精品解析：广西河池市南丹县第二高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

2024年春季学期高一数学期中考试测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在中，若，，则（ ） A B. C. D. 2. 已知向量，，且，则（ ） A. B. 2 C. D. 3. 已知向量，，且，则向量的夹角是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在地平面同一直线上，，从两地测得点的仰角分别为30°和45°，则点离地面的高等于 A. B. C. D. 5. 若四边形满足，，则该四边形一定是（ ） A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 直角梯形 6. 已知的内角A，B，C所对的边分别是，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，则向量在方向上的投影为 A. B. C. D. 8. 如图，海平面上的甲船位于中心的南偏西，与相距15海里的处．现甲船以35海里/小时的速度沿直线去营救位于中心正东方向25海里的处的乙船，则甲船到达处需要的时间为（ ） A. 小时 B. 1小时 C. 小时 D. 2小时 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，已知，，，则角的度数为（ ） A. B. C. 30° D. 10. 为三角形三边，满足，则三角形的形状可为（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 11. 已知向量，，，其中均为正数，且，下列说法正确的是（ ） A. 与夹角为钝角 B. 向量在方向上的投影向量为 C. D. 的最大值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，与的夹角为，则在方向上的投影向量为________. 13. 如图，在中，，P为CD上一点，且满足，则m的值为___________． 14. 已知△ABC，AB=AC=4，BC=2． 点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是_____． 四、解答题：5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，，，. （1）求的值； （2）求 16. 已知向量． （1）求向量与的夹角； （2）若，且，求m的值． 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若． （1）求角C的大小； （2）若，且面积为，求边长c． 18. 设是不共线的两个向量. （1）若，，，求证：A，B，C三点共线； （2）若与共线，求实数k值. 19. 如图，两点在河的同侧，且两点均不可到达，为了测出两点间的距离，测量者在河岸边选定两点，测得，同时在两点分别测得，，，求两点间的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年春季学期高一数学期中考试测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在中，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形法则及加法的坐标运算，可得结果. 【详解】根据平行四边形法则可知，， 又，， ∴， 故选：B. 2. 已知向量，，且，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，可得，计算即可得值. 【详解】由，故，故. 故选：D. 3. 已知向量，，且，则向量夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】由可求得，根据向量夹角公式可求得结果. 【详解】，， ，又，. 故选：D. 4. 如图，在地平面同一直线上，，从两地测得点的仰角分别为30°和45°，则点离地面的高等于 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：，解得．故选D． 考点：解三角形的实际应用． 5. 若四边形满足，，则该四边形一定是（ ） A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 直角梯形 【答案】C 【解析】 【分析】根据可判断四边形为平行四边形，由可得，可判断四边形为菱形. 【详解】 因，所以，故，且， 故四边形为平行四边形， 由得，即， 所以平行四边形对角线互相垂直，故四边形菱形. 故选：C 6. 已知的内角A，B，C所对的边分别是，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知，根据题意，可使用余弦定理直接求解出. 【详解】，即， 由余弦定理得：. 故选：B. 7. 已知点，则向量在方向上的投影为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，，向量在方向上的投影为，故选A． 8. 如图，海平面上的甲船位于中心的南偏西，与相距15海里的处．现甲船以35海里/小时的速度沿直线去营救位于中心正东方向25海里的处的乙船，则甲船到达处需要的时间为（ ） A. 小时 B. 1小时 C. 小时 D. 2小时 【答案】B 【解析】 【分析】利用方向坐标画出图形，结合图形利用余弦定理求出的值，再计算甲船到达处需要的时间． 【详解】解：如图所示， 中，，，； 所以， ， 又甲船的速度为， 所以甲船到达处需要的时间为． 故选：B． 【点睛】本题考查了余弦定理的应用问题，也考查了运算求解能力，属于基础题． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，已知，，，则角的度数为（ ） A. B. C. 30° D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据正弦定理计算求出角即可. 【详解】由正弦定理可得, , 或 故选：AB. 10. 为三角形三边，满足，则三角形的形状可为（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】AD 【解析】 【分析】依题意可得，即可判断. 【详解】因为， 所以， 则或， 所以三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选：AD 11. 已知向量，，，其中均为正数，且，下列说法正确的是（ ） A. 与的夹角为钝角 B. 向量在方向上的投影向量为 C. D. 的最大值为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，由向量数量积的性质分析可得错误；由投影向量公式计算得正确；由向量平行的表示方法得，变形得，可得C正确；由C的结论：，结合基本不等式性质分析可得的最大值，可得D正确. 【详解】对于A：，，则， 所以与的夹角不为钝角，故错误； 对于B：则在方向上的投影向量为，故正确； 对于C：由题意，， 若 ，得，即，故C正确； 对于D：，均为正数，则有， 当且仅当时，即时取等号，即的最大值为2，故D正确. 故选：. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，与的夹角为，则在方向上的投影向量为________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先由数量积的定义求出，再由投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，与的夹角为， 所以， 所以在方向上的投影向量为. 故答案为： 13. 如图，在中，，P为CD上一点，且满足，则m的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】改为向量的终点在同一直线上，再利用共线定理的推论即可得到参数的方程，解之即可. 【详解】因为，即， 所以, 又 所以，解得. 故答案为：. 14. 已知△ABC，AB=AC=4，BC=2． 点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是_____． 【答案】 【解析】 【详解】由已知，则，所以． 四、解答题：5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，，，. （1）求的值； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理计算可得； （2）由正弦定理计算可得； 【小问1详解】 由余弦定理， 所以，即， 解得或（舍去），所以． 【小问2详解】 由正弦定理， 所以， 所以． 16. 已知向量． （1）求向量与的夹角； （2）若，且，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用向量坐标的夹角公式求解即可； （2）先求出，再解方程即得解. 【详解】解：（1）由，，则， 由题得，， 设向量与的夹角为，则， 由，所以. 即向量与的夹角为. （2）由，， 所以，又， 所以，又， 所以，解得. 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若． （1）求角C的大小； （2）若，且的面积为，求边长c． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由，利用正弦定理得到，再利用三角恒等变换求解； （2）由的面积为，得到，再结合，求得a，b，然后利用余弦定理求解. 【小问1详解】 解：由正弦定理得：， ∴， ∵，∴，∴，则． 【小问2详解】 ∵的面积为，则， ∴根据题意得，则或， 若，则为等边三角形，； 若，则，即 ∴或． 18. 设是不共线两个向量. （1）若，，，求证：A，B，C三点共线； （2）若与共线，求实数k的值. 【答案】（1）证明见解析； （2）±4. 【解析】 【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可. （2）由共线性质求出参数即可. 【小问1详解】 由，，， 得， ， 因此，且有公共点B， 所以A，B，C三点共线. 【小问2详解】 由于与共线，则存在实数，使得， 即，而不共线， 因此，解得或， 所以实数k的值是. 19. 如图，两点在河的同侧，且两点均不可到达，为了测出两点间的距离，测量者在河岸边选定两点，测得，同时在两点分别测得，，，求两点间的距离. 【答案】. 【解析】 【分析】 由已知可得，在中，由正弦定理求出，在中，根据余弦定理，即可求出. 【详解】因为，， 所以，所以. 在中，易知，由正弦定理，得. 在中，由余弦定理，得 ， 所以. 故两点间的距离为. 【点睛】本题考查测量问题，考查正弦定理、余弦定理解三角形，以及计算求解能力，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$