2026年中考数学二轮复习：二次函数

**基本信息** 以问题链构建二次函数知识网络，通过分层题型实现概念理解到综合应用的递进，强化数学建模与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|----|----|----| |概念辨析|选择6/填空14|定义参数取值判定、图象性质关联|从解析式到图象特征的双向推导| |性质应用|选择2/9/填空15|对称轴与区间最值、根的分布判定|函数性质与方程、不等式的转化| |实际应用|选择1/7/解答17|利润模型构建、运动轨迹分析|实际问题抽象为二次函数模型的建模过程| |综合探究|解答19/20|动态几何与函数最值、跨学科应用|代数运算与几何直观的综合运用|

2026年中考数学二轮复习：二次函数 一．选择题（共10小题） 1．某商店销售一批龙东特色农产品，每件进价为10元，若按每件15元出售，每天可售出200件；若每件提价1元，每天的销售量就减少10件，设每件售价为x元（x≥15），每天的利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A．y＝（x﹣10）（200﹣10x） B．y＝（x﹣10）（350﹣10x） C．y＝（x﹣15）（200﹣10x） D．y＝（x﹣15）（350﹣10x） 2．若抛物线y＝x2﹣3x+m与直线y＝2有两交点A，B，且AB＝2，则m的值是（　　） A． B． C． D． 3．若关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣3）＝m的两根为x1，x2（x1＜x2），下列判断正确的是（　　） A．x1＝﹣1，x2＝3 B．m应满足m＞﹣4 C．当m＞0时，x1＞﹣1，x2＞3 D．当m＜0时，﹣1＜x1＜x2＜3 4．太阳灶、卫星信号接收器、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从光源O发出的光线OB，OC经抛物线反射后沿着与抛物线对称轴POQ平行的方向射出．如果∠ABO＝45°，∠OCD＝93°，则∠BOC＝（　　） A．122° B．128° C．132° D．138° 5．如图，在平面直角坐标系xOy中，A是x轴正半轴上的动点，点D在x轴负半轴上，点B，C在抛物线y＝x2上，四边形ABCD是矩形，连接BD，设A的横坐标为m，给出下面三个结论： ①当矩形ABCD为正方形时，m＝2； ②抛物线上O，B两点之间的部分与线段AB，OA围成的图形面积小于； ③记抛物线上C，B两点之间的部分与线段CB围成的图形面积为S1，抛物线上O，B两点之间的部分与线段BD，OD围成的图形面积为S2，则S1＝2S2． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 6．若函数是关于x的二次函数，则m为（　　） A．2 B．±2 C．﹣2 D．0 7．从地面竖直向上射出一小球，若小球离地面的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式为h＝﹣5t2+30t，则下列说法中，错误的是（　　） A．小球运动时间为1s时的高度是25m B．小球运动时间为2s时的高度和4s时的高度相等 C．小球离地面的最大高度是45m D．小球从射出到落地需要8s 8．四位同学在研究函数y＝﹣x2+bx+c（b，c是常数）时，甲发现当x＝1时，函数有最大值；乙发现函数的最大值为﹣2；丙发现当x＝2时，y＝﹣3；丁发现x＝﹣1是方程﹣x2+bx+c＝0的一个根．若这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 9．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象及其对称轴如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．ac＞0 B．2a﹣b＞0 C．b2﹣4ac＜0 D．a﹣b+c＜0 10．成都低空经济示范区测试一款垂直起降配送无人机．一次试验中，该无人机从地面起飞到降落过程中，飞行高度h（m）与时间t（s）满足二次函数h＝at2+bt，其图象如图所示．根据图象，下列说法错误的是（　　） A．该图象的对称轴是直线t＝3 B．此次飞行无人机飞行的最大高度为9m C．当t＝1时，该无人机飞行的高度为6m D．该无人机从地面起飞到降落地面经过的时间是6s 二．填空题（共5小题） 11．请写出一个二次函数的表达式　 　 ，使它满足以下两个条件：①图象经过原点；②函数的最大值为3． 12．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣4的图象与x轴的一个交点坐标是（3，0），则关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+a﹣4＝0的两个实数根是　 　 ． 13．如果将抛物线y＝（x﹣1）2﹣4向左平移m（m＞0）个单位后经过原点，那么m的值是 　 　 ． 14．如果抛物线y＝ax2（a≠0）在对称轴的右侧部分下降，那么a的取值范围是　 　 ． 15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），下列结论：①abc＜0；②4a+b＝0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0．正确的个数为　 　 个． 三．解答题（共5小题） 16．抛物线的图象经过点A（﹣1，0），点B（0，3），点C（3，0）． （1）求抛物线的表达式． （2）点D（0，d）在y轴上，过点D作x轴的平行线，与抛物线相交于P，Q两点（P在Q左侧），若点D为线段PQ的三等分点，求d的值． （3）若点M（m，y1）和点N（m+1，y2）均为图象上的点，且0＜y2＜y1，请直接写出m的取值范围． 17．学校打算用长16m的篱笆围成一个矩形生物园饲养小兔．如图，生物园的一边靠墙，另外三边用篱笆围成，墙长8m． （1）若矩形生物园的面积是30m2，求这个生物园的边长； （2）求矩形生物园的面积的最大值． 18．综合与实践 某市民广场附近有一条笔直的东西走向高铁轨道，广场中央设有一处喷泉．为提升市民休闲体验，现规划了一条景观步道．若景观步道与喷泉中心点、高铁轨道均在同一平面内，恰好满足步道上任意一点P到喷泉中心点M的距离，与该点到高铁轨道（广场段）所在直线l的距离相等．已知广场是长为0.8千米，宽为0.6千米的矩形，矩形长边与高铁轨道平行，喷泉中心点M到高铁轨道所在直线l的距离为0.5千米． 如图，以高铁轨道所在直线l为x轴，以过点M且垂直于x轴的直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系． 任务一模型建立 （1）经过测量，以下表中x为横坐标与之对应的y为纵坐标的点均在该景观步道上． x ﹣0.3 ﹣0.2 ﹣0.1 0 0.1 0.2 0.3 y 0.34 0.29 0.26 0.25 0.26 0.29 0.34 小亮带领小组成员根据以上信息，结合所学的一次函数、二次函数、反比例函数知识判断景观步道所在曲线应为　 　 函数，其表达式为　 　 ； （2）小明带领小组成员根据题中有下划线的部分，通过代数推理确定景观步道所在曲线的函数表达式． 已知M（0，0.5），在景观步道上任取一点P（x，y），过点P作PD⊥x轴于点D，请完成后续推理，求出函数表达式； 任务二模型应用 （3）经实地检测可知，当与高铁轨道的距离超过0.29千米时，几乎没有噪音影响．请直接写出游人在景观步道上行走时不受噪音影响的x的取值范围． 19．综合与实践 【问题背景】 数学兴趣小组根据某次消防实战演练，发现消防水枪喷出水流呈抛物线形状，并对相关问题进行研究． 【数据收集】 信息1：如图1，以消防水枪喷水口点O处为原点建立平面直角坐标系，喷出的水流与点O的水平距离为6m时达到最高点，最大高度为18m． 信息2：从点O处喷出的水流落在高楼外墙上的点A处，高楼外墙与点O的水平距离为8m． 信息3：若消防员将水枪喷水口从点O处向右移动tm至点B处，但不改变消防水枪喷水角度与水压（即水流的抛物线形状与大小不变），此时水流未达到最高点但恰好到达点A处． （以上信息中，消防水枪喷出的水流均看作一条抛物线形状） 【问题解决】 （1）求此次消防演练中点O处喷出的抛物线形状水流的表达式； （2）求信息3中移动距离t的值； 【联系拓广】 （3）如图2，此次演练启用无人机协同灭火，无人机喷出的水流受重力作用呈上下边缘均为抛物线形状．如图3，无人机出水口点E位于y轴上，喷出水流上沿抛物线表达式为，下沿抛物线的表达式为（h为出水口点E到地面的高度），高楼外墙与y轴仍相距8m．当点E沿y轴上升至某高度时，是否需要左右移动才能让喷出水流恰好覆盖4.9m长的火带CD处（即CD两端恰好分别位于水流上沿、下沿抛物线上且CD＝4.9m）？若需要，请求出移动方向与距离；若不需要，请说明理由． 20．图1是某种发石车，这是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点6米时达到最大高度12米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为9米，与地面的竖直距离为6米，AB是高度为5米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式． （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB． （3）在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离． 2026年中考数学二轮复习：二次函数 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．某商店销售一批龙东特色农产品，每件进价为10元，若按每件15元出售，每天可售出200件；若每件提价1元，每天的销售量就减少10件，设每件售价为x元（x≥15），每天的利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A．y＝（x﹣10）（200﹣10x） B．y＝（x﹣10）（350﹣10x） C．y＝（x﹣15）（200﹣10x） D．y＝（x﹣15）（350﹣10x） 【考点】根据实际问题列二次函数关系式． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】B 【分析】利用总利润等于每件利润乘以销售量的关系，分别求出每件利润和实际销售量，即可推导得到函数关系式． 【解答】解：根据总利润等于每件利润乘以销售量的关系，分别求出每件利润和实际销售量可知：每件利润为（x﹣10）元， 实际每天销售量为：200﹣10（x﹣15）＝350﹣10x， ∴y＝（x﹣10）（350﹣10x）． 故选：B． 【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，熟练掌握该知识点是关键． 2．若抛物线y＝x2﹣3x+m与直线y＝2有两交点A，B，且AB＝2，则m的值是（　　） A． B． C． D． 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】D 【分析】先联立抛物线y＝x2﹣3x+m与直线y＝2得到x2﹣3x+m﹣2＝0，然后设点A（x1，y1），B（x2，y2），根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1x2＝m﹣2，再由求解即可． 【解答】解：设点A（x1，y1），B（x2，y2）， ∴x2﹣3x+m＝2， ∴x2﹣3x+m﹣2＝0， ∴x1+x2＝3，x1x2＝m﹣2， ∴， ∴32﹣4（m﹣2）＝4， 解得． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 3．若关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣3）＝m的两根为x1，x2（x1＜x2），下列判断正确的是（　　） A．x1＝﹣1，x2＝3 B．m应满足m＞﹣4 C．当m＞0时，x1＞﹣1，x2＞3 D．当m＜0时，﹣1＜x1＜x2＜3 【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式；根与系数的关系． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的解的定义、根的判别式、二次函数的图象与一元二次方程的关系逐个选项进行判断即可． 【解答】解：关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣3）＝m的两根为x1，x2（x1＜x2）， A：把x1＝﹣1，x2＝3代入原方程得左边为0， 所以仅当m＝0时成立，并非任意情况， ∴A选项错误，不符合题意； B：先把（x+1）（x﹣3）＝m化简得x2﹣2x﹣3﹣m＝0， 由题意得，方程有两个不相等的实数根（因x1＜x2）， ∴令Δ＞0， 即b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3﹣m）＞0， 解得m＞﹣4， 所以B选项正确，符合题意； C：令y＝（x+1）（x﹣3），这是开口向上的抛物线，与x轴交于（﹣1，0），（3，0），顶点为（1，﹣4）． 当m＞0时，直线y＝m与抛物线交于两点，其横坐标满足x1＜﹣1，x2＞3（如m＝5时，根为﹣2和4），而不是x1＞﹣1， ∴C选项错误，不符合题意； D：由C知，抛物线y＝（x+1）（x﹣3）的顶点为（1，﹣4）， 所以当m＜﹣4时，直线y＝m与抛物线没有交点，所以方程（x+1）（x﹣3）＝m没有实数根，仅当﹣4＜m＜0时，才符合﹣1＜x1＜x2＜3， ∴D选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，正确进行计算是解题关键． 4．太阳灶、卫星信号接收器、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从光源O发出的光线OB，OC经抛物线反射后沿着与抛物线对称轴POQ平行的方向射出．如果∠ABO＝45°，∠OCD＝93°，则∠BOC＝（　　） A．122° B．128° C．132° D．138° 【考点】二次函数的应用． 【专题】平面直角坐标系；函数及其图象；二次函数的应用；几何直观；运算能力；推理能力． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质解题即可．BA∥PQ∥CD，∴∠BOP＝∠ABO＝45°，∠POC＝∠OCD＝93°．∠BOC＝45°+93°＝138°． 【解答】解：已知反射光线CD平行于对称轴PQ（CD∥PQ）． 直线CO是截线，截平行线CD和PQ． 根据平行线的性质，∠COP＝∠OCD． ∵∠OCD＝93°， ∴∠COP＝93°． ∴∠BOC＝∠BOP+∠COP． ∠BOC＝45°+93°＝138°． ∴∠BOC＝138°， 故选：D． 【点评】题目考查了二次函数的应用，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 5．如图，在平面直角坐标系xOy中，A是x轴正半轴上的动点，点D在x轴负半轴上，点B，C在抛物线y＝x2上，四边形ABCD是矩形，连接BD，设A的横坐标为m，给出下面三个结论： ①当矩形ABCD为正方形时，m＝2； ②抛物线上O，B两点之间的部分与线段AB，OA围成的图形面积小于； ③记抛物线上C，B两点之间的部分与线段CB围成的图形面积为S1，抛物线上O，B两点之间的部分与线段BD，OD围成的图形面积为S2，则S1＝2S2． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【考点】二次函数图象上点的坐标特征；矩形的性质；正方形的性质． 【专题】二次函数图象及其性质；推理能力． 【答案】D 【分析】根据题意，求出A，B，C点的坐标，根据邻边相等的矩形为正方形求出m的值，连接OB，求出△AOB 的面积，判断②，连接OC，根据对称性，判断③． 【解答】解：由题意，A（m，0），B（m，m2）， ∵BC∥x轴， ∴B，C关于y轴对称， ∴C（﹣m，m2）， ∴AB＝m2，BC＝2m， 当AB＝BC时，即m2＝2m时，矩形ABCD为正方形， 解得m＝0（舍去）或m＝2；故①正确； 连接OB，则， 观察可知O，B两点之间的部分与线段AB，OA围成的图形在△AOB的内部， 故抛物线上O，B两点之间的部分与线段AB，OA围成的图形面积小于，故②正确； 连接OC，由对称性可知O，C两点之间的部分与线段OC组成的图形面积和O，B两点之间的部分与线段OB组成的图形面积相等， ，， ∵S1等于O，C两点之间的部分与线段OC组成的图形面积和O，B两点之间的部分与线段OB组成的图形面积以及△BOC的面积之和，S2等于O，B两点之间的部分与线段OB组成的图形面积与△BOD的面积之和， ∴S1＝2S2，故③正确； 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的应用是解题的关键． 6．若函数是关于x的二次函数，则m为（　　） A．2 B．±2 C．﹣2 D．0 【考点】二次函数的定义． 【专题】二次函数图象及其性质；应用意识． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义作答即可． 【解答】解：由已知可得m﹣2≠0，m2﹣2＝2， 解得：x＝﹣2． 故选：C． 【点评】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 7．从地面竖直向上射出一小球，若小球离地面的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式为h＝﹣5t2+30t，则下列说法中，错误的是（　　） A．小球运动时间为1s时的高度是25m B．小球运动时间为2s时的高度和4s时的高度相等 C．小球离地面的最大高度是45m D．小球从射出到落地需要8s 【考点】二次函数的应用． 【专题】二次函数的应用；运算能力． 【答案】D 【分析】通过计算落地时间验证D，计算t＝1的高度验证A，计算t＝4和t＝2的高度验证B，通过二次函数的最值判断B． 【解答】解：当t＝1时，h＝30×1﹣5×12＝25，故A正确； 当t＝2时，h＝30×2﹣5×22＝40， 当t＝4时，h＝30×4﹣5×42＝40， ∴h相同，故B正确； 函数h＝﹣5t2+30t，是开口向下的抛物线， 顶点在对称轴t3s处， 将t＝3代入：h＝﹣45+90＝45m， 小球的最大高度为45m，故C正确； ∵落地时h＝0， ∴30t﹣5t2＝0， 即5t（6﹣t）＝0， 解得t＝0或t＝6， ∵t＝0为抛出时刻， ∴落地时间t＝6，故D错误； 故选：D． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 8．四位同学在研究函数y＝﹣x2+bx+c（b，c是常数）时，甲发现当x＝1时，函数有最大值；乙发现函数的最大值为﹣2；丙发现当x＝2时，y＝﹣3；丁发现x＝﹣1是方程﹣x2+bx+c＝0的一个根．若这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值． 【专题】二次函数图象及其性质；推理能力． 【答案】D 【分析】当爸甲乙的结论作为正确的结论，则根据二次函数的性质得到抛物线解析式为y＝﹣x2+2x﹣3，接着检验丙发现的结论正确，丁发现的结论错误，因为这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，所以可判断只有丁发现的结论是错误的． 【解答】解：y＝﹣x2+bx+c， ∵a＝﹣1，y有最大值， 甲发现当x＝1时，函数有最大值， ∴1， 解得b＝2， 乙发现最大值为﹣2，则﹣1+2+c＝﹣2， 解得c＝﹣3， 此时抛物线解析式为y＝﹣x2+2x﹣3， 当x＝2时，y＝﹣4+4﹣3＝﹣3， ∴甲、乙、丙现的结论同时正确， ∵抛物线y＝﹣x2+2x﹣3的最大值为﹣2，抛物线开口向下， ∴抛物线与x轴没有交点， ∴此时丁发现“x＝﹣1是方程﹣x2+bx+c＝0的一个根”与甲乙丙的结论不符合， ∵这四位同学中只有一位发现的结论是错误的， ∴只有丁发现的结论是错误的． 故选：D． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征． 9．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象及其对称轴如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．ac＞0 B．2a﹣b＞0 C．b2﹣4ac＜0 D．a﹣b+c＜0 【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点． 【专题】二次函数图象及其性质；几何直观． 【答案】B 【分析】根据二次函数图象和系数的关系，逐个判断即可． 【解答】解：观察图象可得a＜0，b＜0，c＞0， 故ac＜0，A选项错误； 图象与x轴有两个交点，故b2﹣4ac＞0，C选项错误； 当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，故D选项错误； 对称轴为直线x1，变形可得b＞2a， 从而2a﹣b＜0，故B选项正确， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握这些内容是解题关键． 10．成都低空经济示范区测试一款垂直起降配送无人机．一次试验中，该无人机从地面起飞到降落过程中，飞行高度h（m）与时间t（s）满足二次函数h＝at2+bt，其图象如图所示．根据图象，下列说法错误的是（　　） A．该图象的对称轴是直线t＝3 B．此次飞行无人机飞行的最大高度为9m C．当t＝1时，该无人机飞行的高度为6m D．该无人机从地面起飞到降落地面经过的时间是6s 【考点】二次函数的应用． 【专题】二次函数的应用． 【答案】C 【分析】先根据图象可得，t＝2和t＝4时，h＝8，即可求解对称轴，即可判断A；再将点（2，8），（4，8）代入h＝at2+bt求解抛物线表达式，继而进行判断B、C、D． 【解答】解：由图象可得，t＝2和t＝4时，h＝8， ∴对称轴为直线，故A正确，不符合题意； 将点（2，8），（4，8）代入h＝at2+bt，则， 解得， ∴抛物线表达式为h＝﹣t2+6t， ∵﹣1＜0， ∴当t＝3时，hmax＝﹣9+18＝9（m），故B正确，不符合题意； 当t＝1时，h＝﹣1+6＝5（m），故C错误，符合题意； 当h＝0时，则﹣t2+6t＝0，解得t＝6或t＝0， ∴该无人机从地面起飞到降落地面经过的时间是6s，故D正确，不符合题意， 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．请写出一个二次函数的表达式y＝﹣3（x﹣1）2+3　 ，使它满足以下两个条件：①图象经过原点；②函数的最大值为3． 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】y＝﹣3（x﹣1）2+3（答案不唯一）． 【分析】根据题意可以写出一个符合题意的二次函数表达式． 【解答】解：由题意可得， 函数y＝﹣3（x﹣1）2+3经过原点，最大值为3， 故答案为：y＝﹣3（x﹣1）2+3（答案不唯一）． 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式． 12．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣4的图象与x轴的一个交点坐标是（3，0），则关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+a﹣4＝0的两个实数根是x1＝﹣1，x2＝3　 ． 【考点】抛物线与x轴的交点． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】x1＝﹣1，x2＝3． 【分析】先求出二次函数的对称轴，根据对称性得出图象与x轴的另一个交点，即可求出方程的两个实数根． 【解答】解：二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣4的对称轴是1， ∵二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣4的图象与x轴的一个交点坐标是（3，0）， ∴其图象与x轴的另一个交点坐标是（﹣1，0）， ∴关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+a﹣4＝0的两个实数根是x1＝﹣1，x2＝3， 故答案为：x1＝﹣1，x2＝3． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数与x轴的交点和一元二次方程的根的关系是解题的关键． 13．如果将抛物线y＝（x﹣1）2﹣4向左平移m（m＞0）个单位后经过原点，那么m的值是 　3　 ． 【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】3． 【分析】根据二次函数图象平移规律“左加右减”，得到平移后的函数解析式，再代入原点坐标求解即可． 【解答】解：将二次函数y＝（x﹣1）2﹣4的图象向左平移m个单位后，新函数解析式为y＝（x+m﹣1）2﹣4． ∵平移后函数图象经过原点， ∴0＝（0+m﹣1）2﹣4，即（m﹣1）2﹣4＝0， ∴m﹣1＝2或m﹣1＝﹣2， ∴m＝3或m＝﹣1， ∵m＞0， ∴m＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握“左加右减”的法则是解题的关键． 14．如果抛物线y＝ax2（a≠0）在对称轴的右侧部分下降，那么a的取值范围是a＜0　 ． 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】a＜0． 【分析】利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，解答即可． 【解答】解：∵抛抛物线y＝ax2（a≠0）在对称轴的右侧部分下降， ∴抛物线开口向下， ∴a＜0． 故答案为：a＜0． 【点评】本本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下． 15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），下列结论：①abc＜0；②4a+b＝0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0．正确的个数为　4　 个． 【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】4． 【分析】根据开口方向，对称轴的位置，与y轴的交点位置判断①，对称性求出对称轴，判断②，与x轴的交点个数判断③，特殊点判断④． 【解答】解：根据函数图象可知，a＞0，c＞0， ∵0， ∴b＜0， ∴abc＜0；故①正确； ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），点B（3，0）， ∴对称轴为直线x，b2﹣4ac＞0，故③正确； ∴﹣b＝4a， ∴4a+b＝0，故②正确； 由图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0；故④正确， 故正确的个数为4， 故答案为：4． 【点评】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，二次函数图象与x轴的交点问题，关键是掌握二次函数的性质． 三．解答题（共5小题） 16．抛物线的图象经过点A（﹣1，0），点B（0，3），点C（3，0）． （1）求抛物线的表达式． （2）点D（0，d）在y轴上，过点D作x轴的平行线，与抛物线相交于P，Q两点（P在Q左侧），若点D为线段PQ的三等分点，求d的值． （3）若点M（m，y1）和点N（m+1，y2）均为图象上的点，且0＜y2＜y1，请直接写出m的取值范围． 【考点】二次函数综合题． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3； （2）d＝﹣5； （3）0.5＜m＜2． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设P（xP，d），q（xQ，d），则xP+xQ＝2，求得xP＜0＜xQ，分两种情况：和，分别求解即可； （3）由题意得到，，根据0＜y2＜y1，得出，求解即可． 【解答】解：（1）抛物线的图象经过点A（﹣1，0），点B（0，3），点C（3，0）．设二次函数表达式为y＝ax2+bx+c，将点A，点B，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴二次函数表达式为y＝﹣x2+2x+3； （2）由（1）得y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线对称轴为直线x＝1， ∵PQ∥x轴， ∴P，Q关于直线x＝1对称， 设P（xP，d），Q（xQ，d），则xP+xQ＝2， ∵点D为线段PQ的三等分点，且P在Q的左侧， ∴点D在P，Q之间，且xP＜0＜xQ， 若，则，即xQ＝﹣2xP， 联立xP+xQ＝2， 解得：xP＝﹣2， 当x＝﹣2时，d＝﹣（﹣2）2+2×（﹣2）+3＝﹣5， 若，则，即xP＝﹣2xQ， 联立xP+xQ＝2， 解得：xQ＝﹣2，与xQ＞0矛盾，舍去， ∴d＝﹣5； （3）m的取值范围是0.5＜m＜2．理由如下： 点M（m，y1）和点N（m+1，y2）在二次函数的图象上，将点M，点N的坐标分别代入得： ，， ∵0＜y2＜y1， ∴， 解得：0.5＜m＜2， ∴m的取值范围是0.5＜m＜2． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，分类讨论是解答本题的关键． 17．学校打算用长16m的篱笆围成一个矩形生物园饲养小兔．如图，生物园的一边靠墙，另外三边用篱笆围成，墙长8m． （1）若矩形生物园的面积是30m2，求这个生物园的边长； （2）求矩形生物园的面积的最大值． 【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用． 【专题】一元二次方程及应用；二次函数的应用；运算能力． 【答案】（1）围成矩形的长为6 m、宽为5m． （2）矩形生物园的面积最大值为32m2． 【分析】（1）可设宽为xm，则长为（16﹣2x）m，根据等量关系：面积是30m2，列出方程求解即可； （2）将面积表示为二次函数，配方后结合自变量取值范围，求顶点处的最大值． 【解答】解：（1）设宽为xm，则长为（16﹣2x）m． 由题意，得 x•（16﹣2x）＝30， 解得 x1＝3，x2＝5． 当x＝3时，16﹣2×3＝10＞8，不合题意，舍去 当x＝5时，16﹣2×5＝6． 答：围成矩形的长为6 m、宽为5m． （2）设矩形面积为Sm2， 则：S＝x（16﹣2x）＝﹣2x2+16x， 配方得：S＝﹣2（x﹣4）2+32， 因为二次项系数﹣2＜0，且对称轴x＝4在取值范围4≤x＜8内， 所以当x＝4时，S取得最大值： Smax＝﹣2（4﹣4）2+32＝32m2， 此时平行于墙的边长为16﹣2×4＝8m，符合墙长限制， 答：矩形生物园的面积最大值为32m2． 【点评】本题考查了二次函数的应用，关键是找到等量关系式． 18．综合与实践 某市民广场附近有一条笔直的东西走向高铁轨道，广场中央设有一处喷泉．为提升市民休闲体验，现规划了一条景观步道．若景观步道与喷泉中心点、高铁轨道均在同一平面内，恰好满足步道上任意一点P到喷泉中心点M的距离，与该点到高铁轨道（广场段）所在直线l的距离相等．已知广场是长为0.8千米，宽为0.6千米的矩形，矩形长边与高铁轨道平行，喷泉中心点M到高铁轨道所在直线l的距离为0.5千米． 如图，以高铁轨道所在直线l为x轴，以过点M且垂直于x轴的直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系． 任务一模型建立 （1）经过测量，以下表中x为横坐标与之对应的y为纵坐标的点均在该景观步道上． x ﹣0.3 ﹣0.2 ﹣0.1 0 0.1 0.2 0.3 y 0.34 0.29 0.26 0.25 0.26 0.29 0.34 小亮带领小组成员根据以上信息，结合所学的一次函数、二次函数、反比例函数知识判断景观步道所在曲线应为　二次　 函数，其表达式为y＝x2+0.25　 ； （2）小明带领小组成员根据题中有下划线的部分，通过代数推理确定景观步道所在曲线的函数表达式． 已知M（0，0.5），在景观步道上任取一点P（x，y），过点P作PD⊥x轴于点D，请完成后续推理，求出函数表达式； 任务二模型应用 （3）经实地检测可知，当与高铁轨道的距离超过0.29千米时，几乎没有噪音影响．请直接写出游人在景观步道上行走时不受噪音影响的x的取值范围． 【考点】二次函数的应用． 【专题】二次函数的应用；推理能力． 【答案】（1）二次；y＝x2+0.25； （2）由题意可知，点M在y轴上，且到x轴的距离为0.5， ∴点M的坐标为（0，0.5）， 设景观步道上任意一点P的坐标为（x，y）， 根据题意，点P到点M的距离等于点P到x轴的距离， ∴y， 两边平方，得： x2+（y﹣0.5）2＝y2， x2+y2﹣y+0.25＝y2， x2﹣y+0.25＝0， y＝x2+0.25， 答：景观步道所在曲线的方程为y＝x2+0.25； （3）游人不受噪音影响的x取值范围为[﹣0.4，﹣0.2）∪（0.2，0.4]． 【分析】（1）由表格数据对称性、顶点特征判断为二次函数，设顶点式代入点求系数，得表达式； （2）根据题意列PM＝PD的等式，利用两点间距离公式和垂直距离定义，平方化简得函数式； （3）由y＞0.29列不等式，解二次不等式并结合广场范围，得x的取值区间． 【解答】解：（1）根据表格中x与y的关系，可知函数图象关于y轴对称， 顶点在（0，0.25），开口向上， 符合二次函数特征， 设表达式为y＝ax2+0.25， 代入点（0.1，0.26），得0.26＝a（0.1）2+0.25， 0.01a＝0.01， 解得a＝1， 所以表达式为：y＝x2+0.25， 答：景观步道所在曲线应为二次函数，其表达式为y＝x2+0.25； 故答案为：二次；y＝x2+0.25； （2）由题意可知，点M在y轴上，且到x轴的距离为0.5， ∴点M的坐标为（0，0.5）， 设景观步道上任意一点P的坐标为（x，y）， 根据题意，点P到点M的距离等于点P到x轴的距离， ∴y， 两边平方，得： x2+（y﹣0.5）2＝y2， x2+y2﹣y+0.25＝y2， x2﹣y+0.25＝0， y＝x2+0.25， 答：景观步道所在曲线的方程为y＝x2+0.25； （3）由题意，与高铁轨道的距离超过0.29千米，即y＞0.29，代入函数表达式：x2+0.25＞0.29， 即x2＞0.04， 解得：x＜﹣0.2或x＞0.2， 结合广场范围（长0.8千米，即x∈[﹣0.4，0.4]）， 最终：﹣0.4≤x＜﹣0.2或0.2＜x≤0.4， 答：游人不受噪音影响的x取值范围为[﹣0.4，﹣0.2）∪（0.2，0.4]． 【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，正确运用二次函数的性质解题． 19．综合与实践 【问题背景】 数学兴趣小组根据某次消防实战演练，发现消防水枪喷出水流呈抛物线形状，并对相关问题进行研究． 【数据收集】 信息1：如图1，以消防水枪喷水口点O处为原点建立平面直角坐标系，喷出的水流与点O的水平距离为6m时达到最高点，最大高度为18m． 信息2：从点O处喷出的水流落在高楼外墙上的点A处，高楼外墙与点O的水平距离为8m． 信息3：若消防员将水枪喷水口从点O处向右移动tm至点B处，但不改变消防水枪喷水角度与水压（即水流的抛物线形状与大小不变），此时水流未达到最高点但恰好到达点A处． （以上信息中，消防水枪喷出的水流均看作一条抛物线形状） 【问题解决】 （1）求此次消防演练中点O处喷出的抛物线形状水流的表达式； （2）求信息3中移动距离t的值； 【联系拓广】 （3）如图2，此次演练启用无人机协同灭火，无人机喷出的水流受重力作用呈上下边缘均为抛物线形状．如图3，无人机出水口点E位于y轴上，喷出水流上沿抛物线表达式为，下沿抛物线的表达式为（h为出水口点E到地面的高度），高楼外墙与y轴仍相距8m．当点E沿y轴上升至某高度时，是否需要左右移动才能让喷出水流恰好覆盖4.9m长的火带CD处（即CD两端恰好分别位于水流上沿、下沿抛物线上且CD＝4.9m）？若需要，请求出移动方向与距离；若不需要，请说明理由． 【考点】二次函数的应用． 【专题】平面直角坐标系；二次函数的应用；线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力；推理能力；模型思想；应用意识． 【答案】（1）y（x﹣6）2+18； （2）4； （3）无人机升至某高度时需向右移动1m． 【分析】（1）根据题目中“水平距离为6m时达到最高点，最大高度为18m”可知抛物线顶点为（6，18），且图象经过原点（0，0），利用顶点式设出方程代入原点坐标即可求出解析式； （2）首先将x＝8代入第一问求得的解析式算出点A的纵坐标，然后根据“抛物线形状与大小不变”可知新抛物线的二次项系数a不变，设出平移后的解析式（或根据平移规律），将点A坐标代入求解移动距离t； （3）这是一个存在性问题，根据无人机窗口CD的高度范围（4m到6m）以及水平位置关系，判断在无人机抛物线轨迹上是否存在满足条件的点，或者通过计算特定点的坐标来验证水流能否落在窗口范围内． 【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣6）2+18（a≠0）， 代入点（0，0）：a×（0﹣6）2+18＝0， 36a+18＝0， 解得：， 因此，抛物线表达式为：； （2）当x＝8时，代入抛物线表达式：， ∴点A的坐标为（8，16）． 抛物线向右移动t米后的表达式为：， 代入点A（8，16）：（2﹣t）2＝4， 解得：t1＝4，t2＝0（舍去）， 因此，移动距离t的值为4； （3）当x＝8时，两条抛物线的纵坐标分别为：，， 两者的差值：y1﹣y2＝（﹣6.4+h）﹣（﹣12.8+h）＝6.4＞4.9， 说明需要向右移动． 设顶点向右平移n米， 平移后的抛物线表达式为：， ， 当x＝8时：yc（8﹣n）2+h， yD（8﹣n）2+h， 两者的差值CD：， 解得：n1＝1，n2＝15（舍去）， 因此，无人机需向右移动1m． 【点评】题目考查了二次函数的应用，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 20．图1是某种发石车，这是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点6米时达到最大高度12米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为9米，与地面的竖直距离为6米，AB是高度为5米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式． （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB． （3）在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离． 【考点】二次函数的应用． 【专题】二次函数的应用；运算能力． 【答案】（1）； （2）石块不能飞越防御墙AB，见解析； （3）米． 【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+12，将点（0，0）代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）将x＝9代入解析式，得出y的值，与BE作比较即可； （3）得出直线OA的解析式为．作直线MN⊥x轴，交抛物线于点M，交直线OA于点N，设点，则点N的坐标为，表示出MN，根据二次函数的性质，即可求解． 【解答】解：（1）设y＝a（x﹣6）2+12， 将点（0，0）代入，得36a+12＝0， 解得， ∴． （2）∵当x＝9时，， BE＝6+5＝11＞9， ∴石块不能飞越防御墙AB． （3）A的坐标为（9，6）， 设直线OA为y＝kx， ∴6＝9k， ∴， ∴． 作直线MN⊥x轴，交抛物线于点M，交直线OA于点N， 设点，则点N的坐标为， ∴， ∴当m＝5时，MN有最大值，最大值为， ∴在竖直方向上，最大距离是米． 【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确进行运算是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $