押题02 四边形填选压轴题（期末预测）-2025-2026学年八年级数学下学期期末总复习押题预测（沪教版五四制）

**基本信息** 聚焦四边形填选压轴，以图形变换与动态问题为载体，系统整合性质应用与推理能力，体现几何直观与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |四边形性质综合|10题|多结论判断、性质辨析|从平行四边形到特殊四边形（矩形、正方形）性质递进，结合对角线、角平分线等元素| |图形变换|15题|折叠（8题）、旋转（4题）、翻折（3题）|以轴对称、旋转变换为核心，关联全等、勾股定理，强化空间观念| |动态问题|10题|动点（5题）、运动（3题）、重心（2题）|结合函数思想，分析动点轨迹与图形关系，培养推理能力与应用意识|

押题02 四边形填选压轴题（期末预测） 一、单选题 1．如图，在正方形纸片中，对角线相交于点O，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交、于点、，连接，下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤，其中结论正确的是（   ） A．①④ B．②③④ C．①④⑤ D．①②④⑤ 2．如图，正方形中，E为边上一点，连接，将绕点E逆时针旋转得到，连接，若，则一定等于（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，、交于O，平分，，．以下结论①平分；②；③；④．正确的有（   ）个． A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 4．在矩形中，，点在边上，点在边上，连接、、．，，，； 以下两个结论：（   ） ①    ② A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 5．如图，在平行四边形中，对角线交于点O，，点E，F，G分别是的中点，交于点H．以下结论中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 6．图，是的对角线，过点B作交于点G，垂足为E，过点D作交于点H，垂足为F，连接、．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长，其中正确的是（   ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 7．如图，在正方形中，、分别为边、的中点，以点为圆心、的长为半径画弧交线段于点，直线交于点，如果，那么正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．已知矩形，，将沿着直线翻折，点D落在点E处，如果点E到直线的距离是6，那么的长是______． 9．如图，已知在梯形中，，，，，平分，交边于点E．如果是直角三角形，那么的长为______． 10．如图，正方形和正方形中，、、三点共线，点在上，，，是的中点，那么的长是_______． 11．如图，在中，，，，点E是上的一点，点F是边上一点，将平行四边形沿折叠，得到四边形，点A的对应点为点C，点D的对应点为点G，则的长度为__________． 12．中，为中点，E为边上一点且，则___________． 13．如图，在中，是上一点，，交于点，，交于点，有下列条件：①；②平分；③，且是的中点．选择条件___________能使四边形是菱形． 14．如图，已知在梯形中，，，，平分，交边于点．如果是直角三角形，那么的长为_____． 15．已知有两个完全相同的矩形、摆成如图的形状，将矩形绕点转动度（），点、、分别对应点、、，当点落在直线上时，连接交直线于点，若，，则____________． 16．如图，矩形中，为上一点，将沿翻折，点的对应点恰好为的重心，那么__________． 17．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，，．将对角线绕点顺时针旋转，点落在点处，则线段的长等于______． 18．在平面直角坐标系中，已知点，点，点，点从点出发，以2个单位每秒的速度沿射线运动，点从点出发，开始以1个单位每秒的速度向原点运动，到达原点后停止运动，若两点同时出发，设运动时间为秒，则当_____时，以点为顶点的四边形为平行四边形． 19．如图，在正方形中，，M是对角线所在直线上的一个动点，点N是平面内一点．若四边形为平行四边形，且，则的值为 ____________________ ． 20．在同一平面内有两个边长相等的等边三角形，当它们的一组边重合时，两个三角形重心之间的距离为5，那么当它们的一组内角组成对顶角时，这两个三角形重心之间的距离为______． 21．如图，在中，点分别是的中点，于且交于点，若，则的长是___________． 22．矩形纸片中，，，点在边所在的直线上，且，将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕与射线、分别交于点、，则线段的长度为______． 23．矩形中，对角线交于点，，如果，那么边的长为______． 24．如图，矩形中，、交于点，平分交于点，，那么__________． 25．定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为3，中心为，在正方形外有一点，当正方形绕着点旋转时，则点到正方形的最短距离的取值范围为_____． 26．如图，在中，，，点是边上一点，连接，沿折叠，使点落在点处，其中，设与相交于点，若的面积为，则的取值范围是______． 27．四边形是边长为4的正方形，点E在边所在的直线上，连接，以为边，作正方形（点D，点F在直线的同侧），连接，若，则的长为______． 28．如图，在正方形中，点E、F分别为边的中点，点P在边上，如果将沿直线翻折后，点C恰好落在线段上的点Q处，线段的长为1，那么正方形的边长为_______． 29．如图，在正方形中，点是对角线上一点，且，点为边上一点，连结、，已知，那么的值是______． 30．如图，在矩形中，，，平分交于点，为线段上一动点，动点，分别在边，上，且，连接，．则的最小值是_____． 31．如图，在中，分别为边上的点（不与顶点重合），且，连接，将四边形沿着翻折得到四边形．如果点在内部，那么的取值范围为___________． 32．如图，四边形是正方形，，，那么的度数为______． 33．如图，在平行四边形中，，点是边的中点，作，垂足在线段上，连接，则下列结论： ①；②；③；④． 一定成立的是_____．（把所有正确结论的序号都填在横线上） 34．如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边和上，将该正方形沿着翻折，点A落在处，点B恰好落在边CD上的点处，如果四边形的面积为6，那么的面积是_________． 35．如图，在矩形中，，点是边上一动点，连接，将沿着翻折后得到，若与边分别交于点，且，则的长为____． 试卷第2页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 押题02 四边形填选压轴题（期末预测） 一、单选题 1．如图，在正方形纸片中，对角线相交于点O，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交、于点、，连接，下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤，其中结论正确的是（   ） A．①④ B．②③④ C．①④⑤ D．①②④⑤ 【答案】C 【分析】①由四边形是正方形，可得，又由折叠的性质，可求得的度数；②由，可得；③由，可得的面积的面积；④由折叠的性质与平行线的性质，易得是等腰三角形，即可证得，易证得四边形是菱形；⑤由菱形性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，即可得． 【详解】解：四边形是正方形， ， 由折叠的性质可得： 故，故①正确． 由折叠的性质可得：，， ， ， ， ，故②错误． ， ，与同高， ，故③错误． ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形是菱形， 故四边形是菱形，故④正确． 四边形是菱形， ， ， ， ， 同理可得．故⑤正确． 综上，正确的结论有①④⑤． 2．如图，正方形中，E为边上一点，连接，将绕点E逆时针旋转得到，连接，若，则一定等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点F作，交的延长线于点G，先由，得出，结合正方形的性质，则，然后证明通过证明，所以，再结合等边对等角，即可作答． 【详解】解：过点F作，交的延长线于点G， 由旋转得，， ∴． ∵四边形为正方形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 3．如图，在中，、交于O，平分，，．以下结论①平分；②；③；④．正确的有（   ）个． A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】D 【分析】证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出，，可判断①正确；由三角形中位线定理得出，则可得出②正确；证明，由勾股定理求出的长，则可得出③正确；利用三角形面积公式可得出④错误． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即平分，故①正确； ∵，，， ∴点O为的中点，点E为的中点， ∴，，故②正确； ∵， ∴， ∵，，平分， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴，即， ∴，故④错误， 综上所述，正确的结论有①②③． 4．在矩形中，，点在边上，点在边上，连接、、．，，，； 以下两个结论：（   ） ①    ② A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】A 【分析】先证明，则，再证明是等腰直角三角形，则，进一步得到，则，利用完全平方公式进行计算即可证明②正确，由得到，根据即可证明①正确． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确， 故①②都正确. 5．如图，在平行四边形中，对角线交于点O，，点E，F，G分别是的中点，交于点H．以下结论中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等腰三角形“三线合一”得，根据三角形中位线定理可得；由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得，即可得；连接，可证四边形是平行四边形，即可得，由三角形面积关系得出，即可得出结论． 【详解】解：连接，如图所示： 四边形是平行四边形， ，，，，，， ， ， 点为中点， ，故A正确； 、、分别是、、的中点， ，， ，， ， ，故B正确； ，， 四边形是平行四边形， ， 即，故C正确； ，， ，， ∴ ，故D不正确． 6．图，是的对角线，过点B作交于点G，垂足为E，过点D作交于点H，垂足为F，连接、．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长，其中正确的是（   ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，通过相关性质逐一判断即可，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，,, ∴， ∵，， ∴， ∴（）①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形；②正确； ∵， ∴不一定相等；③错误； ∵四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∴,,， ∴， ∴;④正确． 7．如图，在正方形中，、分别为边、的中点，以点为圆心、的长为半径画弧交线段于点，直线交于点，如果，那么正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，设的中点为，连接，，过点作于点，证明四边形，四边形是矩形，则，根据直角三角形斜边中线性质得，则，由此得是等边三角形，进而得，，，继而得是等边三角形，由此得，则，，再求出得是等腰直角三角形，则，进而得，由此即可得出正方形的边长． 【详解】解：如图，过点作于点，设的中点为，连接，，过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵点、分别为边、的中点， ∴，， ∴， ∵AD∥BC， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由作图可知：， ∴， 在中，点是的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的边长为． 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，含角的直角三角形的性质及勾股定理等知识点，通过作辅助线构造等边三角形是解题的关键． 二、填空题 8．已知矩形，，将沿着直线翻折，点D落在点E处，如果点E到直线的距离是6，那么的长是______． 【答案】或 【分析】分为两种情况分别画图计算．①如图，当时，交于点，过点E作交于点H，则，根据四边形是矩形，得出，根据折叠的性质得，，证明，得出，设，根据等面积法得出，从而得出，在中，根据勾股定理求出，即可求解； ②如图，时，过点E作交的延长线于点H，过点E作交于点F，则，根据四边形是矩形，得出，证出四边形是矩形，得到，，根据折叠的性质得，，，在中，根据勾股定理算出，设，，在中，根据勾股定理求出，即可求解； 【详解】解：①如图，当时，交于点，过点E作交于点H，则， ∵四边形是矩形， ， 根据折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， 即， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴； ②如图，时，过点E作交的延长线于点H，过点E作交于点F，则， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 根据折叠的性质得，，， 在中，， 设，， 在中，， 即， 解得：， ∴， 综上，或； 故答案为：或． 【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的性质和判定、三角形面积等知识点，熟练掌握折叠的性质，正确作出图形并分类讨论是解题的关键． 9．如图，已知在梯形中，，，，，平分，交边于点E．如果是直角三角形，那么的长为______． 【答案】2或 【分析】过点B作交延长线于点G，易得四边形是矩形，得到，当时，根据角平分线的性质得到，证明，得到，利用勾股定理求出，从而得到，设，则，由勾股定理得到，即可求解；当时，过点E作交于点H，根据角平分线的性质得到，证明，再证明，得到，进而得到，即可解答． 【详解】解：如图，过点B作交延长线于点G， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 当时， 平分，， ， ， ， ， ， ， 设，则， 由勾股定理得到，即， 解得：； 如图，当时，过点E作交于点H， 平分，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上，的长度为：2或． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 10．如图，正方形和正方形中，、、三点共线，点在上，，，是的中点，那么的长是_______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，二次根式的化简，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点并能作出辅助线是解题的关键．连接和，先证明是直角三角形，利用勾股定理分别求出，和的长度，最后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，推导出，求得答案． 【详解】连接和，如图所示： 四边形和是正方形，， ，，， ， ，是的中点 故答案为：． 11．如图，在中，，，，点E是上的一点，点F是边上一点，将平行四边形沿折叠，得到四边形，点A的对应点为点C，点D的对应点为点G，则的长度为__________． 【答案】 【分析】解法一：作，连接，设，则；推出，；；在中，由勾股定理得，求出；证明，那么，据此即可求解； 解法二：作于，过点作于，由 角直角三角形的性质可求，则，证明，那么，而，设，则，则，由折叠可知，，在中，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：解法一：如图，作，连接， 设，则； ∵， ∴， ∴，； ∴； 由折叠可知：； 在中， 由勾股定理得， 解得， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴，，， 由折叠可知，，，， ∴，，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴； 解法二：如图，作于，过点作于， ∵，， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， 由折叠可知，，，， ∴，，， ∴， 在和中， ∴; ∴, ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， 由勾股定理得， 解得， ∴， ∴， 故答案为：. 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，平行四边形的性质，角直角三角形的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 12．中，为中点，E为边上一点且，则___________． 【答案】6 【分析】过B作交于F，作的平分线交于G，交于H，过B作交于M，根据平行线的性质，三角形的外角的性质可得出，结合已知可求出，根据证明，得出，，根据证明，得出，证明四边形是平行四边形，得出，则可求出，然后根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解∶如图，过B作交于F，作的平分线交于G，交于H，过B作交于M， ∴，， 又， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故答案为∶6． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，平行线的性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线是解题的关键． 13．如图，在中，是上一点，，交于点，，交于点，有下列条件：①；②平分；③，且是的中点．选择条件___________能使四边形是菱形． 【答案】 ②③ 【分析】先说明四边形是平行四边形，再根据菱形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形，，， 当时， 四边形是矩形，不是菱形，则①不符合题意； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，则②符合题意； ∵且E是的中点， ∴， ∴四边形是菱形，则③符合题意； 所以选择②③能使四边形是菱形． 14．如图，已知在梯形中，，，，平分，交边于点．如果是直角三角形，那么的长为_____． 【答案】或 【分析】本题主要考查矩形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理等，分两种情况讨论：（Ⅰ）当时，过点作的垂线，交于点，容易证明，四边形为矩形，结合，即可求得的数值；（Ⅱ）当时，如图所示，过点作的垂线，交于点，容易证明，，可得，即可求得的数值． 【详解】（Ⅰ）当时，如图所示，过点作的垂线，交于点， 设，则， 因为平分， 所以， 又因为，， 所以， 所以，， 因为，， 所以， 又因为， 所以四边形为矩形， 所以，， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以 所以， 所以， （Ⅱ）当时，如图所示，过点作的垂线，交于点， 设，则， 同（Ⅰ）可证得， 所以，， 因为，， 所以， 又因为，， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 综上所述，或． 15．已知有两个完全相同的矩形、摆成如图的形状，将矩形绕点转动度（），点、、分别对应点、、，当点落在直线上时，连接交直线于点，若，，则____________． 【答案】 【分析】过点作，垂足为，连接，先由矩形全等和勾股定理求，再用面积法求，证平行且等于得平行四边形，利用对角线平分即可求出． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，连接， ∴， ∵矩形与完全相同， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 16．如图，矩形中，为上一点，将沿翻折，点的对应点恰好为的重心，那么__________． 【答案】4 【分析】延长交于点H，由重心的定义和性质可得，由折叠的性质可得，设，则，，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，延长交于点H， ∵点为的重心， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 17．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，，．将对角线绕点顺时针旋转，点落在点处，则线段的长等于______． 【答案】 【分析】首先过点作的垂线，构造直角三角形，勾股定理求出的长，进而根据平行四边形的性质得到、的长，然后根据旋转的性质得到，，从而求出的度数，最后在等腰中，利用三线合一、直角三角形的性质和勾股定理求出的长； 【详解】解：过点作于点， 在中，，，， ， ， ， 在中，由勾股定理得， 四边形是平行四边形， ， 由旋转的性质可知，，， ∴， 点、、在同一直线上， ， ， 是等腰三角形，， 过点作于点， ，， 在中，， ． 18．在平面直角坐标系中，已知点，点，点，点从点出发，以2个单位每秒的速度沿射线运动，点从点出发，开始以1个单位每秒的速度向原点运动，到达原点后停止运动，若两点同时出发，设运动时间为秒，则当_____时，以点为顶点的四边形为平行四边形． 【答案】1或3 【分析】利用A、B、C的坐标可得到，根据平行四边形的判定，当时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形，分情况讨论，计算即可． 【详解】解：， 轴， ， 当时，以点为顶点的四边形为平行四边形， 若时，，此时，解得； 若时，，此时，解得； 综上所述，当t为1或3时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形． 19．如图，在正方形中，，M是对角线所在直线上的一个动点，点N是平面内一点．若四边形为平行四边形，且，则的值为 ____________________ ． 【答案】或 【分析】由平行四边形的性质，得对角线与互相平分，交点为中点O，即O是中点，且．过O作于H，先在等腰直角中求出；再在中，由勾股定理算出．分类讨论当M在线段上时，当在延长线上时即可解答． 【详解】解：依题意有以下两种情况： ①当点M在对角线上时，设交于点O，过点O作于点H，如图所示： ∴， ∵四边形是正方形，且，为对角线， ∴，，， ∴是直角三角形， 由勾股定理得：， ∵四边形为平行四边形，， ∴，， 在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， ∴． ②当点M在的延长线上时，设交于点O，过点O作于点H，如图所示： 同理可得：，，， 在等腰直角中，， 在中，由勾股定理得： ∴， ∴， 综上所述：的值为或． 20．在同一平面内有两个边长相等的等边三角形，当它们的一组边重合时，两个三角形重心之间的距离为5，那么当它们的一组内角组成对顶角时，这两个三角形重心之间的距离为______． 【答案】10 【分析】设等边三角形的一条中线长为a，则其重心到对边的距离为，重心到顶点的距离为，根据题意画出图形，进行求解即可. 【详解】解：设等边三角形的一条中线长为a，则其重心到对边的距离为，重心到顶点的距离为， ∵它们的一组边重合时，两个三角形重心之间的距离为5，如图1 ∴，即， ∴当它们的一组内角组成对顶角时，如图2，这两个三角形重心之间的距离为. 21．如图，在中，点分别是的中点，于且交于点，若，则的长是___________． 【答案】 【分析】取的中点，连接、，则、是的中位线，可证四边形是平行四边形，再证明出，得到，进而得出，即可得解． 【详解】解：如图，取的中点，连接、， 点分别是的中点， 、是的中位线， ，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 22．矩形纸片中，，，点在边所在的直线上，且，将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕与射线、分别交于点、，则线段的长度为______． 【答案】或 【分析】先利用勾股定理求出的长度，再根据折叠的性质证明四边形是菱形，在中用勾股定理求出菱形的边长，最后利用菱形的面积公式（对角线乘积的一半）求出折痕的长度，同时分点在线段上和点在延长线上两种情况讨论． 【详解】解：如图，点在线段上时，连接、， ∵四边形是矩形， ，，，．， ∴， 在中， ． 由折叠的性质得：垂直平分，，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，即菱形边长． 菱形面积，即， 解得． 情况2：如图，点在的延长线上，连接、， ∵四边形是矩形， ，，，．， ∴， 在中，． 由折叠的性质得：垂直平分，，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 设，则， 在中，由勾股定理得， ， ，即菱形边长． 菱形面积， 即， 解得． 综上，线段的长度为或． 23．矩形中，对角线交于点，，如果，那么边的长为______． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质与勾股定理的应用，先根据矩形对角线相等且互相平分的性质，及，判定为等边三角形，得到的长，再在直角三角形中利用勾股定理计算的长． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， 为等边三角形， ， 在中，由勾股定理可得：． 24．如图，矩形中，、交于点，平分交于点，，那么__________． 【答案】 【分析】由矩形的性质得到，可证明是等边三角形，得到，证明是等腰直角三角形，推出，据此求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴； ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 25．定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为3，中心为，在正方形外有一点，当正方形绕着点旋转时，则点到正方形的最短距离的取值范围为_____． 【答案】 【分析】由题意以及正方形的性质得过正方形各边的中点时，d最大，过正方形的顶点时，d最小，分别求出d的值即可得出答案． 【详解】解：设的中点是E， 当过点E时，如图： ∴点O与边上所有点的连线中，最小，此时最小， ∵正方形边长为3，O为正方形中心， ∴，，， ∴， ∵， ∴； 当过顶点A时，如图：            ∴点O与边上所有点的连线中，最大，此时最小， ∵正方形边长为3，O为正方形中心， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴d的取值范围为． 26．如图，在中，，，点是边上一点，连接，沿折叠，使点落在点处，其中，设与相交于点，若的面积为，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理，平行四边形的性质，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键．当点，重合时，，的面积最小，过点作交的延长线于点，利用度角的性质及勾股定理求出，，得到；当点与点重合时，，此时的面积最大，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，根据折叠的性质和平行四边形的性质可推出，，设，则，，推出，根据列方程求出，即可求出得到，最后根据三角形的面积公式可求出面积的最大值，进而可得的取值范围． 【详解】解：当点，重合时，， 此时的面积最小， 过点作交的延长线于点， 在中，， ， ， ， ， 由折叠可得：， ， 的最小值为； 当点与点重合时，， 此时的面积最大， 过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点， 在中，，， ，， 由折叠可得：，，，， ，， ，， 设，则， ， ， ， ， ， 解得：，即， ，即； 取值范围是， 故答案为：． 27．四边形是边长为4的正方形，点E在边所在的直线上，连接，以为边，作正方形（点D，点F在直线的同侧），连接，若，则的长为______． 【答案】1或 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，作辅助线构建直角三角形全等是解决问题的关键．分点E在线段上，在线段延长线上，在线段延长线上三种情况，过作交直线于点，作于，证明，通过全等三角形的性质用表示出，求出，由勾股定理建立方程求解即可得出答案． 【详解】解：当点E在线段上时，过作交的延长线于点，作交延长线于，如图所示，则四边形是矩形，    ∴，， 四边形与四边形是正方形， ，， ， ， ，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 在中，由勾股定理得， ∴, ∴（舍去）或（舍去），故此种情况不成立； 如图所示，当点E在延长线上时，过作于点，作交延长线于， 同理可得，， ， 在中，由勾股定理得， ∴, 解得或（舍去）； 如图所示，当点E在延长线上时，过作交直线于点，作交延长线于， 同理可得，， ， 在中，由勾股定理得， ∴, 解得或（舍去）； 综上所述，的长为1或． 故答案为：1或． 28．如图，在正方形中，点E、F分别为边的中点，点P在边上，如果将沿直线翻折后，点C恰好落在线段上的点Q处，线段的长为1，那么正方形的边长为_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，折叠的性质，解一元二次方程，解题的关键是掌握正方形的性质和折叠的不变性． 先得到四边形为矩形，根据正方形的性质以及折叠的性质得到可设，，，在中由勾股定理建立方程，即可求解． 【详解】解：如图： ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵点E、F分别为边的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵翻折， ∴， 设正方形的边长为，则，，， ∴在中，由勾股定理得：， 解得：或（舍）， ∴正方形的边长为， 故答案为：． 29．如图，在正方形中，点是对角线上一点，且，点为边上一点，连结、，已知，那么的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，由正方形的性质可得，证明，得到，证明，得到；证明，得到，，则可证明，再证明，得到，由勾股定理得，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴． 故答案为：． 30．如图，在矩形中，，，平分交于点，为线段上一动点，动点，分别在边，上，且，连接，．则的最小值是_____． 【答案】13 【分析】本题考查三角形三边关系，角平分线的定义，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 如图，在上取一点，使得，连接，过点N作于点H，证明四边形是矩形，结合全等三角形的判定与性质得，利用勾股定理求出，再根据可得结论 【详解】解：如图，在上取一点，使得，连接，过点N作于点H， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ∵平分交于点， ∴ ∵， ∴ ∴ 则 ∵ ∴ ∵，， ∴ 则 ∴ 故的最小值为13， 故答案为：13． 31．如图，在中，分别为边上的点（不与顶点重合），且，连接，将四边形沿着翻折得到四边形．如果点在内部，那么的取值范围为___________． 【答案】 【分析】如图，连接，当落在上时，证明四边形为矩形，可得，，可得，如图，当落在上时，连接，，交于，连接，证明，，，证明为等边三角形，可得，再证明在上，即可得到答案. 【详解】解：如图，连接，当落在上时， 由对折可得：，，，而， ∴， ∵在中，， ∴，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 如图，当落在上时，连接，，交于，连接， 同理可得：，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 由对折可得：， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴在上， ∴点在内部，那么的取值范围为：； 故答案为： 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 32．如图，四边形是正方形，，，那么的度数为______． 【答案】/30度 【分析】本题综合考查了正方形的性质，全等三角形的判定，以及旋转变换的性质，等腰三角形的性质，根据旋转变换构造出图形是解题的关键． 把绕点顺时针旋转得到，使得与重合，从而可得、、三点在同一条直线上，然后可以证明与全等，根据全等三角形对应边相等可得，所以为等边三角形，根据等边三角形的性质以及正方形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，把绕点顺时针旋转使得与重合，得到，连接．连接，则， 四边形为正方形， ，， ， ， ， 根据旋转， ， ∴， ，，在一条直线上， ， 在与中， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 又， ， ∵在正方形中，， ∴， 故答案为：． 33．如图，在平行四边形中，，点是边的中点，作，垂足在线段上，连接，则下列结论： ①；②；③；④． 一定成立的是_____．（把所有正确结论的序号都填在横线上） 【答案】② 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 由中点的定义可得，再根据平行四边形的性质结合已知条件可得，则；再运用平行线的性质可得，进而得到即可判断①；如图：延长交延长线于运用平行四边形的性质以及已知条件可证(ASA)可得，再说明，即，再结合得到，即可判断②；说明即可判断③；说明即可判断④． 【详解】解析：①是的中点， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，即；故①错误； ②如图：延长交延长线于 四边形是平行四边形， ， ， 为中点， ， 在和中， )， ， ， ， 又， ， ， ， ∴，故②正确； ，故③错误； ④， ， ， ，故④错误． 综上②正确． 故答案为：②． 34．如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边和上，将该正方形沿着翻折，点A落在处，点B恰好落在边CD上的点处，如果四边形的面积为6，那么的面积是_________． 【答案】 【分析】本题考查翻折的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 连接，则，过点F作于点H，易证，进而得到、，设，则，根据四边形的面积为6，列方程得到关于的表达式，在中，利用勾股定理求出的值，最后利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：连接，则，过点F作于点H， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 、， 设，则， 四边形的面积为6， ， 即， 解得， ， ， 由翻折的性质得：， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 的面积为：． 35．如图，在矩形中，，点是边上一动点，连接，将沿着翻折后得到，若与边分别交于点，且，则的长为____． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，由矩形的性质可得，由折叠的性质可得，证明得到， 则可证明， 设，则，，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 设，则， ∴，， 在中， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 试卷第2页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $