专题03 概率初步（期末真题汇编）数学新教材北师大版七年级下册

**基本信息** 聚焦概率初步9大高频考点，汇编福建、上海、广东等多地区期末真题，情境贴近生活且层次分明，适配初中期末复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|18题|必然事件判断、频率与概率关系、几何概率计算|结合“三味蔬屋”社团种子发芽实验考查频率估计概率（考点02），融入黄庄月饼、二维码等生活情境（考点04、08）| |填空|15题|事件类型辨识、频率计算、可能性大小比较|以任丘旅游景点选择、电影票抽取为背景设计随机事件问题（考点01、05）| |解答|12题|游戏公平性分析、概率公式应用、几何概率应用|通过扑克牌游戏、转盘抽奖等探究游戏公平性（考点07），结合正二十面体骰子计算概率（考点05）|

专题03 概率初步 题号 1 2 3 6 7 8 11 12 16 17 答案 D A C D C C C B C B 题号 18 21 22 26 27 31 32 36 37 41 答案 D B C B D A D A A B 题号 42 答案 C 1．D 【分析】根据随机事件的定义，即可能发生也可能不发生的事件，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A．太阳从东方升起一定发生，属于必然事件，A不符合题意； B．两个负数相乘，积一定是正数，属于必然事件，B不符合题意； C．生肖共12种，13个人中一定至少有2人生肖相同，属于必然事件，C不符合题意； D．抛掷一枚质地均匀的硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上，结果不确定，属于随机事件，D符合题意． 2．A 【分析】根据确定事件包括一定发生的必然事件和一定不发生的不可能事件，可能发生也可能不发生的是随机事件来判断各选项即可． 【详解】解：A、太阳一定从东方升起，不可能从西边升起，该事件一定不发生，故是确定事件，符合题意； B、两个非零实数相乘，同号得正异号得负，积可能为正也可能为负，故是随机事件，不符合题意； C、抛掷质地均匀的硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，故是随机事件，不符合题意； D、只有两条平行直线被第三条直线所截时，同位角才相等，非平行直线被截时同位角不相等，故是随机事件，不符合题意． 3．C 【分析】此题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件．根据随机事件、必然事件和不可能事件的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A、“购买1张彩票，中奖”是随机事件，故本选项不符合题意； B、“随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数”是随机事件，故本选项不符合题意； C、“温度降到以下，纯净的水结冰”是必然事件，故本选项符合题意； D、“汽车累积行驶，从未出现故障”是随机事件，故本选项不符合题意． 故选：C． 4．随机 【分析】本题考查了事件的分类．事件“他们最终选择任丘植物园游玩”可能发生也可能不发生，因此是随机事件． 【详解】解：从药王庙、任丘植物园及任丘博物馆中随机选择一处游玩，选择任丘植物园是可能发生的，但不是必然事件，故该事件为随机事件． 故答案为：随机． 5．随机 【分析】本题考查了事件的可能性．正确理解事件的可能性是关键．必然事件是一定会发生的事件，不可能事件是永远不会发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件．根据随机事件的定义判定即可． 【详解】解：事件“打开电视机任选一个频道，正在播放体育赛事”可能发生，也可能不发生，因为电视节目的播放具有不确定性，所以该事件是随机事件． 故答案为：随机． 6．D 【分析】概率P是固定值，频率f随试验次数增加在P附近波动并趋于稳定. 本题考查频率与概率的关系，熟练掌握二者的关系是解题的关键. 【详解】解：∵ 概率P是常数，不随试验次数改变； 频率f随试验次数增加而逐渐稳定于P附近. ∴ 选项D正确. 故选：D. 7．C 【分析】本题考查频率与概率的关系，概率的计算方法，掌握相关知识是解决问题的关键．在大量重复试验中，试验的频率逐步稳定在理论概率附近，先计算每个选项的概率，再结合统计图中频率稳定在左右的特征，匹配对应的试验． 【详解】解：由题意知，试验的频率约为， A：掷均匀骰子，总共有 6 个等可能结果，出现 1 点的结果有 1 种，概率 ，与不符； B：掷均匀硬币，总共有 2 个等可能结果，反面朝上的结果有 1 种，概率，与不符； C：从标有 1、2、3 的纸条中抽取，总共有 3 个等可能结果，偶数只有  1 种，概率，与统计图中频率的稳定值一致； D：单项选择题有 4 个选项，且只有 1 个正确答案，总共有 4 个等可能结果，选对正确答案的结果有 1 种，概率 ，与不符． 故选：C． 8．C 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，计算频率，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，频率等于频数除以总数，每次试验频率的值都有可能发生变化，据此可得答案． 【详解】解：A、当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以此时“钉尖向上”的频率是： ，但“钉尖向上”的概率不一定是，原说法错误，不符合题意； B、当投掷次数是6000时，“钉尖向上”的频率不一定是，原说法错误，不符合题意； C、随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是，原说法正确，符合题意； D、若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率可能是，但不一定是，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 9． 【详解】解：由表格数据可得，随着移植棵数逐渐增加，成活的频率逐渐稳定在附近， 根据用频率估计概率的原理，估计银杏树苗在该条件下移植成活的概率约为， 将精确到，结果为． 10．(1) (2)大约能有1900粒种子发芽 【分析】本题考查了，用频率估计概率，由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）当实验的种子越来越多时，这批油麦菜种子的发芽率越接近，由此即可得解； （2）用2000乘以①中得到的发芽率即可得解． 【详解】（1）解：根据表中数据，当实验的种子越来越多时，这批油麦菜种子的发芽率越接近， 所以估计这批油麦菜种子的发芽率为； （2）解：（粒）， 故大约能有粒种子发芽． 11．C 【分析】本题考查求频率，直接利用频率公式进行计算即可． 【详解】解：一共40个字母，字母“i”出现了4次， ∴； 故选C． 12．B 【分析】本题考查的是频率的计算应用． 频率∶每个对象出现的次数与总次数的比值称为频率，熟知频率公式是解题的关键； 由骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，利用频率公式直接求解即可求得答案． 【详解】骰子的六个面上分别刻有1到6的点数， 掷得朝上一面的点数是6的频率为：， 故选：B． 13． 【分析】本题考查了频率，解题的关键是掌握频率是事件发生次数与总试验次数的比值，计算即可． 【详解】解：出现点数6的次数为5次，总试验次数为20次， 频率． 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查了求频率，用字母e的个数除以字母的总个数即可得到答案． 【详解】解：“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了求频率，用频率估计概率，随着试验次数的增加，频率稳定趋向一个固定的值，这个固定值即是概率；求出各个频率即可估计出概率． 【详解】解：表中从左往右，频率分别为， 钉尖朝上的概率约为； 故答案为：． 16．C 【分析】本题考查了事件的判断，理解题意是解决本题的关键． 根据地球表面人类居住面积占比极小的事实，陨石砸中人的概率极低，则“陨石没有砸中人”的概率极高，属于极大概率事件． 【详解】解：∵地球表面无人居住区域占绝大多数， ∴陨石砸中人的概率极小， ∴事件“陨石没有砸中人”是极大概率事件． 故选C． 17．B 【分析】本题考查根据频率估计概率，摸到红球的频率为，故概率约为；每次摸球独立且概率不变，因此第101次摸到红球的可能性较大，据此逐项判断即可． 【详解】解：∵ 摸球100次，摸到红球90次，且每次摸球后放回搅匀，每次摸球独立， ∴ 摸到红球的频率为，估计概率为， ∴ 第101次摸到红球的概率约为，故摸到红球的可能性较大， 选项A错误，因为总球数未知； 选项B正确； 选项C错误，因为概率不为1； 选项D错误，因为频率不一定精确等于比例， 故选B． 18．D 【分析】本题主要考查可能性的大小．根据各种月饼数量的多少，直接判断可能性的大小，哪种月饼的数量越多，拿出的可能性就越大． 【详解】解：由题意得，所有事件可能的结果数是， ∵豆沙月饼有4个，数量最多， ∴拿出的可能性最大的是豆沙月饼， 故选：D． 19． 【分析】本题考查了可能性的大小判断，关键在于比较各数字在卡片中出现的次数，次数最多的数字被摸到的可能性最大．由题可知张卡片中，数字出现次，数字出现次，数字出现次，故摸到数字的可能性最大，据此即可解答． 【详解】解：卡片上的数字分别为，，，，，，其中数字出现次，数字出现次，数字出现次，因此数字出现的次数最多，故摸到数字的可能性最大，故答案为：． 20．② 【分析】本题考查了列举法求概率．首先利用列举法，可得抛掷两枚质地均匀的硬币，可能的结果为：正正，正反，反正，反反，然后利用概率公式求得各概率，再比较判断，即可解题． 【详解】解：抛掷两枚质地均匀的硬币，所有可能的结果为：正正，正反，反正，反反，共4种等可能情况． 事件①（全是正面）包含1种情况，概率为； 事件②（一正一反）包含2种情况，概率为； 事件③（全是反面）包含1种情况，概率为． ， 事件②的概率最大． 故答案为：②． 21．B 【分析】根据概率公式，找出所有等可能结果数和符合要求的结果数，代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵霖霖从三部电影中随机选择一部，共有3种等可能的结果，其中恰好选中《731》的结果只有1种， ∴所求概率为． 22．C 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，分别求出这只蚂蚁爬到树枝头E和F的概率，比较大小即可得出结果，解题的关键是熟练掌握两步完成的事件的概率第一步事件的概率与第二步事件的概率的乘积． 【详解】解：这只蚂蚁爬到树枝头E的概率为， 这只蚂蚁爬到树枝头F的概率为， ∵， 故这只蚂蚁爬到树枝头E和F的概率的大小关系是同样大， 故选：C． 23． 【分析】本题考查概率的计算，直接利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：袋子中球的总个数为，其中红球的个数为，根据概率公式可得，摸出红球的概率． 24． 【分析】本题考查等可能事件的概率计算，核心是利用概率公式求解．先确定转盘所有等可能的结果总数，再找出指针指向“直尺”区域的结果数，最后代入公式计算概率． 【详解】解：∵转盘被等分成四个扇形区域， ∴转动转盘后共有4种等可能的结果，其中指针指向“直尺”区域的结果仅有1种， ∴指针指向“直尺”区域的概率是． 故答案为：． 25．(1)掷出面标有“6”的概率是 (2)掷出面标有“2的倍数”的概率是 【分析】本题主要考查了概率公式，随机事件，根据题意求出所有等可能结果数和满足题意的结果数成为解题的关键． （1）先求出标“6”的面有5个，然后分别利用概率公式求解即可； （2）先求数字是2的倍数的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵骰子有20个面， 标有“6”的面数为面， 掷出“6”的概率是； （2）解：标有“2”的面数为2面，标有“4”的面数为4面，标有“6”的面数为5面，故掷出面标有“2的倍数”的有面， 掷出“2的倍数”的概率是． 26．B 【分析】本题考查频率与概率． 在大量重复试验中，随机事件的频率会稳定在概率附近，可据此结合概率公式列方程求解红球个数． 【详解】解：∵通过大量重复摸球试验，摸到红球的频率稳定于， ∴可估计摸到红球的概率为． 设袋中红球有个， ∵概率公式为， ∴， 解得． 故袋中红球约有6个． 27．D 【分析】解题方法是利用 “椭圆面积与长方形面积的比值点落在椭圆内的频率” 计算椭圆面积． 【详解】解：大量实验后，点落在椭圆内的频率稳定在，说明椭圆面积占长方形面积的比例约为， 长方形的面积为：， 则椭圆的面积为． 28．8 【详解】解：根据频率估计概率的知识，摸出红球的频率稳定在0.2， 因此摸出红球的概率为0.2， 则袋子中红球的个数约为． 29． 【分析】由题意可知点落入黑色部分的频率稳定在左右，然后乘以二维码的面积即可． 【详解】解：估计黑色部分的面积约为． 【点睛】经过大量重复试验，事件发生的概率近似的等于频率． 30．6个 【分析】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量，理解题意是解题的关键． 根据题意可知摸到黑色墨囊的概率是0.8，再利用概率公式即可求解． 【详解】解：∵通过大量试验后他发现摸到黑色墨囊的频率为， ∴摸到黑色墨囊的概率是0.8， （个）， 答：估计盒中红色墨囊的个数是6个． 31．A 【分析】本题考查了游戏的公平性，列举法求概率．通过列举两枚硬币抛掷的所有可能结果，计算小明和小华赢的概率并比较，即可作答． 【详解】解：依题意，两枚均匀硬币抛掷的所有可能结果有4种：正正、正反、反正、反反，且每种结果等可能， 其中，小明赢（正正）的概率为，小华赢（反反）的概率为，平局为， ∴小明和小华赢的概率相等，游戏公平， 故选：A． 32．D 【分析】本题考查概率的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键． 计算四人依次不放回摸球时每人摸到红球的概率，据此解答即可． 【详解】解：总球数4个，红球1个， 则小丁摸到红球的概率为， 小王摸到红球的概率为， 小林摸到红球的概率为 小陈摸到红球的概率为 因此，每人摸到红球概率均为，小王与小丁的说法正确， 故选：D． 33．不公平 【分析】本题考查利用概率判断游戏公平性，熟练掌握列举法求概率是解题的关键，利用列表法表示出所有可能，进而利用概率公式求出即可． 【详解】解：由题可列表如下： 2 3 4 2 4 5 6 3 5 6 7 4 6 7 8 由表知，共有9种等可能结结果，其中和为奇数的有4种结果，和为偶数的有5种结果， ∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， ∵， ∴这个游戏不公平， 故答案为：不公平． 34．4 【分析】本题主要考查的是根据概率相同来判断游戏公平性以及一元一次方程的应用，计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平，概率等于所求情况数与总情况数之比； 【详解】解：若游戏对甲、乙双方都公平， ∴绿球与黑球的个数应相等，也为个， 根据题意可得：， 解得：． 故答案为：4． 35．(1) (2)这个游戏公平，理由见解析 【分析】本题考查了概率公式求概率，游戏公平性． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）依题意列表，判断即小华和小维获胜的概率是否相同即可． 【详解】（1）解：一共张牌，偶数的牌有张， ∴小华先从中抽出一张牌的数字是偶数的概率为． 故答案为：； （2）解：依题意，列表得： 3 4 6 10 3 7 9 13 4 7 10 14 6 9 10 16 10 13 14 16 ∴一共有12种等可能性的结果，结果为偶数的结果有6种，其余的结果也有6种， ∴抽出的两张牌数字之和是偶数的概率为，其余的结果的概率为， 即小华和小维获胜的概率相同． 答：这个游戏公平． 36．A 【分析】本题考查了概率的基本概念及几何概型的应用，利用几何概率的计算方法，即指针落在阴影部分的概率等于阴影部分面积除以正八边形总面积，通过分析正八边形被分成的三角形个数以及阴影部分三角形个数来求解． 【详解】解：根据题意可知，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形， 其中阴影部分的面积为4个面积相等的三角形， ∴指针落在阴影部分的概率是， 故选：A． 37．A 【分析】本题考查了几何概率，先理解题意，由扇形统计图得出一等奖的圆心角是，再根据概率公式列式计算，即可作答． 【详解】解：由扇形统计图得出一等奖的圆心角是， 则， 即获得一等奖的概率为， 故选：A． 38． 【分析】用黑色小正方形的数量除以小正方形的总数即可得到答案． 【详解】解：由题意得，任意投掷飞镖一次，击中黑色小正方形的概率为． 39． 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，几何概率．根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为，即黑色阴影的面积占整个面积的，据此求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在黑色阴影的概率为， ∴黑色阴影的面积占整个面积的， ∴黑色阴影的面积为， 故答案为：． 40．(1) (2)小颖的观点是对的，理由见解析 【分析】本题考查概率的应用．熟练掌握概率公式，正确的计算是解题的关键． （1）共有9种结果，转出数字9的结果有1种，利用概率公式计算即可； （2）分别求出转出的数字小于7的概率和转出的颜色是红色的概率，进行比较即可得出结论． 【详解】（1）解：共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，“转出数字是9的结果有1种， ∴P（转出数字9）； 故答案为：； （2）解：小颖说法正确，理由： 小明转动图1的转盘：转出的数字共有9种等可能的结果，其中，转出的数字小于7共有6种等可能的结果，所以小明转出的数字小于7的概率是， 小亮转动图2的转盘：红色部分所在扇形的圆心角度数是， P（转出红色）， P（转出数字小于7）（转出红色）， 小颖的观点是对的． 41．B 【分析】本题考查等可能事件的概率计算，关键是确定总等可能结果数与符合获奖条件的结果数，再根据概率公式计算概率． 【详解】解：∵转盘上有6个全等的区域，转动转盘后每个区域被指到的可能性相等，其中红色区域有2个， ∴获奖的概率为； 故选：B． 42．C 【分析】本题考查的简单随机事件的概率，掷硬币是一种随机事件，正面和反面出现的概率相等，均为，从而确保双方机会均等，体现公平性． 【详解】∵抛掷一枚硬币，正面朝上与反面朝上的可能性相同，概率均为， ∴这种方法使比赛双方在场地和发球权的选择上具有同等机会，因此主要原因是体现比赛的公平性． 故选：C． 43．3.6/ 【分析】本题考查了由频率估计概率，求出这个点落在蛇形图案上的概率是解决本题的关键． 先求解这个点落在蛇形图案上的概率，再由概率乘面积求解即可． 【详解】解：由频率估计概率的知识可得：这个点落在蛇形图案上的概率约为， 所以邮票上蛇形图案的面积约为． 故答案为：3.6． 44．三等奖 【分析】本题考查概率在转盘抽奖中的应用，由奖项比例计算各奖项概率，比较大小即可． 【详解】一等奖、二等奖、三等奖的比为，总比例为， 获一等奖的概率为，获二等奖的概率为，获三等奖的概率为， 由于，则获奖可能性最大的奖项是三等奖． 故答案为三等奖． 45．(1) (2)十位 【分析】（1）根据转盘上一共有个数字，其中大于的数字有个，可知小颖下一次转出的数大于的概率为； （2）根据转盘上小于的数字有个，所以小颖下一次转出的数字小于的概率为，所以小颖下一次转出的数字小于的概率大，因为在十位上应该填入一个较大的数，所以数字应该放在十位上． 【详解】（1）解：转盘上一共有个数字，其中大于的数字有个， 她下一次转出的数字大于的概率为； （2）解：由第一问可知，她下一次转出的数字大于的概率为， 转盘上小于的数字有个， 小颖下一次转出的数字小于的概率为， ， 小颖下一次转出的数字小于的概率大， 在十位上应该填入一个较大的数， 数字应该放在十位上． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 概率初步 9大高频考点概览 考点01必然事件、不可能事件、随机事件 考点02频率与概率 考点03求某事件的频率 考点04 可能性大小 考点05 根据概率公式的计算 考点06 已知概率求数量 考点07 游戏公平性 考点08 几何概率 考点09 概率的应用 ( 地 城 考点01 必然事件、不可能事件、随机事件 ) 1．（25-26九年级上·福建泉州·期末）下列是随机事件的是（    ） A．太阳从东方升起 B．两个负数相乘，积是正数 C．13个人中至少有2人生肖相同 D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 【答案】D 【分析】根据随机事件的定义，即可能发生也可能不发生的事件，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A．太阳从东方升起一定发生，属于必然事件，A不符合题意； B．两个负数相乘，积一定是正数，属于必然事件，B不符合题意； C．生肖共12种，13个人中一定至少有2人生肖相同，属于必然事件，C不符合题意； D．抛掷一枚质地均匀的硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上，结果不确定，属于随机事件，D符合题意． 2．（24-25八年级下·上海·期末）下列事件中，确定事件是（   ） A．上海明天太阳从西边升起 B．任意两个非零实数，它们的积为正 C．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上 D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 【答案】A 【分析】根据确定事件包括一定发生的必然事件和一定不发生的不可能事件，可能发生也可能不发生的是随机事件来判断各选项即可． 【详解】解：A、太阳一定从东方升起，不可能从西边升起，该事件一定不发生，故是确定事件，符合题意； B、两个非零实数相乘，同号得正异号得负，积可能为正也可能为负，故是随机事件，不符合题意； C、抛掷质地均匀的硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，故是随机事件，不符合题意； D、只有两条平行直线被第三条直线所截时，同位角才相等，非平行直线被截时同位角不相等，故是随机事件，不符合题意． 3．（25-26九年级上·广东广州·期末）下列事件是必然事件的是（    ） A．购买1张彩票，中奖 B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数 C．温度降到以下，纯净的水结冰 D．汽车累积行驶，从未出现故障 【答案】C 【分析】此题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件．根据随机事件、必然事件和不可能事件的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A、“购买1张彩票，中奖”是随机事件，故本选项不符合题意； B、“随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数”是随机事件，故本选项不符合题意； C、“温度降到以下，纯净的水结冰”是必然事件，故本选项符合题意； D、“汽车累积行驶，从未出现故障”是随机事件，故本选项不符合题意． 故选：C． 4．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）任丘是一座历史悠久、文化底蕴深厚的城市，拥有众多旅游景点，小刚和小萌周末打算从药王庙、任丘植物园及任丘博物馆中随机选择一处进行游玩，事件“他们最终选择任丘植物园游玩”属于________________（填“随机”“必然”或“不可能”）事件． 【答案】随机 【分析】本题考查了事件的分类．事件“他们最终选择任丘植物园游玩”可能发生也可能不发生，因此是随机事件． 【详解】解：从药王庙、任丘植物园及任丘博物馆中随机选择一处游玩，选择任丘植物园是可能发生的，但不是必然事件，故该事件为随机事件． 故答案为：随机． 5．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）事件“打开电视机任选一个频道，正在播放体育赛事”是___________事件．（填“必然”“不可能”或“随机”） 【答案】随机 【分析】本题考查了事件的可能性．正确理解事件的可能性是关键．必然事件是一定会发生的事件，不可能事件是永远不会发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件．根据随机事件的定义判定即可． 【详解】解：事件“打开电视机任选一个频道，正在播放体育赛事”可能发生，也可能不发生，因为电视节目的播放具有不确定性，所以该事件是随机事件． 故答案为：随机． ( 地 城 考点02 频率与概率 ) 6．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为．下列说法正确的是（   ） A．试验次数越多，越大 B．试验次数越多，越大 C．与都可能发生变化 D．试验次数大量增加时，在附近摆动，并趋于稳定 【答案】D 【分析】概率P是固定值，频率f随试验次数增加在P附近波动并趋于稳定. 本题考查频率与概率的关系，熟练掌握二者的关系是解题的关键. 【详解】解：∵ 概率P是常数，不随试验次数改变； 频率f随试验次数增加而逐渐稳定于P附近. ∴ 选项D正确. 故选：D. 7．（24-25九年级上·安徽六安·期末）明明和亮亮在一次大量重复试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率 B．掷一枚质地均匀的硬币，出身反面朝上的频率 C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到的是偶数的频率 D．从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案的频率 【答案】C 【分析】本题考查频率与概率的关系，概率的计算方法，掌握相关知识是解决问题的关键．在大量重复试验中，试验的频率逐步稳定在理论概率附近，先计算每个选项的概率，再结合统计图中频率稳定在左右的特征，匹配对应的试验． 【详解】解：由题意知，试验的频率约为， A：掷均匀骰子，总共有 6 个等可能结果，出现 1 点的结果有 1 种，概率 ，与不符； B：掷均匀硬币，总共有 2 个等可能结果，反面朝上的结果有 1 种，概率，与不符； C：从标有 1、2、3 的纸条中抽取，总共有 3 个等可能结果，偶数只有  1 种，概率，与统计图中频率的稳定值一致； D：单项选择题有 4 个选项，且只有 1 个正确答案，总共有 4 个等可能结果，选对正确答案的结果有 1 种，概率 ，与不符． 故选：C． 8．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．下面的推断合理的是（　　） A．当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是 B．当投掷次数是6000时，“钉尖向上”的频率一定是 C．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是 D．若再次用计算机模拟此试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定仍是 【答案】C 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，计算频率，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，频率等于频数除以总数，每次试验频率的值都有可能发生变化，据此可得答案． 【详解】解：A、当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以此时“钉尖向上”的频率是： ，但“钉尖向上”的概率不一定是，原说法错误，不符合题意； B、当投掷次数是6000时，“钉尖向上”的频率不一定是，原说法错误，不符合题意； C、随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是，原说法正确，符合题意； D、若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率可能是，但不一定是，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 9．（25-26九年级上·北京东城·期末）某林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示： 移植棵数 100 300 600 1000 7000 15000 成活的棵数 87 279 535 887 6337 13581 成活的频率（保留小数点后三位） 根据表中的信息，估计银杏树苗在这个条件下移植成活的概率约为_____（精确到）． 【答案】 【详解】解：由表格数据可得，随着移植棵数逐渐增加，成活的频率逐渐稳定在附近， 根据用频率估计概率的原理，估计银杏树苗在该条件下移植成活的概率约为， 将精确到，结果为． 10．（25-26九年级上·湖北恩施·期末）为促进学生全面有个性的发展，某校开设了内容丰富的社团活动，如“三味蔬屋”“鲁班传人”“花式编织”等，大受同学们的欢迎，李亮参加了“三味蔬屋”社团，该社团准备种植一批油麦菜，他与社团几个成员经过大量的种子发芽实验对种子的发芽率进行了统计，得到数据如表： 实验种子数量（粒） 80 120 200 300 400 500 600 发芽种子数量（粒） 74 112 189 284 380 474 571 种子发芽率（精确到） (1)根据表中数据，估计这批油麦菜种子的发芽率为______（精确到． (2)社团成员在农场播种2000粒该批油麦菜种子，估计大约能有多少粒种子发芽？ 【答案】(1) (2)大约能有1900粒种子发芽 【分析】本题考查了，用频率估计概率，由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）当实验的种子越来越多时，这批油麦菜种子的发芽率越接近，由此即可得解； （2）用2000乘以①中得到的发芽率即可得解． 【详解】（1）解：根据表中数据，当实验的种子越来越多时，这批油麦菜种子的发芽率越接近， 所以估计这批油麦菜种子的发芽率为； （2）解：（粒）， 故大约能有粒种子发芽． ( 地 城 考点0 3 求某事件的频率 ) 11．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）“长城是中华民族的骄傲”的英文是“”．在这句英文中，字母“i”出现的频率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求频率，直接利用频率公式进行计算即可． 【详解】解：一共40个字母，字母“i”出现了4次， ∴； 故选C． 12．（23-24九年级上·青海果洛·期末）学习了用频率估计概率一节后，小聪随机抛掷一枚质地均匀的骰子，随着抛掷次数的增多，落下后，“朝上的一面的点数是6”的频率最可能接近（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是频率的计算应用． 频率∶每个对象出现的次数与总次数的比值称为频率，熟知频率公式是解题的关键； 由骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，利用频率公式直接求解即可求得答案． 【详解】骰子的六个面上分别刻有1到6的点数， 掷得朝上一面的点数是6的频率为：， 故选：B． 13．（25-26七年级下·全国·课后作业）抛掷一枚正方体骰子20次，若点数6出现5次，则出现点数6的频率为______． 【答案】 【分析】本题考查了频率，解题的关键是掌握频率是事件发生次数与总试验次数的比值，计算即可． 【详解】解：出现点数6的次数为5次，总试验次数为20次， 频率． 故答案为：． 14．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求频率，用字母e的个数除以字母的总个数即可得到答案． 【详解】解：“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·北京东城·期末）某数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据： 重复试验次数 10 50 100 500 1000 2000 5000 钉尖朝上次数 5 15 36 200 403 801 2001 估计任意抛掷一枚图钉，钉尖朝上的概率约为__________.（结果精确到） 【答案】 【分析】本题考查了求频率，用频率估计概率，随着试验次数的增加，频率稳定趋向一个固定的值，这个固定值即是概率；求出各个频率即可估计出概率． 【详解】解：表中从左往右，频率分别为， 钉尖朝上的概率约为； 故答案为：． ( 地 城 考点0 4 可能性大小 ) 16．（25-26九年级上·重庆忠县·期末）若宇宙中飞来一块陨石砸到地球上，则事件“陨石没有砸中人”是（    ） A．必然事件 B．不可能事件 C．极大概率事件 D．极小概率事件 【答案】C 【分析】本题考查了事件的判断，理解题意是解决本题的关键． 根据地球表面人类居住面积占比极小的事实，陨石砸中人的概率极低，则“陨石没有砸中人”的概率极高，属于极大概率事件． 【详解】解：∵地球表面无人居住区域占绝大多数， ∴陨石砸中人的概率极小， ∴事件“陨石没有砸中人”是极大概率事件． 故选C． 17．（25-26九年级上·福建·期末）不透明袋子中装有若干个红球和白球，除颜色外无其他差别．小梧从袋中随机摸出一个后放回并搅匀，这样重复摸了100次，其中摸到红球90次．下列说法正确的是（    ） A．袋中红球有90个 B．第101次摸到红球的可能性较大 C．第101次会摸到红球 D．红球的数量占袋中总球数的 【答案】B 【分析】本题考查根据频率估计概率，摸到红球的频率为，故概率约为；每次摸球独立且概率不变，因此第101次摸到红球的可能性较大，据此逐项判断即可． 【详解】解：∵ 摸球100次，摸到红球90次，且每次摸球后放回搅匀，每次摸球独立， ∴ 摸到红球的频率为，估计概率为， ∴ 第101次摸到红球的概率约为，故摸到红球的可能性较大， 选项A错误，因为总球数未知； 选项B正确； 选项C错误，因为概率不为1； 选项D错误，因为频率不一定精确等于比例， 故选B． 18．（25-26九年级上·河北邢台·期末）黄庄月饼是河北特色月饼之一，嘉嘉从一个装有1个板栗月饼，2个枣泥月饼，3个五仁月饼和4个豆沙月饼的黄庄月饼礼盒中，随机拿出一个月饼（月饼的外观都一样），则拿出的月饼可能性最大的是（    ） A．板栗月饼 B．枣泥月饼 C．五仁月饼 D．豆沙月饼 【答案】D 【分析】本题主要考查可能性的大小．根据各种月饼数量的多少，直接判断可能性的大小，哪种月饼的数量越多，拿出的可能性就越大． 【详解】解：由题意得，所有事件可能的结果数是， ∵豆沙月饼有4个，数量最多， ∴拿出的可能性最大的是豆沙月饼， 故选：D． 19．（25-26九年级上·河北衡水·期末）把正面分别写有，，，，，的张卡片反面向上放在桌子上，从中任意摸一张，摸到的可能性最大的数字是____________． 【答案】 【分析】本题考查了可能性的大小判断，关键在于比较各数字在卡片中出现的次数，次数最多的数字被摸到的可能性最大．由题可知张卡片中，数字出现次，数字出现次，数字出现次，故摸到数字的可能性最大，据此即可解答． 【详解】解：卡片上的数字分别为，，，，，，其中数字出现次，数字出现次，数字出现次，因此数字出现的次数最多，故摸到数字的可能性最大，故答案为：． 20．（25-26八年级上·北京顺义·期末）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，落地后两枚硬币朝上一面可能的情况分别是：①全是正面；②一正一反；③全是反面．这三个事件中，发生的可能性最大的是______（填“①”，“②”或“③”） 【答案】② 【分析】本题考查了列举法求概率．首先利用列举法，可得抛掷两枚质地均匀的硬币，可能的结果为：正正，正反，反正，反反，然后利用概率公式求得各概率，再比较判断，即可解题． 【详解】解：抛掷两枚质地均匀的硬币，所有可能的结果为：正正，正反，反正，反反，共4种等可能情况． 事件①（全是正面）包含1种情况，概率为； 事件②（一正一反）包含2种情况，概率为； 事件③（全是反面）包含1种情况，概率为． ， 事件②的概率最大． 故答案为：②． ( 地 城 考点0 5 根据概率公式计算概率 ) 21．（25-26九年级上·陕西延安·期末）为更好地激发学生的爱国主义情怀，学校建议学生利用假期时间观看《731》，《志愿军：浴血和平》，《南京照相馆》三部电影，霖霖同学从这三部电影中随机选择一部观看，他恰好选择看《731》电影的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据概率公式，找出所有等可能结果数和符合要求的结果数，代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵霖霖从三部电影中随机选择一部，共有3种等可能的结果，其中恰好选中《731》的结果只有1种， ∴所求概率为． 22．（25-26九年级上·山西晋中·期末）如图，一只蚂蚁在如图所示位置向上爬，在树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每一个岔路口都会随机地选择一条路径，那么这只蚂蚁爬到树枝头E和F的概率的大小关系是（    ） A．F的概率大 B．E的概率大 C．同样大 D．无法比较 【答案】C 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，分别求出这只蚂蚁爬到树枝头E和F的概率，比较大小即可得出结果，解题的关键是熟练掌握两步完成的事件的概率第一步事件的概率与第二步事件的概率的乘积． 【详解】解：这只蚂蚁爬到树枝头E的概率为， 这只蚂蚁爬到树枝头F的概率为， ∵， 故这只蚂蚁爬到树枝头E和F的概率的大小关系是同样大， 故选：C． 23．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）一个不透明的袋子里有4个红球和3个黄球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则摸出红球的概率是_____． 【答案】 【分析】本题考查概率的计算，直接利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：袋子中球的总个数为，其中红球的个数为，根据概率公式可得，摸出红球的概率． 24．（25-26九年级上·广东广州·期末）某文具店开展“幸运转盘”活动，如图，转盘被等分成四个扇形区域，并标明相应奖品，则随意转动转盘，转盘停止后，指针指向“直尺”区域的概率是______． 【答案】 【分析】本题考查等可能事件的概率计算，核心是利用概率公式求解．先确定转盘所有等可能的结果总数，再找出指针指向“直尺”区域的结果数，最后代入公式计算概率． 【详解】解：∵转盘被等分成四个扇形区域， ∴转动转盘后共有4种等可能的结果，其中指针指向“直尺”区域的结果仅有1种， ∴指针指向“直尺”区域的概率是． 故答案为：． 25．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”． (1)任意掷这枚骰子，求掷出面标有“6”的概率； (2)任意掷这枚骰子，求掷出面标有“2的倍数”的概率． 【答案】(1)掷出面标有“6”的概率是 (2)掷出面标有“2的倍数”的概率是 【分析】本题主要考查了概率公式，随机事件，根据题意求出所有等可能结果数和满足题意的结果数成为解题的关键． （1）先求出标“6”的面有5个，然后分别利用概率公式求解即可； （2）先求数字是2的倍数的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵骰子有20个面， 标有“6”的面数为面， 掷出“6”的概率是； （2）解：标有“2”的面数为2面，标有“4”的面数为4面，标有“6”的面数为5面，故掷出面标有“2的倍数”的有面， 掷出“2的倍数”的概率是． ( 地 城 考点0 6 已知概率求数量 ) 26．（25-26九年级上·广东清远·期末）在一个不透明的袋子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将袋中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回袋中．通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于，则袋中红球约有（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．12个 【答案】B 【分析】本题考查频率与概率． 在大量重复试验中，随机事件的频率会稳定在概率附近，可据此结合概率公式列方程求解红球个数． 【详解】解：∵通过大量重复摸球试验，摸到红球的频率稳定于， ∴可估计摸到红球的概率为． 设袋中红球有个， ∵概率公式为， ∴， 解得． 故袋中红球约有6个． 27．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）为了估计椭圆的面积，琪琪在长为cm，宽为cm的长方形纸片上随机掷点，经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在左右，则据此估计图中椭圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解题方法是利用 “椭圆面积与长方形面积的比值点落在椭圆内的频率” 计算椭圆面积． 【详解】解：大量实验后，点落在椭圆内的频率稳定在，说明椭圆面积占长方形面积的比例约为， 长方形的面积为：， 则椭圆的面积为． 28．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共40个，这些球除颜色外都相同．通过多次试验，发现摸出红球的频率稳定在左右，则可估计袋子里红球约有__________个． 【答案】8 【详解】解：根据频率估计概率的知识，摸出红球的频率稳定在0.2， 因此摸出红球的概率为0.2， 则袋子中红球的个数约为． 29．（25-26九年级上·江西赣州·期末）现在二维码已经成为生活中不可或缺的一部分，如图，正方形二维码的面积为，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可估计黑色部分的面积约为___________． 【答案】 【分析】由题意可知点落入黑色部分的频率稳定在左右，然后乘以二维码的面积即可． 【详解】解：估计黑色部分的面积约为． 【点睛】经过大量重复试验，事件发生的概率近似的等于频率． 30．（25-26九年级上·全国·期末）一个不透明的盒子里有黑色、红色墨囊共30个，它们除颜色外均相同，小文将这些墨囊摇匀后，随机摸出一个记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，通过大量试验后他发现摸到黑色墨囊的频率为，由此可估计盒中红色墨囊的个数是多少个？ 【答案】6个 【分析】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量，理解题意是解题的关键． 根据题意可知摸到黑色墨囊的概率是0.8，再利用概率公式即可求解． 【详解】解：∵通过大量试验后他发现摸到黑色墨囊的频率为， ∴摸到黑色墨囊的概率是0.8， （个）， 答：估计盒中红色墨囊的个数是6个． ( 地 城 考点0 7 游戏公平性 ) 31．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）小明和小华玩一个游戏，规则是：同时抛掷两枚均匀的硬币，若两枚都正面朝上，则小明赢；若两枚都反面朝上，则小华赢；若一正一反，则为平局．这个游戏对双方（   ） A．公平，因为小明和小华赢的概率相等 B．不公平，小明赢的概率大 C．不公平，小华赢的概率大 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了游戏的公平性，列举法求概率．通过列举两枚硬币抛掷的所有可能结果，计算小明和小华赢的概率并比较，即可作答． 【详解】解：依题意，两枚均匀硬币抛掷的所有可能结果有4种：正正、正反、反正、反反，且每种结果等可能， 其中，小明赢（正正）的概率为，小华赢（反反）的概率为，平局为， ∴小明和小华赢的概率相等，游戏公平， 故选：A． 32．（25-26九年级上·浙江台州·期末）在一个不透明的袋子中装有1个红球与3个黄球，四个球除颜色外，其它均相同．规则是：小丁同学摸一个球，不放回；小王同学再摸一个球，不放回；小林同学再摸一个球，不放回；小陈同学最后摸走剩余的球．摸到红球的人，可获得电影票一张． 小陈说：我最后一个摸球，获得电影票的概率最小，应该4人同时摸球才公平． 小林说：如果前面3人都没摸到红球，小陈肯定获得电影票，因此小陈获得电影票的概率最大． 小王说：不论同时摸球还是按顺序摸球，每人获得电影票的概率都是． 小丁说：先摸与后摸，获得红球的概率都是，因此这个规则是公平的． 以上4位同学的说法，正确的是（   ） A．小陈与小林 B．小林与小丁 C．小林与小王 D．小王与小丁 【答案】D 【分析】本题考查概率的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键． 计算四人依次不放回摸球时每人摸到红球的概率，据此解答即可． 【详解】解：总球数4个，红球1个， 则小丁摸到红球的概率为， 小王摸到红球的概率为， 小林摸到红球的概率为 小陈摸到红球的概率为 因此，每人摸到红球概率均为，小王与小丁的说法正确， 故选：D． 33．（24-25九年级上·广东江门·期末）甲、乙两人玩扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为2，3，4的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张，若所抽取的两张牌面数字的和为奇数，则甲获胜；若所抽取的两张牌面数字的和为偶数，则乙获胜．这个游戏________．（填“公平”或“不公平”） 【答案】不公平 【分析】本题考查利用概率判断游戏公平性，熟练掌握列举法求概率是解题的关键，利用列表法表示出所有可能，进而利用概率公式求出即可． 【详解】解：由题可列表如下： 2 3 4 2 4 5 6 3 5 6 7 4 6 7 8 由表知，共有9种等可能结结果，其中和为奇数的有4种结果，和为偶数的有5种结果， ∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， ∵， ∴这个游戏不公平， 故答案为：不公平． 34．（23-24九年级上·陕西西安·期末）在一个不透明的口袋中有20个球，这些球除颜色外均相同，其中白球个，绿球个，其余为黑球．搅匀后，甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中搅匀，乙从袋中任意摸出一个球，若为黑球则乙获胜，若游戏对甲、乙双方都公平，则的值应为_____． 【答案】4 【分析】本题主要考查的是根据概率相同来判断游戏公平性以及一元一次方程的应用，计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平，概率等于所求情况数与总情况数之比； 【详解】解：若游戏对甲、乙双方都公平， ∴绿球与黑球的个数应相等，也为个， 根据题意可得：， 解得：． 故答案为：4． 35．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上．小华和小维两位同学用这4张牌玩游戏，规则如下：小华先从中抽出一张，小维接着从剩余的3张牌中也抽出一张．若抽出的两张牌数字之和是偶数，小维获胜；否则，小华获胜． (1)直接写出小华先从中抽出一张牌的数字是偶数的概率：_________； (2)若按规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)这个游戏公平，理由见解析 【分析】本题考查了概率公式求概率，游戏公平性． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）依题意列表，判断即小华和小维获胜的概率是否相同即可． 【详解】（1）解：一共张牌，偶数的牌有张， ∴小华先从中抽出一张牌的数字是偶数的概率为． 故答案为：； （2）解：依题意，列表得： 3 4 6 10 3 7 9 13 4 7 10 14 6 9 10 16 10 13 14 16 ∴一共有12种等可能性的结果，结果为偶数的结果有6种，其余的结果也有6种， ∴抽出的两张牌数字之和是偶数的概率为，其余的结果的概率为， 即小华和小维获胜的概率相同． 答：这个游戏公平． ( 地 城 考点0 8 几何概率 ) 36．（25-26九年级上·云南保山·期末）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了概率的基本概念及几何概型的应用，利用几何概率的计算方法，即指针落在阴影部分的概率等于阴影部分面积除以正八边形总面积，通过分析正八边形被分成的三角形个数以及阴影部分三角形个数来求解． 【详解】解：根据题意可知，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形， 其中阴影部分的面积为4个面积相等的三角形， ∴指针落在阴影部分的概率是， 故选：A． 37．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图是一个材质均匀的大转盘，当转盘停止转动后，指针所指区域即可获得对应的奖品，则获得一等奖的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何概率，先理解题意，由扇形统计图得出一等奖的圆心角是，再根据概率公式列式计算，即可作答． 【详解】解：由扇形统计图得出一等奖的圆心角是， 则， 即获得一等奖的概率为， 故选：A． 38．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的，任意投掷飞镖一次，击中黑色小正方形的概率为___________． 【答案】 【分析】用黑色小正方形的数量除以小正方形的总数即可得到答案． 【详解】解：由题意得，任意投掷飞镖一次，击中黑色小正方形的概率为． 39．（24-25九年级上·江西上饶·期末）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，几何概率．根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为，即黑色阴影的面积占整个面积的，据此求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在黑色阴影的概率为， ∴黑色阴影的面积占整个面积的， ∴黑色阴影的面积为， 故答案为：． 40．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，图1、图2是两个可以自由转动的转盘．图1被等分成9个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字：图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角的度数是，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的颜色即为转出的颜色． (1)在图1的转盘中转出数字9的概率是___________． (2)小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘（若转盘的指针恰好指在分界线上时重转），小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？ 【答案】(1) (2)小颖的观点是对的，理由见解析 【分析】本题考查概率的应用．熟练掌握概率公式，正确的计算是解题的关键． （1）共有9种结果，转出数字9的结果有1种，利用概率公式计算即可； （2）分别求出转出的数字小于7的概率和转出的颜色是红色的概率，进行比较即可得出结论． 【详解】（1）解：共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，“转出数字是9的结果有1种， ∴P（转出数字9）； 故答案为：； （2）解：小颖说法正确，理由： 小明转动图1的转盘：转出的数字共有9种等可能的结果，其中，转出的数字小于7共有6种等可能的结果，所以小明转出的数字小于7的概率是， 小亮转动图2的转盘：红色部分所在扇形的圆心角度数是， P（转出红色）， P（转出数字小于7）（转出红色）， 小颖的观点是对的． ( 地 城 考点0 9 概率的应用 ) 41．（25-26九年级上·广东清远·期末）学校科技节设置转盘抽奖活动，转盘上有六个全等的区域，颜色分布如图(黄、蓝、蓝、红、蓝、红)．若指针固定不动，转动转盘，当转盘停止后，指针对准红色区域即可获奖，则获奖的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等可能事件的概率计算，关键是确定总等可能结果数与符合获奖条件的结果数，再根据概率公式计算概率． 【详解】解：∵转盘上有6个全等的区域，转动转盘后每个区域被指到的可能性相等，其中红色区域有2个， ∴获奖的概率为； 故选：B． 42．（2025九年级上·山西晋中·专题练习）足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首发球者，其主要原因是（   ） A．让比赛更富有情趣 B．让比赛更具有神秘色彩 C．体现比赛的公平性 D．不知道什么原因 【答案】C 【分析】本题考查的简单随机事件的概率，掷硬币是一种随机事件，正面和反面出现的概率相等，均为，从而确保双方机会均等，体现公平性． 【详解】∵抛掷一枚硬币，正面朝上与反面朝上的可能性相同，概率均为， ∴这种方法使比赛双方在场地和发球权的选择上具有同等机会，因此主要原因是体现比赛的公平性． 故选：C． 43．（24-25八年级下·山东济南·期末）2025年是农历乙巳年，中国邮政《乙巳年》特种邮票“蛇呈丰稔”全国首发．为了测得如图邮票上蛇形图案的面积，李华同学利用电脑模拟投针试验（在电脑上反复向邮票内随机投掷一个点，假设这个点落在邮票内的每一点都是等可能的），经过反复大量的重复试验，发现这个点落在蛇形图案上的频率稳定在0.6左右，若一张邮票的面积是6cm2，则邮票上蛇形图案的面积约为______cm2． 【答案】3.6/ 【分析】本题考查了由频率估计概率，求出这个点落在蛇形图案上的概率是解决本题的关键． 先求解这个点落在蛇形图案上的概率，再由概率乘面积求解即可． 【详解】解：由频率估计概率的知识可得：这个点落在蛇形图案上的概率约为， 所以邮票上蛇形图案的面积约为． 故答案为：3.6． 44．（25-26九年级上·广东汕头·期末）某超市的抽奖活动转盘，一等奖、二等奖、三等奖区域的面积比为，则一名顾客转动一次转盘，获奖可能性最大的奖项是_________． 【答案】三等奖 【分析】本题考查概率在转盘抽奖中的应用，由奖项比例计算各奖项概率，比较大小即可． 【详解】一等奖、二等奖、三等奖的比为，总比例为， 获一等奖的概率为，获二等奖的概率为，获三等奖的概率为， 由于，则获奖可能性最大的奖项是三等奖． 故答案为三等奖． 45．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图是一个可以自由转动的转盘，且转盘被分成面积相等的十个扇形．小颖和同伴利用这个转盘做下面的游戏： ①自由转动转盘，每人分别将转出的数填入两个方格中的任意一个； ②继续转动转盘，每人再将转出的数字填入剩下的方格中； ③转动两次转盘后，每人得到一个“两位数”； ④比较两人得到的“两位数”大小，谁的大谁就获胜． 通过游戏经验的积累，小颖发现： (1)在一次游戏中，小颖第一次转出的数字是，求她下一次转出的数字大于的概率； (2)为了更有可能得到一个较大的两位数，你认为小颖应当把第一次转出的数字6放在______（填“十位”或“个位”）的方格中． 【答案】(1) (2)十位 【分析】（1）根据转盘上一共有个数字，其中大于的数字有个，可知小颖下一次转出的数大于的概率为； （2）根据转盘上小于的数字有个，所以小颖下一次转出的数字小于的概率为，所以小颖下一次转出的数字小于的概率大，因为在十位上应该填入一个较大的数，所以数字应该放在十位上． 【详解】（1）解：转盘上一共有个数字，其中大于的数字有个， 她下一次转出的数字大于的概率为； （2）解：由第一问可知，她下一次转出的数字大于的概率为， 转盘上小于的数字有个， 小颖下一次转出的数字小于的概率为， ， 小颖下一次转出的数字小于的概率大， 在十位上应该填入一个较大的数， 数字应该放在十位上． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 概率初步 9大高频考点概览 考点01必然事件、不可能事件、随机事件 考点02频率与概率 考点03求某事件的频率 考点04 可能性大小 考点05 根据概率公式的计算 考点06 已知概率求数量 考点07 游戏公平性 考点08 几何概率 考点09 概率的应用 1．（25-26九年级上·福建泉州·期末）下列是随机事件的是（    ） A．太阳从东方升起 B．两个负数相乘，积是正数 C．13个人中至少有2人生肖相同 D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 2．（24-25八年级下·上海·期末）下列事件中，确定事件是（   ） A．上海明天太阳从西边升起 B．任意两个非零实数，它们的积为正 C．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上 D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 3．（25-26九年级上·广东广州·期末）下列事件是必然事件的是（    ） A．购买1张彩票，中奖 B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数 C．温度降到以下，纯净的水结冰 D．汽车累积行驶，从未出现故障 4．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）任丘是一座历史悠久、文化底蕴深厚的城市，拥有众多旅游景点，小刚和小萌周末打算从药王庙、任丘植物园及任丘博物馆中随机选择一处进行游玩，事件“他们最终选择任丘植物园游玩”属于________________（填“随机”“必然”或“不可能”）事件． 5．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）事件“打开电视机任选一个频道，正在播放体育赛事”是___________事件．（填“必然”“不可能”或“随机”） ( 地 城 考点02 频率与概率 ) 6．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为．下列说法正确的是（   ） A．试验次数越多，越大 B．试验次数越多，越大 C．与都可能发生变化 D．试验次数大量增加时，在附近摆动，并趋于稳定 7．（24-25九年级上·安徽六安·期末）明明和亮亮在一次大量重复试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率 B．掷一枚质地均匀的硬币，出身反面朝上的频率 C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到的是偶数的频率 D．从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案的频率 8．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．下面的推断合理的是（　　） A．当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是 B．当投掷次数是6000时，“钉尖向上”的频率一定是 C．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是 D．若再次用计算机模拟此试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定仍是 9．（25-26九年级上·北京东城·期末）某林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示： 移植棵数 100 300 600 1000 7000 15000 成活的棵数 87 279 535 887 6337 13581 成活的频率（保留小数点后三位） 根据表中的信息，估计银杏树苗在这个条件下移植成活的概率约为_____（精确到）． 10．（25-26九年级上·湖北恩施·期末）为促进学生全面有个性的发展，某校开设了内容丰富的社团活动，如“三味蔬屋”“鲁班传人”“花式编织”等，大受同学们的欢迎，李亮参加了“三味蔬屋”社团，该社团准备种植一批油麦菜，他与社团几个成员经过大量的种子发芽实验对种子的发芽率进行了统计，得到数据如表： 实验种子数量（粒） 80 120 200 300 400 500 600 发芽种子数量（粒） 74 112 189 284 380 474 571 种子发芽率（精确到） (1)根据表中数据，估计这批油麦菜种子的发芽率为______（精确到． (2)社团成员在农场播种2000粒该批油麦菜种子，估计大约能有多少粒种子发芽？ ( 地 城 考点0 3 求某事件的频率 ) 11．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）“长城是中华民族的骄傲”的英文是“”．在这句英文中，字母“i”出现的频率是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24九年级上·青海果洛·期末）学习了用频率估计概率一节后，小聪随机抛掷一枚质地均匀的骰子，随着抛掷次数的增多，落下后，“朝上的一面的点数是6”的频率最可能接近（    ） A． B． C． D． 13．（25-26七年级下·全国·课后作业）抛掷一枚正方体骰子20次，若点数6出现5次，则出现点数6的频率为______． 14．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是________． 15．（24-25九年级上·北京东城·期末）某数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据： 重复试验次数 10 50 100 500 1000 2000 5000 钉尖朝上次数 5 15 36 200 403 801 2001 估计任意抛掷一枚图钉，钉尖朝上的概率约为__________.（结果精确到） ( 地 城 考点0 4 可能性大小 ) 16．（25-26九年级上·重庆忠县·期末）若宇宙中飞来一块陨石砸到地球上，则事件“陨石没有砸中人”是（    ） A．必然事件 B．不可能事件 C．极大概率事件 D．极小概率事件 17．（25-26九年级上·福建·期末）不透明袋子中装有若干个红球和白球，除颜色外无其他差别．小梧从袋中随机摸出一个后放回并搅匀，这样重复摸了100次，其中摸到红球90次．下列说法正确的是（    ） A．袋中红球有90个 B．第101次摸到红球的可能性较大 C．第101次会摸到红球 D．红球的数量占袋中总球数的 18．（25-26九年级上·河北邢台·期末）黄庄月饼是河北特色月饼之一，嘉嘉从一个装有1个板栗月饼，2个枣泥月饼，3个五仁月饼和4个豆沙月饼的黄庄月饼礼盒中，随机拿出一个月饼（月饼的外观都一样），则拿出的月饼可能性最大的是（    ） A．板栗月饼 B．枣泥月饼 C．五仁月饼 D．豆沙月饼 19．（25-26九年级上·河北衡水·期末）把正面分别写有，，，，，的张卡片反面向上放在桌子上，从中任意摸一张，摸到的可能性最大的数字是____________． 20．（25-26八年级上·北京顺义·期末）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，落地后两枚硬币朝上一面可能的情况分别是：①全是正面；②一正一反；③全是反面．这三个事件中，发生的可能性最大的是______（填“①”，“②”或“③”） ( 地 城 考点0 5 根据概率公式计算概率 ) 21．（25-26九年级上·陕西延安·期末）为更好地激发学生的爱国主义情怀，学校建议学生利用假期时间观看《731》，《志愿军：浴血和平》，《南京照相馆》三部电影，霖霖同学从这三部电影中随机选择一部观看，他恰好选择看《731》电影的概率为（   ） A． B． C． D． 22．（25-26九年级上·山西晋中·期末）如图，一只蚂蚁在如图所示位置向上爬，在树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每一个岔路口都会随机地选择一条路径，那么这只蚂蚁爬到树枝头E和F的概率的大小关系是（    ） A．F的概率大 B．E的概率大 C．同样大 D．无法比较 23．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）一个不透明的袋子里有4个红球和3个黄球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则摸出红球的概率是_____． 24．（25-26九年级上·广东广州·期末）某文具店开展“幸运转盘”活动，如图，转盘被等分成四个扇形区域，并标明相应奖品，则随意转动转盘，转盘停止后，指针指向“直尺”区域的概率是______． 25．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”． (1)任意掷这枚骰子，求掷出面标有“6”的概率； (2)任意掷这枚骰子，求掷出面标有“2的倍数”的概率． ( 地 城 考点0 6 已知概率求数量 ) 26．（25-26九年级上·广东清远·期末）在一个不透明的袋子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将袋中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回袋中．通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于，则袋中红球约有（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．12个 27．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）为了估计椭圆的面积，琪琪在长为cm，宽为cm的长方形纸片上随机掷点，经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在左右，则据此估计图中椭圆的面积为（    ） A． B． C． D． 28．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共40个，这些球除颜色外都相同．通过多次试验，发现摸出红球的频率稳定在左右，则可估计袋子里红球约有__________个． 29．（25-26九年级上·江西赣州·期末）现在二维码已经成为生活中不可或缺的一部分，如图，正方形二维码的面积为，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可估计黑色部分的面积约为___________． 30．（25-26九年级上·全国·期末）一个不透明的盒子里有黑色、红色墨囊共30个，它们除颜色外均相同，小文将这些墨囊摇匀后，随机摸出一个记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，通过大量试验后他发现摸到黑色墨囊的频率为，由此可估计盒中红色墨囊的个数是多少个？ ( 地 城 考点0 7 游戏公平性 ) 31．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）小明和小华玩一个游戏，规则是：同时抛掷两枚均匀的硬币，若两枚都正面朝上，则小明赢；若两枚都反面朝上，则小华赢；若一正一反，则为平局．这个游戏对双方（   ） A．公平，因为小明和小华赢的概率相等 B．不公平，小明赢的概率大 C．不公平，小华赢的概率大 D．无法判断 32．（25-26九年级上·浙江台州·期末）在一个不透明的袋子中装有1个红球与3个黄球，四个球除颜色外，其它均相同．规则是：小丁同学摸一个球，不放回；小王同学再摸一个球，不放回；小林同学再摸一个球，不放回；小陈同学最后摸走剩余的球．摸到红球的人，可获得电影票一张． 小陈说：我最后一个摸球，获得电影票的概率最小，应该4人同时摸球才公平． 小林说：如果前面3人都没摸到红球，小陈肯定获得电影票，因此小陈获得电影票的概率最大． 小王说：不论同时摸球还是按顺序摸球，每人获得电影票的概率都是． 小丁说：先摸与后摸，获得红球的概率都是，因此这个规则是公平的． 以上4位同学的说法，正确的是（   ） A．小陈与小林 B．小林与小丁 C．小林与小王 D．小王与小丁 33．（24-25九年级上·广东江门·期末）甲、乙两人玩扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为2，3，4的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张，若所抽取的两张牌面数字的和为奇数，则甲获胜；若所抽取的两张牌面数字的和为偶数，则乙获胜．这个游戏________．（填“公平”或“不公平”） 2 3 4 2 4 5 6 3 5 6 7 4 6 7 8 34．（23-24九年级上·陕西西安·期末）在一个不透明的口袋中有20个球，这些球除颜色外均相同，其中白球个，绿球个，其余为黑球．搅匀后，甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中搅匀，乙从袋中任意摸出一个球，若为黑球则乙获胜，若游戏对甲、乙双方都公平，则的值应为_____． 35．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上．小华和小维两位同学用这4张牌玩游戏，规则如下：小华先从中抽出一张，小维接着从剩余的3张牌中也抽出一张．若抽出的两张牌数字之和是偶数，小维获胜；否则，小华获胜． (1)直接写出小华先从中抽出一张牌的数字是偶数的概率：_________； (2)若按规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由． 3 4 6 10 3 7 9 13 4 7 10 14 6 9 10 16 10 13 14 16 ( 地 城 考点0 8 几何概率 ) 36．（25-26九年级上·云南保山·期末）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 37．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图是一个材质均匀的大转盘，当转盘停止转动后，指针所指区域即可获得对应的奖品，则获得一等奖的概率为（   ） A． B． C． D． 38．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的，任意投掷飞镖一次，击中黑色小正方形的概率为___________． 39．（24-25九年级上·江西上饶·期末）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为________． 40．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，图1、图2是两个可以自由转动的转盘．图1被等分成9个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字：图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角的度数是，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的颜色即为转出的颜色． (1)在图1的转盘中转出数字9的概率是___________． (2)小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘（若转盘的指针恰好指在分界线上时重转），小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？ ( 地 城 考点0 9 概率的应用 ) 41．（25-26九年级上·广东清远·期末）学校科技节设置转盘抽奖活动，转盘上有六个全等的区域，颜色分布如图(黄、蓝、蓝、红、蓝、红)．若指针固定不动，转动转盘，当转盘停止后，指针对准红色区域即可获奖，则获奖的概率是（   ） A． B． C． D． 42．（2025九年级上·山西晋中·专题练习）足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首发球者，其主要原因是（   ） A．让比赛更富有情趣 B．让比赛更具有神秘色彩 C．体现比赛的公平性 D．不知道什么原因 43．（24-25八年级下·山东济南·期末）2025年是农历乙巳年，中国邮政《乙巳年》特种邮票“蛇呈丰稔”全国首发．为了测得如图邮票上蛇形图案的面积，李华同学利用电脑模拟投针试验（在电脑上反复向邮票内随机投掷一个点，假设这个点落在邮票内的每一点都是等可能的），经过反复大量的重复试验，发现这个点落在蛇形图案上的频率稳定在0.6左右，若一张邮票的面积是6cm2，则邮票上蛇形图案的面积约为______cm2． 44．（25-26九年级上·广东汕头·期末）某超市的抽奖活动转盘，一等奖、二等奖、三等奖区域的面积比为，则一名顾客转动一次转盘，获奖可能性最大的奖项是_________． 45．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图是一个可以自由转动的转盘，且转盘被分成面积相等的十个扇形．小颖和同伴利用这个转盘做下面的游戏： ①自由转动转盘，每人分别将转出的数填入两个方格中的任意一个； ②继续转动转盘，每人再将转出的数字填入剩下的方格中； ③转动两次转盘后，每人得到一个“两位数”； ④比较两人得到的“两位数”大小，谁的大谁就获胜． 通过游戏经验的积累，小颖发现： (1)在一次游戏中，小颖第一次转出的数字是，求她下一次转出的数字大于的概率； (2)为了更有可能得到一个较大的两位数，你认为小颖应当把第一次转出的数字6放在______（填“十位”或“个位”）的方格中． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $