精品解析：贵州黔西南州顶兴高级中学2026届高三下学期第一次模拟考试数学试卷

黔西南州顶兴高级中学高三下学期第一次模拟考试试卷 一、单选题.（每题只有一个选项符合题意，每小题5分，共计8小题，合计40分.） 1. 设集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合 ，由交集运算即可求解. 【详解】， ， 所以． 2. 已知复数的共轭复数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据共轭复数定义求，再求解，进而得到. 【详解】由，可得. 因为 所以. 3. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，若点与点F关于直线l对称，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线求出焦点和准线，利用对称求解即可. 【详解】根据题意易知，准线． 点和关于直线对称， 可得， 解得． 4. 在梯形中，，点在对角线上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算在几何图形中的应用，结合题意，直接表示即可. 【详解】根据题意，作图如下所示： 由题意得，. 故选：A. 5. 已知圆锥的表面积为 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为（ ） A. 1m B. 2m C. m D. m 【答案】B 【解析】 【详解】设这个圆锥底面半径为 ，母线为，则底面面积为，底面周长为，侧面展开图的半圆弧长为， 由弧度制的定义知，所以，则侧面积为， 所以这个圆锥的表面积为，所以 ，则直径为2m． 6. 已知向量，且，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标关系可得的值，再根据余弦二倍角公式即可求得的值. 【详解】由向量， 由可得：， 整理得， 所以. 7. 在中，的平分线交于，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据正弦定理求出，然后根据正弦定理求出. 【详解】由题意，根据正弦定理得 ，解得，而为三角形内角， 所以，所以. 根据正弦定理，解得. 故选：D. 8. 已知函数，若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得与的图象有三个不同的交点，作出与的图象，根据二次函数的对称性，可得，根据图象可得k的范围，进而可得的范围，即可得答案. 【详解】因为函数有三个不同的零点， 所以，即有三个不同的根， 则与的图象有三个不同的交点， 作出与的图象，如下图所示 当时，为开口向下，对称轴为的抛物线， 则关于对称，所以，即， 由图象可得， 令，解得，令，解得， 所以， 则， 即的取值范围为. 二、多选题（每小题有多个选项符合题意，全部选对得6分，选错一个选项该题不得分，每小题6分，共计3小题，合计18分.） 9. 以下说法正确的有（ ） A. 数据，，3，3，4，7，9的第八十百分位数是7 B. 若用不同的模型拟合同一组数据，则决定系数越大的模型，拟合效果越差 C. 已知随机变量，若，则实数 D. 已知数据的平均数为10，方差为4，现去掉数据10，则剩余数据的方差仍为4 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，因为，所以第八十百分位数是7，故A正确； 对于B，若用不同的模型拟合同一组数据，则决定系数越大的模型，拟合效果越好，故B错误； 对于C，由，得，则， 因为，所以， 则，解得，故C正确； 对于D，由题意，，则， 而， 则， 则去掉数据10，则剩余数据的平均数为， 则剩余数据的方差为，故D错误. 10. 函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ） A. 最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 的图象关于点对称 D. 将函数 的图象向左平移个单位长度可得到的图象 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据函数的部分图象，求得函数的解析式，再根据正弦函数的图象与性质，逐项判断即可. 【详解】由图象可知，函数的最小正周期，故A正确； 所以，所以， 又根据图象，可知函数过点，所以， 即，所以，所以， 又，所以，所以， 当时，可得， 根据正弦函数的图象性质，可知当时，函数单调递增， 当时，函数单调递减，故B错误； 令，解得， 所以函数的对称中心为， 当 时，对称中心为，故C正确； 将函数 的图象向左平移个单位长度可得到，故D正确. 故选：ACD 11. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，为上的动点，轴，垂足为，为的中点，为上顶点，则（ ） A. 椭圆的焦距为 B. 的最小值为 C. （为原点）是定值 D. 的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】由离心率求出，再由求出可判断A；利用椭圆的定义、基本不等式可判断B；设，根据中点坐标公式、在上可判断C；求出利用配方法可判断D． 【详解】对于A，由题意，，解得 ， ，则焦距，A错误； 对于B， ， 当且仅当时，等号成立，B正确； 对于C，设，易知，为上的动点， 则，即，C正确； 对于D， ，即，D错误． 故选：BC. 三、填空题（每小题5分，共计3小题，合计15分.） 12. 函数的单调递减区间为__________. 【答案】 【解析】 【详解】函数的定义域为，， ，解得， 故函数的单调递减区间为. 13. 已知在数列中，，则数列的通项公式________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，两边取倒得到，从而得到是以1为首项，为公差的等差数列，即可求出结果. 【详解】因为，又，所以 ，得到，即， 由，得到，所以是以1为首项，为公差的等差数列， 所以，得到， 故答案为：. 14. 如图所示，用4种不同的颜色涂三棱台的顶点，同一线段的端点不同色，且每种颜色至少用1次，则不同的涂法有______种． 【答案】216 【解析】 【分析】应用分步计数原理结合排列组合数计数求解. 【详解】先对上底面的顶点进行涂色，有种涂法． 再将剩下的1种颜色涂在下底面的顶点处，有种涂法.以涂在点处为例，可对点的涂法进行分类： ①若点与点同色，则点只能与点同色，此时有1种； ②若点与点同色，则点可在点与所涂的颜色中选1种，此时有2种． 可得，故不同的涂法有216种. 故答案为： . 四、解答题（请写出完整的解答过程，共计5小题，合计77分.） 15. 在中，内角所对的边长分别是，且． （1）求角； （2）若，求的面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，利用正弦两角和公式化简，即可求出角； （2）利用余弦定理，结合基本不等式求最大值，即可求解. 【小问1详解】 由 ， 由于，所以， 又因为，所以，即， 因为，所以，即, 故； 【小问2详解】 因为，，所以由余弦定理可得： ， 由基本不等式可得：，所以， 当且仅当 取等号， 则的面积， 故的面积的最大值为. 16. 如图，在直三棱柱中，.点满足. （1）过点作 垂直于点 ，证明：平面 平面 ； （2）求平面 与平面 夹角的余弦值. 【答案】（1）由题意如图所示： 在直三棱柱中，因为平面，且 平面， 所以 ，又 ， ， 且 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ，又 平面 ， 所以平面 平面 . （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理，结合已知条件和面面垂直的判定定理证明即可； （2）根据题意建立空间直角坐标系，写出相应的点，分别求出平面 与平面 的法向量，利用向量法求解平面 与平面 所成角的余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在直三棱柱中，因为平面， 所以以为坐标原点，所在直线为轴，过点垂直于的直线为轴， 所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为， 所以 ， 设平面 的一个法向量为：， 由 ， 则， 令，则 ，所以 ， 设平面 的一个法向量为：， 由 ， 则， 令 ，则 ，所以 ， 设平面 与平面 所成角为， 所以 ， 所以平面 与平面 夹角的余弦值为：. 17. 记为数列的前项和，已知，数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）证明：数列为等比数列； （3）求数列的前项和. 【答案】（1） （2）证明：因为， 所以数列为等比数列； （3） 【解析】 【分析】（1）根据之间的关系进行求解即可； （2）根据等比数列的定义进行运算证明即可； （3）运用错位相减法进行求解即可. 【小问1详解】 当时，， 也满足上式， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则， 设数列的前项和为， 所以， ， 两式相减得 . 18. 已知函数. （1）若是的导函数，且0为的极值点，求； （2）当时，过原点的直线与的图象相切，证明：当时，在图象的上方. 【答案】（1） （2） 当时，，设与的切点为， 由，则有，即， 解得 ，故直线，则只需证：当时，， 令，则， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 即恒成立，即当时，在图象的上方. 【解析】 【分析】（1）借助极值点定义可得的导数在处为 ，可求出，再借助导数研究单调性检验0是否为极值点即可得； （2）借助导数的几何意义可得，则只需证：当时，，构造函数，借助导数研究其单调性后即可得其最小值，即可得解. 【小问1详解】 ，令，则， 由0为的极值点，则，即； 检验：当时， ， 则当时， ，当 时， ， 故在上单调递增，在上单调递减， 故0为的极值点，故符合题意； 【小问2详解】 略 19. 设双曲线的左、右焦点分别为，，且离心率为．分别过，作两条平行直线，．设与C交于P，Q两点，与y轴交于点M． （1）求C的方程； （2）若点M在y轴的负半轴上，求斜率的取值范围； （3）若，求直线与的一般式方程． 【答案】（1） （2） （3）和，或和． 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标，求出c值，根据离心率，求出a值，根据a，b，c的关系，求出b值，即可得答案. （2）分析可得斜率大于0，分别讨论P，Q分别在左、右两支上和当P，Q在双曲线左支上，两种情况，根据渐近线的意义及其斜率，分析即可得答案. （3）设、的方程分别为、，将与双曲线联立，根据韦达定理，可得表达式，进而可得表达式.方法一：只需求，根据两点间距离公式，代入整理，即可求得答案；方法二：设中点为A，可得A点坐标，由题意可得，分别求出直线AM和直线PQ的斜率，根据斜率的关系，化简计算，即可得答案. 【小问1详解】 设c为双曲线C的半焦距，则． 又离心率为，故，解得． 则．即． 【小问2详解】 易得斜率不为0， 又因为，平行，且点M在y轴的负半轴上，故斜率大于0， ①当P，Q分别在左、右两支上时，斜率应小于C其中一条斜率为正的渐近线的斜率， 且为，此时斜率的取值范围为． ②当P，Q在双曲线左支上时，斜率应大于C其中一条斜率为正的渐近线的斜率， 此时斜率的取值范围为． 综上，斜率的取值范围为． 【小问3详解】 易得，斜率存在，设、的方程分别为、， 可知，设，，， 联立，得， 其中，要使双曲线与直线有两个交点，必有． 因此，则， 方法一：要使，只需成立， 即， 将、代入得：， 整理得， 即，所以，解得， 则与的一般式方程分别为和， 或和． 方法二：设中点为A，则，即， 若，则必有， 而，， 故，解得． 故平行直线的斜率为， 则与的一般式方程分别为和， 或和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黔西南州顶兴高级中学高三下学期第一次模拟考试试卷 一、单选题.（每题只有一个选项符合题意，每小题5分，共计8小题，合计40分.） 1. 设集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 已知复数的共轭复数为，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，若点与点F关于直线l对称，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 4. 在梯形中，，点在对角线上，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥的表面积为 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为（ ） A. 1m B. 2m C. m D. m 6. 已知向量，且，则 （ ） A. B. C. D. 7. 在中，的平分线交于，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题有多个选项符合题意，全部选对得6分，选错一个选项该题不得分，每小题6分，共计3小题，合计18分.） 9. 以下说法正确的有（ ） A. 数据，，3，3，4，7，9的第八十百分位数是7 B. 若用不同的模型拟合同一组数据，则决定系数越大的模型，拟合效果越差 C. 已知随机变量，若，则实数 D. 已知数据的平均数为10，方差为4，现去掉数据10，则剩余数据的方差仍为4 10. 函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ） A. 最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 的图象关于点对称 D. 将函数 的图象向左平移个单位长度可得到的图象 11. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，为上的动点，轴，垂足为，为的中点，为上顶点，则（ ） A. 椭圆的焦距为 B. 的最小值为 C. （为原点）是定值 D. 的最大值为 三、填空题（每小题5分，共计3小题，合计15分.） 12. 函数的单调递减区间为__________. 13. 已知在数列中，，则数列的通项公式________． 14. 如图所示，用4种不同的颜色涂三棱台的顶点，同一线段的端点不同色，且每种颜色至少用1次，则不同的涂法有______种． 四、解答题（请写出完整的解答过程，共计5小题，合计77分.） 15. 在中，内角所对的边长分别是，且． （1）求角； （2）若，求的面积的最大值． 16. 如图，在直三棱柱中，.点满足. （1）过点作 垂直于点 ，证明：平面 平面 ； （2）求平面 与平面 夹角的余弦值. 17. 记为数列的前项和，已知，数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）证明：数列为等比数列； （3）求数列的前项和. 18. 已知函数. （1）若是的导函数，且0为的极值点，求； （2）当时，过原点的直线与的图象相切，证明：当 时，在图象的上方. 19. 设双曲线的左、右焦点分别为，，且离心率为．分别过，作两条平行直线，．设与C交于P，Q两点，与y轴交于点M． （1）求C的方程； （2）若点M在y轴的负半轴上，求斜率的取值范围； （3）若，求直线与的一般式方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $