放置，，，使点、分别在直线、上，设． (1)求的度数； (2)如果的角平分线交直线于点，如图2． ①当时，求的度数； ②在①的条件下，如果点是射线上的一点，将三角板绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，同时射线绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．当旋转多少时间时，与的一边平行？ 十、填空题-考点4：根据平行线判定与性质求角度 39．如图，直线、分别与、相交，已知，，，那么_________． 40．某小区车库门口需要用到曲臂直杆道闸，模型如图所示．如果，，，那么______°． 41．如图，已知，，，那么__________． 十一、解答题-考点4：根据平行线判定与性质求角度 42．在学习“相交线与平行线”一章时，小新同学所在的小组制作了如图①所示的潜望镜模型并且观察成功．大家结合实践活动更好地理解了潜望镜的工作原理．图②中，、代表镜子摆放的位置，动手制作模型时，应该保证与平行，已知光线经过镜子反射时，，，若，求的度数． 43．如图，已知，求的度数． 十二、单选题-考点5：根据平行线判定与性质证明 44．如图，下列能判断的条件是（　　） A． B． C． D． 十三、解答题-考点5：根据平行线判定与性质证明 45．如图，已知，直线交线段的延长线于点M，按下列步骤完成证明：． 步骤一、 假设，则______（______） ∵， ∴________ ∴________________ 这与________矛盾， 即不等于． 步骤二、（请自己写出后面的证明过程） 46．如图，已知直线、、被直线所截．若，，且，求的度数．把以下解答过程补充完整． 解：如图，将与相邻的补角记为． ，， ． ． ， ， ． 47．如图，已知点D、E在线段上，点F在线段上，射线、相交于点M，平分，，求证． 把以下证明过程补充完整． 证明：∵平分，∴， 又∵，∴____________________． ∴____________________（__________）． ∴____________________（__________）． ∴． 48．如图，已知：平分，平分，，求证：． 证明：∵， ∴____________，（______）． ∴______，（______）， ∵平分，平分， ∴，∠______． ∴． ∴． 49．已知：如图，中，于点D，于点G，线段，点E、A、C在同一直线上，求证：平分．请把以下证明过程补充完整． 证明：∵于点D，于点G， ∴ ∴（_______） ∴______（_________）， _________（________） ∵， ∴______（________） ∴，即平分． 50．完成下列证明： 已知：，，求证：． 证明：①　　， 又， ∴， ②　　③　　． ∴④　　⑤　　． （已知）， ∴． ⑥　　． 十四、单选题-考点6：命题与证明 51．下列命题中，真命题是（    ） A．相等的角是对顶角 B．两条直线被第三条直线所截，截得的同位角相等 C．面积相等的两个三角形是全等三角形 D．一条线段有且仅有一条垂直平分线 52．下列命题①互为补角的两个角都是锐角；②相等的角是对顶角；③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行；⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．是真命题的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 53．在中，有下列四个命题： ①如果，那么；    ②如果，那么； ③如果，那么；    ④如果，那么． 其中，真命题的个数有（   ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 54．下列命题中，真命题是（ ） A．真命题的逆命题一定是真命题 B．两边分别平行的两个角相等 C．等角的余角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 55．下列各命题的逆命题成立的是（    ） A．直角都相等 B．如果，那么 C．对顶角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 十五、填空题-考点6：命题与证明 56．“和为钝角的两个角都是锐角”是_________（填写“真”或“假”）命题． 57．命题“互余的两个角都是锐角”的逆命题是___________．（用“如果…那么…”的形式写出）． 58．将命题“在三角形中，大边对大角”改写成“如果……，那么……”的形式是________． 试卷第2页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 押题03 相交线与平行线（6大考点58题，期末预测） 目录 考点1：相交线 1 考点2：平行线基础问题综合 6 考点3：根据平行线的性质求角的度数 14 考点4：根据平行线判定与性质求角度 31 考点5：根据平行线判定与性质证明 35 考点6：命题与证明 42 一、单选题-考点1：相交线 1．在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是（    ） A．平板弹墨线 B．建筑工人砌墙 C．弯河道改直 D．测量跳远成绩 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段最短这一基本事实在生活中的应用，解题的关键是理解每个生活、生产现象背后的数学原理，并判断是否符合“垂线段最短”． 依次分析每个选项中现象所依据的数学原理，判断能否用“垂线段最短”来解释． 【详解】A、平板弹墨线，利用的是“两点确定一条直线”的原理，通过两点弹出直线，并非“垂线段最短”，所以该选项不符合； B、建筑工人砌墙，是利用铅垂线的原理，保证墙与地面垂直，依据的是重力方向竖直向下，与“垂线段最短”无关，该选项不符合； C、弯河道改直，是为了缩短路程，依据的是“两点之间，线段最短”，而不是“垂线段最短”，该选项不符合； D、测量跳远成绩时，测量的是从起跳点到落脚点的垂线段的长度，因为从落脚点到起跳线的垂线段是最短的，这样测量能得到最准确的成绩，符合“垂线段最短”的原理，该选项符合． 故选：D． 2．如图，在同一平面上，如果直线垂直于直线，直线垂直于直线，垂足为点，那么直线与直线重合的理由是（   ） A．垂线段相等 B．两点确定一条直线 C．在同一平面上，已知直线的垂线只有一条 D．在同一平面上，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 【答案】D 【分析】本题考查了垂线的定义，直接利用垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进而判断得出答案，掌握垂线的定义是解题的关键． 【详解】解：在同一平面内，，，垂足为，则直线和直线重合的理由是：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：． 二、填空题-考点1：相交线 3．如图，已知，垂足为O，若，则直线与的夹角为______．    【答案】40 【分析】由垂直的定义可求得，再利用对顶角可求得答案． 【详解】解：， ， ， 即直线与的夹角为， 故答案为：40． 【点睛】本题主要考查垂直的定义和对顶角的性质，由垂直的定义求得是解题的关键． 4．如图，，C为垂足，，D为垂足，，那么点C到的距离是 ________ ． 【答案】 【分析】本题主要查了点到直线的距离．根据点到直线的距离解答即可． 【详解】解：∵， ∴点C到的距离是． 故答案为： 5．如图，直线、相交于E，，垂足为E．当时，________． 【答案】/57度 【分析】根据垂直的定义求出，可得的度数，再根据对顶角相等即可得出答案． 本题考查了垂线，对顶角，熟练掌握垂直的定义，对顶角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 6．如图，在直角三角形中，，过点作于点，则线段___________的长可以表示点到直线的距离． 【答案】/ 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义（垂线段的长度），能熟记点到直线的距离的定义的内容是解此题的关键．根据点到直线的距离的定义得出即可． 【详解】解：结合图形， ∵， ∴点B到的距离是线段的长度， 故答案为：． 7．当光线从空气中射入某种液体中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射．如图，为液面，于点，一束光线沿射入液面，在点处发生折射，折射光线为，点为的延长线上一点，若入射角，折射角，则的度数为__________． 【答案】/14度 【分析】本题考查了对顶角的性质，角的和差，根据对顶角相等求出，再计算角的差即可． 【详解】解：点为的延长线上一点， ， ， 故答案为：． 8．如图，直线相交于点O，平分，．如果，那么______． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，垂线的定义，先由垂线的定义得到，则可求出的度数，再由角平分线的定义得到的度数，最后根据平角的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图，在中，，，那么点到直线的距离是线段________的长度． 【答案】/ 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离，即可解答． 【详解】解：∵，垂足为点D， ∴点到直线的距离是线段的长， 故答案为：． 三、解答题-考点1：相交线 10．如图，已知直线、相交于点O，平分，．若，求的度数．    【答案】 【分析】本题考查的是对顶角的性质，角平分线的定义，垂直的含义，掌握角的和差运算是解本题的关键，先证明，再求解，再结合垂直的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 四、单选题-考点2：平行线基础问题综合 11．下列说法中，正确的是（   ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．相等的角是对顶角 C．在同一平面上，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 D．在同一平面上，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线一定相交 【答案】C 【详解】本题考查了平行线的性质、平面中两条直线的位置关系、垂线的性质及对顶角的概念，掌握相关结论是解题关键． 【分析】A：两直线平行，同旁内角互补；故本选项说法错误； B：对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角（如平行线的同位角）；故本选项说法错误； C：平面内，过一点（无论点在直线上还是直线外）有且仅有一条直线与已知直线垂直，此为垂线唯一性定理；故本选项说法正确； D：同一平面上，若两直线均垂直于第三条直线，则这两条直线平行，永不相交；故本选项说法错误； 故选：C 12．如图，要使得与互补，可以添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定以及补角，将选项作为条件代入，证明与互补即可得到答案． 【详解】当时 直线和直线平行 与互补 故选：D． 13．用反证法证明“已知：在中，，求证：”时，应先假设（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须——否定． 根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】反证法证明命题：在中，，求证：， 第一步应先假设， 故选：B． 14．下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线都分别交于一点；④平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到这条直线的距离．正确的有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查平行公理、垂线的性质、三角形中各类线的交点性质、直线位置关系及点到直线的距离的定义，需逐一分析各说法的正确性，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若点在直线上，则无法作平行线，原说法缺少“直线外一点”的条件，故错误，不符合题意； ②平面内，过一点（无论点在直线上或外）有且只有一条直线与已知直线垂直，故正确，符合题意； ③三角形的三条中线交于重心，三条角平分线交于内心，三条高线所在直线交于垂心，故原说法错误，不符合题意； ④平面内两直线的位置关系只有平行和相交两种，垂直是相交的特殊情况，故错误，不符合题意； ⑤点到直线的距离是垂线段的长度，而非垂线段本身，故错误，不符合题意； 综上，正确的有②，共1个， 故选：A． 五、填空题-考点2：平行线基础问题综合 15．如图，直线，被直线所截，若，，，则_____度．    【答案】 【分析】本题考查了对顶角相等，平行线的性质，掌握“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 由对顶角相等求得，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，    故答案为：80． 16．如图：与构成同旁内角的角有 _____个． 【答案】3 【分析】本题考查同旁内角，关键是掌握同旁内角的定义．根据两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可得到答案． 【详解】解：能与构成同旁内角的角有、、，共3个． 故答案为：3． 17．给定如图所示的图形（不再添线），点在的延长线上，请添加一个条件________作为已知条件，通过推理能得到（只需填写一个满足的条件）    【答案】（或或或） 【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理，结合图形，即可求解． 【详解】解：∵ ∴； ∵， ∴； ∵或 ∴； 故答案为：（或或或）． 18．如图，下列结论：①与是内错角；②与是同位角；③与是同旁内角，其中正确的有________（只填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了内错角、同位角及同旁内角的判断，熟练掌握相关概念是解题关键． 根据内错角、同位角及同旁内角的性质逐一判断即可． 【详解】解：与是内错角，①正确； 与是同位角，②正确； 与是同旁内角，③正确； 故答案为：①②③． 19．凸六边形共有_______组同旁内角． 【答案】6 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可得到答案． 【详解】解：图中同旁内角有和，和，和，和，和，和，共有6对． 故答案为：6． 【点睛】本题考查同旁内角，关键是掌握同旁内角的定义． 20．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：如图，“已知：在同一平面内，，求证：与不平行”时，应先应假设_________． 【答案】 【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：反证法证明命题“已知：在同一平面内，，求证：与不平行”时，首先应假设与平行，即． 故答案为：． 21．如图，，，用和表示，_______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，作，，则，由平行线的性质可得，，，再结合几何图形分析即可得解，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，作，， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 六、解答题-考点2：平行线基础问题综合 22．如图，直线与直线分别相交于点． 请你从①；②；③中选择其中两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，并进行证明． 你选择作为已知条件的是：_______，作为结论的是_______．（填序号） 证明： 【答案】①②，③，证明见解析 【分析】本题考查平行线的判定，选择①②作为条件，③作为结论，由垂直定义得到，再由平行线的判定即可得证，熟记同位角相等，两直线平行是解决问题的关键． 【详解】解：你选择作为已知条件的是：①②，作为结论的是：③． 证明：，， ， （同位角相等，两直线平行）， 故答案为：①②，③． 23．用反证法证明：在三角形中，大角对大边． 如图，已知：在中，． 求证：． 证明：假设， ________（___________）． 假设________， ________（___________）． （完成以下说理过程） 【答案】见解析 【分析】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 利用等腰三角形的性质和大边对大角进行分析作答． 【详解】证明：假设， （等边对等角）． 假设， （大边对大角）． 上述无论哪种情况，都与已知矛盾，所以假设不成立． ． 七、单选题-考点3：根据平行线的性质求角的度数 24．如图，是直线上一点，平分，，，李军同学添加了一个条件后，仍不能判定，他添加的条件可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线的性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解答本题的关键． 根据平行线的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：、平分，， ，故不符合题意； B、， 不能判断，故B符合题意， C、， 平分 ，故C不符合题意； D、， ，故D不符合题意； 故选：B． 25．如图，现有一张长方形纸片，点E，F在上，点G，H在上，分别沿折叠，使点D和点A都落在点M处，点C的对应点为点．点B对应点为点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行线的性质得到，．根据得到，由折叠得到，．即可由得到答案． 【详解】解：由题意得． ∴，． ∴， 由折叠得，． ∴ ． 故选：B． 【点睛】此题考查了平行线的性质、折叠的性质、邻补角等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 26．如图，现有一张长方形纸片，点，在上，点，在上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，点的对应点为点．点对应点为点．若.，则的度数为（　　） A．104° B．106° C．96° D．132° 【答案】C 【分析】由平行线的性质得到，．根据得到，由折叠得到，．即可由，根据三角形的内角和定理可得，由周角的定义得到答案．此题考查了平行线的性质、折叠的性质、邻补角等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴． ∴，． ∴， ∵点，在上，点，在上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，点的对应点为点．点对应点为点， ∴，，． ∴ ． ∴， ∴． 故选：C． 八、填空题-考点3：根据平行线的性质求角的度数 27．已知：如图，，三角尺的直角顶点在直线b上，，的度数为_______． 【答案】/46度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平角的定义可得的度数，再由平行线的性质即可得到的度数． 【详解】解；如图所示，∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 28．光从空气斜射入水中时会发生折射现象，在空气中平行的光线，因同种介质折射率相同，在水中仍保持平行．如图，如果，，那么______°． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质．由得到，则，由得到． 【详解】解：如图，由题意得，， 由题意得，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 29．如图，已知，且，则________度． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是通过作辅助线，利用平行线的内错角相等性质来求解． 过点作平行于、的直线，将分成与、相等的角，进而得出与的关系． 【详解】如图： 过点作， ， ， ， ， 。 故答案为：130． 30．如图，已知，，与交于点，，那么的度数是___________． 【答案】 【分析】本题目考查了平行线，解决的关键是熟练掌握平行线的性质． 根据，可得，再根据，可得到． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 31．如图，已知，，，那么______． 【答案】/75度 【分析】本题考查平行线的性质，延长交于点，根据平行线的性质，得到，根据三角形的内角和为180度，进行求解即可． 【详解】解：延长交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴； 故答案为： 32．如图，直线，将三角板的直角顶点放在直线上，如果，那么的度数是______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，由，则，然后通过即可求解，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 33．如图，在中，，、分别是、的平分线，且，，点D、E在边上，则的周长为________． 【答案】3 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质及平行线的判定等知识点．本题的关键是将的周长就转化为边的长． 根据平行线的性质可证的和为等腰三角形，从而将的周长转化为的长． 【详解】解：∵、分别是和的角平分线， ， ， ， ， ， ， 的周长， 即的周长是． 故答案为：3． 34．如图，，点位于两平行线之间且在点、的右侧，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点设的度数是，则的度数用表示为___________．    【答案】 【分析】本题考查了图形的变化规律、角平分线定义、平行线性质，熟练掌握以上知识点是关键．过点作，利用平行线性质得到，进而得到，同理可得，…依此类推得到，即可解答． 【详解】解：如图，过点作，    ∵， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∵和的平分线交于点， ∴同理可得， ∴， ∵， ∴， 同理，， …… 依此类推，． ∴的度数用表示为． 故答案为：． 35．将一副三角尺如图1所示摆放，分别在直线上，，直线．现将三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设时间为秒，当时，如果边与三角尺的一条直角边平行（旋转过程中三角尺任意两边所在的直线不重合），那么所有满足条件的的值为___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，先根据题意画出旋转后的图形，由已知条件，利用平行线的旋转，求出旋转角之间的关系，列出方程解答即可．解题关键是根据题意，画出旋转后的图形． 【详解】解：由题意得：，， （1）当时， 如图所示：延长交于点， ①在上方， ，，， ， ， ， ， ， 即， 解得：； ②在下方时，， ，，， ， ， ， ， ， 即， 解得：（舍去）； 如图：当时，延长交于点， ①在上方，度， ，， ， ， ， ， ， 即，解得：； ②在下方，度， ，，， ， ， ， ， ， 即，解得：（舍去）， 综上可知：所有满足条件的的值为：或， 故答案为：或． 36．将两块直角三角板（即两个直角三角形，其中，，；的直角顶点按图1方式叠放在一起．绕着点顺时针旋转（），旋转的速度为每秒，当旋转时间为为___________秒，有一边与边平行． 【答案】或或 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，几何中角度的计算，理解图形的性质，掌握平行性的性质是关键． 根据图形的旋转，平行线的性质，数形结合，分类讨论即可求解． 【详解】解：如图所示，， ∴， ∵绕着点顺时针旋转，旋转的速度为每秒， ∴从顺时针旋转的时间为； 如图所示，， ∴， ∴从顺时针旋转至图中所示位置的角度为， ∴所需时间为； 如图所示，，过点作， ∴， ∴， ∴， ∴从顺时针旋转至图中所示位置的角度为， ∴所需时间为； 如图所示，， ∴， ∴从顺时针旋转至图中所示位置的角度为，故此种情况不符合题意，舍去； 如图所示，，设交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴绕点顺时针旋转至图中所示位置，旋转的角度为，故此种情况不符合题意，舍去； 综上所述，当或或时，有一边与边平行， 故答案为：或或 ． 37．如图，将长方形纸条折叠，．按如图折叠，，则_____． 【答案】/115度 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质得到，由折叠的性质得到，即可通过平行线的性质求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， 故答案为：． 九、解答题-考点3：根据平行线的性质求角的度数 38．如图，，现将一块含的三角板按如图1放置，，，使点、分别在直线、上，设． (1)求的度数； (2)如果的角平分线交直线于点，如图2． ①当时，求的度数； ②在①的条件下，如果点是射线上的一点，将三角板绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，同时射线绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．当旋转多少时间时，与的一边平行？ 【答案】(1) (2)①；②当旋转20秒或40秒或50秒或80秒时，与的一边平行． 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，添加辅助线是解题的关键，第3问是动点问题，找到模型即可解答． （1）先作辅助线构造平行，然后根据平行线的性质即可解答； （2）①利用两次平行线的性质，找到等量关系，②动点问题，先把图形画出来，然后数形结合找到角之间的数量关系，列出方程，从而求出t． 【详解】（1）解：如图1，过点G，作， ， ， ，， ， ； （2）解：①， ， 平分， ， 又， ，， ， 解得； 【点睛】②如图2，当时，延长至点Q， ， ， ， ， 由题意知，， 由①得， ， 解得：； 当时， ， 由题意知得， ∴， 解得； 如图4，当时，延长交于点T，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； 如图4，当（第二次）时， 则， ∴， 解得：； 综上，当旋转20秒或40秒或50秒或80秒时，与的一边平行． 十、填空题-考点4：根据平行线判定与性质求角度 39．如图，直线、分别与、相交，已知，，，那么_________． 【答案】/100度 【分析】本题考查平行线的判定和性质，由对顶角相等可得，根据可得，由平行线的性质可得． 【详解】解：如图， ，， ， ， ， 故答案为：． 40．某小区车库门口需要用到曲臂直杆道闸，模型如图所示．如果，，，那么______°． 【答案】127 【分析】本题考查了平行线的判定和性质、垂直的定义、角的和差等知识； 过点B作，如图，根据平行线的性质和垂直的定义可得，进而可得，证明即可得解． 【详解】解：过点B作，如图， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：127． 41．如图，已知，，，那么__________． 【答案】138 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的判定和性质，易得，则，得到，再根据对顶角相等，得到结果． 【详解】解：如图， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 十一、解答题-考点4：根据平行线判定与性质求角度 42．在学习“相交线与平行线”一章时，小新同学所在的小组制作了如图①所示的潜望镜模型并且观察成功．大家结合实践活动更好地理解了潜望镜的工作原理．图②中，、代表镜子摆放的位置，动手制作模型时，应该保证与平行，已知光线经过镜子反射时，，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，根据平行线的性质可得到，结合条件可求得，再利用平行线的判定可证明，由垂线的性质得出答案． 【详解】解：∵， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ． 43．如图，已知，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，根据得出，结合已知可得，即可证明，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴． 十二、单选题-考点5：根据平行线判定与性质证明 44．如图，下列能判断的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定定理，关键在于找准两个角之间的位置关系． 先确定两角的位置关系，再直接利用平行线的判定进行逐一判断即可． 【详解】解：A、，这两个角不是同位角、内错角或同旁内角的关系，不能判定． B、，此时可判定（内错角相等，两直线平行），不能判定． C、与是内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可以判定． D、，不能判定． ∴能判断的条件是， 故选：C． 十三、解答题-考点5：根据平行线判定与性质证明 45．如图，已知，直线交线段的延长线于点M，按下列步骤完成证明：． 步骤一、 假设，则______（______） ∵， ∴________ ∴________________ 这与________矛盾， 即不等于． 步骤二、（请自己写出后面的证明过程） 【答案】见解析 【分析】本题考查反证法，平行线的判定与性质，假设，得出，再证明得出，这与直线交的延长线于点M矛盾，即不等于．假设，则，得出，与矛盾，即不小于． 【详解】步骤一、假设，则（等边对等角） ∵， ∴ ∴， 这与直线交的延长线于点M矛盾， 即不等于． 步骤二、 假设，则， ∵， ∴ ∵， ∴ 与矛盾 即不小于． 综上所述，． 46．如图，已知直线、、被直线所截．若，，且，求的度数．把以下解答过程补充完整． 解：如图，将与相邻的补角记为． ，， ． ． ， ， ． 【答案】同位角相等，两直线平行；；；平行于同一直线的两条直线互相平行；两直线平行，同位角相等； 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．根据平行线的判定定理与性质定理求解即可． 【详解】解：如图，将与相邻的补角记为． ， ． 同位角相等，两直线平行． ， 平行于同一直线的两条直线互相平行 两直线平行，同位角相等 ， ． 故答案为：同位角相等，两直线平行；；；平行于同一直线的两条直线互相平行；两直线平行，同位角相等；． 47．如图，已知点D、E在线段上，点F在线段上，射线、相交于点M，平分，，求证． 把以下证明过程补充完整． 证明：∵平分，∴， 又∵，∴____________________． ∴____________________（__________）． ∴____________________（__________）． ∴． 【答案】；；；；同位角相等，两直线平行；；；两直线平行，同位角相等 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，由角平分线的定义和已知条件可证明，则可证明得到，据此可证明． 【详解】证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴． ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）． ∴． 48．如图，已知：平分，平分，，求证：． 证明：∵， ∴____________，（______）． ∴______，（______）， ∵平分，平分， ∴，∠______． ∴． ∴． 【答案】；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等； 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义．根据平行线的判定和性质，补齐各步骤的结论和推理依据，即可得到结果． 【详解】证明：∵， ∴，（同旁内角互补，两直线平行）． ∴，（两直线平行，同位角相等）， ∵平分，平分， ∴，． ∴． ∴． 故答案为：；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；． 49．已知：如图，中，于点D，于点G，线段，点E、A、C在同一直线上，求证：平分．请把以下证明过程补充完整． 证明：∵于点D，于点G， ∴ ∴（_______） ∴______（_________）， _________（________） ∵， ∴______（________） ∴，即平分． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的判定和性质，等腰三角形性质，角的平分线定义证明即可． 本题考查了平行线的判定和性质，等腰三角形性质，角的平分线定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵于点D，于点G， ∴ ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等）， （两直线平行，内错角相等） ∵， ∴（等边对等角） ∴，即平分． 故答案为：同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；；等边对等角． 50．完成下列证明： 已知：，，求证：． 证明：①　　， 又， ∴， ②　　③　　． ∴④　　⑤　　． （已知）， ∴． ⑥　　． 【答案】①对顶角相等②③同位角相等，两直线平行④⑤两直线平行，同旁内角互补⑥内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．根据平行线的判定和性质，补齐各步骤的结论和推理依据即可． 【详解】证明：对顶角相等）， 又， ， （同位角相等，两直线平行）， 两直线平行，同旁内角互补）， （已知）， ， 内错角相等，两直线平行）． 故答案为：①对顶角相等；②；③同位角相等，两直线平行；④；⑤两直线平行，同旁内角互补；⑥内错角相等，两直线平行． 十四、单选题-考点6：命题与证明 51．下列命题中，真命题是（    ） A．相等的角是对顶角 B．两条直线被第三条直线所截，截得的同位角相等 C．面积相等的两个三角形是全等三角形 D．一条线段有且仅有一条垂直平分线 【答案】D 【分析】本题主要考查了命题真假的判断， 根据“正确的命题是真命题”逐一分析各选项是否为真命题，即可解答． 【详解】解：A. 相等的角不一定是对顶角，例如平行线中的同位角相等，但它们不是对顶角，所以A不是真命题； B. 只有当两直线平行时，同位角才相等，题中未说明平行，所以B不是真命题； C. 面积相等的三角形不一定全等，例如底和高不同但面积相等的三角形，所以C不是真命题； D. 线段的垂直平分线过中点且垂直，由几何公理可知其唯一存在，所以D是真命题． 故选：D． 52．下列命题①互为补角的两个角都是锐角；②相等的角是对顶角；③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行；⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．是真命题的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质与判定，垂线的定义，对顶角和补角的定义，度数之和为180度的两个角互补，据此可判断①；有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，据此可判断②；根据平行线的性质可判断③；根据平行公理可判断④；根据垂线的定义可判断⑤． 【详解】解：①互为补角的两个角不可能都是锐角，原命题是假命题； ②相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题； ③两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，原命题是假命题； ④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行，原命题是真命题； ⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是真命题． 故选：B． 53．在中，有下列四个命题： ①如果，那么；    ②如果，那么； ③如果，那么；    ④如果，那么． 其中，真命题的个数有（   ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及边角关系定理；根据等腰三角形的性质及边角关系定理逐一判断四个命题的真假即可． 【详解】解：命题①：若，则为等腰三角形，∴底角，故正确． 命题②：若，由等角对等边可知，故正确． 命题③：若，根据大边对大角定理，对的角大于对的角，故正确． 命题④：若，根据大角对大边定理，对的边大于对的边，故正确． 综上，四个命题均为真； 故选：A． 54．下列命题中，真命题是（ ） A．真命题的逆命题一定是真命题 B．两边分别平行的两个角相等 C．等角的余角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【分析】本题考查了命题的判断，根据逆命题、平行线的性质，平行公理，等角的余角相等，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 真命题的逆命题不一定是真命题，故该选项不符合题意； B. 两边分别平行的两个角相等或互补，原命题是假命题，故该选项不符合题意； C. 等角的余角相等，故该选项符合题意； D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项不符合题意； 故选：C． 55．下列各命题的逆命题成立的是（    ） A．直角都相等 B．如果，那么 C．对顶角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 【答案】D 【分析】本题考查了写出命题的逆命题，判断命题的真假，先写出各个选项的逆命题，再结合直角的定义、对顶角的定义、有理数的乘方以及平行线的判定与性质逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、逆命题为：相等的角都是直角，该逆命题不成立，故不符合题意； B、逆命题为：如果，那么，该逆命题不成立，故不符合题意； C、逆命题为：相等的角都是对顶角，该逆命题不成立，故不符合题意； D、逆命题为：同旁内角互补，两直线平行，该逆命题成立，故符合题意； 故选：D． 十五、填空题-考点6：命题与证明 56．“和为钝角的两个角都是锐角”是_________（填写“真”或“假”）命题． 【答案】假 【分析】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 根据锐角、钝角的概念判断即可． 【详解】解：，即与的和是，而、都是钝角， ∴“和为钝角的两个角都是锐角”是假命题， 故答案为：假． 57．命题“互余的两个角都是锐角”的逆命题是___________．（用“如果…那么…”的形式写出）． 【答案】如果两个角都是锐角，那么这两个角互余 【分析】本题考查了命题的逆命题．根据逆命题的定义，将原命题的条件和结论互换即可解答． 【详解】解：命题“互余的两个角都是锐角”的逆命题是“如果两个角都是锐角，那么这两个角互余”． 故答案为：如果两个角都是锐角，那么这两个角互余． 58．将命题“在三角形中，大边对大角”改写成“如果……，那么……”的形式是________． 【答案】如果一个三角形中一边大于另一边，那么该边所对的角大于另一边所对的角 【分析】本题主要考查的知识点是如何将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解题关键是找到命题中相应的条件和结论．命题中的条件是一个三角形中一边大于另一边，放在“如果”的后面，结论是该边所对的角大于另一边所对的角，应放在“那么”的后面． 【详解】解：如果一个三角形中一边大于另一边，那么该边所对的角大于另一边所对的角 故答案为：如果一个三角形中一边大于另一边，那么该边所对的角大于另一边所对的角． 试卷第2页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $