宁夏回族自治区银川一中2026届高三下学期考前模拟测试数学试卷

**基本信息** 试卷覆盖复数、统计、立体几何等高中数学核心知识，解答题突出综合性与应用性，如市场占有率线性回归分析、立体几何折叠问题，考查数学思维与应用能力，适配高考三模复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|复数运算、集合运算、解三角形等基础知识点|注重基础巩固，覆盖高频考点| |多项选择|3/18|等比数列性质、函数奇偶性、双曲线几何性质|考查知识辨析与逻辑推理| |填空|3/15|向量数量积、函数极值、正方体体积分割|强调空间观念与运算能力| |解答|5/77|线性回归预测、立体几何折叠、函数零点与极值、椭圆轨迹方程|结合现实情境（如市场占有率），突出综合应用，适配高考命题趋势|

绝密★启用前 2026年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 试 题 卷 ( 银川一中第三次模拟考试 ) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．已知复数，则＝ A． B．i C． D．1 2．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有3人，得90分的有2 人，得85分的有2人，得80分和75分的各1人，则该小组数学成绩的平均数为 A．85分 B．86分 C．89分 D．88分 3．已知集合，集合，则 A. B. C. D. 4．在锐角ABC中，，，分别为内角，，的对边.已知，，， 则 A． B． C． D． 5．已知抛物线的焦点为，准线为是上一点，是直线与的一个交 点，若，则 A． B．3 C． D．2 6．设是等差数列的前项和，若，，则 A． B． C． D． 7．设函数，则满足的x的取值范围是 A． B． C． D． 8．若，则＝ A． B． C． D． 二．多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．已知等比数列满足，公比为，前项和为，前项积为，则 A． B． C． D． 10．设是定义在R上的奇函数，且当时，，则 A． B．当时， C． D．恰有3个零点 11．双曲线：的左右焦点分别为，，两条渐近线分别为，，过坐标原点的直线与的左右两支分别交于，两点，为上异于，的动点，下列结论正确的是 A．若以为直径的圆经过，则 B．若，则或9 C．过点作的垂线，垂足为，若（），则 D．设，的斜率分别为，，则的最小值为2 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．已知平面向量，，且，则__________. 13．已知函数在处取得极大值，则__________. 14．已知正方体，O为正方形的中心，M为的中点，过O、M两点的平面将正方体分为两部分，记两部分的体积分别为，，则的取值范围为___________． 四、解答题（共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．(13分) 已知平面向量，，函数． (1)若，求的值域； (2)在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，，求ABC的面积． 16．(15分) 某电器公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如表所示： 年份 2025年 2026年 月份 9月 10月 11月 12月 1月 2月 月份代码x 1 2 3 4 5 6 市场占有率y（%） 11 13 16 15 20 21 (1)求y关于x的线性回归方程，并预测何时该种产品的市场占有率超过30%? (2)根据市场供需情况统计，得到该公司产品2025年的月产量X（单位：万件）的分布列为 X 1 1.2 P 0.6 0.4 2026年的该公司产品的市场价格Y（单位：万元/件）对应的概率分布为．假设每月固定成本为200万元，求该产品平均每月利润的分布列和数学期望． 参考数据：，，． 参考公式：回归直线方程为，其中：，． 17．(15分) 如图，已知正方形的边长为分别为的中点，以为棱将正方形折成如图所示，使得二面角的大小为，点在线段上且不与点重合. (1)直线与由三点所确定的平面相交，交点为，若，求的 长度，并求此时点到平面的距离； (2)若，求平面与平面夹角的正弦值. 18．(17分) 已知函数，． (1)当时，求在区间上的最大值与最小值； (2)讨论的零点个数； (3)若函数有三个不同的极值点，，，且满足，求的取值范围． 19．(17分) 已知曲线与曲线，椭圆的离心率为，且2是的等比中项． (1)求曲线的方程； (2)若点是曲线上的动点，，过点分别作轴的垂线，，射线分别交于点．坐标平面内动点满足，点的轨迹为曲线． （ⅰ）求证：曲线过定点； （ⅱ）当曲线所围成的平面区域面积最小时，过曲线上的动点作的两条切线、切点分别为，求面积的最大值． 数学试卷 第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三第次三模拟数学试卷答案 一、单选题 1．【答案】A 【详解】因为，所以． 2．【答案】C 【分析】利用平均数的算法计算即可. 【详解】由题意知：. 故选：C 3．【答案】A 【解析】【详解】由，得，即，解得：， 则集合，所以. 4．【答案】C 【分析】由同角的正余弦的平方关系求得，进而由余弦定理求得，再利用正弦定理可求解. 【详解】因为为锐角三角形，所以，又，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，所以， 在中，由正弦定理可得，所以，解得. 故选：C. 5．【答案】D 【分析】由题意解出点横坐标，由抛物线的定义求解. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 设，，则， 因为，则，得， 由抛物线定义得. 故选：D. 6．【答案】A 【分析】根据等差数列的通项公式和等差数列的前项和公式得出等差数列的基本量，计算可得结果． 【详解】记等差数列的公差为， 由可得，整理得； 因为，，即； 整理可得，联立可得，， 故； 故选：A． 7. 【答案】C 【解析】【分析】根据分段函数的特点，分段列不等式求解最后取并集即可. 【详解】当时，， 令，即，解得（舍去）或； 当时，， 令，即，解得. 综上，的x的取值范围是. 8．【答案】D 【分析】将已知等式两侧平方相加，应用差角正弦公式化简得，从而有，代入整理得，并将化为求，即可得. 【详解】由题设，则， 所以，可得， 由，则，故， 代入，则， 所以，则， 所以， 所以. 二、多选题 9．【答案】BD 【分析】利用等比数列的通项公式和前项和的公式逐项求解即可. 【详解】对于A，等比数列中，，故，故A错误； 对于B，由A选项知，，故，故B正确； 对于C，，故，或，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD 10．【答案】ABD 【分析】AB选项，利用函数奇偶性求函数解析式和函数值；C选项，由函数解析式求函数值比较大小；D选项，结合函数单调性和零点存在定理即可判断函数零点个数. 【详解】是定义在R上的奇函数，且当时，， 对于A，，故A正确； 对于B，当时，，则，故B正确； 对于C，，，， 故，即，故C错误； 对于D，时，，， 则由可得或；由可得， 故在和上单调递增，在上单调递减， ，，， 可知在上有且只有一个零点， 又是定义在R上的奇函数，则在上有一个零点，且， 所以恰有3个零点，故D正确. 故选：ABD 11．【答案】AD 【分析】由双曲线的方程可知，，的值，逐一分析所给选项，判断正误. 【详解】由双曲线的方程可知，，，由题意可设，， 对于A，以为直径的圆经过，连接，，可得四边形为矩形， 设，，可得，即，得， 所以，A正确； 对于B，，所以在双曲线的左支上， 则，故B不正确； 对于C，由题意可得，设其中一条渐近线的方程为，则直线的方程为，即， 代入双曲线方程可得，化简得，解得， 如图在之间，所以，，即， 所以，故，故C不正确； 对于D，联立，可得：，由于，， 所以，由，当且仅当时取等号，故D正确. 故选：AD 三、填空题 12．【答案】 解析：因为， 所以， 又，则， 所以， 所以， 所以， 13．【答案】3 【分析】根据极值点处的导数等于0，求得，代回，通过函数在处是否取得极大值，确定. 【详解】因为函数，定义域为R， 所以， 又因为在处取得极大值，所以，所以或， 若，则， 所以当时，单调递减；当时，单调递增. 所以在处取得极小值，不符合题意，所以； 若，则， 所以当时，单调递增；当时，单调递减. 所以在处取得极大值，符合题意. 综上，. 14．【答案】 【分析】先尝试作出截面，并找到截面与上底面的交线，通过对交线的情况讨论解决问题. 【详解】 设正方体棱长为，体积为， 如图1，过O、M两点的平面与交于点， 过O、M两点的平面将正方体分为两部分， 记两部分的体积分别为、，设， 如图2，当时，两部分的体积分别为和，此时， 当时，如图 的体积相对于时 增加了一个斜三棱柱的体积， 同时减少了多面体的体积， 观察上图发现增加的体积多于减少的体积，且其体积是连续变化的， 当，如下图的体积必然大于多面体的体积， 计算多面体的体积为， ， 所以多面体的体积为， 所以当，如图的体积必然大于， 如下图，当截面与上底面的交点在上时， 考虑特殊情况为上的中点时，，此时， 根据对称性，， 且从运动到上的中点过程中，同时一样， 的体积必然大于，， 再根据对称性，及体积变化的连续性知，的取值范围是. 四、解答题 15．【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用数量积、二倍角公式和辅助角公式化简得到，然后利用整体法求值域； （2）由已知先求得，进而利用余弦定理得到，然后利用三角形面积公式求面积即可. 【详解】（1）因为， 所以 -----------------------1分 ， -----------------------3分 由，可得，-----------------------5分 可得， 所以函数的值域为. -----------------------6分 （2） 因为，所以， 所以， -----------------------7分 因为，所以， 所以，即， -----------------------9分 因为，所以， -----------------------10分 整理得，解得或(舍去）， -----------------------12分 所以的面积为.- ----------------------13分 16．【答案】(1)，2026年7月； (2)分布列见解析，3148万元． 【分析】（1）应用最小二乘法求回归直线，进而估计对应时间； （2）确定随机变量的可能值并求出对应概率，写出分布列，进而求期望. 【详解】 （1）因， -----------------------1分 ， -----------------------2分 由题意得，-----------------------3分 而， -----------------------4分 于是得， -----------------------5分 所以y关于x的线性回归方程为， -----------------------6分 令，即，解得， -----------------------7分 又，所以， -----------------------8分 故从2026年7月开始，该种产品的市场占有率超过；-----------------------9分 （2）设该产品平均每月利润为Z万元，则，，，， 所以Z的可能取值为2800，3300，3400，4000， -----------------------10分 故， -----------------------11分 ， -----------------------12分 ， -----------------------13分 ， -----------------------14分 所以的分布列为： 2800 3300 3400 4000 0.48 0.12 0.32 0.08 故万元．----------15分 17．【答案】(1) (2) 【分析】（1）取中点，证明得，及，设，求出，过作于，证明得平面，即为点到平面的距离，进而得到答案； （2）建立空间直角坐标系，根据面面角的法向量求法求解即可． 【详解】方法一： （1）因为，所以， 又平面平面，所以即为二面角的平面角， 所以. ---------------------------------------（1分） 连结DA与CB,则棱柱AED-BFC为正三棱柱，取中点，连接， 所以， 则以为坐标原点，方向为轴正方向建立空 间直角坐标系如图所示，-------------------------------------（2分） 设AM=m,a则 所以 因为 所以， ----------------------------------------------（3分） 即2-4（4-m）=0 解得 所以 ----------------------------------------------（4分） 在平面ABFE内， -----------------（5分） ， 取DE的中点T,连结AT ----------------------------------------------（6分） ------------------------------（7分） ------------------------（8分） 所以点到平面的距离为 (2)由题意得，-----------------（9分） 则， 设平面的法向量，则 令，则，所以. -----------------（11分） 设平面的法向量，又， 所以， 令，则，所以. -----------------（13分） 所以 .-----------------（14分） 设平面与平面夹角为， 所以， 故平面与平面夹角的正弦值为. -----------------（15分） 方法二： （1）由题意可知，，平面， 所以平面，同理可得平面， 因为二面角为，所以， --------------------------（1分） 所以与均是全等的正三角形，取中点，则， 由平面平面得， ---------------------------（2分） 又，平面，因此平面，即，-----（3分 因为，，平面，所以平面，-----（4分 因为平面，所以， -----------------（5分） 设，所以，，所以 即， 所以的长为 . -----------------（6分） 过作于，因为平面，平面， 所以， 又，平面，所以平面， -----------------（7分） 即为点到平面的距离，因为，所以， 所以，所以点到平面的距离为. ----（8分） （2）因为，所以， 又平面平面，所以即为二面角的平面角， 所以. 取中点，连接，如图， 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以， 又平面， 所以平面，因为，平面， 所以，----（9分） 则以为坐标原点，方向为轴正方向建立空间直角坐标系如图所示， 则， -----------------（10分） 则， 设平面的法向量，则 令，则，所以. -----------------（11分） 设平面的法向量，又， 所以， 令，则，所以 .-----------------（13分） 所以. -----------------（14分） 设平面与平面夹角为， 所以， -----------------（15分） 故平面与平面夹角的正弦值为. 18．【答案】(1)最大值为，最小值为1 (2)当时，无零点，当或时，有1个零点，当时，有2个零点. (3) 【分析】（1）根据导数求出的单调性，再结合单调性求最值即可； （2）根据将其转化为，令，通过导函数研究图象性质，即可根据与图象的交点个数确定的零点个数； （3）根据分情况讨论，由解得，或，由题意，结合的图象 求出a的取值范围，分析得出，，据此将题中的转化为a的函数，再结合导数求解单调性即可求出a的范围． 【详解】（1）当时，，，-----------------------1分 当时，，所以在上单调递增， -----------------------2分 所以，． -----------------------4分 （2）令，得，即， -----------------------5分 令，则的零点个数等价于直线与函数的图象的交点个数，---6分 ，令，得， 当时，，则，所以在上单调递增； 当时，，则，所以在上单调递减，------7分 所以， -----------------------8分 又当时，，当时，； 所以的大致图象如下所示： 数形结合得，当时，直线与的图象无交点， 故无零点； 当或时，直线与的图象有1个公共点， 故有1个零点； 当时，直线与的图象有2个交点，故有2个零点.--------------9分 （3）由题知， 则， 当时，，方程只有唯一解1，显然不合题意；------------------10分 当时，由，可得，或， -----------------------11分 令，则， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 所以在处取得最大值，此时， -----------------------12分 又当时，，当时，， 要使在定义域内有三个不同的极值点，需使的图象与直线有两个不同的交点，即得， -----------------------13分 不妨设，则，所以，即， 所以， -----------------------14分 所以 ， -----------------------15分 令，则， 易知在上单调递增， 所以，又， 所以，即在上单调递增， 因为， 则当时，恒有， -----------------------16分 即当时，恒成立， 所以实数的取值范围是． -----------------------17分 19．【答案】(1)曲线的方程：，曲线的方程：; (2)（ⅰ）见解析过程，过定点； （ⅱ）面积的最大值为 【分析】小问1运用椭圆的几何性质即可求解； 小问2的第1问设好点，利用点M计算出轨迹方程，从而得到定点的坐标； 小问2第2问先运用圆的性质表示出面积，再利用椭圆的性质进行求解. 【详解】（1）解：因为2是的等比中项， 所以 解得， -----------------------2分 所以曲线的方程：， -----------------------3分 曲线的方程：. -----------------------4分 （3） （ⅰ）设， 则直线的方程为，所以， ---------------------5分 直线的方程为，所以， -----------------------6分 设， 由， -----------------------7分 即， 由，得 ， 那么， 化简得 ， -----------------------8分 即曲线的方程，经过定点； -----------------------9分 （ⅱ）因为曲线的方程是圆心在， 半径， 所以，，由于，故当时，取最小值， --------10分 此时，曲线的方程为即， -----------------------11分 设圆心，那么 ， -------------12分 设，则， -----------------------13分 那么， 即单调递增，当取最大值时，取最大值. 又，故取最大值时，t取最大值； ，又， 所以， ， ----------------------14分 根据二次函数性质可知 ， ---------------15分 所以，， -----------------------16分 所以，最大值为. -----------------------17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $