精品解析：广西壮族自治区河池市第二高级中学等校2025-2026学年高一下学期5月学科素养学情自测数学试题

2026年春季学期高一年级学科素养学情检测 数 学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：必修第二册第六章~第八章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由于，所以复数的虚部为. 2. 在中，，，，则（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【详解】在中，，，，由正弦定理得， 则， 因为，所以，则. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为且， 所以，解得. 故选：C 4. 工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是（ ） A. 两条相交直线确定一个平面 B. 两条平行直线确定一个平面 C. 四点确定一个平面 D. 直线及直线外一点确定一个平面 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面的基本性质求解. 【详解】解：由于连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格， 所以工人师傅运用的数学原理是“两条相交直线确定一个平面”. 故选：A 5. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的正方形，则原图形的周长是（ ） A. 16 B. 12 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法分析运算. 【详解】在直观图中，， 可得原图形是平行四边形，其底边长2，高为， 则另一边长为，所以原图形的周长为． 故选：A. 6. 在四边形中，，则“”是“四边形是正方形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】首先可得四边形为平行四边形，由得到，再由充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】在四边形中，，所以四边形为平行四边形， 若，则， 所以，则， 所以，则四边形是矩形， 所以由“”推不出“四边形是正方形”，故充分性不成立； 由“四边形是正方形”推得出“”，故必要性成立； 所以“”是“四边形是正方形”必要不充分条件. 故选：B 7. 在中，内角的对边分别为.已知，则此三角形（ ） A. 无解 B. 有一解 C. 有两解 D. 解的个数不确定 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理解出再根据，得到，可得角有两个解. 【详解】由正弦定理，得，解得. 因为，所以.又因为，所以或，故此三角形有两解. 故选：C. 8. 如图，已知球是棱长为的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方体性质可得球心到截面的距离，进而可得截面半径与面积. 【详解】由正方体性质可得：正方体对角线截面， 且球心到截面的距离， 球的半径， 利用球心与截面圆心连线垂直截面的性质，得截面的半径， 截面面积， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，其中，则（ ） A. 若，则或 B. 当或时，复数z为纯虚数 C. 若，则 D. 在复平面内，复数z对应的点在直线上，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】若，则，解得或，所以A正确； 若复数z为纯虚数，则，解得，所以B错误； 若，则，解得，所以C正确； 在复平面内，复数对应的点为，若复数z对应的点在直线上，则有 ，解得，所以D正确. 10. 已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题中是真命题的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么与所成的角和与所成的角相等 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，运用长方体举反例证明其错误；对于B，利用直线与平面平行的性质定理得到线线平行，再得到线线垂直；由平面与平面平行的性质定理判断C；由平行的传递性及线面角的定义判断D. 【详解】对于A，可运用长方体举反例证明其错误，如图，不妨设为直线为直线， 四边形所在的平面为，四边形所在的平面为， 显然这些直线和平面满足题目条件，但不成立，A错误； 对于B，证明如下：设过直线的某平面与平面相交于直线， 则，由 知，从而；B正确 对于C，由平面与平面平行的定义知，如果，那么C正确； 对于D，由平行的传递性及线面角的定义知，如果，那么与所成的角和与所成的角相等，D正确． 故选：BCD． 11. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则是直角三角形 D. 若为锐角三角形，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正切函数的性质判断A，利用正弦定理得到，再由二倍角公式判断B，利用余弦定理将角化边，即可判断C，首先证明，同理可得，，再利用作差法及两角差的正弦公式计算，即可判断D. 【详解】对于A：若， 则可得或或，即或或，故A错误； 对于B：若，则由正弦定理可得，则， 所以，即，故B正确； 对于C：若，由余弦定理可得， 即， 所以， 即， 所以， 所以， 所以，即，所以是直角三角形，故C正确； 对于D：因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，同理可得，， 所以， 则 ， 即，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则______. 【答案】 【解析】 【详解】，所以. 13. 已知向量，，，若和的夹角为，则________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，，则， 又因为，，和的夹角为，则，得到， 所以. 14. 已知三棱锥，，则三棱锥的外接球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先证明线面垂直，再将三棱锥放置在圆柱内，利用底面外接圆半径、高与球半径的关系即可求解. 【详解】，，平面，平面， 平面， 如图，设圆柱的底面圆直径为，母线长（即圆柱的高）为， 则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等， 即为圆柱的外接球球心，且有外接球半径， 故可以将三棱锥置于以外接圆为底面，为高的圆柱内（如图）， 其中上底面外接圆圆心为，下底面外接圆的圆心为， 因为， 所以外接圆的直径， 则，又圆柱的高， 所以三棱锥外接球的半径， 球的表面积. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知复数满足． （1）求复数； （2）若复数是关于的方程的一个根，求的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）设 ，代入方程并整理，根据复数相等的条件列方程组求解； （2）将第（1）问求出的复数根代入方程，利用复数相等的条件求解. 【小问1详解】 已知 ， ，化简可得， 所以，解得，因此，复数； 【小问2详解】 把代入方程中，得到 ， 整理得， 所以，解得， 所以． 16. 已知分别为三个内角的对边，且满足． （1）求； （2）若的周长为，求的面积． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，再结合辅助角公式即可求解； （2）由周长条件得，结合余弦定理建立的方程，求出，代入面积公式即得结果. 【小问1详解】 由正弦定理得， 即， 因为，所以， 故， 因为，所以，故， 即，所以， 因为，所以， 故，解得； 【小问2详解】 因为的周长为， 所以，即， 由余弦定理得，即， 结合方程化简得，解得． 17. 如图，在直三棱柱中，，侧棱，分别是的中点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连,利用中位线证明四边形为平行四边形，即可证明. （2）利用即可求解. 【小问1详解】 证明：如图，取的中点，连， 且， 且， 四边形为平行四边形，， 平面平面， 平面. 【小问2详解】 解：取中点，连， 且为直三棱柱， 为直角三角形且，平面， 平面，， 由（1）知， 为直三棱柱，为中点，， ， ， 平面，平面， ， ， 设点到平面的距离为， ， ， 有，得， 故点到平面的距离为. 18. 如图，在中，点D，E在边上，且，设，. （1）用，表示，； （2）若，，，求. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）由三等分点得向量关系，用已知向量表示出其他向量； （2）利用数量积和模长公式，计算出余弦值. 【小问1详解】 因为，所以，, 所以； ； 【小问2详解】 因为，，， 即，，，所以. ， ，所以， 所以. 19. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，是棱上一点，且平面. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理及线面垂直的性质，再利用勾股定理的逆定理、矩形的定义及线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理即可求解； （2）根据线面垂直的性质定理及矩形的定义，再利用线面垂直的判定定理及等体积法，结合线面角的定义即可求解. 【小问1详解】 在矩形中，所以， 平面平面平面， ， 在中，为中点， ， ，即， 又平面平面， 平面， 又平面平面平面； 【小问2详解】 由（1）知，， 平面平面， 又平面， 平面，又平面， 又平面， ，平面平面平面， 平面，由（1）知为中点， 所以到平面距离为， 设到平面的距离为，由， 即，解得， 设直线与平面所成的角为，则 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季学期高一年级学科素养学情检测 数 学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：必修第二册第六章~第八章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，，则（ ） A. B. 或 C. 或 D. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是（ ） A. 两条相交直线确定一个平面 B. 两条平行直线确定一个平面 C. 四点确定一个平面 D. 直线及直线外一点确定一个平面 5. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的正方形，则原图形的周长是（ ） A. 16 B. 12 C. D. 6. 在四边形中，，则“”是“四边形是正方形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 在中，内角的对边分别为.已知，则此三角形（ ） A. 无解 B. 有一解 C. 有两解 D. 解的个数不确定 8. 如图，已知球是棱长为的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，其中，则（ ） A. 若，则或 B. 当或时，复数z为纯虚数 C. 若，则 D. 在复平面内，复数z对应的点在直线上，则 10. 已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题中是真命题的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么与所成的角和与所成的角相等 11. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则是直角三角形 D. 若为锐角三角形，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则______. 13. 已知向量，，，若和的夹角为，则________． 14. 已知三棱锥，，则三棱锥的外接球的表面积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知复数满足． （1）求复数； （2）若复数是关于的方程的一个根，求的值． 16. 已知分别为三个内角的对边，且满足． （1）求； （2）若的周长为，求的面积． 17. 如图，在直三棱柱中，，侧棱，分别是的中点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 18. 如图，在中，点D，E在边上，且，设，. （1）用，表示，； （2）若，，，求. 19. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，是棱上一点，且平面. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $