精品解析：宁夏回族自治区银川市唐徕中学2026届高三考前自测数学试卷

银川唐徕中学2026届高三三模数学试卷 本试卷共5页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．在试卷上作答无效． 3．非选择题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位，若复数满足，则在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 3. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 在的展开式中，的系数为（ ）． A. 120 B. 80 C. 40 D. 5. 中国载人航天技术发展日新月异.目前，世界上只有3个国家能够独立开展载人航天活动.从神话“嫦娥奔月”到古代“万户飞天”，从诗词“九天揽月”到壁画“仕女飞天”……千百年来，中国人以不同的方式表达着对未知领域的探索与创新.如图，可视为类似火箭整流罩的一个容器，其内部可以看成由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体.圆柱和圆锥的底面半径均为2，圆柱的高为6，圆锥的高为4.若将其内部注入液体，已知液面高度为7，则该容器中液体的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是定义在上且周期为3的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 7. 一个三口之家和一对夫妇共计5人前往电影院观看电影,核心观影区现在还剩余一排7个相连的座位.要求同一家庭的座位必须相连，且两个家庭中间至少间隔一个座位，则符合要求的排座方式一共有（ ） A. 48种 B. 72种 C. 144种 D. 216种 8. 已知双曲线，圆与轴交于两点，是圆与双曲线在轴上方的两个交点，点在轴的同侧，且交于点G，且M为线段的中点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在数字化快速发展的今天，安全芯片在移动支付中发挥着至关重要的作用.某厂家生产的安全芯片的使用寿命（单位：年）服从正态分布，且使用寿命不少于3.5年的安全芯片为良品，则（ ）（若随机变量服从正态分布，则） A. B. C. 该厂家生产的安全芯片的平均使用寿命为2.25年 D. 该厂家生产的安全芯片的良品率超过 10. 已知等比数列的公比为，前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 11. 我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：，是双曲线的左､右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分.若双曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ） A. 射线所在直线的斜率为，则 B. 当时， C. 当过点时，光线由到再到所经过的路程为13 D. 若点坐标为，直线与相切，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡相应位置上． 12. 已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为______. 13. 已知函数的图象在点处的切线斜率为，且时，有极值，则_____． 14. 如图绘制有函数的部分图象，图象与y轴的交点为，其中A，B分别为最高点和最低点，现将此图沿着x轴折叠形成一个钝二面角，夹角为120°，其中此时AB之间的距离为5，则______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角对应边分别是.已知成等差数列，且. （1）求的值； （2）若的外接圆半径为，求的面积. 16. 某果树种植基地为了调研A品种橘子树的结果情况，随机采摘了100个橘子，称重后得到的数据分成六组，分别为，（单位：克），得到如图所示的频率分布直方图． （1）估算样本的中位数； （2）已知上的平均重量是65克，方差是6，上的平均重量为75克，方差是3，求两组重量的总方差． 17. 如图1，在中，，D、E两点分别在、上，使．现将沿折起得到四棱锥，在图2中． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 18. 在平面直角坐标系中，已知点，直线AP与BP相交于点P，且两直线的斜率之积为． （1）求动点P的轨迹方程； （2）直线与动点P的轨迹交于C，D两点，求弦长； （3）若动点P的轨迹为闭合曲线，点，动点P的轨迹上存在不关于x轴对称的两点M，N，使得恰好被x轴平分，求面积的取值范围． 19. 已知函数，． （1）当时，求在区间上的最大值与最小值； （2）讨论的零点个数； （3）若函数有三个不同的极值点，，，且满足，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川唐徕中学2026届高三三模数学试卷 本试卷共5页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．在试卷上作答无效． 3．非选择题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位，若复数满足，则在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知等式求出复数，再确定其在复平面内对应点的位置. 【详解】已知，则， 分子分母同乘，即， 所以复数在复平面内对应的点为，在第四象限. 故选：D. 2. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合，再按照交集的定义计算即可. 【详解】由题意，. 3. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，根据平面向量数量积和模的坐标表示，结合投影向量的概念求解即可. 【详解】由，，得，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：D 4. 在的展开式中，的系数为（ ）． A. 120 B. 80 C. 40 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式定理计算即可. 【详解】根据二项式定理，展开式的通项公式为： . 令，可得，此时与相乘可得的系数为-80； 令，可得，此时与相乘可得的系数为40； 所以的系数为. 5. 中国载人航天技术发展日新月异.目前，世界上只有3个国家能够独立开展载人航天活动.从神话“嫦娥奔月”到古代“万户飞天”，从诗词“九天揽月”到壁画“仕女飞天”……千百年来，中国人以不同的方式表达着对未知领域的探索与创新.如图，可视为类似火箭整流罩的一个容器，其内部可以看成由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体.圆柱和圆锥的底面半径均为2，圆柱的高为6，圆锥的高为4.若将其内部注入液体，已知液面高度为7，则该容器中液体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合轴截面分析可知，，再利用圆柱以及圆台的体积公式运算求解. 【详解】由题意可知：容器中液体分为：下半部分为圆柱，上半部分为圆台， 取轴截面，如图所示，分别为的中点， 可知：∥∥，且， 可得，即， 所以该容器中液体的体积为. 故选：A. 6. 已知是定义在上且周期为3的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的周期和奇函数的性质进行求解即可. 【详解】因为是定义在上且周期为3的奇函数， 所以， 所以 令，得， 因为该函数是奇函数，所以， 所以， 故选：A 7. 一个三口之家和一对夫妇共计5人前往电影院观看电影,核心观影区现在还剩余一排7个相连的座位.要求同一家庭的座位必须相连，且两个家庭中间至少间隔一个座位，则符合要求的排座方式一共有（ ） A. 48种 B. 72种 C. 144种 D. 216种 【答案】B 【解析】 【详解】三口之家三人全排列有种不同的排法，一对夫妇有种不同的排法， 若两个家庭之间有1个空位的排法有； 若两个家庭之间有2个空位的排法有； 所以符合要求的排座方式一共有种. 8. 已知双曲线，圆与轴交于两点，是圆与双曲线在轴上方的两个交点，点在轴的同侧，且交于点G，且M为线段的中点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断的形状，再结合双曲线的定义列式，可求双曲线的离心率. 【详解】如图： 因为，所以为双曲线的焦点. 因为为上的点，所以， 根据双曲线的对称性，可知点在轴上，又为的中点，所以. 所以为等边三角形，，所以. 又根据双曲线的定义，，所以， 所以. 故选：D 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在数字化快速发展的今天，安全芯片在移动支付中发挥着至关重要的作用.某厂家生产的安全芯片的使用寿命（单位：年）服从正态分布，且使用寿命不少于3.5年的安全芯片为良品，则（ ）（若随机变量服从正态分布，则） A. B. C. 该厂家生产的安全芯片的平均使用寿命为2.25年 D. 该厂家生产的安全芯片的良品率超过 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可求解ABD，根据正态分布中参数的含义即可求解C. 【详解】选项A：由题知，则，故A正确； 选项B：，又 ，所以，B正确； 选项C：由，得，即该厂家生产的安全芯片的平均使用寿命为5年，C错误； 选项D：该厂家生产的安全芯片的良品率为 ，超过，故D正确. 故选：ABD 10. 已知等比数列的公比为，前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用题设等式进行等比数列的基本量运算，求得，代入公式即可一一判断. 【详解】依题，，解得故A错误，B正确； 则，，故C错误，D正确. 故选：BD. 11. 我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：，是双曲线的左､右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分.若双曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ） A. 射线所在直线的斜率为，则 B. 当时， C. 当过点时，光线由到再到所经过的路程为13 D. 若点坐标为，直线与相切，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，根据直线与双曲线的交点位置可判断；B选项，利用双曲线定义和勾股定理化简可得；C选项，由双曲线定义可判断；D选项，利用角平分线性质，结合双曲线的定义可得. 【详解】解：因为双曲线的方程为，所以，渐近线方程为， 选项A，因为直线与双曲线有两个交点，所以，即A正确； 选项B，由双曲线的定义知，， 若，则， 因为， 所以， 解得，即B正确； 选项C：，即C错误； 选项D，因为平分，由角分线定理知，， 所以， 又， 所以，解得，即D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡相应位置上． 12. 已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为，最后利用点的坐标和准线方程计算点到的准线的距离即可. 【详解】由题意可得：，则，抛物线的方程为， 准线方程为，点到的准线的距离为. 故答案为：. 13. 已知函数的图象在点处的切线斜率为，且时，有极值，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据导数的几何意义以及极值点的性质求，并结合单调性检验即可. 【详解】因为，则， 由题意可得，解得， 则函数，， 令，解得或；令，解得， 可知函数在上单调递增，在上单调递减， 则函数在处取到极大值，即，符合题意， 所以. 14. 如图绘制有函数的部分图象，图象与y轴的交点为，其中A，B分别为最高点和最低点，现将此图沿着x轴折叠形成一个钝二面角，夹角为120°，其中此时AB之间的距离为5，则______． 【答案】 【解析】 【分析】过分别作轴的垂线，垂足分别为，过分别作轴，轴的垂线相交于点，结合条件和余弦定理求出，然后将代入函数解析式即可得出答案. 【详解】过分别作轴的垂线，垂足分别为，过分别作轴，轴的垂线相交于点， 连接，则， 由余弦定理得， 由上可知，轴垂直于，又平面， 所以轴垂直于平面，又轴，所以平面， 因为平面，所以， 因为的周期，所以， 由勾股定理得，解得， 由图知，的图象过点，且在递减区间内， 所以即， 因为，点在递减区间内，所以， 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角对应边分别是.已知成等差数列，且. （1）求的值； （2）若的外接圆半径为，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据等差数列的性质得到的关系，再根据正弦定理将角化边，最后利用余弦定理求值； （2）先根据正弦定理求出，再结合（1）中的的关系求出，最后根据三角形的面积公式求解. 【小问1详解】 由成等差数列知，又得， 于是，设，则， 所以； 【小问2详解】 由（1）知， 由得，所以， 所以的面积. 16. 某果树种植基地为了调研A品种橘子树的结果情况，随机采摘了100个橘子，称重后得到的数据分成六组，分别为，（单位：克），得到如图所示的频率分布直方图． （1）估算样本的中位数； （2）已知上的平均重量是65克，方差是6，上的平均重量为75克，方差是3，求两组重量的总方差． 【答案】（1）75 （2）28.2 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出，再估算出样本的中位数. （2）利用分层抽样的方差公式计算即得． 【小问1详解】 由频率分布直方图，得，解得， 数据在的频率为，在的频率为， 所以样本的中位数约为. 【小问2详解】 由（1）知数据在上与上的频率之比为， 因此样本数据的总平均重量（克）， 所以总方差. 17. 如图1，在中，，D、E两点分别在、上，使．现将沿折起得到四棱锥，在图2中． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点D为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量夹角公式求解即可． 【小问1详解】 在图1的中，， 所以，且， 因为，所以，则， 在中，，， 则， 在图2的中，， 满足，所以， 因为平面， 所以平面． 【小问2详解】 因为平面，， 以点D为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 可得为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，， 则， 所以， 因此，直线与平面所成角的余弦值为． 18. 在平面直角坐标系中，已知点，直线AP与BP相交于点P，且两直线的斜率之积为． （1）求动点P的轨迹方程； （2）直线与动点P的轨迹交于C，D两点，求弦长； （3）若动点P的轨迹为闭合曲线，点，动点P的轨迹上存在不关于x轴对称的两点M，N，使得恰好被x轴平分，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合斜率公式计算即得动点的轨迹方程； （2）联立直线与椭圆得出韦达定理，再由弦长公式计算即得； （3）先设直线方程再联立，写出韦达定理，应用题设条件得出斜率关系，计算得出定点，再列出三角形的面积及基本不等式计算范围． 【小问1详解】 设交点P的坐标为，因为直线AP与BP的斜率之积为， 所以，所以，则， 故动点P的轨迹方程为． 【小问2详解】 由与椭圆联立，可得， 设，则， 所以弦长． 【小问3详解】 设直线的方程为， 由得， 所以，， 因为恰好被x轴平分，所以， 所以直线的斜率与直线的斜率存在且， 即，整理得， 即，因，解得，即直线经过定点， 所以的面积 ， 当且仅当，即时，等号成立． 因为，所以面积的取值范围是． 19. 已知函数，． （1）当时，求在区间上的最大值与最小值； （2）讨论的零点个数； （3）若函数有三个不同的极值点，，，且满足，求的取值范围． 【答案】（1）最大值为，最小值为1 （2）当时，无零点，当或时，有1个零点，当时，有2个零点. （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数求出的单调性，再结合单调性求最值即可； （2）根据将其转化为，令，通过导函数研究图象性质，即可根据与图象的交点个数确定的零点个数； （3）根据分情况讨论，由解得，或，由题意，结合的图象 求出a的取值范围，分析得出，，据此将题中的转化为a的函数，再结合导数求解单调性即可求出a的范围． 【小问1详解】 当时，，， 当时，，所以在上单调递增， 所以，． 【小问2详解】 令，得，即， 令，则的零点个数等价于直线与函数的图象的交点个数， ，令，得， 当时，，则，所以在上单调递增； 当时，，则，所以在上单调递减， 所以， 又当时，，当时，； 所以的大致图象如下所示： 数形结合得，当时，直线与的图象无交点，故无零点； 当或时，直线与的图象有1个公共点，故有1个零点； 当时，直线与的图象有2个交点，故有2个零点. 【小问3详解】 由题知， 则， 当时，，方程只有唯一解1，显然不合题意； 当时，由，可得，或， 令，则， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 所以在处取得最大值，此时， 又当时，，当时，， 要使在定义域内有三个不同的极值点，需使的图象与直线有两个不同的交点，即得， 不妨设，则，所以，即， 所以， 所以 ， 令，则， 易知在上单调递增， 所以，又， 所以，即在上单调递增， 因为，则当时，恒有， 即当时，恒成立， 所以实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $