山东省德州市庆云县2025-2026学年九年级二模数学试题

九年级数学试题 2026年5月 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1．中国传统经典纹样，广泛应用于器物、建筑与服饰、千古流传，影响深远，下列纹样示意图中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（） A．如意纹 B．风车纹 C．柿蒂纹 D．冰裂纹 2．在下列四个数中，其中是无理数的是（） A． B． C． D． 3．某几何体的三视图如图所示，该几何体为（） A． B． C． D． 4．如图，点A，B分别在平面直角坐标系x轴和y轴上，连接，已知，，将绕点B顺时针旋转得到，则点D的坐标为（） A．4 B．2 C． D． 5．某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产的零件数比原计划多25%，结果提前2天完成任务．设原计划每天生产x个零件，可列方程为（） A． B． C． D． 6．如图，在菱形中，对角线、相交于点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、；再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；作射线，交于点．若，，则（） A． 7B．14 C．10 D．12 7．如图，在，，，，为上一点，，动点，分别在边和射线上（点不与点，重合），，令，的面积为，则关于的函数图象是（） A． B． C． D． 8．如图，中，点，分别是，边上的中点，连接，，．若是等腰直角三角形，，，则的长是（） A．3 B． C． D．3.5 9．如图，以为直径画半圆，点为半圆的中点，连接，，点在弦上，，过点作的垂线交的延长线于点，则的值为（） A． B． C． D． 10．对某一个函数给出如下定义：对于函数，若当，函数值满足，且满足，则称此函数为“k型闭函数”，下列结论： ①一次函数是“2型闭函数”； ②若一次函数是“1型闭函数”，则； ③反比例函数且是“k型闭函数”，且，则； ④二次函数是“k型闭函数”．则的取值范围是． 其中正确的是（） A．①④ B．②④ C．①②③ D．①③④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 12．如图，一束光线沿着平行于主光轴的方向射向凸透镜，经过凸透镜折射后，其折射光线恰与一束经过光心的光线相交于点（，，共线）．若，，则的度数为________． 13．设，为一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 14．如图，在平面直角坐标系中，、为反比例函数图象上的两点，点的横坐标为3，直线与轴交于点，与轴交于点，已知，，则的值为________． 15．如图，在正方形中，对角线，相交于点，点在边上，且，连接交于点，过点作，连接并延长，交于点，过点作分别交、于点、，交的延长线于点，现给出下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有________． 三．大题（本大题共8小题，共90分） 16．计算： （1）计算：； （2）． 17．【项目背景】 为切实关心青少年身心健康，学校开展阳光体育运动，主要活动有一分钟限时跳绳比赛、投掷实心球、长跑等．该校九年级数学兴趣小组对三项活动情况进行了调查统计． 【数据收集与整理】 （一）现将九年级部分女生投掷实心球的成绩分成5个小组（表示成绩，单位：米）进行整理． 组：；组：；组：；组：；组，并绘制出扇形统计图和频数分布直方图（不完整）．规定为合格，为优秀． （二）该项活动中有40名选手参加一分钟限时跳绳比赛，现将比赛成绩（单位：个/分钟）进行统计，成绩统计表如下． 一分钟限时跳绳比赛成绩统计表 成绩（个/分钟） 60~100 101~130 131~160 161~190 人数 5 8 23 a 【数据分析与应用】 （1）任务一：掷实心球的女生有________人；掷实心球的女生成绩的中位数落在________组； （2）任务二：若该校九年级共有200名女生，请估计这200名女生中掷实心球成绩优秀的人数； （3）任务三：将跳绳个数在161~190的选手依次记为，，，从中随机抽取两名选手做经验交流．请用树状图或列表法求恰好抽取到选手，的概率． 18．数学课题小组对住房窗户“如何设计遮阳篷”进行了以下探究： 【方案设计】 要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．该数学课题研究小组通过调查研究，设计安装了如图1的遮阳篷，其中遮阳篷垂直于墙面，表示窗户． 【数据收集】 如图，通过查阅相关资料和实际测量：夏至日这一天的正午时刻太阳光线与遮阳篷的夹角最大，且最大角；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线与遮阳篷的夹角最小，且最小角． 【问题提出】 （1）如图2，若只要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，当时，求的长； （2）如图3，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天的阳光，又能最大限度地使冬天的阳光射入室内．当时，根据上述方案及数据，求遮阳篷的长． （结果精确到0.1m）（参考数据：，，，，，） 19．为提升学生动手实践操作能力，开阔学生视野，某校决定九年级学生到中小学实践基地进行为期两周的实训，现需要租用大、小两种型号的客车，若租用9辆大型客车和6辆小型客车，则一共需要6150元，若租用8辆大型客车和12辆小型客车，则一共需要7800元． （1）租用每辆大型客车、每辆小型客车的价格分别是多少元？ （2）经学校研究决定九年级全体任课教师共同参与本次实训活动，若该校计划租用大、小两种型号的客车共25辆，其中租用大型客车辆，且大型客车的数量至少比小型客车的数量多5辆，又不超过小型客车的数量的2倍，怎样租车，才能使总费用最少？并求出最少租车费用． 20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，． （1）求一次函数及反比例函数的表达式； （2）若为直线上一动点，当时，求点的坐标； 21．如图，为的直径，点C，D在上，，过点D作，交的延长线于点E （1）求证：是的切线； （2）连接交于点F，若，，求的长． 22．已知抛物线（a，b，c为常数，，）的顶点为P，与y轴交于点C，O为坐标原点． （1）当，，时，则该抛物线顶点P的坐标为________； （2）若． ①M是抛物线上第一象限内一点，设，，且，求c的值； ②若抛物线与x轴的一个交点坐标为，点D在抛物线的对称轴上，当的最小值为时，求a的值． 23．如图，在中，． （1）如图1，若，将绕点C顺时针旋转30°得到线段，连接，，求的度数； （2）如图2，若，将绕点C顺时针旋转（0°＜＜90°）得到线段，连接，，点E是的中点，连接交于点，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； （3）如图3，若，将绕点C旋转得到线段，连接，当取最大值时，在直线上取一点M，连接，将沿翻折到所在的平面内，得到，连接．当取最小值时，直接写出的值． 2026年05月09日李洪蕾的初中数学组卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B D A A B A D D 二、填空题（共5小题） 11．且 12．45° 13．2026 14．6 15．①②③ 三、解答题（共8小题） 16．【解答】解：（1）原式； （2）原式． 17．【解答】解：（1）50， ； （2）组优秀率为， 所以这200名女生中掷实心球成绩优秀的人数为（人）， （3）由成绩统计表得跳绳个数在的选手共有人，依次记为，，画树状图如下： 由树状图可知：共有12种不同的情况，且每一种可能性都相同，其中恰好抽到选手的有两种， 恰好抽到选手的概率为． 18．【解答】解：（1）在中，，， ， ， 答：的长约为； （2）在中，， ，， 在中，， ，， ， 解得， 答：遮阳篷的长约为． 19．【解答】解：（1）由题意，设租用大型客车每辆元，租用小型客车每辆元， ，． 答：租用大型客车每辆450元，租用小型客车每辆350元；-4分 （2）由题意，大型辆，则小型辆， 又为整数，或16． 又，且， 随增大而增大， 当时费用最少，此时大型客车为15辆，小型客车：（辆）． 最少费用：（元）． 20．【解答】解：（1）一次函数与反比例函数的图象交于点，， ， 反比例函数的表达式为， 把点，点的坐标分别代入得： ．解得， 一次函数的表达式为； （2）①若在线段上，如图1，过点作平行于轴的直线，过点作垂直于直线于点，过点作垂直于直线于点． 设，，，， ，，，解得， 点的坐标为； ②当点在点的下方时，如图2，过点作平行于轴的直线，过点作垂直于直线于点，过点作垂直于的延长线于点． 设，，，， ，，， 解得：（经检验，是分式方程的解，且符合题意）， 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或； 21．【解答】（1）证明：连接， 为的直径，，， ，， ，， ，， ，， ，，， 是的半径，是的切线； （2）解：，设，， ，，， ，，， ， ，， ，． 22．【解答】解：（1）该抛物线顶点的坐标为； （2）①如图1，过点作轴于点，过点作轴于点． ，， ，抛物线的对称轴为直线， ， ， ，在和中， ，， ，， 点坐标为，点坐标为，点坐标为， 将代入，得： 解得：的值为1； ②由①知，抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的一个交点坐标为， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 抛物线的解析式为， 点坐标为，顶点坐标为， ，， 如图2，过点作直线与直线成角，与抛物线的交点为，交轴于点，过点作，垂足为． 在中，， 当三点共线，且时，取得最小值， 过点作交轴于，， 又，，即， 在中，， ，即， 在中，，即， ，即点坐标为， 则直线的解析式为， ，设直线的解析式为， 把代入得：，解得：， 直线的解析式为，， 又，点在点下方， ， ，的值为1． 23．【解答】解：（1）绕点顺时针旋转30°得到线段， ， ， ， ； （2）； 证明：如图2，过作交于点，则， ，， 由（1）得， 是的中点，，， ，， 在和中， ，，， 学科网（北京）股份有限公司 $