专题04 三角形（期末真题汇编）数学新教材北师大版七年级下册

**基本信息** 聚焦三角形11大高频考点，汇编安徽、浙江等多地期末真题，涵盖基础判断与综合模型应用，适配八年级期末复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|30题|三角形分类、三边关系、等腰三角形性质|基础题占比60%，如三角形按角分类判断；结合动态问题，如等腰三角形边长讨论| |解答题|24题|全等三角形证明、倍长中线/一线三垂直模型|综合题占比40%，如含动点的全等判定（第29题）；突出模型应用，如倍长中线证线段关系（第44题）|

专题04 三角形 题号 1 2 6 7 11 12 16 17 18 21 答案 D B C C C B D C A C 题号 22 26 27 31 32 41 42 50 51 答案 B B B A C B C C D 1．D 【分析】本题考查了三角形内角和定理的运用以及图形的识别能力和推理能力，三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形． 【详解】解：从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个锐角． 故选：D． 2．B 【分析】本题考查三角形的内角和定理及三角形的分类．根据三角形内角和为，求出的度数，再根据角的大小判断三角形形状． 【详解】解：在中，三角形内角和为，已知，， 则， 所以是钝角三角形． 故选：B． 3．锐角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理得到，结合已知条件得到，据此求出的三个内角的度数即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴按角分类是锐角三角形， 故答案为：锐角． 4．直角 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，掌握此知识点是做题的关键．根据三角形的内角和定理，结合角度比例计算各角的度数，即可得出答案． 【详解】解：设这个三角形的三个内角的度数分别为，，， 则根据三角形内角和定理，得， 解得， ，． 有一个角为， 这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 5．等腰 【分析】本题考查平方以及绝对值的非负性，三角形的三边关系及其分类．由可得，，根据三角形的三边关系以及c为偶数可确定c的值，最后即可确定三角形的形状． 【详解】解：， ，， ，， ，， ，， ， 由c为偶数，可得， ， 的形状为等腰三角形． 故答案为：等腰． 6．C 【分析】本题考查三角形三边关系，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出的取值范围，再对应选项判断即可． 【详解】解：三角形三边长为，，， 根据三角形三边关系得， 即， 选项中只有满足该范围， ∴答案选C． 7．C 【详解】解：∵在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， ∴， 即． 8． 【分析】本题考查三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此进行求解即可． 【详解】解：根据三角形三边关系，得，即； 故答案为： 9． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义和三角形三边关系定理，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键．根据等腰三角形的定义，分两种情况讨论第三根木棒的长度：①长度为；②长度为．再根据三角形三边关系定理，检验两种情况能否构成三角形，从而确定符合条件的长度． 【详解】解：情况：第三根木棒长为， ∵三边为、、， 又∵， ∴不满足三角形三边关系，不能构成三角形． 情况：第三根木棒长为， ∵三边为、、 又∵，，，， ∴满足三角形三边关系，能构成等腰三角形． 故答案为：． 10．9 【分析】本题主要考查了非负数的性质以及三角形三边关系的应用，正确理解三角形的三边关系是解题的关键． 根据非负数的性质求出a和b的值，再利用三角形三边关系求出c的范围，结合c为奇数确定c的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 根据三角形三边关系，有，即， ∵为奇数， ∴． 故答案为：9． 11．C 【分析】本题考查三角形三边关系．结合等腰三角形的定义与三角形三边关系，逐一判断各选项是否能构成等腰三角形． 【详解】解：A、，不满足三边关系， ∴无法构成三角形，该选项不符合题意； B、，不满足三边关系， ∴无法构成三角形，该选项不符合题意； C、有两边长为2，符合等腰三角形定义，且，满足三边关系， ∴可构成等腰三角形，该选项符合题意； D、，不满足三边关系， ∴无法构成三角形，该选项不符合题意； 故选：C． 12．B 【分析】题目未说明已知边长是腰还是底边，需分类讨论，再验证三边关系得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论：①当为底边长时，腰长， ∵，满足三角形三边关系，此种情况成立，此时底边长为； ②当为腰长时，底边长， ∵，满足三角形三边关系，此种情况成立，此时底边长为． ∴底边长为或． 13．4 【分析】根据为腰长和为底边长两种情况讨论，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，即可得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当边长为的边为腰长时， 底边长为， 此时三角形三边长为， 因为，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，此情况舍去， ②当边长为的边为底边长时， 腰长为， 此时三角形三边长为， 满足三角形任意两边之和大于第三边，可以构成三角形， ∴该等腰三角形的底边长为． 14．20或22 【分析】本题考查了非负数之和为零，三角形三边关系，根据绝对值与偶次幂的非负性求出x、y的值，再分两种情况讨论等腰三角形的腰长与底边长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长． 【详解】解：， ，， ， 解得，， 当6为腰长，8为底边长时，三角形的三边分别为6、6、8，满足三角形三边关系， 周长， 当8为腰长，6为底边长时，三角形的三边分别为8、8、6，满足三角形三边关系， 周长， 该等腰三角形的周长为20或22． 故答案为：20或22． 15．(1) (2) 【分析】（1）分当为底边时，当为腰时，两种情况解答，结合三角形三边关系验证三角形是否存在； （2）先利用绝对值和完全平方的非负性求出a和b的值，再根据三角形三边关系求出c的取值范围，取范围内的整数． 【详解】（1）解：，，是的三边长，是等腰三角形，且周长为13，， 分两种情况讨论： ①当为底边时，， ，， 符合三角形的三边关系，； ②当为腰时，，， ， 不符合三角形的三边关系； 综上所述，． （2）解：， ， ，． ，，是的三边长， ． 即， 是整数， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形，三角形三边关系，熟练掌握绝对值和完全平方的非负性，三角形三边关系，等腰三角形定义，分类讨论，是解题的关键． 16．D 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，把一个角分成两个相等的角的线叫做角平分线． 根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵为的平分线， ∴，故D选项符合题意． 故选D． 17．C 【分析】本题考查了三角形的角平分线，中线和高，熟练掌握三角形的角平分线，中线和高的意义是解题的关键． 根据三角形的角平分线，中线和高的定义逐一判断即可解答． 【详解】是的中线， 是的高， ， 是的角平分线， ， 故、、都正确，不正确， 故选：． 18．A 【分析】本题考查了三角形重心的概念，由题意可得、、均为的中线，由此逐项分析即可得出结果，熟练掌握三角形重心的概念是解此题的关键． 【详解】解：∵O是的重心，，，的延长线分别交，，于点D，E，F， ∴、、均为的中线， ∴平分，故A选项结论成立，符合题意； 故不一定垂直，不一定平分，不一定等于，故B、C、D选项结论不成立，不符合题意； 故选：A． 19．(1) (2)见解析 【分析】本题考查了对顶角相等，角度计算，角平分线等知识，熟练掌握对顶角相等，角度计算，角平分线是解题的关键． （1）由题意知，则，计算求解即可； （2）由题意知，，则，由，结论得证． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意知，， ∴， ∴， ∴平分． 20．(1) (2)；垂线段最短 【分析】本题考查了角平分线的定义、对顶角的性质以及垂线段的性质．解题的关键是熟练运用角平分线分得两个角相等、对顶角相等的性质求解角度，利用垂线段最短的性质判断线段的大小关系． （1）根据“角平分线定义”与“对顶角相等”即可求解； （2）根据“垂线段最短”即可判定 【详解】（1）因为平分，且，根据角平分线的定义，可知 ． 又因为直线 和相交于点O，与是对顶角，根据对顶角相等， 可得． （2）因为，所以是点N到直线的垂线段．而M是上异于点O的一点，是点N到直线上点 M（异于点O） 的斜线长．根据垂线段的性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，可知 故答案为：；垂线段最短． 21．C 【分析】本题考查了三角形的面积计算，将的面积看作是两个小三角形的面积之和是解答本题的关键． 连接，根据三角形的面积公式列出方程，即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 22．B 【分析】本题主要考查了三角形的中线和高线，熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积，是解题的关键．根据是的中线，得出，再根据是的高线，以及三角形的面积公式即可得出的长． 【详解】解：是的中线，且， ． 是的高线，， ， 即， 解得． 故选：B． 23． 【分析】本题考查了三角形高的有关计算． 连接，由图可知，结合三角形的面积公式则有，再将已知、的长度代入计算，即可得到的值． 【详解】解：连接， ∵，， ∴、分别是、的边、上的高． ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 24． 【分析】本题考查了垂线段最短，三角形的面积，由垂线段最短可知当时，的值最小，再利用三角形的面积解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，当时，的值最小， ， ， ， 即的最小值为， 故答案为： 25．(1)，理由见解析 (2)6 【分析】本题考查了三角形的高及三角形面积公式的应用，解题的关键是通过分割（或拆分）三角形面积，结合三角形的高推导线段间的数量关系． （1）由题意得出，则有，再结合即可得出结论； （2）由题意得出，则有，再结合，得出，由三角形的面积求出的长，最后即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴，即， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， 所以， 整理得：， 解得， ∴， 所以线段的长为6． 26．B 【分析】本题考查全等三角形的性质，线段的和差运算，掌握好相关知识是关键． 根据全等三角形对应边相等的性质可得，作差求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 27．B 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴． 28．/44度 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得出，所以，从而得到，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 29．或4 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当和②当时，利用全等三角形对应边相等，列出方程即可求解． 【详解】解：由题意知，，， ，， ①当时， ， ， ； ②当时， ∴， ， ， 综上，当的值是或4时，能够使与全等， 故答案为：或4． 30．(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，垂直的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得出，，然后通过线段和差即可求解； （2）根据全等三角形的性质得出， 然后由平角定义即可求证． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵点在线段上， ∴， ∴， 即． 31．A 【分析】根据三角形全等的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：平分， ， ， 当添加时，不能判定，A选项符合题意； 当添加时，，B选项不符合题意； 当添加时，，C选项不符合题意； 当添加时，判定，D选项不符合题意． 32．C 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据，添加条件即可． 【详解】解：∵于点，于点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴当时，； 故选C 33．或或 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据全等三角形的判定方法，添加条件即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：或或． 34．(答案不唯一) 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，核心是结合已知条件选择合适的判定方法．已知，且是与的公共边(即)，目前已有一组角和一组边对应相等，根据全等三角形的、、判定定理，补充对应条件即可． 【详解】解：以添加为例， 在和中， ，，， ． 故答案为：(答案不唯一)． 35．(或或) 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，已知一组角相等和一组边相等，需补充一个条件使，可依据、、这三种全等判定定理来选取合适条件： （1）若补充边相等的条件，结合已知的一组角和一组边，可通过判定全等； （2）若补充角相等的条件，结合已知的两组角和一组边，可通过判定全等； （3）若补充角相等的条件，结合已知的一组边和两组角，可通过判定全等． 【详解】解：若添加，在和中，， ； 若添加，在和中，， ； 若添加，在和中，， ． 故答案为：(或或)． 36．见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定及性质定理是解题的关键．根据全等三角形的判定方法即可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴． 37．见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定，关键是根据证明解答． 根据等式的性质得出，进而利用证明解答． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴． 38．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等的性质和综合（），全等的性质和综合（）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）利用证明； （2）利用证明，再得出． 【详解】（1）证明：在与中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 39．(1)1，3 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质和判定． （1）根据题意证明出，即可得到，； （2）由（1）得，，进而证明即可； （3）同（1）证明出，得到，，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，； （2）解：由（1）得，， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴． 40．(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质求出的度数，再求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， ∴， ∴． 41．B 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定和性质，延长到E，使，再连接，再证明可得，然后再根据可得答案． 【详解】解：延长到点E，使得，连接，则， ∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即， 故选：B． 42．C 【分析】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定和性质，延长至点，使，连接，根据证明，即可得到，然后根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：延长至点，使，连接， ∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即，故， 故选：C． 43．8，10，12 【分析】本题考查三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 延长至，使，连接，证明，得到，在中根据三角形的三边关系求出的取值范围，从而得到的取值范围，即可解答． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， 为边上的中线， ， ∵在和中， ， ， ， ， ∴． 为偶数， ∴，10，12． 故答案为：8，10，12 44．（1） （2），证明见解析 （3），，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据中线的定义得，进而可依据“”判定和全等，由此即可得出答案； （2）延长到F，使，连接，则，同（1）证明和全等得，再依据“”判定和全等得，由此即可得出线段与的数量关系； （3）过点C作于点H，证明和全等得，，则，证明，进而依据“”判定和全等得，，据此即可得出线段与的数量关系和位置关系． 【详解】解：（1）∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：； （2）线段与的数量关系是：，理由如下： 延长到F，使，连接，如图所示： 则， 同（1）证明：， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）线段与的数量关系是：，位置关系是：，理由如下： 过点C作于点H，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴，． 45．（1）；（2）；（3）见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系，角平分线的判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质与判定． （1）根据三角形的三边关系即可解答； （2）延长至点，使，连接，可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围； （3）延长，取，连接，可证出，则，，证明，得出，根据平行线的性质得出，证明，即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， 即； 故答案为：； （2）解：如图，延长至点，使，连接， 是的中线， ， ，，， ， ， 在中，， ，即， ， ； （3）证明：如图所示，延长，取，连接， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 46． 5 16或4/4或16 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形“三垂直模型”． （1）证明，则，可得； （2）分三种情况讨论，证明，再根据线段和差求解即可． 【详解】解：（1）∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， 过点作平行线，再过点作平行线的垂线，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故点线段延长线上不成立，舍， 综上：或， 故答案为：16或4． 47．（1）证明见解析；（2）50；（3） 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的对应边相等得到； （2）根据全等三角形的性质得到，，，，根据梯形和三角形的面积公式计算，得到答案； （3）过点作于，过点作交的延长线于，推导出， ，即可证明，得到，再根据全等三角形的性质推导出进而求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】证明：（1）证明：∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）中模型可知，，， ∴，，，， 则； （3）解：过点作于，过点作交的延长线于， 由（1）中模型可知，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 48．（1）证明见解析；（2） (或)；见解析；（3）60 【分析】（1）因为于D，，所以，因为，即可通过证明作答； （2）过点D作于点T，连接．证明，推出，，再证明，即可得结论； （3）作辅助线，过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，利用角度等量变换，得到，进而推导证明，同样证得，得到，最后的面积为、面积之和，最后利用三角形的面积公式完成求解． 【详解】（1）证明：∵于D，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： 如图，过点D作于点T，连接． ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵， ∴的面积等于60． 【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定和性质，一线三垂直模型，当一条直线上存在三个垂直关系（即三个直角）时，若模型中有一组对应边长相等，则必定存在全等三角形‌‌，还考查了等腰三角形的性质，会作辅助线，掌握全等三角形的判定方法和等腰三角形性质定理是解题的关键． 49．(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ∵，， ，， ， ， ∵，，， ∴； ， ∵，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3）解：延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 50．C 【分析】本题考查全等三角形判定．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵，，结合全等三角形的判定定理（）逐个分析选项： A、添加，满足（两角及其中一角的对边相等），可以判定； B、添加，满足（两角及其夹边相等），可以判定； C、添加，不能判定； D、添加，满足（两边及其夹角相等），可以判定． 51．D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形对应边相等的性质，并根据不同的全等情况进行分类讨论是解题的关键．已知，要使与全等，需分两种情况讨论：，；，；根据这两种全等情况，结合已知边长和点的运动速度，计算出运动时间，进而求出点的运动速度． 【详解】解：∵，为中点， ∴， 设运动时间为秒，则，， 情况：当（）时，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点的速度； 情况：当（）时，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点的速度； 综上，点的运动速度为或 故选：D． 52． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质：通过“角边角()”判定和全等，利用全等三角形对应边相等的性质得出；再根据三角形面积公式的应用：将的面积拆分为和的面积之和，再根据三角形面积公式进行计算即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中：， ∴， 又∵，， ∴，， ∵， ∴ ∴， ， ， ∴． 故答案为：． 53．2或或8 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，分点Q在上，点P在上；点P与点Q重合；Q与A重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：分以下三种情况讨论： ①如图1，当Q在上，点P在上时，作，， 由题意得，，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 当时， 则， 即， 解得：； ②如图2，当点P与点Q重合时， 由题意得，，， ∵，， ∴，， 当时， 则， ∴， 解得：； ③如图3，当点Q与A重合时， 由题意得，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 当， 则， 即， 解得：； 综上所述：当或或8时，与全等． 故答案为：2或或8． 54．（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，解题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形． （1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，即可得结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，即可得结论； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）延长到点，使，连接，则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ， ∴． 故答案为． （2）如图，延长到点，使，连接，则， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴； ∴． （3）如图，在延长线上取一点，使得，连接，则， ∵，， ∴ ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04 三角形 ☆11大高频考点概览 考点01三角形的分类 考点02三角形的三边关系 考点03等腰三角形的性质及其求解 考点04与三角形角平分线有关的计算 考点05与三角形的高有关的计算 考点06全等三角形的性质 考点07添加条件使三角形全等 考点08证明三角形全等 考点09倍长中线模型 考点09一线三垂直模型 考点11全等三角形的性质与判断综合 1.(25-26八年级上·安徽合肥期末)如图，某一个三角形被长方形纸板遮住一部分，只露出一个角，你能 判断它是什么三角形吗？你的判断是() A.锐角三角形B,直角三角形 C.钝角三角形 D.以上都有可能 2.(25-26八年级上·浙江宁波·期末)在ABC中，∠A=30°，∠B=50°，则ABC的形状是() A.等腰三角形B.钝角三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形 3.(25-26八年级上·浙江金华·期末)已知ABC中，∠A=∠B=2∠C,则ABC按角分类是 三角 形 4.(25-26八年级上河南开封期末)已知一个三角形的三个内角的度数之比为1：3：4，那么这个三角形 是 (填“锐角“直角”或“钝角”)三角形 5.(24-25七年级上全国期末)已知ABC的边长a,b,c满足(a-2+lb-4=0,若c为偶数，则 ABC的形状为 三角形.（按边分类） 目目 考点02 三角形的三边关系 6.(24-25七年级下.吉林长春期末)已知某三角形的三边长分别为3、9、m,则m的值可以是() A.3 B.6 C.9 D.12 7.(24-25八年级上云南德宏·期末)已知三角形的三边分别为2，x,5,那么x的取值范围是() 1/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A.2<x<5 B.3<x<5 C.3<x<7 D.4<x<7 8.(25-26八年级上山东滨州期末)若三角形中两条边的长分别为3、6，则第三条边长x的取值范围为 9.(25-26八年级上·江苏宿迁期末)现有两根长度分别为5cm和12cm的木棒，若第三根木棒能与它们围 成等腰三角形，则第三根木棒的长为 cm. 10.(25-26八年级上·安微合肥期末)若a,b,c为三角形的三边，且a,b满足a-9+(b-2=0,第三 边c为奇数，则c= 目目 考点03 等腰三角形的性质及其求解 11.(25-26八年级上·浙江丽水期末)以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是() A.1,2,3 B.1,2,1 C.2,2,3 D.2,5,2 12.(25-26八年级上·内蒙古赤峰期末)己知等腰三角形的一边长为4，周长为13，则它的底边长为() A.4 B.4或5 C.4.5或4 D.5 13.（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末)等腰三角形的周长为16，若一条边长为4，则等腰三角形的底 边长是 14.(25-26八年级上河南商丘期末)若实数x,y满足x-6+(y-8)2=0,则以x,y的值为两边长的等腰 三角形的周长为 15.(25-26八年级上山东滨州期末)已知a,b,C为ABC的三边长. (I)若ABC为等腰三角形，且周长为13，已知a=3,求b,C的值； (2)若a,b满足a-1+b2-4b+4=0,且c是整数，求c的值. 目目 考点04 与三角形角平分线有关的计算 16.(25-26八年级上·浙江嘉兴期末)如图，在ABC中，AD为∠BAC的平分线，则() D A.BD=CD B.AD⊥BC C.∠B=∠C D.∠BAD=∠CAD 17.(25-26八年级上江苏盐城期中)如图，CD、CE、CF分别是ABC的高、角平分线、中线，则下 2/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 列结论中不正确的是() DEF A.AB=2BF B.∠ACB=2∠ACE C.AE=BE D.CD⊥AB 18.(25-26八年级上湖北随州期末)如图，O是ABC的重心，A0,BO,CO的延长线分别交BC, AC,AB于点D,E,F,则下列结论一定成立的是() B D A.AD平分BC B.BE⊥AC C.CF平分∠ACB D.OD=OE 19.(23-24七年级上江苏苏州期末)如图，直线AB与CD相交于点0，OE⊥CD,垂足为0. E D C (1)若∠A0C=40°，则∠B0E=; (2)若∠B0D=45°，试说明OA平分∠C0E. 20.(24-25七年级下河南省直辖县级单位·期末)如图，己知直线AB、CD相交于点0，OA平分∠E0C. M B (1)若∠E0C=70°，求∠B0D的度数； (②)过点O作0N⊥0E,M为OE上异于点O的一点.连接MN.则线段MN与ON的大小关系为：MN 3/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ON(填如图“>”、“<”、“=”)，理由为： 目目 考点05 与三角形高有关的计算 21. (25-26八年级上·安徽淮北期末)如图，三角形ABC的面积为27，AB=AC=6,点D为BC边上一 点，过点D分别作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,若DF=2DE,则DE长为() F E D C A.6 B.4 C.3 D.2 22.(25-26七年级上山东淄博期末)如图，AE,BF分别是ABC的高线和中线，己知S△cBr=10, BC=8,则AE的长为() A.4 B.5 c.2.5 D.6 23.(25-26八年级上·全国·期末)如图，在ABC中，AB=AC=6,P是边BC上任一点，PD⊥AB, PE⊥AC,点D,E为垂足·若ABC的面积为12，则PD+PE= B 24.(25-26七年级上山东烟台期中)如图，在ABC中，AE⊥BC于点E,AB=9,BC=7,AE=8, P为AB边上一动点，连接CP,则CP的最小值为· B 25.(25-26八年级上·安徽合肥·月考)如图，在ABC中，AB=AC,P是射线BC上一点，过点P作 4/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D,E,过点B作BF⊥AC,垂足为F,连接AP. A D P C 图1 图2 (I)如图1，点P在边BC上，写出线段PD,PE,BF之间的数量关系，并说明理由. (②)如图2，点P在BC的延长线上.当S4Bc=10,AB=5,PE=2时，求线段PD的长 目目 考点06 全等三角形的性质 26.(25-26八年级上福建福州期末)如图，已知△ADC≌△AEB,AB=8,CE=5,则AE的长度为(). A.2 B.3 C.4 D.5 27.(25-26八年级上·福建厦门期末)如图，△ABC≌△DEF,BC=8,EC=5,则CF的长为(). A.2 B.3 C.5 D.7 28.(25-26八年级上·河南南阳·期末)如图，△ABC≌△AED,点E在线段BC上，∠1=44°，则∠BAE的 度数为 D E 29.(25-26八年级上·贵州安顺期末)如图，AB=9cm,BC=16cm,∠B=∠C,点P在线段BC上以 5/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 2cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线CD运动，若经过t秒后，△ABP与COP 全等，则t的值是 D B 30.(25-26八年级上·安徽合肥期末)如图，己知△ABD≌△EBC,AB=3,BC=4.5,且点B在线段AC上. A B (1)求DE的长； (2)求证：AC⊥BD. 目目 考点07 添加条件使三角形全等 31.(24-25七年级下山东济南期末)如图，在四边形ABCD中，连接AC,AC平分∠BAD,添加一个条 件后，不能证明aABC≌aADC的是() D A.BC=CD B.∠BCA=∠DCAC.∠B=∠D D.AB=AD 32.(25-26八年级上山东潍坊期末)如图，点C是线段BD的中点，AB⊥BC于点B,ED⊥DC于点D, 连接AC,EC.若利用“HL”证明△ABC≌△EDC,则需要添加的条件是() A.AB=ED B.ZACB=ZECD C.AC=EC D.∠A=∠E 6/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 33.(25-26八年级上山东滨州期末)如图，己知AB、CD交于点O,0A=0B,那么添加条件 后， 就能判定aAOC≌aBOD. C B D 34.(25-26八年级上·山东枣庄·期末)如图，己知∠1=∠2，要使△ABC≌△DCB,则需添加的条件是 (填一个即可)， D B 35.(25-26八年级上·浙江台州期末)如图，己知LC=∠D，AC=AD，增加一个条件，使 △ABC≌△AED.(不添加辅助线且仅用图中己有字母表示) 目目 考点08 证明三角形全等 36.(25-26八年级上安徽六安期末)如图，已知AB∥CD,AB=CD,BF=CE.求证： △ABF≌△DCE. E 37.(25-26八年级上北京·期末)如图，点A,E,B,F在同一直线上，AC与DF相交于点G, ∠A=∠F,AE=BF,AC=DF.求证：△ABC≌△FED. G E F 7/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 38.(25-26八年级上·甘肃天水期末)如图，AD=BC,∠ADC=∠BCD. (I)求证：△ADC≌△BCD. (2)求证：∠BAC=∠ABD. 39.(25-26八年级上江西赣州期末)在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点C在直线l上.且 AD⊥I于点D,BE⊥1于点E. B B 图1 图2 (I)当直线1处于图1位置时，若AD=3,BE=1,则CD= CE= (2)当直线1处于图1位置时，求证：DE=AD+BE, (3)当直线1处于图2位置时，猜想AD,BE,DE之间的数量关系，并证明. 40.(25-26八年级上·安徽六安期末)如图，AE∥BC且AE=AC,∠EFA=∠ABC. (I)求证：△ABC≌△EFA; (②)若∠E=15°，LEAB=35°，求∠C的度数. 目目 考点09 倍长中线模型 41.(25-26八年级上江苏镇江·月考)已知ABC的AB边长为4，AC边长为8，则BC边上的中线AD的 长度的取值范围() A.1<AD<5B.2<AD<6 C.3<AD<7 D.4<AD<8 8/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 42.(25-26八年级上·天津河西·阶段检测)课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在ABC中， AB=8,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延 长AD至点E,使DE=AD,，连接CE.请根据小明的方法进行思考，求得AD的取值范围是() B E A.6<AD<8B.6≤AD≤8 C.1<AD<7 D.1≤AD≤7 43.(25-26八年级上江西南昌期末)如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，AC=4,AD=5,AB 的长度为偶数，则AB的所有可能值为 44.（24-25七年级下·广东梅州期末)在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中 线法 B B E 图(1) 图(2) 图(3) 【问题解决】 (I)如图1，AD是ABC的中线，且AB>AC,延长AD至点E,使ED=AD,连接BE,可证得 △ADC≌△EDB,其中判定全等的依据为：-· 【问题应用】 (2)如图2，AD是ABC的中线，点E在BC的延长线上，AC平分∠DAE,∠E=∠BAD,试探究线段 AE与AD的数量关系. 【拓展延伸】 (3)如图3，AD是ABC的中线，AB=AE,AC=AF,∠BAE=LFAC=90°，试探究线段AD与EF的 9/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 数量关系和位置关系，并加以说明. 45.(25-26八年级上陕西商洛·期末)(1)问题提出：小明和小华在一次数学学习中遇到了以下问题：如 图①，AD是ABC的中线，若AB=7,AC=5,求BC长和AD长的取值范围.他们利用所学知识很快计 算出了BC长的取值范围为 ； (2)方法探究：但是他们怎么也算不出AD长的取值范围，经小组讨论后发现：延长AD至点E.使 DE=AD,连接BE,如图①.可证出△ACD≌△EBD,利用全等三角形的性质可将已知的边长与AD转化 到△ABE中，进而求出AD长的取值范围，请写出解答过程； (3)方法应用：如图②，在ABC中，点E在BC上，且DE=DC,过点E作EF‖AB,交AD于点F, 且EF=AC,求证：AD平分∠BAC. B B E 图① 图② 目目 考点09 线三垂直模型 46.(25-26八年级上·安徽合肥期末)已知：ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D为直线BC上一点， 过点B作BG⊥直线AD于点G,过点C作CF⊥直线AD于点F. B 图1 备用图 (1)如图1，若BG=7,CF=2,则GF= (2)当点D在直线BC上运动时，FG=10,BG=6,则CF= 47.（25-26八年级上山东日照月考)(1)如图1，C、A、E在一条直线上， ∠BAD=90°，AB=AD,BC⊥CA于点C,DE⊥AE于点E.求证：BC=AE. (2)如图2，EA⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,计算图中实线所围成的图形ABCDE的面积. (3)如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,连接BC、DE,且BC⊥AF于点F,DE与AF交 10/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 于点G,若BC=21,AF=12,求△ADG的面积. 图1 图2 图3 48.（25-26八年级上湖北随州·期末)数学教材中有这样一道习题：“如图1， ∠ACB=90°，AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D,E,若AD=2.5cm,DE=1.7cm,求BE的长.” 在计算时，我们通过证明△ADC≌△CEB,得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解. H G 图1 图2 图3 图4 【类比探究】 (1)如图2，在等腰三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,DE为过点C的直线，AD⊥DE于D, BE⊥DE于E,求证：DE=AD+BE; 【拓展应用】 (2)如图3，在RtAAOB中，∠A0B=90°，分别以BA和OB为直角边作等腰Rt△ABD和等腰Rt△OBC, 连DC交OB延长线于点E.猜想AO与BE的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 (3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以ABC的AB,AC边向外 作等腰RtaBAD和等腰Rt△CAE,其中∠BAD=∠CAE=90°，AG是边BC上的高.延长GA交DE于点H, 若AH=5,AG=12,直接写出△DAE的面积. 49.(25-26八年级上辽宁抚顺月考)【材料阅读】 小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板， 如图：在ABC中，∠ABC=90°，AB=CB;在ADEF中，∠DEF=90°，∠EDF=30°，并提出了相应的 问题. 11/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D D M ND B B E 图1 图2 图3 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段DF上时，过点A作AM⊥DF,垂足 为M,过点C作CN⊥DF,垂足为N. (I)图1中，AM=3,CN=8,求MN的长，请补充小明的过程. :∠ABC=90°， .∠ABM+∠CBN=90°， :AM⊥DF,CN⊥DF, .∠AMB=90°，∠CNB=90°， ∴∠ABM+∠BAM=90°， ∠BAM=LCBN, (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段DE上且顶点A在线段EF上时，过点C作CP⊥DE, 垂足为P,猜想AE,PE,CP之间的数量关系，并说明理由 (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段DE上且顶点B在线段EF上时，若AE=8,BE=2, 连接CE,请求出△ACE的面积. 目目 考点11 全等的性质与判断综合 50. (23-24七年级下·山东青岛期末)如图，AB=AD,∠B=∠DAE,请问添加下面哪个条件不能判断 △ABC≌△DAE的是() E D A.ZC=ZE B.∠BAC=∠ADE C.AC=DE D.BC=AE 51.(25-26八年级上·广西崇左期末)如图，已知在四边形ABCD中，AB=12cm,BC=8cm, CD=14cm,∠B=∠C,点E为线段AB的中点，点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同 时点Q在线段CD上由点C向点D运动，要使aBPE与△CPQ全等，点Q的运动速度为() 12/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D P A.3cm/s B.4cm/s C.2cm/s或4.5cm/s D.3cm/s或4.5cm/s 52.(24-25七年级下·陕西咸阳·期末)如图，ABC的边AC与△ABE的边BE相交于点D,BE⊥AE,过 点C作CF⊥BE,交BD于点F,且DE=DF,CF=BF,若AE=4,DE=3,则ABC的面积是 E B 53.(24-25七年级下·山东济南期末)如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm,BC=10cm,直线1 经过点C且与边AB相交，动点P从点A出发沿A→C→B路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿 B→C→A路径向终点A运动，点P和点Q的速度分别为2cm/s和3cms,两点同时出发并开始计时，当 点P到达终点B时计时结束，在某时刻分别过点P和点Q作PE⊥1于点E,QF⊥I于点F,设运动时间为 s,则aPEC与OFC全等时，t的值为 54.(25-26八年级上·湖北孝感期末)(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=LADC=90°，E、 F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD,试探究图中∠BAD与∠EAF的数量关系 小王同学解决此问题的方法是：延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证 明△AEF≌△AGF,可得出结论，他的结论应是； (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=I80°.E、F分别是BC、CD上的点，且 EF=BE+FD,试探究∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系，并说明理由 (3)如图3，在四边形ABCD中，∠C=72°，∠ABC+LADC=180°，AB=AD,若点E在CB的延长线上， 13/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 点F在CD的延长线上，且满足EF=BE+FD,试求∠EAF的度数. G D D F D A B E E 图1 图2 图3 14/14 专题04 三角形 11大高频考点概览 考点01三角形的分类 考点02三角形的三边关系 考点03等腰三角形的性质及其求解 考点04 与三角形角平分线有关的计算 考点05 与三角形的高有关的计算 考点06 全等三角形的性质 考点07 添加条件使三角形全等 考点08 证明三角形全等 考点09 倍长中线模型 考点09 一线三垂直模型 考点11 全等三角形的性质与判断综合 ( 地 城 考点01 三角形的分类 ) 1．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，某一个三角形被长方形纸板遮住一部分，只露出一个角，你能判断它是什么三角形吗？你的判断是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理的运用以及图形的识别能力和推理能力，三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形． 【详解】解：从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个锐角． 故选：D． 2．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）在中，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和定理及三角形的分类．根据三角形内角和为，求出的度数，再根据角的大小判断三角形形状． 【详解】解：在中，三角形内角和为，已知，， 则， 所以是钝角三角形． 故选：B． 3．（25-26八年级上·浙江金华·期末）已知中，，则按角分类是________三角形． 【答案】锐角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理得到，结合已知条件得到，据此求出的三个内角的度数即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴按角分类是锐角三角形， 故答案为：锐角． 4．（25-26八年级上·河南开封·期末）已知一个三角形的三个内角的度数之比为，那么这个三角形是_______（填“锐角”“直角”或“钝角”）三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，掌握此知识点是做题的关键．根据三角形的内角和定理，结合角度比例计算各角的度数，即可得出答案． 【详解】解：设这个三角形的三个内角的度数分别为，，， 则根据三角形内角和定理，得， 解得， ，． 有一个角为， 这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 5．（24-25七年级上·全国·期末）已知的边长a，b，c满足，若c为偶数，则的形状为_____________三角形．（按边分类） 【答案】等腰 【分析】本题考查平方以及绝对值的非负性，三角形的三边关系及其分类．由可得，，根据三角形的三边关系以及c为偶数可确定c的值，最后即可确定三角形的形状． 【详解】解：， ，， ，， ，， ，， ， 由c为偶数，可得， ， 的形状为等腰三角形． 故答案为：等腰． ( 地 城 考点02 三角形的三边关系 ) 6．（24-25七年级下·吉林长春·期末）已知某三角形的三边长分别为、、，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出的取值范围，再对应选项判断即可． 【详解】解：三角形三边长为，，， 根据三角形三边关系得， 即， 选项中只有满足该范围， ∴答案选C． 7．（24-25八年级上·云南德宏·期末）已知三角形的三边分别为，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， ∴， 即． 8．（25-26八年级上·山东滨州·期末）若三角形中两条边的长分别为3、6，则第三条边长x的取值范围为_______． 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此进行求解即可． 【详解】解：根据三角形三边关系，得，即； 故答案为： 9．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）现有两根长度分别为和的木棒，若第三根木棒能与它们围成等腰三角形，则第三根木棒的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义和三角形三边关系定理，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键．根据等腰三角形的定义，分两种情况讨论第三根木棒的长度：①长度为；②长度为．再根据三角形三边关系定理，检验两种情况能否构成三角形，从而确定符合条件的长度． 【详解】解：情况：第三根木棒长为， ∵三边为、、， 又∵， ∴不满足三角形三边关系，不能构成三角形． 情况：第三根木棒长为， ∵三边为、、 又∵，，，， ∴满足三角形三边关系，能构成等腰三角形． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）若a，b，c为三角形的三边，且a，b满足，第三边c为奇数，则_____ ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了非负数的性质以及三角形三边关系的应用，正确理解三角形的三边关系是解题的关键． 根据非负数的性质求出a和b的值，再利用三角形三边关系求出c的范围，结合c为奇数确定c的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 根据三角形三边关系，有，即， ∵为奇数， ∴． 故答案为：9． ( 地 城 考点0 3 等腰三角形的性质及其求解 ) 11．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（　　） A．1，2，3 B．1，2，1 C．2，2，3 D．2，5，2 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系．结合等腰三角形的定义与三角形三边关系，逐一判断各选项是否能构成等腰三角形． 【详解】解：A、，不满足三边关系， ∴无法构成三角形，该选项不符合题意； B、，不满足三边关系， ∴无法构成三角形，该选项不符合题意； C、有两边长为2，符合等腰三角形定义，且，满足三边关系， ∴可构成等腰三角形，该选项符合题意； D、，不满足三边关系， ∴无法构成三角形，该选项不符合题意； 故选：C． 12．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）已知等腰三角形的一边长为4，周长为13，则它的底边长为（    ） A．4 B．4或5 C．或 D．5 【答案】B 【分析】题目未说明已知边长是腰还是底边，需分类讨论，再验证三边关系得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论：①当为底边长时，腰长， ∵，满足三角形三边关系，此种情况成立，此时底边长为； ②当为腰长时，底边长， ∵，满足三角形三边关系，此种情况成立，此时底边长为． ∴底边长为或． 13．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）等腰三角形的周长为，若一条边长为，则等腰三角形的底边长是_____________ ． 【答案】4 【分析】根据为腰长和为底边长两种情况讨论，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，即可得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当边长为的边为腰长时， 底边长为， 此时三角形三边长为， 因为，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，此情况舍去， ②当边长为的边为底边长时， 腰长为， 此时三角形三边长为， 满足三角形任意两边之和大于第三边，可以构成三角形， ∴该等腰三角形的底边长为． 14．（25-26八年级上·河南商丘·期末）若实数满足，则以的值为两边长的等腰三角形的周长为___________． 【答案】20或22 【分析】本题考查了非负数之和为零，三角形三边关系，根据绝对值与偶次幂的非负性求出x、y的值，再分两种情况讨论等腰三角形的腰长与底边长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长． 【详解】解：， ，， ， 解得，， 当6为腰长，8为底边长时，三角形的三边分别为6、6、8，满足三角形三边关系， 周长， 当8为腰长，6为底边长时，三角形的三边分别为8、8、6，满足三角形三边关系， 周长， 该等腰三角形的周长为20或22． 故答案为：20或22． 15．（25-26八年级上·山东滨州·期末）已知，，为的三边长． (1)若为等腰三角形，且周长为13，已知，求，的值； (2)若，满足，且是整数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分当为底边时，当为腰时，两种情况解答，结合三角形三边关系验证三角形是否存在； （2）先利用绝对值和完全平方的非负性求出a和b的值，再根据三角形三边关系求出c的取值范围，取范围内的整数． 【详解】（1）解：，，是的三边长，是等腰三角形，且周长为13，， 分两种情况讨论： ①当为底边时，， ，， 符合三角形的三边关系，； ②当为腰时，，， ， 不符合三角形的三边关系； 综上所述，． （2）解：， ， ，． ，，是的三边长， ． 即， 是整数， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形，三角形三边关系，熟练掌握绝对值和完全平方的非负性，三角形三边关系，等腰三角形定义，分类讨论，是解题的关键． ( 地 城 考点0 4 与三角形角平分线有关的计算 ) 16．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，为的平分线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，把一个角分成两个相等的角的线叫做角平分线． 根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵为的平分线， ∴，故D选项符合题意． 故选D． 17．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，、、分别是的高、角平分线、中线，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线，中线和高，熟练掌握三角形的角平分线，中线和高的意义是解题的关键． 根据三角形的角平分线，中线和高的定义逐一判断即可解答． 【详解】是的中线， 是的高， ， 是的角平分线， ， 故、、都正确，不正确， 故选：． 18．（25-26八年级上·湖北随州·期末）如图，O是的重心，，，的延长线分别交，，于点D，E，F，则下列结论一定成立的是（   ） A．平分 B． C．平分 D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形重心的概念，由题意可得、、均为的中线，由此逐项分析即可得出结果，熟练掌握三角形重心的概念是解此题的关键． 【详解】解：∵O是的重心，，，的延长线分别交，，于点D，E，F， ∴、、均为的中线， ∴平分，故A选项结论成立，符合题意； 故不一定垂直，不一定平分，不一定等于，故B、C、D选项结论不成立，不符合题意； 故选：A． 19．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）如图,直线与相交于点， ,垂足为． (1)若，则_____； (2)若，试说明平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了对顶角相等，角度计算，角平分线等知识，熟练掌握对顶角相等，角度计算，角平分线是解题的关键． （1）由题意知，则，计算求解即可； （2）由题意知，，则，由，结论得证． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意知，， ∴， ∴， ∴平分． 20．（24-25七年级下·河南省直辖县级单位·期末）如图，已知直线、相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)过点作，为上异于点的一点．连接．则线段与的大小关系为：_____（填如图“”、“”、“”），理由为：_____． 【答案】(1) (2)；垂线段最短 【分析】本题考查了角平分线的定义、对顶角的性质以及垂线段的性质．解题的关键是熟练运用角平分线分得两个角相等、对顶角相等的性质求解角度，利用垂线段最短的性质判断线段的大小关系． （1）根据“角平分线定义”与“对顶角相等”即可求解； （2）根据“垂线段最短”即可判定 【详解】（1）因为平分，且，根据角平分线的定义，可知 ． 又因为直线 和相交于点O，与是对顶角，根据对顶角相等， 可得． （2）因为，所以是点N到直线的垂线段．而M是上异于点O的一点，是点N到直线上点 M（异于点O） 的斜线长．根据垂线段的性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，可知 故答案为：；垂线段最短． ( 地 城 考点0 5 与三角形高有关的计算 ) 21．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，三角形的面积为，，点为边上一点，过点分别作于，于，若，则长为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积计算，将的面积看作是两个小三角形的面积之和是解答本题的关键． 连接，根据三角形的面积公式列出方程，即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 22．（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，，分别是的高线和中线，已知，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．2.5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的中线和高线，熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积，是解题的关键．根据是的中线，得出，再根据是的高线，以及三角形的面积公式即可得出的长． 【详解】解：是的中线，且， ． 是的高线，， ， 即， 解得． 故选：B． 23．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，是边上任一点，，，点，为垂足若的面积为，则 __________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形高的有关计算． 连接，由图可知，结合三角形的面积公式则有，再将已知、的长度代入计算，即可得到的值． 【详解】解：连接， ∵，， ∴、分别是、的边、上的高． ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 24．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在中，于点，，，，为边上一动点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，三角形的面积，由垂线段最短可知当时，的值最小，再利用三角形的面积解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，当时，的值最小， ， ， ， 即的最小值为， 故答案为： 25．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在中,是射线上一点，过点P作，垂足分别为，过点B作，垂足为F，连接． (1)如图1，点P在边上，写出线段之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，点P在的延长线上．当时，求线段的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)6 【分析】本题考查了三角形的高及三角形面积公式的应用，解题的关键是通过分割（或拆分）三角形面积，结合三角形的高推导线段间的数量关系． （1）由题意得出，则有，再结合即可得出结论； （2）由题意得出，则有，再结合，得出，由三角形的面积求出的长，最后即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴，即， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， 所以， 整理得：， 解得， ∴， 所以线段的长为6． ( 地 城 考点0 6 全等三角形的性质 ) 26．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，已知，，，则的长度为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，线段的和差运算，掌握好相关知识是关键． 根据全等三角形对应边相等的性质可得，作差求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 27．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，，，，则的长为（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴． 28．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，，点在线段上，，则的度数为______． 【答案】/44度 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得出，所以，从而得到，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 29．（25-26八年级上·贵州安顺·期末）如图，，，，点在线段上以秒的速度由点向点运动，同时，点从点出发沿射线运动，若经过秒后，与全等，则的值是_____． 【答案】或4 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当和②当时，利用全等三角形对应边相等，列出方程即可求解． 【详解】解：由题意知，，， ，， ①当时， ， ， ； ②当时， ∴， ， ， 综上，当的值是或4时，能够使与全等， 故答案为：或4． 30．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知，，，且点在线段上． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，垂直的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得出，，然后通过线段和差即可求解； （2）根据全等三角形的性质得出， 然后由平角定义即可求证． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵点在线段上， ∴， ∴， 即． ( 地 城 考点0 7 添加条件使三角形全等 ) 31．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在四边形中，连接，平分，添加一个条件后，不能证明的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形全等的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：平分， ， ， 当添加时，不能判定，A选项符合题意； 当添加时，，B选项不符合题意； 当添加时，，C选项不符合题意； 当添加时，判定，D选项不符合题意． 32．（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，点是线段的中点，于点，于点，连接．若利用“”证明，则需要添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据，添加条件即可． 【详解】解：∵于点，于点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴当时，； 故选C 33．（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，已知交于点O，，那么添加条件_______后，就能判定． 【答案】或或 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据全等三角形的判定方法，添加条件即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：或或． 34．（25-26八年级上·山东枣庄·期末）如图，已知，要使，则需添加的条件是_____（填一个即可）． 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，核心是结合已知条件选择合适的判定方法．已知，且是与的公共边(即)，目前已有一组角和一组边对应相等，根据全等三角形的、、判定定理，补充对应条件即可． 【详解】解：以添加为例， 在和中， ，，， ． 故答案为：(答案不唯一)． 35．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，已知，，增加一个条件______，使．(不添加辅助线且仅用图中已有字母表示) 【答案】(或或) 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，已知一组角相等和一组边相等，需补充一个条件使，可依据、、这三种全等判定定理来选取合适条件： （1）若补充边相等的条件，结合已知的一组角和一组边，可通过判定全等； （2）若补充角相等的条件，结合已知的两组角和一组边，可通过判定全等； （3）若补充角相等的条件，结合已知的一组边和两组角，可通过判定全等． 【详解】解：若添加，在和中，， ； 若添加，在和中，， ； 若添加，在和中，， ． 故答案为：(或或)． ( 地 城 考点0 8 证明三角形全等 ) 36．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，已知，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定及性质定理是解题的关键．根据全等三角形的判定方法即可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴． 37．（25-26八年级上·北京·期末）如图，点A，E，B，F在同一直线上，与相交于点G，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定，关键是根据证明解答． 根据等式的性质得出，进而利用证明解答． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴． 38．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，，． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等的性质和综合（），全等的性质和综合（）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）利用证明； （2）利用证明，再得出． 【详解】（1）证明：在与中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 39．（25-26八年级上·江西赣州·期末）在等腰中，，，点在直线上．且于点，于点． (1)当直线处于图1位置时，若，，则___________，___________． (2)当直线处于图1位置时，求证：． (3)当直线处于图2位置时，猜想，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)1，3 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质和判定． （1）根据题意证明出，即可得到，； （2）由（1）得，，进而证明即可； （3）同（1）证明出，得到，，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，； （2）解：由（1）得，， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴． 40．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，且，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质求出的度数，再求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， ∴， ∴． ( 地 城 考点 09 倍长中线模型 ) 41．（25-26八年级上·江苏镇江·月考）已知的边长为4，边长为8，则边上的中线的长度的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定和性质，延长到E，使，再连接，再证明可得，然后再根据可得答案． 【详解】解：延长到点E，使得，连接，则， ∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即， 故选：B． 42．（25-26八年级上·天津河西·阶段检测）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法进行思考，求得的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定和性质，延长至点，使，连接，根据证明，即可得到，然后根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：延长至点，使，连接， ∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即，故， 故选：C． 43．（25-26八年级上·江西南昌·期末）如图，在中，是边上的中线，，，的长度为偶数，则的所有可能值为___________． 【答案】8，10，12 【分析】本题考查三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 延长至，使，连接，证明，得到，在中根据三角形的三边关系求出的取值范围，从而得到的取值范围，即可解答． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， 为边上的中线， ， ∵在和中， ， ， ， ， ∴． 为偶数， ∴，10，12． 故答案为：8，10，12 44．（24-25七年级下·广东梅州·期末）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． 【问题解决】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为： ． 【问题应用】 （2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】 （3）如图3，是的中线，，，，试探究线段与的数量关系和位置关系，并加以说明． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3），，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据中线的定义得，进而可依据“”判定和全等，由此即可得出答案； （2）延长到F，使，连接，则，同（1）证明和全等得，再依据“”判定和全等得，由此即可得出线段与的数量关系； （3）过点C作于点H，证明和全等得，，则，证明，进而依据“”判定和全等得，，据此即可得出线段与的数量关系和位置关系． 【详解】解：（1）∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：； （2）线段与的数量关系是：，理由如下： 延长到F，使，连接，如图所示： 则， 同（1）证明：， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）线段与的数量关系是：，位置关系是：，理由如下： 过点C作于点H，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴，． 45．（25-26八年级上·陕西商洛·期末）（1）问题提出：小明和小华在一次数学学习中遇到了以下问题：如图，是的中线，若，，求长和长的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了长的取值范围为______； （2）方法探究：但是他们怎么也算不出长的取值范围，经小组讨论后发现：延长至点．使，连接，如图．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出长的取值范围，请写出解答过程； （3）方法应用：如图，在中，点在上，且，过点作，交于点，且．求证：平分． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系，角平分线的判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质与判定． （1）根据三角形的三边关系即可解答； （2）延长至点，使，连接，可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围； （3）延长，取，连接，可证出，则，，证明，得出，根据平行线的性质得出，证明，即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， 即； 故答案为：； （2）解：如图，延长至点，使，连接， 是的中线， ， ，，， ， ， 在中，， ，即， ， ； （3）证明：如图所示，延长，取，连接， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 平分． ( 地 城 考点 09 一线三垂直模型 ) 46．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知：中，，点为直线上一点，过点作直线于点，过点作直线于点． （1）如图1，若，则___________； （2）当点在直线上运动时，，，则___________． 【答案】 5 16或4/4或16 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形“三垂直模型”． （1）证明，则，可得； （2）分三种情况讨论，证明，再根据线段和差求解即可． 【详解】解：（1）∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， 过点作平行线，再过点作平行线的垂线，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故点线段延长线上不成立，舍， 综上：或， 故答案为：16或4． 47．（25-26八年级上·山东日照·月考）（1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）50；（3） 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的对应边相等得到； （2）根据全等三角形的性质得到，，，，根据梯形和三角形的面积公式计算，得到答案； （3）过点作于，过点作交的延长线于，推导出， ，即可证明，得到，再根据全等三角形的性质推导出进而求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】证明：（1）证明：∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）中模型可知，，， ∴，，，， 则； （3）解：过点作于，过点作交的延长线于， 由（1）中模型可知，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 48．（25-26八年级上·湖北随州·期末）数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2） (或)；见解析；（3）60 【分析】（1）因为于D，，所以，因为，即可通过证明作答； （2）过点D作于点T，连接．证明，推出，，再证明，即可得结论； （3）作辅助线，过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，利用角度等量变换，得到，进而推导证明，同样证得，得到，最后的面积为、面积之和，最后利用三角形的面积公式完成求解． 【详解】（1）证明：∵于D，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： 如图，过点D作于点T，连接． ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵， ∴的面积等于60． 【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定和性质，一线三垂直模型，当一条直线上存在三个垂直关系（即三个直角）时，若模型中有一组对应边长相等，则必定存在全等三角形‌‌，还考查了等腰三角形的性质，会作辅助线，掌握全等三角形的判定方法和等腰三角形性质定理是解题的关键． 49．（25-26八年级上·辽宁抚顺·月考）【材料阅读】 小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板． 如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B 摆放在线段上时，过点A作，垂足为M，过点C作，垂足为N． (1)图1中，，求的长，请补充小明的过程． ， ， ∵，， ，， ， ，  … (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为P，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若， 连接，请求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ∵，， ，， ， ， ∵，，， ∴； ， ∵，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3）解：延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． ( 地 城 考点 11 全等的性质与判断综合 ) 50．（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形判定．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵，，结合全等三角形的判定定理（）逐个分析选项： A、添加，满足（两角及其中一角的对边相等），可以判定； B、添加，满足（两角及其夹边相等），可以判定； C、添加，不能判定； D、添加，满足（两边及其夹角相等），可以判定． 51．（25-26八年级上·广西崇左·期末）如图，已知在四边形中，，，，，点为线段的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动．要使与全等，点的运动速度为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形对应边相等的性质，并根据不同的全等情况进行分类讨论是解题的关键．已知，要使与全等，需分两种情况讨论：，；，；根据这两种全等情况，结合已知边长和点的运动速度，计算出运动时间，进而求出点的运动速度． 【详解】解：∵，为中点， ∴， 设运动时间为秒，则，， 情况：当（）时，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点的速度； 情况：当（）时，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点的速度； 综上，点的运动速度为或 故选：D． 52．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，的边与的边相交于点，，过点作，交于点，且，，若，，则的面积是___________． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质：通过“角边角()”判定和全等，利用全等三角形对应边相等的性质得出；再根据三角形面积公式的应用：将的面积拆分为和的面积之和，再根据三角形面积公式进行计算即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中：， ∴， 又∵，， ∴，， ∵， ∴ ∴， ， ， ∴． 故答案为：． 53．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，，直线l经过点C且与边相交，动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动，点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束，在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，设运动时间为，则与全等时，t的值为__________． 【答案】2或或8 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，分点Q在上，点P在上；点P与点Q重合；Q与A重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：分以下三种情况讨论： ①如图1，当Q在上，点P在上时，作，， 由题意得，，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 当时， 则， 即， 解得：； ②如图2，当点P与点Q重合时， 由题意得，，， ∵，， ∴，， 当时， 则， ∴， 解得：； ③如图3，当点Q与A重合时， 由题意得，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 当， 则， 即， 解得：； 综上所述：当或或8时，与全等． 故答案为：2或或8． 54．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）（1）如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，试探究图中与的数量关系． 小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____； （2）如图2，在四边形中，，．、分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由 （3）如图3，在四边形中，，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，且满足，试求的度数． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，解题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形． （1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，即可得结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，即可得结论； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）延长到点，使，连接，则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ， ∴． 故答案为． （2）如图，延长到点，使，连接，则， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴； ∴． （3）如图，在延长线上取一点，使得，连接，则， ∵，， ∴ ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $