广西壮族自治区河池市第二高级中学等校2025-2026学年高一下学期5月学科素养学情自测数学试题

2026年春季学期高一年级学科素养学情检测 数 学 (试卷满分：150分，考试时间：120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指 定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将 答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，请将答题卡上交。 4.本卷主要命题范围：必修第二册第六章~第八章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.若-，则复数：的虚部为 A.i B.1 C.-i D.-1 2.在△ABC中，a=1,b=√2，B=45°，则A= A.45° B.30°或150° C.45°或135° D.30° 3.已知向量a=(2m一1,3)，b=(-1,6),若a∥b,则m= A一司 B合 c D-号 4.工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它 们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是 A.直线及直线外一点确定一个平面 B.两条平行直线确定一个平面 C.四点确定一个平面 D.两条相交直线确定一个平面 5.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的正方形，则原图形的 周长是 A.16 B.12 C.4+8V2 D.4+4√2 6,在四边形ABCD中，A范=D心，则“|A店-A方1=A店+A”是"四边形ABCD是正方形”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【高一数学第1页（共4页）】 扫描全能王创建 7.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,6c,已知a=22,6=4,A=若，则此三角形 A.无解 B.有一解 C.有两解 D.解的个数不确定 8.如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD-A,B,CD,的内切球，则平 面ACD,截球O的截面面积为 A.V6r 6 B. C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知复数z=(m2-7m十12)十(m2-m-6)i,其中m∈R,则 A.若z∈R,则m=3或m=一2 B.当m=3或m=4时，复数z为纯虚数 C.若z=6-6i,则m=1 D.在复平面内，复数z对应的点在直线y=x上，则m=3 10.已知a,B是两个不重合的平面，m,n是两条不重合的直线，则下列命题中是真命题的是 A.如果m⊥n,m⊥a,n∥B,那么a⊥B B.如果m⊥a,n∥a,那么m⊥n C:如果a∥B,mCa,那么m∥B D.如果m∥n,a∥B,那么m与a所成的角和n与B所成的角相等 11.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是 A.若tan2A=tan2B,则A=B B.若a>b,则cos2A<cos2B C.若acos B十acos C=b十c,则△ABC是直角三角形 D.若△ABC为锐角三角形，则sin(A-牙)>sin(牙-B+sin(零-C) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若z=（1十i)2,则z= 13.已知向量a=(-1,2),b=(3,-6),|c|=2V5,若a和c的夹角为60°，则(2a+3b)·c= 14.已知三棱锥P-ABC,PA⊥AB,PA⊥BC,∠BAC=30°，BC=2,PA=2V3,则三棱锥 P-ABC的外接球的表面积为 【高一数学第2页（共4页）】 扫描全能王创建 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.(本小题满分13分) 已知复数z=a十bi(a,b∈R)满足3z十2z=15一4i. (1)求复数z; (2)若复数之是关于x的方程x2十px十q=0(p,q∈R)的一个根，求p十q的值. 16.(本小题满分15分) 已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且满足cosC+5sinC=+S (1)求A; (2)若a=√7，△ABC的周长为5+√7，求△ABC的面积. 17.(本小题满分15分) 如图，在直三棱柱ABC-A1B,C1中，∠ACB=90°，CA=CB=1,侧棱AA,=2,D,E分别是 CC,,A,B的中点 (1)证明：DE∥平面ABC; (2)求点D到平面BCE的距离. 【高一数学第3页（共4页）】 器 扫描全能王创建 18.(本小题满分17分) 如图，在△ABC中，点D,E在边BC上，且BD=DE=-EC.设AB=a,AD=b. (1)用a,b表示AE,AC: (2)若AB=1,AD=1,∠BAD=,求c0s∠DAC 19.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AD=4,AB=2.M是棱PD上一 点，且CM=2√3，AM⊥平面PCD. (1)证明：平面PAB⊥平面ABCD: (2)求直线CD与平面ACM所成角的正弦值. 【高一数学第4页（共4页）】 扫描全能王创建2026年春季学期高一年级学科素养学情检测·数学 参考答案、提示及评分细则 1,B停+名》55-1十所以复数：的虚都为1，故连B .D在△ABC中，a1,6=2,B=45,由正弦定理得：snA0B,则sinA=4B-sn451 b =2,因为a <b,所以A<B,则A=30°，故选D. 3.C因为a=(2m-1.3).b=(-1.6)a/b,所以6(2m-1)=-3,解得m=.故选C 4.D 5.A易知原图形是平行四边形，其底边长2，高为2×2√2=4√2，另一边长为√22十(4√2)2=6，所以原图形 的周长为2×(2+6)=16. 6.B由AB-DC,此时四边形ABCD为平行四边形，若|AB-AD1=AB+AD1,所以DB1=|AC1,即对角 线长相等，所以平行四边形ABCD为矩形，充分性不成立；若四边形ABCD是正方形，则D|=|AC,所以 |AB-AD|=|AB+AD|,必要性成立，所以“|AB-AD1=|AB+AD1”是“四边形ABCD是正方形”的 必要不充分条件，故选B. 7.C由正弦定理a AnB得22-4 b sinB·解得sinB=2 2 2 因为a<b,所以A<B. 又因为BE(0,x),所以B=平或B=3F 4 故此三角形有两解.故选C. 8.C平面ACD1截球O的截面为△ACD1的内切圆，如图所示.，正方体棱长为1， AC=CD=AD=E,内切圆羊径r=an30·AE=号×竖-S=r= 3 ×号=晋故选C. 9.ACD对A,若z∈R,则m2一m一6=0，解得m=3或m=一2，所以A正确； m2-7m+12=0 对B,若复数之为纯虚数，则 ,解得m=4,所以B错误： m2-m-6≠0 m2-7m十12=6 对C,若x=6-6i,则 ,解得m=1,所以C正确； m2-m-6=-6 对D,在复平面内，复数x对应的点为Z(m2一7m十12，m2一m一6)，若复数之对应的点在直线y=x上，则有 m2-7m十12=m一m一6，解得m=3,所以D正确.综上，故选ACD. 【高一数学参考答案第1页（共4页）】 10.BCD对于A,可运用长方体举反例证明其错误，如图， 不妨设AA'为直线m,CD为直线n,四边形ABCD所在的平面为a,四边形ABCD' D' 所在的平面为3，显然这些直线和平面满足题日条件，但α⊥3不成立； B正确，证明如下：设过直线n的某平面与平面a相交于直线l,则l∥n,由m⊥a 知m⊥l,从而m⊥n; 对于C,由平面与平面平行的定义知，如果a∥B,m二a,那么m∥3，C正确； 对于D,由平行的传递性及线面角的定义知，如果m∥n,a∥B,那么m与a所成的角和n与β所成的角相等， D正确.故选BCD. 11.BCD若tan2A=tan2B,则2A=2B或2A-2B=π或2B-2A=π，故A错误； 若a>b,则由正弦定理得sinA>sinB,则2sinA>2sinB,所以1-2sinA<1-2sinB,即cos2A< cos2B,故B正确； 若acos B十cosC=b十G,由余弦定理a·g+C-十a·a+C=6十G,整理可得 2ac 2ab b+)(aB-2+26c)=b+c,则有0-C+c=1,a2=+c2,所以△ABC为直角三角形，故C 2be 2bc 正确； 若△ABC为锐角三角形，则A十B>受，则A>受-B,所以sinA>sin(受-B）=cosB,同理可得sinB> cos C.sin Ccos A.sin A+sin B+sin Ccos A+cos B+cos C.sin(A)sin(B)+ V巨sin(不-C)sin(A-平)>sin(年-B)+sin(平-C),故D正确.故选BCD. 12.-2i之=(1+i)2=2i,所以z=-2i. 13.一35因为a=(-1,2),所以a=√5，又因为|c=2√5，若a和c的夹角为60°，所以a·c=√5×2√5× cos60°=5：因为a=(-1,2),b=(3,-6),所以b=-3a,所以b·c=-3a·c=-15,则(2a十3b)·c=2a· c+3b·c=2×5+3×(-15)=-35. 14.28π如图经补形可知球心在直三棱柱高的中点处O,O为△ABC外接圆的圆心，外接球的半 径R0A=V00+0Ap,2·0ABCn00A=2,00=V5,R 2 √22+（√3）2=√7，表面积S=4πR2=28π 15.解：(1)已知之=a十bi(a,b∈R),之=a-bi,3交+2x=15-4i,……… 2分 3(a-bi)+2(a十bi)=15-4i,化简可得5a-6i=15-4i, ………………………………… ……………4分 5a=15 a=3 所以 ,解得 ,因此，复数之=3十4i;……………6分 -b=-4 b=4 (2)把=3十4i代入方程x2十px十q=0中，得到(3+4i)2十p(3+4i)十q=0, 整理得(3p十q一7)十(24十4p)i=0,……………………………………9分 3p十9-7=0 1p=一6 所以 ,解得 12分 124+4p=0 (q=25 所以巾十q=19.………………… 13分 【高一数学参考答案第2页（共4页）】 16.解：(1)由正弦定理得sin Acos C√3 sin Asin C=sinB十sinC,.…1分 其中sinB=sin(A十C)=sin Acos C+cos Asin C,…………2分 故√3 sin Asin C=cos Asin C+sinC,. 3分 因为C∈(0，π)，所以sinC≠0，故W3sinA-cosA=1, 4分 即2sn(A-看)=1，所以sin(A-吾）-2 5分 因为A∈(0，x).所以A-∈(-，5）) …6分 故A-看=石，解得A=号； 7分 (2)因为△ABC的周长为5+√7，a=√7， a+b+c=5+√7 所以〈 ,即b十c=5,………… 9分 a=√7 由余弦定理得a2=b2十c2-2 bccos A,即a2=(b十c)2-2bc一bc, 12分 结合方程化简得7=5-36c,解得c=6.S6c=号besin A=号×6×号-3日 15分 17.(1)证明：如图，取AB的中点F,连EF,CF, AE-EB.AF-FB.'EF47AA. 2分 CD-CC.AA=CC..EFLCD. .四边形DEFC为平行四边形，∴.DE∥CF, 5分 ,DE吐平面ABC,CFC平面ABC,CF∥DE, .DE∥平面ABC;…… 7分 (2)解：由I)知DELCD,.DE=AB-号. 2 取BC1中点M,连EM, Sam=号×1X1-日 ……9分 .A E=EB,BM=MC..'.EM//A C, ,AC⊥平面BCC1B,.EM⊥平面BCCB, EM-AC- 10分 设点D到平面BCE的距离为d, 444444/ 11分 BC-1,BE=}AB=2+2-5.CE=√+1- 12分 s=号×1×V√()-(g)-5. 13分 【高一数学参考答案第3页（共4页）】 有号×气1最·得4一白，故点D到平面BCE的距肩为 5· ……………………15分 18.解：(1)因为BD=D-=EC. 所以A2-AB+B2-Ai+2Bi=AB+2(AD-AB)=-AB+2AD=一a十2b:…3分 AC=AB+BC=AB+3 BD=AB+3(AD-AB)=-2AB+3AD=-2a+36;............................ (2)因为AB=1,AD=1,∠BAD=号， 即a=1.b=1.a.b=号，所以ab=1X1Xcos等- 1 …小………10分 AD.AC=b.(-2a十3b)=-2a·b+3b=-1十3=2，…12分 AC12=AC=(-2a+3b)2=4a2-12a·b+9b=4-6+9=7,所以AC=√7，…14分 所以cos∠DAC=cos(AD,AC=Ai·A亡 227 AD1·AC1X771 …………17分 19.(1)证明：因为ABCD是矩形，所以AC=√42+2=2√5， AM⊥平面PCD,CMC平面PCD,PDC平面PCD,∴AM⊥CM,AM⊥PD,2分 ∴.AM=√/(2√5)2-(2√3)2=2W2, 在△PAD中，PA=AD=4,AM⊥PD,∴.M为PD中点，PD=2MD=2×√/42-(2√2)2=4V2, PA2十AD2=PD2,即PA⊥AD,………5分 又AB⊥AD,AB∩AP=A,BAC平面PAB,PAC平面PAB, AD⊥平面PAB,… 7分 又ADC平面ABCD,.平面PAB⊥平面ABCD;…8分 )解：由(1)知，S△40w=7AM·MC=2W6, 9分 AM⊥平面PCD,CDC平面PCD,∴.AM⊥CD,又CD⊥AD,AD∩AM=A,AD,AMC平面PAD, .CD⊥平面PAD,又CD∥AB,AB⊥平面PAD,又PAC平面PAD,∴.AB⊥PA, :PA⊥AB,平面PAB∩平面ABCD=AB,PAC平面PAB, PAL平面ABCD,由(I)知M为PD中点，所以M到平面ABCD距高为号AP=2,13分 设D到平面ACM的距离为，由Va=V,即号×26A=}×号×X2X2,解得h=2 3 设直线CD与平面ACM所成的角为0，则血0-高-5 ……17分 【高一数学参考答案第4页（共4页）】