贵州黔西南州顶兴高级中学2026届高三5月模拟考试数学试卷

20260正>.w￥—，.TS,.0正..0“E乙. 数学试卷 一、单选题。（每题只有一个选项符合题意，每小题5分，共计8小题，合计40分） 1.已知集合4=e-155,B-, 则A∩B=( A.[-1,11 B.[-1,0)U(0,1]C.（-1,0,1) D.{-1,1} 2.若复数z满足z1+)=i26(其中i是虚数单位)，则|z上 ( A.2 B.2 C.2 D. 3.记等差数列{a,}的前n项和为Sn,若a2=3,S,=35,则as= A.5 B.6 C.7 D.8 4.在(x-1)°的展开式中，含有x项的系数为 A.120 B.-120 C.20 D.-20 5.在正四棱锥P-ABCD中，底面边长为2，侧棱长为√，则侧棱PA与底面 ABCD所成角的正弦值为 A号 B.5 C.6 D.6 3 6 6.在AMBc中，内角A月C的对边分别为ab,c,满足B=于，且b=2厅， 若△ABC的面积为3√5，则a+c的值为 A.6 B.8 C.92 D.10v3 7.若曲线C:y=√-x2+4x+5上存在两点到直线l:x-V5y-n=0(n>0)的距离为 6,则n的取值范围为 A.(5,8] B.[5,8] C.(8,11] D.(8,12] 8.已知函数f(x)= 2e(x+e),x<0 对于正实数a,定义集合 xe,x≥0 M,={x/(x-a)=f(x),且M,≠，则a的取值范围是 A.[2,eB.(2,e] C..e+D.(2e+ 试卷第1页，共4页 二、多选题。（每小题有多个选项符合题意，全部选对得6分，选错一个选项该题不得 分，每小题6分，共计3小题，合计18分) 9.下列结论正确的是 A若随机变量X服从二项分布6引，Y-2X+3,则（们=9 B.若随机变量X服从正态分布N(6,o2),且P(3<X<6)=0.35,则P(X>9)=0.15 C.样本数据12,13,15,18,19,21,23,24,26,27的第70百分位数为23 D.若一组样本数据x,为…，的方差产=0[6-+(-6++(x-6] 则这组样本数据的总和为60 10.已知函数f(x)=x-3x,则下列说法正确的是 A.曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y=-3x B.f(x)的极大值点为1 C.f(x)的对称中心为(0,0) D.方程f(x)=a有三个不同实根时，ae[-2,2] 1.椭图写+若=1的左右焦点分别为RR,圆-+y=产仁>0与精圆 相切于两个不同点B,C,则 ( A.t的取值范围为(0,2) B.AF AF =r2 C.若四边形AB那c为菱形，则：=号 D.三角形ABC面积的最大值为√3 三、填空题。（每小题5分，共计3小题，合计15分） 12.若a>0,b>0,且ab=a+b,则ab的最小值是 13.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2=4,S4=6,则S6= 14.一个不透明的盒子里装有2个红球、3个白球、4个黑球，这些球除颜色外 完全相同.每次从中随机摸出1个球，记录颜色后不放回，连续摸3次.设事件A 为“三次摸球中，恰好有两次颜色相同”，则P(4)=一 试卷第2页，共4页 四、解答题。（请写出完整的解答过程，共计5小题，合计77分） 15.(13分)已知向量m=(osx-,i-气5m×-,设函数f闭=(m+列m-2 (1)求函数f(x)的单调递增区间及其图象的对称轴方程； (2)已知a,b,c分别为三角形ABC的内角4，B,C对应的三边长，A<B,a=1, c=5,且f(4恰是函数f()在0，上的最大值，求三角形ABC的面积. 16.(15分)如图，在等腰梯形ABCD中，AB/1CD,且CD=2AB=2BC,E是 CD的中点.将△ADE沿AE折起到△AD'E的位置. (1)若M为棱BD'上动点，N是AE的中点，证明BC⊥N. (2)若平面AD'E⊥平面ABCE,求二面角A-BD-C的余弦值. 17.（15分)某市举办了党史知识竞赛.初赛采用“两轮制”方式进行，要求 每个单位派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小 组才具备参与决赛的资格.某单位派出甲、乙两个小组参赛，在初赛中，若甲 小组通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，乙小组通过第一轮与第二轮比 赛的概率分别是号，且各个小组，所有轮次比赛的结果互不影响。 (1)若该单位获得决赛资格的小组个数为X,求X的分布列与数学期望； (2)已知甲、乙两个小组都获得了决赛资格，决赛以抢答题形式进行.假设这两 组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率。若最 后一道题被该单位的某小组抢到，且甲、乙两个小组抢到该题的可能性分别是 45%,55%,该题如果被答对，计算恰好是甲小组答对的概率. 试卷第3页，共4页 18.(17分)已知函数f(x)=ax2+nx+1. (1)若曲线y=f(x)在点(L,f)处的切线经过点(0，-1)，求实数a的值： (2)若f(x)恰有两个零点，求实数a的取值范围： (3)证明：当a=1时，f(x)≤xe*+x2-x. 19。(17分)已知双曲线C:号茶-(a>0b>0的-个焦点到一条渐近线的距 离为1，点P(2,-1)在双曲线C上： (1)求双曲线C的标准方程： (2)设点S是双曲线C上的动点，T是圆E:(x-5)+y2=2上的动点，且直线ST与 圆E相切，求ST可的最小值： (3)如图，AB是双曲线C上两点，直线PA,PB与y轴分 别交于点M,N,点2在直线AB上；若M,N关于原点对 称，且P2⊥AB,是否存在点R,使得R为定值：若存 在，求出该定点R的坐标；若不存在，请说明理由： 试卷第4页，共4页2026年黔西南州顶兴高级中学高三年级5月模拟考 数学参考答案 1.D 【详解】集合A={x∈Z-1≤x≤3}={-1,0,1,2,3}， 1-x≥0 c≠0，解得x≤1且x≠0，所以B=(←o0U(0,1], 由 所以A∩B={-1,1. 2.B 【详解】由=(1+i)=i2026可得=1+i)=-1, 1-i1-i-1+1i 即2=1+i1+)1-可222， 故周号 3.C 【详解】由S,=35,得7+=35，所以4+4=10，所以4，+4，=10， 2 又4=3，所以4=7 4.D 【详解】因为TH=Cx-(-1),令k=3,得T4=Cx(-1)3=-20x3,所以含有项的系数 为-20. 5.B 【分析】连接AC,BD交于点O,连接PO,由正四棱锥的性质即可求解. 【详解】连接AC,BD交于点O,连接PO, 由正四棱锥的性质可知，PO⊥平面ABCD, 所以直线PA与平面ABCD所成角为∠PAO, 又因为ABCD为正方形，AB=2, 所以o1=号4C=VaG+Bc-5. 则P0=√PA2-A02=√3-2=1， 在RiPAC0中，sin∠PAO=PO1=3 PA 33 故选：B. D 6.B 【详解】由面积公式5-csm8=5e=3,解得ac=12 由余弦定理b2=a2+c2-2 ac cos B,代入b=2√7，得28=a2+c2-12,即a2+c2=40. 于是(a+c)2=d+c2+2ac=40+24=64,所以a+c=8. 7.C 【分析】根据已知确定曲线的图形，数形结合并应用直线与圆的位置关系及已知条件分析临 界情况，即可求范围 【详解】由y=√-x2+4x+5,可得(x-2)2+y2=9y≥0)， 即C:y=√-x+4x+5表示圆(x-2)2+y2=9的上半部分（包含与x轴交点）， 10C 当圆心(2,0)到直线1：x-√3y-n=0(n>0)的距离为3时， 此时曲线C上恰有一点到直线1的距离为6， 由点到直线距离公式d=2-=3(m>0),可得n=8, √1+3 结合图形位置关系知，点(-1,0)到直线1的距离为6， 此时为曲线C上存在两点到直线的距离为6的另一临界情形， 所以d=1==6n>0),可得n=11, √1+3 故n的取值范围为(8,11]. 8.D 【分析】画出分段函数的图像，利用图像的平移进行求解， 【详解】当x≥0，f'(x)=e(x+1),而∫"(x)=e(x+2),所以f"(x)>0恒成立，则f(x) 单调递增（凹函数）， .如图所示：令k=f'(x)=e(x+1)=2e,∴.f'(I)=2e, fx) ..2e2 ---e d -e O/12x :f()=e,令2e(r+e)=e,解出x=2-e, 0M)=1-日+e, 令f(x)=xe*=2e2,∴.f(2)=2e2, d1=e,d=2,且d<d, ∴如图可知，(Ma)n>d,=2, 9.ABD 【分析】利用二项分布的期望公式及期望的性质计算判断A;利用正态分布的对称性求出概 率判断B;求出第70百分位数判断C;利用方差的定义计算判断D. 对于A,由随机变量X服从项分布(6，得0三6 又Y=2X+3,则E()=2E(X)+3=9,A正确： 对于B,随机变量X服从正态分布N(6,σ)，则P(6<X<)=P(3<X<6)=0.35, 因此P(K>)=2P(6<X≤)=015，B正确： 对于C,由10x70%=7,得所求第70百分位数为23+24=23.5，C错误： 2 对于D,依题意，样本数据x,x,,的平均数x=6,因此这组样本数据的总和为10=60， D正确. 10.AC 【详解】f"(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1) 选项A,x=0时，f(0)=0,切点为(0,0)，切线斜率k=∫'(0)=-3，因此切线方程为y=-3x, A正确： 选项B,x<-1或x>1时f"(x)>0,f(x)递增；-1<x<1时'(x)<0,f(x)递减，因 此极大值点为x=-1,B错误： 选项C,f(x)=(-x)3-3(-x)=-x+3x=-f(x),故f(x)是奇函数，奇函数的对称中心 为(0,0)，C正确； 选项D,f(x)的极大值为f(-1)=2,极小值为f①)=-2， 简图如图所示 当y=f(x)与y=a有三个不同交点时，-2<a<2,D错误 11.BC 【分析】对A:问题转化为椭圆上存在一点B到点A(t,O)的距离最短，且点B不在x轴上， 结合椭圆上的点的横坐标取值范围计算即可得解；对B:表示出A、A,计算即可得： 对C:结合菱形性质与各点横坐标计算即可得；对D:利用面积公式计算即可得. 【详解】对A:问题转化为椭圆上存在一点B到点A(t,O)的距离最短，且点B不在x轴上， 设B飞为，则发+发=1， 84 4-6+巧--2%+r+4-24r, 由于-2W2≤x,≤2√2，当2t≥22，即t≥√5时，只有当点B与右顶点重合时， BA达到最小值，不符合题意； 若0<t<√2，当x,=2时，BA达到最小值，符合题意， 故t的取值范围为(0，√②)，故A错误： 对B:由A可知r=BAa=V4-F，易知(-2,0)，R(2,0),所以A=2+t,A引=2-t, 所以AA=4-tP=r2，,故B正确： 对C:由x4=t,x。=2t,xa=2,要使得四边形ABFC为菱形， 则有2-1=21-1，解得1=子故c正确。 对D:点B坐标2t,V4-2T),Ssc=tW4-2F=√-2r+4t=-2e-1)+2, 当t=1时，S4sc取到最大值√2，故D错误. 12.4 【详解】因a>0,b>0,则b=a+b≥2√b,整理得Vab(Nab-2≥0， 解得√ab≥2，即ab≥4，当且仅当a=b=2时取等， 故当a=b=2时，ab取得最小值为4. 13.7 【分析】根据等比数列的性质得S,S4-S,S。-S4成等比数列，从而得到关于S。的方程，求 解即可。 【详解】因为Sn为等比数列{an}的前n项和，且S,=4,S4=6, 由等比数列的性质可知：S,S-S,S6-S4成等比数列， 即4,2，S6-6成等比数列，所以2=4×(S-可，解得：S6=7, 故答案为：7 55 14.84 【详解】为保证每次摸球结果的等可能性，把2个红球分别记为R,R;3个白球分别记 为W,W,,W;4个黑球分别记为B1,B2,B,B4: 9个球看成不同的元素，则样本空间的样本点总数为9×8×7=504， “三次摸球中，恰好有两次颜色相同”分为“两次红球，一次非红球”、“两次白球，一次非白 球”、“两次黑球，一次非黑球三种情况； 事件“两次红球，一次非红球的样本点个数为：CCA=42; 事件“两次白球，一次非白球”的样本点个数为：CC6A=108: 事件“两次黑球，一次非黑球”的样本点个数为：CCA=180: 所以P(4)=42+108+18055 504 84 15.0单调递增区间为-众，ke乙，对称轴方程为r=2产Z 6 十一 26 R 2 【分析】(1)先利用向量数量积的运算律和坐标表示及三角函数的二倍角公式和辅助角公 式求出∫(x),再根据正弦函数的图象和性质求解即可： (2)先利用正弦函数的性质求出角A,代入余弦定理求出b,再根据三角形的面积公式求 解即可。 【详解】(1)f()=(m+列)m-2=m2+m.方-2=c0s2x+1+5 sinx cosx+1-2 1cossin 2 由2ms2x+名2，keZ,得+m≤tsm 3 所以正数()的单调港指区间为[子+气会匀，太=Z, 令2x+后加+分kc2,解得x-红 6 26’ 所以函数f田)的对称轴方程为x+及，keZ 26 ②》由1》知/)=m2+周 6/ 当x0时2x+若[合，则当2x+名5即=君时面数了取得最大。 62 6 又f(4)恰是函数f()在0引上的最大值，且A为锐角，可得4-名 6 由余弦定理可得1=62+3-2b×5×5,解得b=1或b=2. 2 因为A<B,所以a<b,则b=2, 所以三角形ABC的面积S=csin4= 2 2 所以三角形ABC的面积为3 16.(1)证明见解析 2)0 5 【分析】(1)根据折叠前后的量，角度不变，得到DN⊥AE,BN⊥AE,从而得到AE⊥ 平面DNB,即BC⊥平面DNB,则BC⊥MN (2)先证明DN⊥面ABCE,以N为原点建立空间直角坐标系，通过求两个面的法向量的 夹角计算二面角。 【详解】(1)证明：连接DN,BN,MN,BE,如图所示. D' B 因为AB/ICD,且CD=2AB=2BC, 所以四边形ABED和四边形ABCE均为菱形. 因为D'A=DE,N为AE的中点，所以DN⊥AE, 因为AB=EB,N为AE的中点，所以BN⊥AE, 又O'NO BN=N,DN,BNc平面DB,所以AE⊥平面DNB, 又因为AE//BC,所以BC⊥平面DNB, 因为MNc平面DNB,所以BCLMN. (2)因为平面AD'E⊥平面ABCE,平面ADEO平面ABCE=AE,DN1AE, 所以DN⊥平面ABCE, 以N为坐标原点，NA,NB,ND分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， M B 设AB=2,则A1,0,0),B(0,V3,0),D'(0,0,V3),C(←-2，V3,0), 所以AB=(-1,V5,0),AD'=(-10,V3,BD=0,-V3V3),BC=(-2,0,0) 设平面ABD的法向量为=(：，，三)， 则有 ABm=-x1+√3y,=0, ADm=-x1+√3z1=0, 取x=√3，所以=(3,1,1) 设平面BDC的法向量为i=(x2,2,2), BD.i=V5为+V352=0, 则有 BC.i=-25=0, 取y2=1,所以n=(0,1,1). 设二面角A-BD-C的平面角为O, 则os01-调黑-6成g=雪 1 5 又因为0为钝角，所以cos0=- 5 故二面角A-BD-C的余弦值为- 5 17.(1)分布列见解析；期望为1 器 【分析】(1)由独立事件的乘法公式结合题意算出概率，列出分布列，求出期望； (2)由条件概率和全概率公式结合题意计算可得 【详解】(1)设甲，乙通过两轮制的初赛分别为事件A,A2, 则4)-号-号号 由题意可得，X的取值可能为0,1,2， 则x0=1-》1-号)8 (r=)-到号-)号 p(x=2)=亏X525 326 则X的分布列为： 中 0 1 2 6 13 6 25 25 25 所以E(X)=0 2万1 6 3+2x6=1: 25 25 (2)设B表示事件“该单位的某小组对最后一道题回答正确”，C表示事件“甲小组抢到最后 一道题”，C,表示事件“乙小组抢到最后一道题”， 则P(c)8PC)(G)-p(c)号 20 根据全概率公式，可得P(B)=PG)P(©G)+P(C)P(BC,)=0×号+20×号100， 9×3+11x2=49 93 从而P(CB)= P(CB)_P(G)P(BG)_20X5_27 P(B) P(B) 49 49 100 27 从而该题如果被答对，恰好是甲小组答对的概率为 49 18.(1)1 到 (3)证明见解析 【分析】(1)对函数f(x)=ax2+lnx+1求导，利用导数的几何性质求出切线方程，结合已 知条件求出a; (2)令)-0，得a=-,构造函数y=-中，求导，利用导数分析函数的单调性 和极值，结合极限分析求出实数a的取值范围： (3)把不等式转化为nx+1≤xe-x,构造函数g(x)=nx+1-xex+x,求导并分析 函数单调性，求出g(x)的最大值，进而得出lnx+1-xe*+x≤0，命题得证. 【详解】(1)函数f(x)=x2+lnx+1的定义域为(0，+o), 所以f'x)=2ax+(2x2+1, :f0)=a+1,f'(1)=2a+1, ∴曲线y=f(x)在点1，f)处的切线方程为y-(a+1)=(2a+1)(x-1), 把(0，-1)代入，得a=1. (2)令f)=0,得a=-x+ x2 y=-则y2血+， x3, 当0c友时.0，则y=0石 上单调递减， 当记，0，= 上单调递增， 当x= 当x>0且趋近于0时，y=-趋近于+0： 当x趋近于+n时，y=-士<0且趋近于0， 要使函数有丙个零点，只需一号<a<0,即实效a的取值范围为 (3)当a=1时，要证f(x)≤xe+x2-x成立，即证lnx+1≤xex-x成立， 记g网=1m+1-xe+,则g)-+10e+1=g+1e）x>0. 记)=1-e5,x>0, 1 :y=上和y=-c在(0，+四)上均单调递减， :h0)=1-e在(0，+0）上单调递减， 又}-2-6>0，@1-e<0. 存在（3，使得5)=0，即)e=0, ..Xe%=1,Xo=-In xo, 当0<x<时，h(x)>0,即g'(x)>0, .g(x)在(0，)上单调递增，当x>时，h(x)<0,即g'(x)<0, ∴g(x)在(，+o)上单调递减， .g(x)mm=g()=hn-e6++1=--1++1=0, ∴g(x)≤g(x)mx=0,故nx+1-xex+x≤0成立，原命题得证. 19. -y2-1 2 2)4v3 3 (3)存在，R1,-1) 【分析】(1)根据焦点到渐近线的距离为1以及点P在双曲线上，列出a,b的方程，求解 出a,b,即可写出双曲线C的标准方程 (2)根据切线的性质可得5T=V小SE-ET=VS-2,将间题转化成求S的最小值问 题，结合两点间距离公式将S表示成x的函数表达式，求解出最小值即可 (3)设出A,B坐标以及直线AB的方程，联立直线与双曲线方程，写出韦达定理，再写出 直线PA,PB方程，可求得M,N坐标，利用M,N关于原点对称列出方程，找出k,m之间的 关系，从而可得直线AB所过定点，再借助直角三角形判断QR是否为定值即可. bc 【详解】(1)因为焦点到一条渐近线的距离为1，即d= =b=1 √02+b2 又点心，-刊在双曲线上，所以号京-1，解得a-2 所以双曲线的方程为。-少=1. 2 (2)圆E:(x-5)+y2=2的圆心E(5,0),半径为√2 因为T是圆E上的动点，直线ST与圆E相切，所以ST⊥TE,TE=√2， 所以ST=Vs-T=VSE-2 设S(,%),因为S是双曲线C上的动点，所以5-哈=1. 2 所以到=V-5+=行-10x+25+号-1= 2 当= 5取得最小值，此时5=3 2 22 所以STrin= 45 3 (3)由题意知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=c+m, [x2 -y2=1 联立 2 整理得：1-2k2)x2-4ax-22-2=0. y=kx+m △=(-4m)2-41-2k2)(-2m2-2)=802+1-2k2)>(且1-2k2≠0. 设4则+== -2m2-2 直线PA的方程为y+1=当G-2) -2 令x=0,则y=-1-2出+2 号号.即M0-13 -2 同理可得，N0,-1-2少+3 书2 因为MV关于原点对称，所以-1-2+2+ -1- 2必+2=0， x1-2 2-2月 即-120+m+2+(-12+m+3=C ￥-2 x3-2 整理得(2k+1)x2-(2k-m+1)(x+x)-4=0. 即2k+1C--3》_2am(2k-m+D-4L=0. 1-k2 1-k2 整理得2+2km+2m+2k+1=0,即(m+1)(m+2k+1)=0. 所以m=-1或m+2k+1=0. 若m+2k+1=0,则m=-2k-1,则直线方程为y=kx-2k-1,即y+1=k(x-2), 此时直线AB过点P(2,-1),不符合题意. 若m=-1,则直线方程为y=kx-1,恒过定点D(0,-1) 所以PD=2为定值，又PQ1AB,在Rt△POD中，PD为斜边， 所以当R为PD中点L-)时，Rg=P0=1. 因此存在点RQ,-1),使得OR为定值.