专题04 三角形（期末真题汇编）数学新教材北师大版七年级下册

**基本信息** 聚焦三角形11大高频考点，汇编安徽、浙江等多地期末真题，涵盖基础判断与综合模型应用，适配八年级期末复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|30题|三角形分类、三边关系、等腰三角形性质|基础题占比60%，如三角形按角分类判断；结合动态问题，如等腰三角形边长讨论| |解答题|24题|全等三角形证明、倍长中线/一线三垂直模型|综合题占比40%，如含动点的全等判定（第29题）；突出模型应用，如倍长中线证线段关系（第44题）|

专题04 三角形 题号 1 2 3 6 7 11 12 17 21 22 答案 C D C C B C C C C C 题号 26 27 41 42 答案 A D B D 1．C 【分析】本题考查了三角形的识别． 根据，结合钝角三角形的定义即可判断． 【详解】解：∵， ∴是钝角三角形． 故选：C． 2．D 【分析】本题考查三角形的分类，根据点C运动路线，分段进行讨论即可． 【详解】解：点C从点B出发后至前，，是钝角三角形； 当点C运动至时，，是直角三角形； 点C继续向右运动，由小变大， 当时，是锐角三角形； 当时，是直角三角形； 当时，是钝角三角形； 因此变化情况为：钝角三角形→直角角三形→锐角三角形→直角三角形→钝角三角形， 故选D． 3．C 【分析】本题考查动点问题，掌握三角形的分类是解题的关键． 【详解】解：在点P运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形， 故选C． 4．等腰 【分析】本题考查平方以及绝对值的非负性，三角形的三边关系及其分类．由可得，，根据三角形的三边关系以及c为偶数可确定c的值，最后即可确定三角形的形状． 【详解】解：， ，， ，， ，， ，， ， 由c为偶数，可得， ， 的形状为等腰三角形． 故答案为：等腰． 5．(1) (2)是等腰三角形 【分析】本题主要考查整式的加减运算、绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类，熟练掌握整式的加减运算、绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类是解题的关键； （1）根据三角形的三边关系可得，然后可去绝对值，进而问题可求解； （2）根据三角形的三边关系可得，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵的三边长分别为， ∴， ∴ ； （2）解：∵， ∴根据三角形三边关系可得， ∵第三边的长为奇数， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 6．C 【分析】本题考查三角形三边关系，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出的取值范围，再对应选项判断即可． 【详解】解：三角形三边长为，，， 根据三角形三边关系得， 即， 选项中只有满足该范围， ∴答案选C． 7．B 【分析】本题考查三角形三边关系，解题的关键是掌握两边之和大于第三边、两边之差小于第三边的原则．设第三边长为，根据三角形三边关系，第三边应大于两边之差且小于两边之和，可得，，求出的取值范围，逐项分析选项即可解答． 【详解】解：设第三边长为， 三角形两边之和大于第三边， ，即， 又三角形两边之差小于第三边， ，即， ， 选项中只有在此范围内， 故选：． 8．5 【分析】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出c的取值范围，再结合c为奇数的条件，确定c的值． 【详解】解：由三角形三边关系，得， ∵，， ∴， ∵c为整数且为奇数， ∴． 故答案为：5． 9． 【分析】本题考查了三角形的三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，正确理解三角形的三边关系是解题的关键．设第三边为，根据三角形三边关系求出的取值范围，由此得到偶数的值，再计算周长即可． 【详解】解：设第三边为， ∵三角形一边长为，另一边长为，第三边是最长边， ∴，即， ∵第三边是偶数， ∴， ∴此三角形的周长为． 故答案为： 10．或7或9 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，首先根据三角形的三边关系定理可得，再根据为奇数确定的值． 【详解】解：由题意得：， 即：， ∵为奇数， ∴或7或9． 11．C 【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，三角形三边关系，掌握等腰三角形的定义及分类讨论是解题的关键． 分两种情况讨论，当等腰三角形的腰长为，当等腰三角形的腰长为，再分别得到三角形的三边，结合三角形三边的关系，从而可得答案． 【详解】解：当等腰三角形的腰长为，则三边分别为：3，3，7， ，故围不成三角形； 当等腰三角形的腰长为，则三边分别为：3，7，7， ，能围成三角形； ∴它的周长为． 故选：C． 12．C 【分析】本题考查绝对值和平方的非负性，三角形的三边关系等知识点，结合等腰三角形的特点进行分类讨论，利用三边关系进行验证是解题关键． 根据非负数的性质求出a和b的值，再结合等腰三角形的性质和三角形三边关系确定周长． 【详解】解：由题意，， 因平方和绝对值均非负，故，解得，， 等腰的两边为4和8，需分情况讨论： 1. 若腰为4，则三边为4、4、8。此时，不满足三角形三边关系（两边之和需大于第三边），无法构成三角形， 2. 若腰为8，则三边为8、8、4，此时，，满足三边关系，周长为． 综上，的周长为20， 故选：C． 13．7 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系，掌握三角三边关系是解决本题的关键． 根据题意分为一条边的长为为腰长时或一条边的长为为底边时进行分类讨论即可． 【详解】解：根据题意得，当的边为等腰三角形的腰时， ∴此时的三边为， 又∵， ∴此情况的三边不能组成三角形， 当的边为等腰三角形的底边时， ∴此时等腰三角形的腰为， ∴此时的三边为， ∵， ∴此时的三边能组成三角形， 故答案为：7． 14． 【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及三角形三边关系．解题的关键是分情况讨论等腰三角形的腰长，并结合三角形三边关系判断每种情况是否成立． 分两种情况讨论，结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）排除不成立的情况，得出符合条件的长度． 【详解】根据等腰三角形的定义，有两条边长度相等的三角形为等腰三角形，分两种情况讨论： 若，则，三边为5，5，2，满足，成立． 若，则，三边为5，2，2，，不满足三边关系，不成立． ∴． 15．(1)，； (2)最大为，最小为 (3)是等腰三角形，理由见解析过程． 【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形的分类等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． （1）利用三角形三边关系进而得出的取值范围，进而得出答案； （2）根据奇数的定义和的取值范围，可求解； （3）根据偶数的定义，以及的取值范围即可求的值，利用等腰三角形的定义得出即可． 【详解】（1）解：因为，， 所以． 故周长的范围为． （2），，为奇数， ， 最大为，最小为． （3）周长为小于的偶数， 或． 当为时，； 当为时，． 当时，，为等腰三角形； 当时，，为等腰三角形． 综上所述，是等腰三角形． 16． 【分析】本题主要考查了三角形的高线，角平分线以及直角三角形两锐角互余定理的应用，熟练掌握相关定理是解题的关键．先根据是的角平分线，得到，再由是的高线，得到，再由角的和差即可解答． 【详解】解：， ， 是的角平分线， ， 是的高线， ， ， ． 故答案为： 17．C 【分析】在直角三角形中，点到斜边的距离可以通过面积法求解；利用两种不同的面积表达式建立方程，解出高即可. 【详解】解：∵ 为直角三角形，直角边，， ∴ ∵设点 到的距离为， ∴ ∴，解得： 故选：C. 18． 【分析】本题考查了三角形的面积计算、一元一次方程的应用等知识点，利用等面积法列出方程成为解题的关键． 由直角三角形的面积公式得到，然后代值求解方程即可． 【详解】解：如图： ∵，， ∴，即， ∴， 解得：． 故答案为． 19． 【分析】本题主要考查了垂线段最短，三角形面积的计算，过点C作于点D，利用等积法求出长．根据垂线段最短，得出当时，即点P与点D重合时，最小． 【详解】解：在中，于点，，如图，过点C作于点D， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵垂线段最短， ∴当点P与点D重合时，最小，即最小值为， 故答案为：． 20． 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，求一个角的余角，根据角平分线的定义可得出，由三角形的高可得出，由余角的定义可得出，最后根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵是三角形的高， ∴， ∴， ∵， ∴. 21．C 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形对应边相等． 先根据三角形全等得到，再求得的长度即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 22．C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应边相等． 根据全等三角形的对应边相等可知，，进而可求解 ． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故选：C． 23．32 【分析】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 由得到，，得到，，从而，再由即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：32． 24．/105度 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 根据，得到，再根据三角形内角和等于，即可求解． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 25． 【分析】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，根据，，求出的度数为，再根据全等三角形对应角相等可得． 【详解】解：，， ， ， ． 26．A 【分析】根据三角形全等的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：平分， ， ， 当添加时，不能判定，A选项符合题意； 当添加时，，B选项不符合题意； 当添加时，，C选项不符合题意； 当添加时，判定，D选项不符合题意． 27．D 【分析】已知是中点，可得，且（对顶角相等）．根据全等三角形判定定理（、、），逐一分析添加各选项条件后能否判定．本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理（、、）是解题的关键． 【详解】解：是的中点， ， 又（对顶角相等）． 若添加 ，，， ，故项正确，不符合题意． 若添加 ，，， ，故项正确，不符合题意． 若添加 ，，， ，故项正确，不符合题意． 若添加 此时是“边边角”的情况，不能判定，故项错误，符合题意． 故选：． 28．或或 【分析】本题考查添加一个条件使两个三角形全等，涉及两个三角形全等的判定定理，熟记两个三角形全等的判定定理、和是解决问题的关键．由图可知与有公共边，再由，结合、和判定即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 与有公共边， ， 当时，由两个三角形全等的判定定理即可得证； 当时，由两个三角形全等的判定定理即可得证； 当时，由两个三角形全等的判定定理即可得证； 故答案为：或或． 29．或或（添加一个即可） 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理，结合已知的相等关系，求解即可． 【详解】在和中，，， 添加，用边角边证； 添加，用角边角证； 添加，用角角边证； 故答案为：或或． 30．3 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定条件并灵活运用．根据全等三角形的判定方法，利用、、即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴当时，由可得，故①符合题意； 当时，则，由可得，故②符合题意； 当时，则，由可得，故③符合题意； 当时，不能得出，故④不符合题意； ∴符合要求的条件有3个． 故答案为：3 31．证明见解析 【分析】本题考查根据全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由易得，再由，，可证明，即可证明． 【详解】证明：， ， 即， 在与中， ， ， ． 32．3 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用中点性质可得，由平行线性质可得，再由对顶角相等可得，可证，由全等三角形性质可得，然后根据求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：是边上的中线， ， ∵， ， 在和中， ， ∴， ， ，， ， ， ． 33．(1)见解析 (2)15 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据，，得，再根据平分得，由此可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）连接，根据点是的中点得，依据“”判定和全等得，由此即可得出的面积． 【详解】（1）根据，， 得， 平分， ， ， 在和中， ， ， ； （2）连接，如图所示： 点是的中点，， ， 在△和△中， ， ， ， ． 34．见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据，得出，又因为，则，故，即可作答． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 35．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，线段的和差，熟练掌握全等三角形的判定与性质是关键． （1）先证明，再根据全等三角形的判定证明，可得，最后根据平行线的判定，即可证明结论； （2）根据线段的和差，即可求得答案． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中，， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ． 36．见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，理解三角形中线的定义，大边对大角，延长至点E，使，连接，根据三角形中线定义得，进而依据判定得，，再由得，继而根据“大边对大角”得，由此即可得出结论． 【详解】解：延长至点E，使，连接，如图所示： ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 37．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点E，使，连接．可以判定，得出，这样就能把线段、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围， （2）延长到点M，使，连接．证明，得出，得出，由可得，从而可得，故可得平分． 【详解】（1）解：是的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中， ， 即， 中线的取值范围是：； （2）证明：延长到点M，使，连接． 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即平分． 38．（1） （2），证明见解析 （3），，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据中线的定义得，进而可依据“”判定和全等，由此即可得出答案； （2）延长到F，使，连接，则，同（1）证明和全等得，再依据“”判定和全等得，由此即可得出线段与的数量关系； （3）过点C作于点H，证明和全等得，，则，证明，进而依据“”判定和全等得，，据此即可得出线段与的数量关系和位置关系． 【详解】解：（1）∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：； （2）线段与的数量关系是：，理由如下： 延长到F，使，连接，如图所示： 则， 同（1）证明：， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）线段与的数量关系是：，位置关系是：，理由如下： 过点C作于点H，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴，． 39．（1）；（2）；（3）；理由见解析 【分析】（1）延长到点，使，连接，由证得，得出，在中，，得出，即可得出结果； （2）延长到点，使，连接、，由证得，得出，由等腰三角形的性质得出，在中，，得出，即可得出结果； （3）延长与的延长线交于点，易证，得出，由证得，得出，，即可证得，由，得出． 【详解】（1）延长到点，使，连接，如图所示： 点是边上的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ，即， ， 故答案为：； （2）延长到点，使，连接、，如图所示： 点是边上的中点， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在中，， ，即， ； （3）；理由如下： 延长与的延长线交于点，如图所示： 点是中点， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，即：， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了三角形三边关系、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握三角形的三边关系，证明三角形全等是解题的关键． 40．（1），（2）见解析，（3）18 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据提示证即可求解； （2）延长至点，使得，连接，证得，，进而可得，再证即可； （3）由（2）可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解． 【详解】解：（1）∵是的中线． ∴， ∵，， ∴， ∴， 可得， 即：， ∴， 故答案为：； （2）延长至点，使得，连接，如图2： ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）如图3，由（2）可得：，，， ． ． ，， ． ， ， ， ． 41．B 【分析】连接并延长交于点F，在的延长线上取一点H，使，连接，证明，得，再证明得，进而得，由此即可得出的长． 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，理解角平分线的定义，线段中点的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 【详解】解：连接并延长交于点F，在的延长线上取一点H，使，连接，如图， ∵点为的中点，，， ∴， ∵ ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 42．D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． 利用全等三角形的判定和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A.∵， ∴， ∴， 即，该选项正确，不符合题意； B. ∵， ∴， 由A.选项得， 又， ， ∴，该选项正确，不符合题意； C. ∵， ∴， 由B.选项得， ∴， 即， 又， , ∴，该选项正确，不符合题意； D.由以上条件，无法确定 ，该选项错误，符合题意； 故选：D． 43． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质：通过“角边角()”判定和全等，利用全等三角形对应边相等的性质得出；再根据三角形面积公式的应用：将的面积拆分为和的面积之和，再根据三角形面积公式进行计算即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中：， ∴， 又∵，， ∴，， ∵， ∴ ∴， ， ， ∴． 故答案为：． 44．2或或8 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，分点Q在上，点P在上；点P与点Q重合；Q与A重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：分以下三种情况讨论： ①如图1，当Q在上，点P在上时，作，， 由题意得，，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 当时， 则， 即， 解得：； ②如图2，当点P与点Q重合时， 由题意得，，， ∵，， ∴，， 当时， 则， ∴， 解得：； ③如图3，当点Q与A重合时， 由题意得，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 当， 则， 即， 解得：； 综上所述：当或或8时，与全等． 故答案为：2或或8． 45．（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质， （1）根据角角边判定三角形全等即可； （2）根据三角形全等的性质得到，再根据角边角证出，得到即可求出． 【详解】解：（1）因为，所以， 因为，所以， 即，所以， 在和中， ， 所以． （2）由（1）知：，， 所以， 又因为，， 所以，所以， 在和中， ， 所以， 所以． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 三角形 9大高频考点概览 考点01三角形的分类 考点02三角形的三边关系 考点03等腰三角形的性质及其求解 考点04与三角形高或角平分线有关的计算 考点05全等三角形的性质 考点06添加条件使三角形全等 考点07证明三角形全等 考点08倍长中线模型 考点09全等三角形的性质与判定综合 ( 地 城 考点01 三角形的分类 ) 1．（24-25七年级下·上海金山·期末）在中，若，则是（  ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的识别． 根据，结合钝角三角形的定义即可判断． 【详解】解：∵， ∴是钝角三角形． 故选：C． 2．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，是锐角，点C从点B出发沿方向运动，连结．关于的形状变化情况，下列说法正确的是（    ） A．钝角三角形→锐角三角形→钝角三角形 B．钝角三角形→直角三角形→钝角三角形 C．钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→钝角三角形 D．以上说法都不对 【答案】D 【分析】本题考查三角形的分类，根据点C运动路线，分段进行讨论即可． 【详解】解：点C从点B出发后至前，，是钝角三角形； 当点C运动至时，，是直角三角形； 点C继续向右运动，由小变大， 当时，是锐角三角形； 当时，是直角三角形； 当时，是钝角三角形； 因此变化情况为：钝角三角形→直角角三形→锐角三角形→直角三角形→钝角三角形， 故选D． 3．（23-24七年级七·浙江·期末）如图，在中，，．动点P从点C出发，沿边，向点A运动．在点P运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是（    ） A．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形 B．等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形 C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 D．等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查动点问题，掌握三角形的分类是解题的关键． 【详解】解：在点P运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形， 故选C． 4．（24-25七年级下·全国·期末）已知的边长a，b，c满足，若c为偶数，则的形状为_____________三角形．（按边分类） 【答案】等腰 【分析】本题考查平方以及绝对值的非负性，三角形的三边关系及其分类．由可得，，根据三角形的三边关系以及c为偶数可确定c的值，最后即可确定三角形的形状． 【详解】解：， ，， ，， ，， ，， ， 由c为偶数，可得， ， 的形状为等腰三角形． 故答案为：等腰． 5．（24-25七年级下·河南周口·月考）已知的三边长分别为． (1)化简：； (2)若，第三边的长为奇数，判断的形状． 【答案】(1) (2)是等腰三角形 【分析】本题主要考查整式的加减运算、绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类，熟练掌握整式的加减运算、绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类是解题的关键； （1）根据三角形的三边关系可得，然后可去绝对值，进而问题可求解； （2）根据三角形的三边关系可得，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵的三边长分别为， ∴， ∴ ； （2）解：∵， ∴根据三角形三边关系可得， ∵第三边的长为奇数， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． ( 地 城 考点02 三角形的三边关系 ) 6．（24-25七年级下·吉林长春·期末）已知某三角形的三边长分别为、、，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出的取值范围，再对应选项判断即可． 【详解】解：三角形三边长为，，， 根据三角形三边关系得， 即， 选项中只有满足该范围， ∴答案选C． 7．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）已知一个三角形的两边长分别为和，则第三边的长度可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系，解题的关键是掌握两边之和大于第三边、两边之差小于第三边的原则．设第三边长为，根据三角形三边关系，第三边应大于两边之差且小于两边之和，可得，，求出的取值范围，逐项分析选项即可解答． 【详解】解：设第三边长为， 三角形两边之和大于第三边， ，即， 又三角形两边之差小于第三边， ，即， ， 选项中只有在此范围内， 故选：． 8．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）已知a，b，c是的三边，其中，，且c为奇数，则c的值为________． 【答案】5 【分析】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出c的取值范围，再结合c为奇数的条件，确定c的值． 【详解】解：由三角形三边关系，得， ∵，， ∴， ∵c为整数且为奇数， ∴． 故答案为：5． 9．（24-25七年级下·重庆·期末）已知一个三角形一边长为，另一边长为，第三边是最长边且为偶数，则此三角形的周长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，正确理解三角形的三边关系是解题的关键．设第三边为，根据三角形三边关系求出的取值范围，由此得到偶数的值，再计算周长即可． 【详解】解：设第三边为， ∵三角形一边长为，另一边长为，第三边是最长边， ∴，即， ∵第三边是偶数， ∴， ∴此三角形的周长为． 故答案为： 10．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）在中，，，且的长为奇数，求的长． 【答案】或7或9 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，首先根据三角形的三边关系定理可得，再根据为奇数确定的值． 【详解】解：由题意得：， 即：， ∵为奇数， ∴或7或9． ( 地 城 考点0 3 等腰三角形的性质及其求解 ) 11．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）已知一个等腰三角形的一边长为3，另一边长为7，那么它的周长为（    ） A．13 B．13或17 C．17 D．12或16 【答案】C 【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，三角形三边关系，掌握等腰三角形的定义及分类讨论是解题的关键． 分两种情况讨论，当等腰三角形的腰长为，当等腰三角形的腰长为，再分别得到三角形的三边，结合三角形三边的关系，从而可得答案． 【详解】解：当等腰三角形的腰长为，则三边分别为：3，3，7， ，故围不成三角形； 当等腰三角形的腰长为，则三边分别为：3，7，7， ，能围成三角形； ∴它的周长为． 故选：C． 12．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期末）若a，b为等腰的两边，且满足，则的周长为（　　） A．16 B．18 C．20 D．16或20 【答案】C 【分析】本题考查绝对值和平方的非负性，三角形的三边关系等知识点，结合等腰三角形的特点进行分类讨论，利用三边关系进行验证是解题关键． 根据非负数的性质求出a和b的值，再结合等腰三角形的性质和三角形三边关系确定周长． 【详解】解：由题意，， 因平方和绝对值均非负，故，解得，， 等腰的两边为4和8，需分情况讨论： 1. 若腰为4，则三边为4、4、8。此时，不满足三角形三边关系（两边之和需大于第三边），无法构成三角形， 2. 若腰为8，则三边为8、8、4，此时，，满足三边关系，周长为． 综上，的周长为20， 故选：C． 13．（24-25七年级下·四川乐山·期末）已知等腰三角形的周长为，一条边的长为，则它的腰长为__________． 【答案】7 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系，掌握三角三边关系是解决本题的关键． 根据题意分为一条边的长为为腰长时或一条边的长为为底边时进行分类讨论即可． 【详解】解：根据题意得，当的边为等腰三角形的腰时， ∴此时的三边为， 又∵， ∴此情况的三边不能组成三角形， 当的边为等腰三角形的底边时， ∴此时等腰三角形的腰为， ∴此时的三边为， ∵， ∴此时的三边能组成三角形， 故答案为：7． 14．（24-25七年级下·广东河源·期末）在中，，，若是等腰三角形，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及三角形三边关系．解题的关键是分情况讨论等腰三角形的腰长，并结合三角形三边关系判断每种情况是否成立． 分两种情况讨论，结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）排除不成立的情况，得出符合条件的长度． 【详解】根据等腰三角形的定义，有两条边长度相等的三角形为等腰三角形，分两种情况讨论： 若，则，三边为5，5，2，满足，成立． 若，则，三边为5，2，2，，不满足三边关系，不成立． ∴． 15．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）【代数推理】设的三边长是、、，周长是，其中，． (1)直接写出及的取值范围； (2)当为奇数时，求的最大值和最小值． (3)若小于的偶数，判断的形状． 【答案】(1)，； (2)最大为，最小为 (3)是等腰三角形，理由见解析过程． 【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形的分类等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． （1）利用三角形三边关系进而得出的取值范围，进而得出答案； （2）根据奇数的定义和的取值范围，可求解； （3）根据偶数的定义，以及的取值范围即可求的值，利用等腰三角形的定义得出即可． 【详解】（1）解：因为，， 所以． 故周长的范围为． （2），，为奇数， ， 最大为，最小为． （3）周长为小于的偶数， 或． 当为时，； 当为时，． 当时，，为等腰三角形； 当时，，为等腰三角形． 综上所述，是等腰三角形． ( 地 城 考点0 4 与三角形高或角平分线有关的计算 ) 11．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）已知一个等腰三角形的一边长为3，另一边长为7，那么它的周长为（    ） A．13 B．13或17 C．17 D．12或16 【答案】C 【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，三角形三边关系，掌握等腰三角形的定义及分类讨论是解题的关键． 分两种情况讨论，当等腰三角形的腰长为，当等腰三角形的腰长为，再分别得到三角形的三边，结合三角形三边的关系，从而可得答案． 【详解】解：当等腰三角形的腰长为，则三边分别为：3，3，7， ，故围不成三角形； 当等腰三角形的腰长为，则三边分别为：3，7，7， ，能围成三角形； ∴它的周长为． 故选：C． 12．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期末）若a，b为等腰的两边，且满足，则的周长为（　　） A．16 B．18 C．20 D．16或20 【答案】C 【分析】本题考查绝对值和平方的非负性，三角形的三边关系等知识点，结合等腰三角形的特点进行分类讨论，利用三边关系进行验证是解题关键． 根据非负数的性质求出a和b的值，再结合等腰三角形的性质和三角形三边关系确定周长． 【详解】解：由题意，， 因平方和绝对值均非负，故，解得，， 等腰的两边为4和8，需分情况讨论： 1. 若腰为4，则三边为4、4、8。此时，不满足三角形三边关系（两边之和需大于第三边），无法构成三角形， 2. 若腰为8，则三边为8、8、4，此时，，满足三边关系，周长为． 综上，的周长为20， 故选：C． 13．（24-25七年级下·四川乐山·期末）已知等腰三角形的周长为，一条边的长为，则它的腰长为__________． 【答案】7 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系，掌握三角三边关系是解决本题的关键． 根据题意分为一条边的长为为腰长时或一条边的长为为底边时进行分类讨论即可． 【详解】解：根据题意得，当的边为等腰三角形的腰时， ∴此时的三边为， 又∵， ∴此情况的三边不能组成三角形， 当的边为等腰三角形的底边时， ∴此时等腰三角形的腰为， ∴此时的三边为， ∵， ∴此时的三边能组成三角形， 故答案为：7． 14．（24-25七年级下·广东河源·期末）在中，，，若是等腰三角形，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及三角形三边关系．解题的关键是分情况讨论等腰三角形的腰长，并结合三角形三边关系判断每种情况是否成立． 分两种情况讨论，结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）排除不成立的情况，得出符合条件的长度． 【详解】根据等腰三角形的定义，有两条边长度相等的三角形为等腰三角形，分两种情况讨论： 若，则，三边为5，5，2，满足，成立． 若，则，三边为5，2，2，，不满足三边关系，不成立． ∴． 15．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）【代数推理】设的三边长是、、，周长是，其中，． (1)直接写出及的取值范围； (2)当为奇数时，求的最大值和最小值． (3)若小于的偶数，判断的形状． 【答案】(1)，； (2)最大为，最小为 (3)是等腰三角形，理由见解析过程． 【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形的分类等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． （1）利用三角形三边关系进而得出的取值范围，进而得出答案； （2）根据奇数的定义和的取值范围，可求解； （3）根据偶数的定义，以及的取值范围即可求的值，利用等腰三角形的定义得出即可． 【详解】（1）解：因为，， 所以． 故周长的范围为． （2），，为奇数， ， 最大为，最小为． （3）周长为小于的偶数， 或． 当为时，； 当为时，． 当时，，为等腰三角形； 当时，，为等腰三角形． 综上所述，是等腰三角形． 16．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，在中，是的高线，是的角平分线，，，则的度数为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的高线，角平分线以及直角三角形两锐角互余定理的应用，熟练掌握相关定理是解题的关键．先根据是的角平分线，得到，再由是的高线，得到，再由角的和差即可解答． 【详解】解：， ， 是的角平分线， ， 是的高线， ， ， ． 故答案为： 17．（24-25七年级下·湖南永州·期末）在中，，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在直角三角形中，点到斜边的距离可以通过面积法求解；利用两种不同的面积表达式建立方程，解出高即可. 【详解】解：∵ 为直角三角形，直角边，， ∴ ∵设点 到的距离为， ∴ ∴，解得： 故选：C. 18．（24-25七年级下·山东枣庄·期末）在直角中，是边上的高线，且，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积计算、一元一次方程的应用等知识点，利用等面积法列出方程成为解题的关键． 由直角三角形的面积公式得到，然后代值求解方程即可． 【详解】解：如图： ∵，， ∴，即， ∴， 解得：． 故答案为． 19．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在中，于点，，为边上一动点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，三角形面积的计算，过点C作于点D，利用等积法求出长．根据垂线段最短，得出当时，即点P与点D重合时，最小． 【详解】解：在中，于点，，如图，过点C作于点D， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵垂线段最短， ∴当点P与点D重合时，最小，即最小值为， 故答案为：． 20．（23-24七年级下·河南开封·期末）如图，中，是角平分线，是高，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，求一个角的余角，根据角平分线的定义可得出，由三角形的高可得出，由余角的定义可得出，最后根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵是三角形的高， ∴， ∴， ∵， ∴. ( 地 城 考点0 5 全等三角形的性质 ) 21．（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，点A，B，D，E在同一条直线上，，，；则的长是（   ） A．3 B． C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形对应边相等． 先根据三角形全等得到，再求得的长度即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 22．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，，若，则的长为（　　） A．3 B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应边相等． 根据全等三角形的对应边相等可知，，进而可求解 ． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故选：C． 23．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，延长至点D，点E在边上，连接、，．若，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】32 【分析】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 由得到，，得到，，从而，再由即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：32． 24．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，，若，，则的度数是________． 【答案】/105度 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 根据，得到，再根据三角形内角和等于，即可求解． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 25．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，，若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，根据，，求出的度数为，再根据全等三角形对应角相等可得． 【详解】解：，， ， ， ． ( 地 城 考点0 6 添加条件使三角形全等 ) 26．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在四边形中，连接，平分，添加一个条件后，不能证明的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形全等的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：平分， ， ， 当添加时，不能判定，A选项符合题意； 当添加时，，B选项不符合题意； 当添加时，，C选项不符合题意； 当添加时，判定，D选项不符合题意． 27．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，与相交于点，且是的中点，添加下列条件，不能说明的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知是中点，可得，且（对顶角相等）．根据全等三角形判定定理（、、），逐一分析添加各选项条件后能否判定．本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理（、、）是解题的关键． 【详解】解：是的中点， ， 又（对顶角相等）． 若添加 ，，， ，故项正确，不符合题意． 若添加 ，，， ，故项正确，不符合题意． 若添加 ，，， ，故项正确，不符合题意． 若添加 此时是“边边角”的情况，不能判定，故项错误，符合题意． 故选：． 28．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，，添加一个条件_____，使．（不添加辅助线和点） 【答案】或或 【分析】本题考查添加一个条件使两个三角形全等，涉及两个三角形全等的判定定理，熟记两个三角形全等的判定定理、和是解决问题的关键．由图可知与有公共边，再由，结合、和判定即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 与有公共边， ， 当时，由两个三角形全等的判定定理即可得证； 当时，由两个三角形全等的判定定理即可得证； 当时，由两个三角形全等的判定定理即可得证； 故答案为：或或． 29．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，，要使，还需要添加一个条件是________（添加一个即可） 【答案】或或（添加一个即可） 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理，结合已知的相等关系，求解即可． 【详解】在和中，，， 添加，用边角边证； 添加，用角边角证； 添加，用角角边证； 故答案为：或或． 30．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，在和中，，，现添加一个条件证明， 下列符合要求的条件有_______个（填个数）． ①    ②   ③    ④ 【答案】3 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定条件并灵活运用．根据全等三角形的判定方法，利用、、即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴当时，由可得，故①符合题意； 当时，则，由可得，故②符合题意； 当时，则，由可得，故③符合题意； 当时，不能得出，故④不符合题意； ∴符合要求的条件有3个． 故答案为：3 ( 地 城 考点0 7 证明三角形全等 ) 31．（24-25七年级下·全国·期末）已知：如图，点B、D、C、E在同一条直线上，，，，求证：．    【答案】证明见解析 【分析】本题考查根据全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由易得，再由，，可证明，即可证明． 【详解】证明：， ， 即， 在与中， ， ， ． 32．（24-25七年级下·全国·期末）如图，中，是边上的中线，，为直线上的点，连接，，且．，，求的长． 【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用中点性质可得，由平行线性质可得，再由对顶角相等可得，可证，由全等三角形性质可得，然后根据求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：是边上的中线， ， ∵， ， 在和中， ， ∴， ， ，， ， ， ． 33．（24-25七年级下·重庆江北·期末）如图，在 中， 点在的延长线上，于点，，平分 (1)求证：； (2)若是的中点，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据，，得，再根据平分得，由此可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）连接，根据点是的中点得，依据“”判定和全等得，由此即可得出的面积． 【详解】（1）根据，， 得， 平分， ， ， 在和中， ， ， ； （2）连接，如图所示： 点是的中点，， ， 在△和△中， ， ， ， ． 34．（23-24七年级下·全国·期末）如图，点A，F，C，D在同一直线上，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据，得出，又因为，则，故，即可作答． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 35．（25-26七年级下·山东泰安·期末）如图，已知，点A，B，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，线段的和差，熟练掌握全等三角形的判定与性质是关键． （1）先证明，再根据全等三角形的判定证明，可得，最后根据平行线的判定，即可证明结论； （2）根据线段的和差，即可求得答案． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中，， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ． ( 地 城 考点 08 倍长中线模型 ) 36．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在中，是边上的中线，如果，求证：． 证明：延长至点，使，连接（请完成后续证明） 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，理解三角形中线的定义，大边对大角，延长至点E，使，连接，根据三角形中线定义得，进而依据判定得，，再由得，继而根据“大边对大角”得，由此即可得出结论． 【详解】解：延长至点E，使，连接，如图所示： ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 37．（24-25七年级下·河北保定·期末）方法探索 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． (1)嘉嘉同学经过思考、探究发现可以添加辅助线构造全等三角形解决问题．延长到点E，使，连接．可以判定，得出，这样就能把线段、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围，请你根据嘉嘉的思路写出完整解答过程问题解决 (2)由第（1）问方法的启发，请解决下面问题： 如图2，在中，点D、E在上，且，过E作与相交于点F，且．求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点E，使，连接．可以判定，得出，这样就能把线段、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围， （2）延长到点M，使，连接．证明，得出，得出，由可得，从而可得，故可得平分． 【详解】（1）解：是的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中， ， 即， 中线的取值范围是：； （2）证明：延长到点M，使，连接． 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即平分． 38．（24-25七年级下·广东梅州·期末）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． 【问题解决】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为： ． 【问题应用】 （2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】 （3）如图3，是的中线，，，，试探究线段与的数量关系和位置关系，并加以说明． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3），，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据中线的定义得，进而可依据“”判定和全等，由此即可得出答案； （2）延长到F，使，连接，则，同（1）证明和全等得，再依据“”判定和全等得，由此即可得出线段与的数量关系； （3）过点C作于点H，证明和全等得，，则，证明，进而依据“”判定和全等得，，据此即可得出线段与的数量关系和位置关系． 【详解】解：（1）∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：； （2）线段与的数量关系是：，理由如下： 延长到F，使，连接，如图所示： 则， 同（1）证明：， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）线段与的数量关系是：，位置关系是：，理由如下： 过点C作于点H，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴，． 39．（24-25七年级下·广东深圳·期末）在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法． 【特例分析】例如：在中，，，点是边上的中点，怎样求的取值范围呢？我们可以延长到点，使，然后连接（如图①），这样，在和中，由于，，，接下来，在中通过的长可求出的取值范围． （1）在图①中，中线的取值范围是______． 【拓展探究】 （2）应用上述方法，解决下面问题： 如图②，在中，点是边上的中点，点是边上的一点，作交边于点，连接，若，，请直接写出的取值范围． 【推广应用】 （3）如图③，在四边形中，，，点是中点，点在上，且满足，，连接、，请判断与的位置关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）；（3）；理由见解析 【分析】（1）延长到点，使，连接，由证得，得出，在中，，得出，即可得出结果； （2）延长到点，使，连接、，由证得，得出，由等腰三角形的性质得出，在中，，得出，即可得出结果； （3）延长与的延长线交于点，易证，得出，由证得，得出，，即可证得，由，得出． 【详解】（1）延长到点，使，连接，如图所示： 点是边上的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ，即， ， 故答案为：； （2）延长到点，使，连接、，如图所示： 点是边上的中点， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在中，， ，即， ； （3）；理由如下： 延长与的延长线交于点，如图所示： 点是中点， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，即：， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了三角形三边关系、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握三角形的三边关系，证明三角形全等是解题的关键． 40．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图，中线的取值范围是多少？第一组经过合作交流，得到如下的解决方法，请同学们认真阅读，完成填空． 【探究方法】 ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化到中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是___________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题拓展】 （2）如图2，与互补，连接、，E是的中点，试说明：． ①根据上题总结的方法，我们考虑倍长中线构造全等三角形 解：如图，延长至，使，连接． 因为是的中点 所以 在和中 所以 ②根据①中的条件，可以得到，下面只需说明，就能得到，请同学们根据提示补全证明过程． （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，．那么的面积是___________（请直接写出答案） 【答案】（1），（2）见解析，（3）18 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据提示证即可求解； （2）延长至点，使得，连接，证得，，进而可得，再证即可； （3）由（2）可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解． 【详解】解：（1）∵是的中线． ∴， ∵，， ∴， ∴， 可得， 即：， ∴， 故答案为：； （2）延长至点，使得，连接，如图2： ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）如图3，由（2）可得：，，， ． ． ，， ． ， ， ， ． ( 地 城 考点 09 全等的性质与判定综合 ) 41．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，中，点为的中点．点是下方一点，连接，．平分，，若，，则的长为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】连接并延长交于点F，在的延长线上取一点H，使，连接，证明，得，再证明得，进而得，由此即可得出的长． 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，理解角平分线的定义，线段中点的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 【详解】解：连接并延长交于点F，在的延长线上取一点H，使，连接，如图， ∵点为的中点，，， ∴， ∵ ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 42．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，已知，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． 利用全等三角形的判定和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A.∵， ∴， ∴， 即，该选项正确，不符合题意； B. ∵， ∴， 由A.选项得， 又， ， ∴，该选项正确，不符合题意； C. ∵， ∴， 由B.选项得， ∴， 即， 又， , ∴，该选项正确，不符合题意； D.由以上条件，无法确定 ，该选项错误，符合题意； 故选：D． 43．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，的边与的边相交于点，，过点作，交于点，且，，若，，则的面积是___________． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质：通过“角边角()”判定和全等，利用全等三角形对应边相等的性质得出；再根据三角形面积公式的应用：将的面积拆分为和的面积之和，再根据三角形面积公式进行计算即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中：， ∴， 又∵，， ∴，， ∵， ∴ ∴， ， ， ∴． 故答案为：． 44．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，，直线l经过点C且与边相交，动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动，点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束，在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，设运动时间为，则与全等时，t的值为__________． 【答案】2或或8 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，分点Q在上，点P在上；点P与点Q重合；Q与A重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：分以下三种情况讨论： ①如图1，当Q在上，点P在上时，作，， 由题意得，，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 当时， 则， 即， 解得：； ②如图2，当点P与点Q重合时， 由题意得，，， ∵，， ∴，， 当时， 则， ∴， 解得：； ③如图3，当点Q与A重合时， 由题意得，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 当， 则， 即， 解得：； 综上所述：当或或8时，与全等． 故答案为：2或或8． 45．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）【问题情境】 如图，在四边形中，，，连接，点G在边上，连接并延长，交的延长线于点E，交于点F，连接，已知，． 【问题探究】 （1）请说明； 【问题解决】 （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质， （1）根据角角边判定三角形全等即可； （2）根据三角形全等的性质得到，再根据角边角证出，得到即可求出． 【详解】解：（1）因为，所以， 因为，所以， 即，所以， 在和中， ， 所以． （2）由（1）知：，， 所以， 又因为，， 所以，所以， 在和中， ， 所以， 所以． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04」 三角形 ☆)大高频考点概览 考点01三角形的分类 考点02三角形的三边关系 考点03等腰三角形的性质及其求解 考点04与三角形高或角平分线有关的计算 考点05全等三角形的性质 考点06添加条件使三角形全等 考点07证明三角形全等 考点08倍长中线模型 考点09全等三角形的性质与判定综合 1.(24-25七年级下·上海金山期末)在ABC中，若∠A=92°，则ABC是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上三种情况都有可能 2.(23-24七年级下·河北秦皇岛期末)如图，∠ABM是锐角，点C从点B出发沿BM方向运动，连结AC. 关于ABC的形状变化情况，下列说法正确的是() A.钝角三角形一→锐角三角形→钝角三角形 B.钝角三角形一直角三角形→钝角三角形 C.钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→钝角三角形 D.以上说法都不对 3.(23-24七年级七浙江·期末)如图，在RtA ABC中，∠A=90°，∠B=30°.动点P从点C出发，沿边 CB,BA向点A运动.在点P运动过程中，△PAC可能成为的特殊三角形依次是() A.直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形 B.等腰三角形一直角三角形一等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形 C.直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 1/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D.等腰直角三角形→等腰三角形一→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 4.(24-25七年级下·全国期末)己知ABC的边长a,b,c满足(a-2)+b-4=0,若c为偶数，则 ABC的形状为 三角形.（按边分类） 5.(24-25七年级下·河南周口·月考)已知ABC的三边长分别为a,b,c· (I)化简：a-b-c+lb-c-a+a+b-c; (2)若a=2,b=5,第三边c的长为奇数，判断ABC的形状. 目目 考点02 三角形的三边关系 6.(24-25七年级下·吉林长春·期末)已知某三角形的三边长分别为3、9、m,则m的值可以是() A.3 B.6 C.9 D.12 7.(24-25七年级下·陕西咸阳·期末)己知一个三角形的两边长分别为4cm和9cm,则第三边的长度可能是 () A.5cm B.7cm C.13cm D.15cm 8.(24-25七年级下·陕西咸阳·期末)已知a,b,c是ABC的三边，其中a=2,b=5,且c为奇数，则 c的值为 9.(24-25七年级下.重庆期末)已知一个三角形一边长为7cm,另一边长为3cm,第三边是最长边且为偶 数，则此三角形的周长为 cm. 10.(24-25七年级下·陕西咸阳期末)在ABC中，AB=4,BC=7,且AC的长为奇数，求AC的长. 目目 考点03 等腰三角形的性质及其求解 11. (24-25七年级下，陕西咸阳·期末)已知一个等腰三角形的一边长为3，另一边长为7，那么它的周长为 ) A.13 B.13或17 C.17 D.12或16 12.(24-25七年级下·辽宁鞍山期末)若a,b为等腰ABC的两边，且满足(a-42+b-8=0,则ABC 的周长为() A.16 B.18 C.20 D.16或20 13.(24-25七年级下.四川乐山期末)己知等腰三角形ABC的周长为18cm,一条边的长为4cm,则它的 腰长为 cm 2/13 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 14.(24-25七年级下.广东河源期末)在ABC中，AB=5,AC=2,若ABC是等腰三角形，求BC的 长 15.(24-25七年级下.甘肃天水期末)【代数推理】设ABC的三边长是a、b、C,周长是x,其中a=4, b=6. (I)直接写出c及x的取值范围； (2)当C为奇数时，求x的最大值和最小值. (3)若x小于18的偶数，判断ABC的形状 目目 考点04 与三角形高或角平分线有关的计算 11. (24-25七年级下·陕西咸阳·期末)己知一个等腰三角形的一边长为3，另一边长为7，那么它的周长为 () A.13 B.13或17 C.17 D.12或16 12.（24-25七年级下·辽宁鞍山期末)若a,b为等腰ABC的两边，且满足(a-4)2+b-8=0,则ABC 的周长为() A.16 B.18 C.20 D.16或20 13.(24-25七年级下，四川乐山期末)已知等腰三角形ABC的周长为18cm,一条边的长为4cm,则它的 腰长为 cm 14.(24-25七年级下·广东河源·期末)在ABC中，AB=5,AC=2,若ABC是等腰三角形，求BC的 长 15.(24-25七年级下，甘肃天水期末)【代数推理】设ABC的三边长是a、b、c,周长是x,其中a=4, b=6. (1)直接写出C及x的取值范围； (2)当C为奇数时，求x的最大值和最小值. (3)若x小于18的偶数，判断ABC的形状. 16.(24-25七年级下·福建福州期末)如图，在ABC中，AD是ABC的高线，AE是ABC的角平分线， ∠BAC=102°，∠C=28°，则∠DAE的度数为 0 B DE 3/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 17.(24-25七年级下湖南永州期末)在ABC中，∠A=90°，AB=3,AC=4,BC=5,则点A到BC的 距离是() A治 B. 18 c.12 D 18.(24-25七年级下山东枣庄·期末)在直角△ABC中∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，且 AB=5,AC=4,BC=3,则CD的长为 19.(24-25七年级下·四川达州期末)如图，在ABC中，AE⊥BC于点E,AB=9,BC=8,AE=7,P为 AB边上一动点，连接CP,则CP的最小值为· E 20.(23-24七年级下·河南开封期末)如图，ABC中，AD是角平分线，BE是高，∠ABC=70°， ∠DAC=25°，求∠CBE的度数. 目目 考点05 全等三角形的性质 21.(25-26七年级下山东烟台期末)如图，点A,B,D,E在同一条直线上，△ABC≌△DEF,BE=3, DE=7;则AE的长是() A A.3 B.3.5 C.4 D.5 22.(24-25七年级下.贵州毕节期末)如图，△ABCDBE,若AB=7,BE=3,则CD的长为() 4/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B A.3 B.3.5 C.4 D.6 23.(24-25七年级下·陕西咸阳·期末)如图，在ABC中，BC=8,延长CB至点D,点E在AB边上，连 接DE、CE,△ABC DBE.若S△cDE=96,则图中阴影部分的面积为 D B 24.(24-25七年级下陕西咸阳期末)如图，△ABC≌△DAE,若∠C=30°，∠DAE=45°，则∠CAB的 度数是 B 25.(24-25七年级下.陕西西安·期末)如图，△ABC≌aADE,若∠BAE=120°，∠BAD=40°，求∠BAC的 度数 D 目目 考点06 添加条件使三角形全等 26.(24-25七年级下·山东济南·期末)如图，在四边形ABCD中，连接AC,AC平分∠BAD,添加一个条 件后，不能证明△ABC≌△ADC的是() 5/13 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 A.BC=CDB.∠BCA=∠DCAC.∠B=∠D D.AB=AD 27.(24-25七年级下·陕西咸阳·期末)如图，AB与CD相交于点E,且E是AB的中点，添加下列条件， 不能说明△ACE≌△BDE的是() D B A.∠C=LD B.∠A=∠B C.CE=DE D.AC=BD 28.(24-25七年级下·陕西咸阳·期末)如图，LABC=LDCB,添加一个条件，使△ABC≌△DCB· (不添加辅助线和点) D 29.(24-25七年级下·广东深圳期末)如图，∠ACB=∠CAD,要使△ACB≌△CAD,还需要添加一个条 件是 (添加一个即可) 30.(24-25七年级下·湖北武汉·期末)如图，在ABC和ADEF中，∠B=∠DEF,AB=DE,现添加一个 条件证明△ABC≌△DEF,下列符合要求的条件有个（填个数）· ①∠A=∠D②AC∥DF③BE=CF④AC=DF 6/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点07 证明三角形全等 31.(24-25七年级下.全国期末)已知：如图，点B、D、C、E在同一条直线上，∠ACB=∠FDE, ∠A=∠F,BD=CE,求证：AC=DF. B D 32.(24-25七年级下·全国期末)如图，ABC中，AD是BC边上的中线，E,F为直线AD上的点，连 接BE,CF,且BE∥CF,AE=13,AF=7,求DE的长. 33.(24-25七年级下·重庆江北期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在CA的延长线上， BE⊥DF于点E,AB=DF,BC平分∠ABE· D B E (I)求证：AC=CF; (2)若F是BC的中点，OA=OF,SBoF=5,求ABC的面积. 34.(23-24七年级下·全国期末)如图，点A,F,C,D在同一直线上，AF=DC,AB=DE,AB|DE,求证： △ABC≌△DEF. 7/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D 35.(25-26七年级下山东泰安期末)如图，己知，点A,B,C,F在一条直线上，BC=ED,AE=CF, ∠ACB=∠FED. B D I)求证：AB∥DF; (2)若AF=18,EC=6,求AC的长. 目目 考点08 倍长中线模型 36. (24-25七年级下·上海松江·期末)如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，如果AB>AC,求证： ∠DAC>∠BAD. 证明：延长AD至点E,使DE=AD,连接BE(请完成后续证明) D 37.(24-25七年级下·河北保定·期末)方法探索 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在ABC中，AB=9,AC=5,D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围. D B 图1 图2 (①)嘉嘉同学经过思考、探究发现可以添加辅助线构造全等三角形解决问题.延长AD到点E,使DE=AD, 8/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 连接BE.可以判定ADC≌EDB,得出AC=BE,这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ABE中，利 用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围，请你根据嘉嘉的思路写出完整解答过程问题解决 (②)由第(1)问方法的启发，请解决下面问题： 如图2，在ABC中，点D、E在BC上，且DE=DC,过E作EF∥AB与AD相交于点F,且EF=AC.求 证：AD平分∠BAC. 38.(24-25七年级下·广东梅州期末)在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中 线法. D B E 图(1) 图(2) 图(3) 【问题解决】 (1)如图I,AD是ABC的中线，且AB>AC,延长AD至点E,使ED=AD,连接BE,可证得 △ADC≌△EDB,其中判定全等的依据为：-· 【问题应用】 (2)如图2，AD是ABC的中线，点E在BC的延长线上，AC平分∠DAE,∠E=∠BAD,试探究线段 AE与AD的数量关系. 【拓展延伸】 (3)如图3，AD是ABC的中线，AB=AE,AC=AF,∠BAE=LFAC=90°，试探究线段AD与EF的 数量关系和位置关系，并加以说明. 39.(24-25七年级下·广东深圳期末)在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中 线的方法， 【特例分析】例如：在ABC中，AB=8,AC=6,点D是BC边上的中点，怎样求AD的取值范围呢？我 们可以延长AD到点E,使DE=AD,然后连接BE(如图①)，这样，在△ADC和△EDB中，由于 AD=DE ∠ADC=∠EDB,ADC兰EDB,·AC=EB,接下来，在△ABE中通过AE的长可求出AD的取值范围. BD=CD 9/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D B D D 图① 图② 图③ (1)在图①中，中线AD的取值范围是 【拓展探究】 (2)应用上述方法，解决下面问题： 如图②，在ABC中，点D是BC边上的中点，点E是AB边上的一点，作DF⊥DE交AC边于点F,连接 EF,若BE=4,CF=2,请直接写出EF的取值范围. 【推广应用】 (3)如图③，在四边形ABCD中，∠BCD=I49°，∠ADC=31°，点E是AB中点，点F在DC上，且满足 BC=CF,DF=AD,连接CE、ED,请判断CE与ED的位置关系，并证明你的结论. 40.(24-25七年级下.宁夏银川期末)【发现问题】 B D B 图1 图2 图3 (1)数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，AB=6,AC=4,中线AD的取值范围是多少？第一组 经过合作交流，得到如下的解决方法，请同学们认真阅读，完成填空 【探究方法】 ①延长AD到E,使得DE=AD: ②连接BE,通过三角形全等把AB、AC、2AD转化到△ABE中； ③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB-BE<AE<AB+BE,从而得到AD的取值范围是 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形， 【问题拓展】 (2)如图2，OA=0B,0C=OD,LA0C与∠BOD互补，连接AC、BD,E是AC的中点，试说明： 10/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 OE=-BD ①根据上题总结的方法，我们考虑倍长中线构造全等三角形 解：如图，延长OE至H,使EH=OE,连接CH· 因为E是AC的中点 所以AE=CE 在△AEO和△CEH中 AE=CE ∠AEO=∠CEH OE=EH 所以△AEO兰△CEH(SAS) ②根据①中的条件，可以得到OE=EH,下面只需说明BD=OH,就能得到OE=BD,请同学们根据提 示补全证明过程. (3)如图3，在(2)的条件下，若∠AOB=90°，延长E0交BD于点F,OF=3,0OE=6.那么△AOC的 面积是 (请直接写出答案) 目目 考点09 全等的性质与判定综合 41. (24-25七年级下广东深圳期末)如图，aABC中，点D为AC的中点.点E是AC下方一点，连接 BE,CE.BD平分∠ABE,CE∥AB,若CE=3,BE=7,则AB的长为() A.11 B.10 C.9 D.8 42.(24-25七年级下·山东威海期末)如图，已知△ABE≌aCBD,下列结论中错误的是() 11/13 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 B E A.AD=EC B.A0=CO C.∠BOD=∠BOED.∠AOD=∠BOD 43.(24-25七年级下陕西咸阳期末)如图，ABC的边AC与△ABE的边BE相交于点D,BE⊥AE,过 点C作CF⊥BE,交BD于点F,且DE=DF,CF=BF,，若AE=4,DE=3,则ABC的面积是 E D B 44.(24-25七年级下山东济南·期末)如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm,BC=10cm,直线1 经过点C且与边AB相交，动点P从点A出发沿A→C→B路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿 B→C→A路径向终点A运动，点P和点Q的速度分别为2cm/s和3cm/s,两点同时出发并开始计时，当 点P到达终点B时计时结束，在某时刻分别过点P和点Q作PE⊥1于点E,QF⊥I于点F,设运动时间为 s,则aPEC与QFC全等时，t的值为 B 45.(24-25七年级下·陕西咸阳·期末)【问题情境】 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC,连接AC,点G在BC边上，连接DG并延长，交AB 的延长线于点E,交AC于点F,连接AG,己知LDAC+∠CGF=90°，AE=AC. D B 【问题探究】 (1)请说明aABC≌△AFE; 12/13 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 【问题解决】 (2)若2AB=AC,AD=2,求CG的长. 13/13