2026年中考数学二轮复习：圆

**基本信息** 以题载法构建圆的知识网络，通过分层题型系统训练圆周角定理、切线性质等核心考点，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础性质|选择1-2、填空11|圆周角与圆心角转化、切线性质应用|从圆的基本概念到性质推导，形成"概念-定理-应用"链条| |计算应用|选择4、6、9、填空12、14|弧长/扇形面积公式、阴影面积割补法|结合几何图形计算，培养空间观念与运算能力| |综合证明|解答16-20|辅助线构造（连半径、作垂线）、全等/相似判定|融合三角形、四边形知识，提升逻辑推理与模型意识|

2026年中考数学二轮复习：圆 一．选择题（共10小题） 1．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BAC＝40°，则∠BOC的度数为（　　） A．50° B．80° C．100° D．140° 2．如图，直线l与⊙O相切于点A，半径OB∥l，点P在优弧ACB上，则∠APB的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 3．如图，以AB为直径画半圆，点C为半圆的中点，连接AC，BC，点E在弦BC上，，过点B作AB的垂线交AE的延长线于点D，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．制作弯管时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．图中弯管（不计厚度）有一段圆弧，点O是这段圆弧所在圆的圆心，半径OA＝90cm，圆心角∠AOB＝100°，则这段弯管中的长为（　　） A．50π B．60π C．90π D．100π 5．如图，四边形ABCD为正方形，点E在DC上，以AE为直径的⊙O与BC相切，若，则正方形的边长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 6．如图，在半径为6的⊙O中，弦AB⊥CD于点E，若∠A＝30°，则的长为（　　） A．8π B．5π C．4π D．6π 7．如图，在⊙O中，弦AB，CD交于点E，连结AD，BC．若∠A＝50°，∠AED＝100°，则∠B＝（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 8．已知两圆的半径长之比为5：2，且当两圆内切时的圆心距为9厘米，那么当两圆的圆心距增大到18厘米时，这两圆的位置关系是（　　） A．外离 B．外切 C．相交 D．不确定 9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝2，以B为圆心、BC的长为半径画弧交AB于点D，以A为圆心、AC的长为半径画弧交AB于点E，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在圆柱中以圆柱的上下两个底面为底的两个圆锥顶点在O处相接，OB，OC分别为上下两个圆锥的母线，OB⊥OC，若圆柱的高BC＝10，OB＝6，上下两个底面的直径AB，CD与顶点O都在同一个平面之中，则上下两个圆锥的侧面积之比是（　　） A．3：4 B．4：3 C．9：16 D．16：9 二．填空题（共5小题） 11．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若∠C＝75°，则∠BAD的度数是　 　 °． 12．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点D，E，F．若BD＝1，则的长为　 　 ．（结果保留π） 13．如图，矩形ABCD内接于⊙O，点E，点F分别是，上的点，连接DE，BF分别交AB，AD于点G，H．若，则⊙O的直径为　 　 ． 14．图中的银杏叶的面积可近似的看成扇形AOB的面积．已知OA＝3cm，∠AOB＝150°，则该银杏叶的面积约为　 　 cm2（结果保留π）． 15．园林中设计的各种样式的门是造景的一种方法．如图是一面墙和墙中间一个圆拱门的示意图，墙高2.5m，长6m，门为圆形的一部分，圆的半径为1m，圆与地面的交界处AB宽m，则墙的面积为　 　 m2． 三．解答题（共5小题） 16．如图，点D是△ABC的内心，连接BD并延长交△ABC的外接圆于点E，BE与AC交于点F，连接AE． （1）求证：AE＝DE； （2）若DE＝6，BD＝3，求EF的长． 17．如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，D是的中点，连接AD，CD，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E． （1）求证：AC∥DE； （2）若∠C＝60°，AB＝10，求图中阴影部分的面积． 18．如图，AB，AC分别为⊙O的直径和弦，过点O作OD⊥AC，垂足为点E，交⊙O于点D，点F为线段OE上一点，连接CD，BF∥CD． （1）求证：BF＝CD； （2）若，求OF的长． 19．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，在AB上取点O，以O为圆心，以OB为半径作圆，与AC相切于点D，并分别与AB，BC相交于点E，F（异于点B）． （1）求证：BD平分∠ABC； （2）若点E恰好是AO的中点，求扇形BOF的面积； （3）若CF的长为1，求⊙O的半径长． 20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，连接BD，延长AB至点E，使BE＝AD，连接CE． （1）求证：△ADC≌△EBC； （2）若CD＝5，BD＝6，求值． 2026年中考数学二轮复习：圆 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BAC＝40°，则∠BOC的度数为（　　） A．50° B．80° C．100° D．140° 【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系． 【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力． 【答案】B 【分析】由点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝40°，根据圆周角定理得∠BOC＝2∠BAC＝80°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵点A，B，C在⊙O上， ∴∠BAC∠BOC， ∵∠BAC＝40°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝80°， 故选：B． 【点评】此题重点考查圆周角定理，推导出∠BAC∠BOC是解题的关键． 2．如图，直线l与⊙O相切于点A，半径OB∥l，点P在优弧ACB上，则∠APB的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 【考点】切线的性质；圆周角定理． 【专题】线段、角、相交线与平行线；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力． 【答案】B 【分析】设点E是直线l上一点，且点E在点A的左侧，由切线的性质得l⊥OA，因为OB∥l，所以∠AOB＝∠OAE＝90°，由圆周角定理得∠APB∠AOB＝45°，于是得到问题的答案． 【解答】解：设点E是直线l上一点，且点E在点A的左侧， ∵直线l与⊙O相切于点A， ∴l⊥OA， ∵OB∥l， ∴∠AOB＝∠OAE＝90°， ∴∠APB∠AOB＝45°， 故选：B． 【点评】此题重点考查切线的性质、平行线的性质、圆周角定理等知识，推导出∠AOB＝90°及∠APB∠AOB是解题的关键． 3．如图，以AB为直径画半圆，点C为半圆的中点，连接AC，BC，点E在弦BC上，，过点B作AB的垂线交AE的延长线于点D，则的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】圆周角定理． 【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力． 【答案】D 【分析】作DF⊥BC于点F，则∠DFE＝∠DFB＝90°，由以AB为直径画半圆，点C为半圆的中点，得∠C＝90°，∠ABC＝∠CAB＝45°，而∠ABD＝90°，则∠FDB＝∠FBD＝45°，所以BF＝DF，由∠EAB∠CAB＝15°，求得∠AEC＝∠DEF＝∠ABC+∠EAB＝60°，则∠EDF＝30°，所以DE＝2EF，则BF＝DFEF，求得BE＝（1）EF，由tan60°，得BC＝ACCE，则BE＝BC﹣CE＝（1）CE，所以CEBE＝（2）EF，则，于是得到问题的答案． 【解答】解：作DF⊥BC于点F，则∠DFE＝∠DFB＝90°， ∵以AB为直径画半圆，点C为半圆的中点， ∴∠C＝90°，， ∴∠ABC＝∠CAB＝45°， ∵BD⊥AB交AE的延长线于点D， ∴∠ABD＝90°， ∴∠FBD＝∠ABD﹣∠ABC＝45°， ∴∠FDB＝∠FBD＝45°， ∴BF＝DF， ∵∠EAB∠CAB＝15°， ∴∠AEC＝∠DEF＝∠ABC+∠EAB＝60°， ∴∠EDF＝90°﹣∠DEF＝30°， ∴DE＝2EF， ∴BF＝DFEF， ∴BE＝BF+EFEF+EF＝（1）EF， ∵tan60°， ∴BC＝ACCE， ∵BE＝BC﹣CECE﹣CE＝（1）CE， ∴CEBE（1）EF＝（2）EF， ∴， 故选：D． 【点评】此题重点考查圆周角定理、勾股定理、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 4．制作弯管时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．图中弯管（不计厚度）有一段圆弧，点O是这段圆弧所在圆的圆心，半径OA＝90cm，圆心角∠AOB＝100°，则这段弯管中的长为（　　） A．50π B．60π C．90π D．100π 【考点】弧长的计算． 【专题】与圆有关的计算；运算能力． 【答案】A 【分析】直接利用弧长公式求解即可． 【解答】解：有弧长公式可得：这段弯管中的长为， 故选：A． 【点评】本题考查了弧长公式的应用，解答本题的关键是明确弧长计算公式． 5．如图，四边形ABCD为正方形，点E在DC上，以AE为直径的⊙O与BC相切，若，则正方形的边长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【考点】切线的性质；勾股定理；正方形的性质；圆周角定理． 【专题】矩形 菱形 正方形；与圆有关的计算；推理能力． 【答案】B 【分析】设BC与⊙O相切于点F，连接OF，根据切线的性质得出OF⊥BC，再证OM、FM是△ABE、△BCE的中位线，设正方形的边长为x，即可求出OF的长，继而求出AE的长，在Rt△ADE中利用勾股定理列出关于x的方程求解即可． 【解答】解：如图，设BC与⊙O相切于点F，连接OF，BE相交于点M， ∴OF⊥BC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD， ∴OF∥AB∥CD， ∴， ∵O是AE的中点， ∴OA＝EO， ∴BM＝EM，BF＝CF， ∴点M、F分别是BE、BC的中点， ∴OM是△ABE的中位线，FM是△BCE的中位线， ∴OM，FM， ∴OF＝OM+FM， 设正方形的边长为x， ∴OF， ∴AE＝2OF＝x， ∵∠D＝90°， ∴点D在⊙O上， 在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2， ∴， 解得x1＝0（舍去），x2＝5， 即正方形的边长为5， 故选：B． 【点评】本题考查了切线的性质，正方形的性质，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 6．如图，在半径为6的⊙O中，弦AB⊥CD于点E，若∠A＝30°，则的长为（　　） A．8π B．5π C．4π D．6π 【考点】弧长的计算；勾股定理；垂径定理；圆周角定理． 【专题】与圆有关的计算；推理能力． 【答案】C 【分析】连接OA、OC，根据直角三角形的性质求出∠ADC，根据圆周角定理求出∠AOC，再根据弧长公式计算吗，得到答案． 【解答】解：连接OA、OC， ∵AB⊥CD，∠A＝30°， ∴∠ADC＝90°﹣∠A＝60°， 由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ADC＝120°， ∴的长为：4π， 故选：C． 【点评】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式、圆周角定理是解题的关键． 7．如图，在⊙O中，弦AB，CD交于点E，连结AD，BC．若∠A＝50°，∠AED＝100°，则∠B＝（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【考点】圆周角定理． 【专题】三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力． 【答案】A 【分析】由∠A＝50°，∠AED＝100°，根据三角形内角和定理求得∠D＝30°，由圆周角定理得∠B＝∠D＝30°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵在⊙O中，弦AB，CD交于点E， ∴∠B＝∠D， ∵∠A＝50°，∠AED＝100°， ∴∠D＝180°﹣∠A﹣∠AED＝30°， ∴∠B＝30°， 故选：A． 【点评】此题重点考查三角形内角和定理、圆周角定理等知识，推导出∠B＝∠D，并且正确地求出∠D的度数是解题的关键． 8．已知两圆的半径长之比为5：2，且当两圆内切时的圆心距为9厘米，那么当两圆的圆心距增大到18厘米时，这两圆的位置关系是（　　） A．外离 B．外切 C．相交 D．不确定 【考点】圆与圆的位置关系． 【专题】与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力． 【答案】C 【分析】设两圆的半径长分别是为5x厘米，2x厘米，得到5x﹣2x＝9，求出x＝3，得到两圆的半径长分别是15厘米和6厘米，由15﹣6＜18＜15+6，判定这两圆的位置关系是相交． 【解答】解：∵两圆的半径长之比为5：2， ∴设两圆的半径长分别是为5x厘米，2x厘米， ∵两圆内切时的圆心距为9厘米， ∴5x﹣2x＝9， ∴x＝3， ∴5x＝15，2x＝6， ∵15﹣6＜18＜15+6， ∴这两圆的位置关系是相交． 故选：C． 【点评】本题考查圆与圆的位置关系，关键是掌握圆与圆的位置关系的判定方法． 9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝2，以B为圆心、BC的长为半径画弧交AB于点D，以A为圆心、AC的长为半径画弧交AB于点E，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【考点】扇形面积的计算；含30度角的直角三角形；勾股定理． 【专题】与圆有关的计算；推理能力． 【答案】D 【分析】过点C作CF⊥AB交AB于点F，得出∠A＝60°，，通过面积的计算得出S阴影＝S扇形BCD+S扇形ACE﹣S△ABC，结合扇形公式进行求解即可． 【解答】解：如图，过点C作CF⊥AB交AB于点F， ∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝2， ∴，∠A＝60°， ∴， ∵以B为圆心、BC的长为半径画弧交AB于点D，以A为圆心、AC的长为半径画弧交AB于点E， ∴S1＝S扇形BCD﹣S△BCF，S2＝S扇形ACE﹣S△ACF， ∴S阴影＝S1+S2＝S扇形BCD﹣S△BCF+S扇形ACE﹣S△ACF＝S扇形BCD+S扇形ACE﹣S△ABC， ∴． 故选：D． 【点评】本题考查的是扇形面积的计算，勾股定理，含30度角的直角三角形，熟知以上知识是解题的关键． 10．如图，在圆柱中以圆柱的上下两个底面为底的两个圆锥顶点在O处相接，OB，OC分别为上下两个圆锥的母线，OB⊥OC，若圆柱的高BC＝10，OB＝6，上下两个底面的直径AB，CD与顶点O都在同一个平面之中，则上下两个圆锥的侧面积之比是（　　） A．3：4 B．4：3 C．9：16 D．16：9 【考点】圆锥的计算；圆柱的计算． 【专题】与圆有关的计算；运算能力． 【答案】A 【分析】根据圆锥侧面积公式可知，底面半径相等时，侧面积之比等于母线长之比．，由题意可知△OBC为直角三角形，利用勾股定理求出OC的长，进而求出比值． 【解答】解：设圆柱的底面半径为r，则上下两个圆锥的底面半径均为r， ∵圆锥的侧面积公式为S＝πrl（l为母线长）， ∴上下两个圆锥的侧面积之比为， ∴∠BOC＝90°，即△OBC为直角三角形， ∴由勾股定理得：， ∴上下两个圆锥的侧面积之比为OB：OC＝6：8＝3：4． 故选：A． 【点评】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握该知识点是关键． 二．填空题（共5小题） 11．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若∠C＝75°，则∠BAD的度数是　15　 °． 【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理． 【专题】圆的有关概念及性质． 【答案】15． 【分析】连接BD，由直径所对的圆周角是直角和同弧所对的圆周角相等可得∠ABD，∠ADB的度数，据此可求出∠BAD的度数． 【解答】解：如图所示，连接BD， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ABD＝90°， ∵， ∴∠ADB＝∠C＝75°， ∴∠BAD＝90°﹣∠ADB＝15°， 故答案为：15． 【点评】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，掌握其相关知识点是解题的关键． 12．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点D，E，F．若BD＝1，则的长为　　 ．（结果保留π） 【考点】三角形的内切圆与内心；弧长的计算；含30度角的直角三角形；圆周角定理；切线的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；运算能力；推理能力． 【答案】． 【分析】连接OD、OE、OF，由⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点D，E，F，推导出∠ODB＝∠OEB＝∠OEC＝∠OFC＝90°，由∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，求得∠C＝60°，则∠EOF＝360°﹣∠C﹣∠OEC﹣∠OFC＝120°，可证明四边形OEBD是正方形，则OE＝BD＝1，即可由弧长公式求得，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接OD、OE、OF， ∵⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点D，E，F， ∴AB⊥OD，BC⊥OE，AC⊥OF， ∴∠ODB＝∠OEB＝∠OEC＝∠OFC＝90°， ∵在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°， ∴∠C＝90°﹣∠BAC＝60°， ∴∠EOF＝360°﹣∠C﹣∠OEC﹣∠OFC＝120°， ∵∠ODB＝∠DBE＝∠OEB＝90°，BD＝BE， ∴四边形OEBD是正方形， ∴OE＝BD＝1， ∴， 故答案为：． 【点评】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、三角形的内切圆与内心、四边形的内角和等于360°、正方形的判定与性质、弧长公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 13．如图，矩形ABCD内接于⊙O，点E，点F分别是，上的点，连接DE，BF分别交AB，AD于点G，H．若，则⊙O的直径为　　 ． 【考点】圆周角定理；矩形的性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系． 【专题】矩形 菱形 正方形；圆的有关概念及性质；推理能力． 【答案】． 【分析】由等弧推出∠ABF＝∠ADE，设DH＝x，则AD＝2+x，根据tan∠ABF＝tan∠ADE建立方程，可得AD＝4，最后用勾股定理求解直径即可． 【解答】解：∵， ∴∠ABF＝∠ADE， 设DH＝x，则AD＝2+x， 故tan∠ABF＝tan∠ADE，即， ∴， 解得x＝4， ∵矩形ABCD内接于⊙O， ∴矩形的对角线即为⊙O的直径， ∴BD， 故答案为：． 【点评】本题考查了圆周角定理的推论，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握以上内容是解题关键． 14．图中的银杏叶的面积可近似的看成扇形AOB的面积．已知OA＝3cm，∠AOB＝150°，则该银杏叶的面积约为　π　 cm2（结果保留π）． 【考点】扇形面积的计算． 【专题】与圆有关的计算；运算能力． 【答案】π． 【分析】根据扇形面积的计算方法进行计算即可． 【解答】解：该银杏叶的面积为π（cm2）． 故答案为：π． 【点评】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 15．园林中设计的各种样式的门是造景的一种方法．如图是一面墙和墙中间一个圆拱门的示意图，墙高2.5m，长6m，门为圆形的一部分，圆的半径为1m，圆与地面的交界处AB宽m，则墙的面积为　　 m2． 【考点】垂径定理的应用． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】． 【分析】设圆心为O，连接OA，OB，过点O作OD⊥AB于点D，求得AD＝OD，得到△ADO是等腰直角三角形，得出∠AOB＝90°，再通过面积法求解即可． 【解答】解：设圆心为O，连接OA，OB，过点O作OD⊥AB于点D，如图： ∵OA＝OB，OD⊥AB， ∴，∠AOD＝∠BOD， 在Rt△ADO中，， ∴AD＝OD， ∴△ADO是等腰直角三角形， ∴∠BOD＝∠AOD＝45°， ∴∠AOB＝∠BOD+∠AOD＝90°， ∴大扇形AOB的面积为：， ， ∴，即墙的面积为m2． 故答案为：． 【点评】本题考查了垂径定理的应用，关键是相关定理的熟练掌握． 三．解答题（共5小题） 16．如图，点D是△ABC的内心，连接BD并延长交△ABC的外接圆于点E，BE与AC交于点F，连接AE． （1）求证：AE＝DE； （2）若DE＝6，BD＝3，求EF的长． 【考点】三角形的内切圆与内心；三角形的外接圆与外心． 【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；图形的相似；运算能力；推理能力． 【答案】（1）连接AD， ∵点D是△ABC的内心，连接BD并延长交△ABC的外接圆于点E， ∴BE平分∠BAC，AD平分∠BAC， ∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD， ∵∠CAE＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠CAE， ∴∠ADE＝∠BAD+∠ABE＝∠CAD+∠CAE＝∠DAE， ∴AE＝DE． （2）EF的长为4． 【分析】（1）连接AD，因为点D是△ABC的内心，所以∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD，因为∠CAE＝∠CBE，所以∠ABE＝∠CAE，则∠ADE＝∠BAD+∠ABE＝∠CAD+∠CAE＝∠DAE，所以AE＝DE． （2）由∠FAE＝∠ABE，∠E＝∠E，证明△FAE∽△ABE，则，因为AE＝DE＝6，BD＝3，所以BE＝DE+BD＝9，求得EF4． 【解答】（1）证明：连接AD， ∵点D是△ABC的内心，连接BD并延长交△ABC的外接圆于点E， ∴BE平分∠BAC，AD平分∠BAC， ∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD， ∵∠CAE＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠CAE， ∴∠ADE＝∠BAD+∠ABE＝∠CAD+∠CAE＝∠DAE， ∴AE＝DE． （2）解：∵∠FAE＝∠ABE，∠E＝∠E， ∴△FAE∽△ABE， ∴， ∴EF， ∵AE＝DE＝6，BD＝3， ∴BE＝DE+BD＝6+3＝9， ∴EF4， ∴EF的长为4． 【点评】此题重点考查三角形的内切圆与内心、三角形的外接圆与外心、圆周角定理、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 17．如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，D是的中点，连接AD，CD，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E． （1）求证：AC∥DE； （2）若∠C＝60°，AB＝10，求图中阴影部分的面积． 18．如图，AB，AC分别为⊙O的直径和弦，过点O作OD⊥AC，垂足为点E，交⊙O于点D，点F为线段OE上一点，连接CD，BF∥CD． （1）求证：BF＝CD； （2）若，求OF的长． 【考点】垂径定理；勾股定理． 【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力． 【答案】（1）连接BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵OD⊥AC于点E，点F为线段OE上一点， ∴∠AEF＝∠ACB＝90°， ∴DF∥BC， ∵BF∥CD， ∴四边形FBCD是平行四边形， ∴BF＝CD． （2）OF的长是． 【分析】（1）连接BC，由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，由OD⊥AC于点E，点F为线段OE上一点，得∠AEF＝∠ACB＝90°，所以DF∥BC，而BF∥CD，则四边形FBCD是平行四边形，所以BF＝CD． （2）由OD⊥AC于点E，AC＝2，得AE＝CE，因为EF＝1，所以OE＝OF+1，则DF＝BC＝2OF+2，所以OA＝OD＝3OF+2，根据勾股定理得（OF+1）2+（）2＝（3OF+2）2，求得OF． 【解答】（1）证明：连接BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵OD⊥AC于点E，点F为线段OE上一点， ∴∠AEF＝∠ACB＝90°， ∴DF∥BC， ∵BF∥CD， ∴四边形FBCD是平行四边形， ∴BF＝CD． （2）解：∵OD⊥AC于点E，AC＝2， ∴∠AEO＝90°，AE＝CEAC， ∵EF＝1， ∴OE＝OF+1， ∵点E是AC的中点，点O是AB的中点，四边形FBCD是平行四边形， ∴DF＝BC＝2OE＝2OF+2， ∴OA＝OD＝DF+OF＝2OF+2+OF＝3OF+2， ∵OE2+AE2＝OA2， ∴（OF+1）2+（）2＝（3OF+2）2， 整理得8OF2+10OF﹣7＝0， 解得OF或OF（不符合题意，舍去）， ∴OF的长是． 【点评】此题重点考查直径所对的圆周角是直角、垂径定理、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 19．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，在AB上取点O，以O为圆心，以OB为半径作圆，与AC相切于点D，并分别与AB，BC相交于点E，F（异于点B）． （1）求证：BD平分∠ABC； （2）若点E恰好是AO的中点，求扇形BOF的面积； （3）若CF的长为1，求⊙O的半径长． 【考点】圆的综合题． 【专题】几何综合题；圆的有关概念及性质；与圆有关的计算；运算能力；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）连接OD，以此可得OD⊥AC，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行得OD∥BC，进而得到∠CBD＝∠ODB，由OD＝OB可得∠OBD＝∠ODB，因此∠OBD＝∠CBD，以此即可证明； （2）连接DE、OD、OF，易得AE＝OE＝OB＝2，根据直角三角形中线的性质的DEOE，因此△DOE为等边三角形，则∠DOE＝60°，根据平行线的性质得∠FBO＝∠DOE＝60°，于是可证明△FBO为等边三角形，再利用扇形的面积公式计算即可； （3）连接OD，过点O作OG⊥BC于点G，则四边DOGC为矩形，根据垂径定理可得BG＝FG，设⊙O的半径为r，则OD＝CG＝OB＝r，OA＝6﹣r，BG＝r﹣1，易证△AOD∽△OBG，根据相似三角形的性质可得出方程，求解即可． 【解答】（1）证明：连接OD，如图， ∵AC与⊙O相切于点D， ∴OD⊥AC， ∵∠C＝90°， ∴BC⊥AC， ∴OD∥BC， ∴∠CBD＝∠ODB， ∵OD＝OB， ∴∠OBD＝∠ODB， ∴∠OBD＝∠CBD， ∴BD平分∠ABC； （2）解：连接DE、OD、OF，如图， ∵AB＝6，E是AO的中点， ∴AE＝OE＝OB＝2， 在Rt△AOD中，DEOE， ∴DE＝OD＝OE， ∴△DOE为等边三角形， ∴∠DOE＝60°， ∵OD∥BC， ∴∠FBO＝∠DOE＝60°， ∵OF＝OB， ∴△FBO为等边三角形， ∴∠BOF＝60°， ∴S扇形BOF； （3）解：连接OD，过点O作OG⊥BC于点G，如图， 则BG＝FG，四边DOGC为矩形， ∴DO＝CG， 设⊙O的半径为r，则OD＝CG＝OB＝r，OA＝AB﹣OB＝6﹣r， ∵CF＝1， ∴BG＝FG＝CG﹣CF＝r﹣1， ∵OD∥BC， ∴∠AOD＝∠OBG， ∵∠ADO＝∠OGB＝90°， ∴△AOD∽△OBG， ∴，即， 解得：r＝2或， ∴⊙O的半径长为2或， 【点评】本题考查切线的性质、等边（等腰）三角形的性质、平行线的判定与性质、直角三角形的中线性质、扇形的面积公式、相似三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题关键． 20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，连接BD，延长AB至点E，使BE＝AD，连接CE． （1）求证：△ADC≌△EBC； （2）若CD＝5，BD＝6，求值． 【考点】圆内接四边形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；圆周角定理． 【专题】图形的全等；圆的有关概念及性质；推理能力． 【答案】（1）∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC＝∠BAC，， ∴DC＝BC， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， ∵点E在AB的延长线上， ∴∠EBC+∠ABC＝180°， ∴∠ADC＝∠EBC， 在△ADC和△EBC中， ， ∴△ADC≌△EBC（SAS）； （2）． 【分析】（1）由∠ADC+∠ABC＝180°，∠EBC+∠ABC＝180°，推导出∠ADC＝∠EBC，而DC＝BC，AD＝EB，可证明△ADC≌△EBC； （2）根据全等三角形的性质求出∠DAC＝∠E，因为∠DAC＝∠BDC，所以∠E＝∠BDC，再证明∠EAC＝∠DBC，进而证明△EAC∽△DBC，最后根据相似三角形的性质求解即可． 【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC＝∠BAC，， ∴DC＝BC， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， ∵点E在AB的延长线上， ∴∠EBC+∠ABC＝180°， ∴∠ADC＝∠EBC， 在△ADC和△EBC中， ， ∴△ADC≌△EBC（SAS）； （2）解：∵△ADC≌△EBC， ∴∠DAC＝∠E， ∵， ∴∠DAC＝∠BDC， ∴∠E＝∠BDC， ∵∠EAC＝∠DAC，∠DBC＝∠DAC， ∴∠EAC＝∠DBC， ∴△EAC∽△DBC， ∴， ∴， ∵BC＝CD＝5，BD＝6， ∴． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明△ADC≌△EBC及△EAC∽△DBC是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $