专题07 圆（5年汇编）（天津专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦天津中考圆专题，整合2022-2026五年真题及模拟题，覆盖垂径定理、圆周角、切线性质三大核心考点，精准匹配天津考情命题规律。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|为主（6-8分/题）|切线性质与三角函数、相似综合（2024天津真题）|真题与模拟题结合，分层设计，第一问证垂直，第二问求线段| |填空题|19题|网格作图（2026河西二模）、圆周角与直径直角转化|突出几何推理，计算量小，适配天津中考填空11/12题考向|

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07圆 5年真题1年模拟 中考品题透析园 考点分类 天津考情(2022-2026) 命题规律 1.每年必考，双线考查： 1.核心模型：见弦作垂线，连半径构造直角三角形， ①填空12题(5分)单独 方程思想求解半径、弦长、弦心距 考弦长、半径计算： 2. 极少单独出大题，多作为计算工具嵌套在圆周角、 考点01利用垂径 ②解答21题圆综合大题 切线综合题中 核心工具，每年融合出现 3.难度中档，侧重线段长度计算，不单独设置复杂证 定理求值 2.2022-2026五年全部覆 明，是圆类计算基础工具 盖，无断考；常搭配勾股 定理、特殊直角三角形计 算线段长度 1.高频双题型：填空 1. 两大核心考向：①角度等量转化（同弧圆周角相 11/12小题(5分)、21 等)：②直径隐含90°直角： 题综合大题 2. 小题纯角度推导，大题搭配切线、垂径定理综合求 2.2022、2023、2024 边长： 考点02圆周角 2025、2026连续五年考 3.侧重几何推理，计算量小，是圆角度推导的核心依 查，角度计算必考； 据，每年必出 常结合直径所对直角、圆 内接四边形互补、同弧等 角命题 1.天津中考圆综合21题 1. 固定辅助线模板：切点连圆心，直接得到90°直角； 固定压轴核心，五年全部 2.大题分层命题：第一问用切线性质证角相等，第二 考查，分值6-8分： 问结合垂径、圆周角求线段： 填空偶有单独小问（切线 3.全卷圆板块最高频综合考点，兼具证明与计算，区 考点03切线的性 垂直半径求角度) 分度高，是复习重点： 质定理 2.2022-2026每年21题第 4.常与解直角三角形、相似三角形跨模块结合命题 一问必用切线性质：连切 点得垂直，构造直角三角 形，融合三角函数、相 似、勾股定理求解 1/26 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 五年真题分类园 考点01利用垂径定理求值 1.(2023天津.中考真题)在⊙O中，半径OC垂直于弦AB,垂足为D,∠AOC=60°，E为弦AB所对 的优弧上一点. G O C C 图① 图② (I)如图①，求∠AOB和∠CEB的大小： (2)如图②，CE与AB相交于点F,EF=EB,过点E作⊙O的切线，与CO的延长线相交于点G,若 OA=3,求EG的长 2.(2022天津.中考真题)已知AB为⊙O的直径，AB=6,C为⊙O上一点，连接CA,CB D B 图① 图② (I)如图①，若C为AB的中点，求∠CAB的大小和AC的长： (2)如图②，若AC=2,OD为⊙O的半径，且OD⊥CB,垂足为E,过点D作⊙O的切线，与AC的延长 线相交于点F,求FD的长. 考点02圆周角 3. (2026天津.中考真题)已知点A,B在⊙O上，∠AOB=120°，点C在AB上，点D在以A,B 2/26 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 为端点的优弧上。 E D D C 图① 图② (I)如图①，当C为AB的中点时，若DB=DC,求∠OBC和∠OBD的大小： (②)如图②，当∠AOC=90°时，过点D作⊙O的切线EF,且EFOB,CD与OB相交于点G,若⊙O 的半径为3，求BD和DG的长， 4.(2026天津中考真题)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,B均在格点上，点C在网 格线上，以AC为直径的半圆经过点B. B A (I)线段AB的长为 (I)点M在线段BC上，点N在线段AM上，满足∠BNM=∠CNM=∠ACB.请用无刻度的直尺， 在如图所示的网格中，画出点M,N,并简要说明点M,N的位置是如何找到的（不要求证明） 5.(2025天津中考真题)已知AB与⊙O相切于点C,OA=OB,∠AOB=80°，OB与⊙O相交于点D, B为⊙O上一点. 3/26 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图① 图② I)如图①，求∠CED的大小： (②)如图②，当EC‖OA时，EC与OB相交于点F,延长BO与⊙O相交于点G,若⊙O的半径为3，求 ED和EG的长. 6.(2025天津.中考真题)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点P,A均在格点上. (1)线段PA的长为 (2)直线PA与△ABC的外接圆相切于点A,AB=BC.点M在射线BC上，点N在线段BA的延长线上， 满足CM=2AN,且MN与射线BA垂直.请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M,N,并简 要说明点M,N的位置是如何找到的（不要求证明） C2023天津中考真题)如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于号AC的长为半径作 (弧所在圆的半径都相等)，两弧相交于M,N两点，直线MN分别与边BC,AC相交于点D,E,连接 AD.若BD=DC,AE=4,AD=5,则AB的长为() A.9 B.8 C.7 D.6 8.(2022天津中考真题)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A,B,C及∠DPF的 一边上的点E,F均在格点上. 4/26 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)线段EF的长等于 (Ⅱ)若点M,N分别在射线PD,PF上，满足∠MBN=90°且BM=BN.请用无刻度的直尺，在如图 所示的网格中，画出点M,并简要说明点M,N的位置是如何找到的（不要求证明） 考点03切线的性质定理 9. (2024天津.中考真题)已知△AOB中，∠AB0=30°，AB为⊙O的弦，直线MN与⊙O相切于点C A B M M C 图① 图② I)如图①，若AB‖MN,直径CE与AB相交于点D,求∠AOB和∠BCE的大小： (②)如图②，若OB‖MN,CG⊥AB,垂足为G,CG与OB相交于点F,OA=3,求线段OF的长. 10. (2024天津中考真题)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,F,G均在格点上. G E (1)线段AG的长为 (2)点E在水平网格线上，过点A,E,F作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与AE,AF的 5/26 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 延长线相交于点B,C,△ABC中，点M在边BC上，点N在边AB上，点P在边AC上.请用无刻度的直 尺，在如图所示的网格中，画出点M,N,P,使△MNP的周长最短，并简要说明点M,N,P的位置 是如何找到的（不要求证明） 一年模拟练测园 一、单选题 1.（2026天津河西·二模)如图，要将边长为10cm的正方形铁丝框ABCD变形为以点A为圆心，以AE, AF为半径的扇形（忽略铁丝的粗细）·有下列结论： ①若AE的长取8cm时，此扇形的面积为96cm2: ②AE的长有两个不同的值满足扇形的面积为100cm'； ③当AE=AB时，扇形的面积取得最大值. 其中，正确结论的个数是()· D E F A B A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题 2.(2026天津滨海新区·三模)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC中，顶点A是圆与 格线的交点，顶点B在格线上，顶点C是格点，点D是格点，连接CD B 6/26 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)线段CD的长为 (Ⅱ)线段CD交圆于点E,线段AB交圆于格线上一点F,请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，作 出△ABC的内心I(所作直线、射线及线段的总数不得大于6条)，并简要说明点I的位置是如何找到的 (不要求证明) 3.(2026天津南开·二模)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A,B,C,D均为格点. D (1)线段AB的长为 (2)圆过格点A,B,且AB所对的圆心角是120°.点P为此圆上一点，使得△ABP为等边三角形，点Q 为线段CD上一点，满足BQ为此圆的切线.请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P,Q,并 简要说明点P,Q的位置是如何找到的（不要求证明） 4.(2026天津.一模)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A和点B是格点，点C在格线上， 圆的直径CD与点C所在的格线互相垂直，垂足为C,BE是圆的切线，点F为切点， B D (1)点A和点B的距离为 (2)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在半圆上画出CF的中点P,并简要说明点P的位置是如 何找到的（不要求证明，所作的直线，射线或线段的条数不得大于5） 5.(2026天津和平.一模)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,C,D,E,F均在格点上. 7/26 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)线段EF的长为； (2)直线EF与△PAB的外接圆相切于点P,点M在AP上，满足∠A+∠PBM=90°.请用无刻度的直 尺，在如图所示的网格中，画出点M,并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明） 6.(2026天津河西一模)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A在格点上，点B在格线上， 以AB为直径的圆上有点C和点D,且AD平分∠BAC. A ⊙ (1)若∠BAD=19°，则∠BAC的大小为 (2)若该圆上有一点P,连接CP交AD于E,恰好使得DE=DB.请用无刻度的直尺，在如图所示的网 格中，画出点P,并简要说明点P的位置是如何找到的（画线不能超过10条，不要求证明） 7.(2026天津和平，三模)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,D在竖直网格线上，点E 在水平网格线上，以AB为直径的半圆经过D,E两点. D 8/26 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)若AB=6,AD=3,则点B到AD的距离为 (Ⅱ)AB与竖直网格线相交于点C,点H在半圆上，满足∠DAH=∠EHB,连接BH,在线段BH上取 一点P,使线段CP最短.请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点H,P,并简要说明点H,P 的位置是如何找到的（不要求证明） 8.(2026天津.二模)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,B,C均在格点上. (1)线段AC的长为： (2)经过点B,C的圆与网格线相交于点D,与AC相交于点E,圆心记为O.点P在BE上.满足 ∠PAD=3∠POD.请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P,并简要说明点P的位置是如 何找到的（不要求证明）· 9.(2026天津.二模)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A在格点上，点B,C在网格线上， △ABC的外接圆交网格线于点D,且D为网格线中点，△ABC的外接圆圆心为O. D (I)AD的长为 (Ⅱ)⊙O上有一点P,连接DP,满足DP=AD,请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出点P, 并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） 10.(2026天津.二模)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,B,C均在格点上.AB为 ⊙O的直径，点M在线段AC上. 9/26 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B (1)线段AB的长为 (2)请利用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M,满足AM+OM的值最小，并简要说明点 M的位置是如何找到的（不要求证明） 11.（2026天津.一模)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A在格点上，点B在格线上，以 AB为直径作半圆，半圆弧的中点为C. (1)∠CAB的度数为 (2)若点P在圆上，BP与AC相交于点Q.请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P,使 AP=BQ,并简要说明点P的位置是如何找到的不要求证明D 12.(2026天津西青一模)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，半圆的直径AC经过格点A, B,点D是半圆上一点， ①线段AB的长等于 ②若∠DAC=22.5°，点M在线段AC上，点N在线段AD上，在如图所示的网格中，请用无刻度的直尺， 画出点M和点N,使得CN+MN最短，并简要说明点M和点N的位置是如何找到的（不要求证明） 10126 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 13.(2026天津.一模)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,B均在格点上，点C在经过点 A的圆上. B (1)线段AB的长为 (2)1为过点A且与圆相切的直线，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在直线1上画出点Q,使 QC=QA,并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明） 14.(2026·天津.一模)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC内接于⊙O,点C为格点， AB为直径，AB=5,BC=V19 (1)AC的长等于 (2)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出过点C的⊙O的切线，与BA的延长线交于点P,并 简要说明点P位置是如何找到的（不要求证明） 15,（2026天津·二模)如图，在每个小正方形边长为1的网格中，点A在格点上，点B是小正方形边的 中点，有一个经过格点A的圆， 11/26 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)线段AB的长等于 (Ⅱ)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出经过点A的圆的切线，并简要说明画图方法（不要 求证明) 16.(2026天津河东·二模)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,P均是格点. (I)线段AP的长等于； (Ⅱ)过△ABC的顶点A,B,与边BC交于点D,直线PC与该圆相切于点A,点M在劣弧AD上，满足 ∠CBM=∠ACB,请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M,并简要说明点M的位置是如 何找到的（不要求证明） 17.(2026天津红桥·二模)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,B均在格点上 (I)线段AB的长为 (I)点C在AB的延长线上，点P,Q在以AC为直径的半圆上，满足∠PCA=45°且PQ=CQ.请用无 刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P,Q,并简要说明点P,Q的位置是如何找到的（不要求证 明) 18.(2026天津西青·二模)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,B是格点，点C是线段 AB上一点，点D与点B在同一条水平格线上，且∠BAD>45°，过A,C,D三点作圆，连接AD,CD (1)线段AB的长等于 12126 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)点M在线段AD上，满足∠CMD=∠ACD,请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M, 并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明，所有添加的线不超过6条） 19.(2026天津.一模)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A和点B是格点，点C在格线上， 点M是弧AC的中点，DE为AC所在半圆的直径. (1)点A和点B的距离为 (2)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在半圆上画出弧CD的中点P,并简要说明点P的位置是 如何找到的（不要求证明） 三、解答题 20.(2026·天津滨海新区·三模)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,过点C作⊙O的切线交 AB的延长线于点F.连接AD,OD. 图1 图2 (1)如图1，若∠A=22°，求∠F的大小： 2)如图2，连接BD,取BD中点G,连接CG,若CF‖AD,且CG=-V21,求⊙O的半径. 21.(2026天津和平.三模)如图，点A,B,C在⊙O上，以BA,BC为边作口ABCD 13126 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0 A 图① 图② D (1)如图①，若∠ACB=35°，当BC经过圆心O时，求∠ADC的度数： (②)如图②，若⊙O的半径为6，∠ABC=30°，当AD与⊙O相切时，求AD的长， 22.(2026天津红桥·三模)如图，AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB于点C,过点E作⊙O的切线，交AB 的延长线于点D. E B F 图① 图② 1)如图①，若H为BF的中点，∠D=38°，求∠FEH的大小： 2)如图②，若G为BF的中点，∠D=30°，EG=7,求线段EF的长. 23.(2026天津南开.三模)AB,AC分别与⊙O相切于B,C两点，BD是⊙O的直径.过点C作 CF‖AB交BD于点E,交⊙O于点F.连接OC,BF D B D 图1 图2 I)如图1，若∠BAC=66°，求∠CED和∠BFC的大小： (②)如图2，连接AE,若∠BAC=120°，且⊙O的半径为6，求线段AE的长. 24.(2026天津.二模)已知AB是⊙O的直径，AC,BC是⊙O的弦，D为AC的中点，OD与AC交于 点E (1)如图①，若∠BOD=128°，连接BD,求∠BAC和∠CBD的大小： 14/26 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B E D 图① (②)如图②，过点C作⊙O的切线与OD的延长线交于点F,若DC‖AB,半径为2，求CF,DF的长. B E D 图② 25.(2026天津·二模)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A为格点，过点A的圆上有点B, C,D,且AC⊥BD于E,连接AB,CD. (1)写出图中与∠A互余的角为 2)若弦CD上有一点P,当EP最短时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P,并简要说明 点P的位置是如何找到的（画线不超过10条，不要求证明）， 26.(2026天津.二模)已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为 点D,AD交⊙O于点E,连接AC. 15126 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E ◇ ◇ D D 图① 图② (1)如图①，若∠DAC=33°，求∠BAC的大小： ②)如图②，过点B作BF‖AD交⊙O于点F,连接CP,若DC=1,AD=2,求CF的长. 27.（2026·天津.二模)已知AB为⊙O的直径，又以AB为边的平行四边形ABCD A H 图① 图② 1)如图①，当点C在⊙O上，边DC与⊙O交于点E时，AC与BE交于F,若∠CAB=35°，求∠D和 ∠EBC的大小： (2)如图②，当边DC与⊙O相切于点H,BC边交⊙O于点G时，若∠DAB=105°，⊙O的半径为 2+V6,求AD的长. 28.(2026天津.一模)已知：在⊙O中，AB为直径，P为射线AB上一点，过点P作⊙O的切线，切点 为点C,D为弧AC上一点，连接BD、BC、DC D D B 图1 图2 (1)如图1，若∠D=28°，求∠P的度数： (2)如图2，若四边形CDBP为平行四边形，BC=5,求CP的长. 29.(2026·天津.一模)已知△ABC中，AC=BC,AB与⊙O相交于点D,过点D作⊙O的切线，交 BC于点E. 16126 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B B E E D A C 图o 图@ I)如图①，线段AC为⊙O的直径，若∠BDE=25°，求∠C的大小： (②)如图②，AC过圆心O,线段BC与⊙O相切于点F,若∠BDE=15°，且AC=6,求圆的半径和BE的 长. 30.(2026·天津.一模)如图①，已知AC是⊙O的直径，PA,PB是⊙O的两条切线，A,B为切点，且 ∠P=40°，连接BC. B 图① 图② (I)求∠BAC和∠ACB的大小； (②)如图②，在直径AC上取一点D,使AD=AB,延长BD交⊙O于点E,连接AE,若AB=4, AE=3V3,求∠EAC的度数及△ABE的面积. 31.(2026·天津.一模)AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，B为切点，弦DE⊥AB,垂足为点F, BE‖CD,连接BD,OD. E D 0 B B 图1 图2 17/26 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)如图1，若∠C=25°，求∠BOD和∠EDB大小： (2)如图2，若CD=10,BC=12,求⊙O的半径和AF的长. 32.(2026·天津.一模)已知AB是⊙O的切线，切点为C,连接OC,AD与⊙O有一个公共点E,EF为 ⊙O直径. D 图① 图② 1)如图①，点D在⊙0上，∠A=45°，∠COE=75°，OC=2,求∠兽乙的大小与线段DE的长： (2)如图②，点D在⊙O外，AD切⊙O于点E,G为⊙O上一点，连接GE,GF,OA,若∠GFE=35°， OA≥i,求∠CAE的大小. 33.(2026天津.一模)已知AB是⊙O的直径，线段CD和CB是⊙O的弦. B 图① 图② I)如图①，CD⊥AB,垂足是E,若⊙O的半径是5，OE=3,求弦CD,CB的长： (2)如图②，点C是DB的中点，过点A作⊙O的切线，与CD的延长线交于点M,连接AD,若∠B=55°， 求∠DAB和∠M的大小. 34.(2026天津北辰.二模)已知AB与⊙O相切于点C,OA=OB,∠AOB=90°，OB与⊙O相交于点 D,E为⊙O上一点. E 图① 图② 1)如图①，求∠CED的大小： 18126 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)如图②，当点E在AO的延长线上，过点E作⊙O的切线，与AB的延长线交于点G,线段EG上有一点 F,且∠FCG=15°，若⊙O的半径为22，求CF的长， 35.(2026·天津红桥·三模)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A,B在网格线 上，以AB为直径的圆经过点C. (1)∠ACB的大小为 (度)： (2)点M,N,P分别在边BC,AC,AB上，且四边形MCNP为矩形，当S矩形MCNP= 时，请用 无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P,MN,并简要说明点P,M,N的位置是如何找到的 (不要求证明) 36. (2026·天津和平.三模)已知在△ABC中，AC为⊙O的直径，点B在⊙O上，∠BCA=30°，直线 MN切OO于点E. D G M E E N 图① 图② (I)如图①，若BC‖MN,直径DE与BC相交于点H,求∠CAB和∠CED的大小： 2)如图②，若AC‖MN,EG⊥BC,垂足为G,EG与AC相交于点F,OA=3,求线段AF的长. 37.(2026天津河东，三模)已知△ACD内接于⊙O,AB为⊙O的直径，EC与⊙O相切于点C,连接 DB并延长交CE于点E, 19126 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D 图① 图② (1)如图①，若AC=AD,∠BAD=28°，求∠CDB和∠ACE的大小： 2)如图②，若AC=CD,CE=3,AC=35,求⊙O的半径. 38.(2026天津北辰.二模)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,B均在格点上，点C为小 正方形网格线的中点， B (1)线段BC的长为 (2)经过点B,C的⊙O与AB交于点D,点G为劣弧BC的中点，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格 中，画出点O,G,并简要说明点O,G的位置是如何找到的（不要求证明） 39.(2026天津宁河二模)在⊙O中，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点. D B 图① 图② (I)如图①，D为劣弧AC上一点，若∠BAC=35°，求∠BOC和∠ADC的大小： (②)如图②，过点C作AB的垂线，交AB于点H,交⊙O于点E,过点E作⊙O的切线交CB的延长线于点 F,连接BE,AE,若AC=CE,BF=3,求EF的长度 40.(2026·天津河东·二模)已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分 线，AD=DC,AE=AB,延长AE与圆交于点F 20126 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A A ·0 E B D B H 图① 图② (1)如图①，求∠F的大小： (2)如图②，过点F的切线与OC的延长线交于点G,若FG=3,求BC的长 41.(2026天津北辰·二模)在⊙O中，直径AB垂直于弦CD,垂足为E,连接AD,OD. EO B GF 图① 图② (I)如图①，若∠ABC=22°，求∠AOD和∠BAD的大小： 2)如图②，若∠ABC=30°，过点D作OO的切线DF,过点B作BG1DF,垂足为G,交⊙O于点 H,若⊙O的半径为2，求AD和GH的长 42.(2026·天津南开.二模)△ABC内接于⊙O,过点C作⊙O的切线CD,连接AD,AD与⊙O相交 于点E.若∠BAC=45°，∠D=90. D D 图1 图2 (1)如图1，若∠CAD=15°，求∠OBC和∠OCA的大小： 2)如图2，BO的延长线与AD相交于点R,若CD=2,AB=V30,求⊙O的半径和线段EF的长. 43.(2026天津和平.二模)已知AE为⊙O的直径，B,C,D为⊙O上的点，连接AB,BC,CD DE,∠BAE+∠BCD=150°. 21126 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D 图① 图② (1)如图①，求∠AED的度数： (②)如图②，当AB‖DE时，且BC=CD,过点C作⊙O的切线，与AE的延长线相交于点P,若 CD=3V2,求PC的长 44.(2026天津.二模)已知，在⊙O中，直径CE⊥弦AB,垂足为点H,连接OA,OB,ED是⊙O的弦. B D 图① 图② I)如图①，连接AD,若∠B0C=50°，求∠ADE的大小 (2)如图2，直线l切⊙O于点D,与CE的延长线交于点P,连接BD,若BD‖CE,∠BOC=30°， OA=2,求∠BDE的大小和线段PD的长， 45.(2026天津.二模)已知点C,D在以AB为直径的⊙O上，∠BAD=∠BAC,过点C作⊙O的切线 与BA的延长线相交于点P. B 图① 图② (1)如图①，连接BD,若∠P=40°，求∠ABD的大小： (2)如图②，连接CD与OA相交于点F,若四边形ODAC是平行四边形，BF=3,求线段PC的长. 46.(2026天津西青·二模)已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点P,∠ACD=20°. 22126 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 图① 图② (1)如图①，若∠BPC=56°，求∠ADC的大小： (2)如图②，过点D作⊙O的切线，与BA的延长线交于点Q,若PQ=DQ,⊙O的半径是3，求弦AC的长. 47.(2026天津滨海新区.一模)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC内接于圆，且顶点 A在格点上，点B在格线上，AC为圆的直径. (1)∠ABC的度数为： (2)在如图所示的网格中，请用无刻度的直尺，在AB上画出一点P,使∠BMP=号∠ACB,并简要说 明点P的位置是如何找到的（不要求证明）、 48.(2026天津.一模)如图，AB是⊙O的直径，CB,CD分别与⊙O相切于点B,D,连接OC,E是 AB的延长线上一点，连接AD,EC并延长交于点F. B 1)若∠A=62°，求∠OCB的度数 (2)若FA=FE,CD=4,BE=2,求FA的长. 49.(2026天津一模)已知PA,PB分别与⊙O相切于点A,B,OC为⊙O半径，连接BC, 23126 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B B 图① 图② (I)如图①，延长AO与⊙O相交于点E,若BC⊥OA,垂足为点F,∠FOC=66°，求∠APB的度数： (2)如图②，延长BC与PA相交于点M,若BCOA,PB=10,PM=6,求⊙O的半径 50.（2026天津.一模)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,B均在格点上. (1)线段AB的长为： (2)AB是圆的直径，圆与网格线交于点C,过点C作圆的切线，与网格线交于点M.过点M作圆的切线， 切点为D(点D与点C不重合)·请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点D,并简要说明点D 的位置是如何找到的（不要求证明） 51.(2026天津.一模)已知△ABC中，AB=AC,AB为⊙O的直径，AC,BC与⊙O分别相交于点 D,E,弦EF⊥AB,垂足为G,连接DF B 图① 图② (I)如图①，若∠BAC=50°，求∠BEF和∠ADF的大小； (2)如图②，若DF经过点O,过点E作⊙O的切线EH,交AC于点H,⊙O的半径为3，求EF和EH的长， 52.(2026·天津.一模)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,B均在格点上，点C在格线上， 且AB=AC 24126 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)线段BC的长为 (Ⅱ)圆过点A,B,C,过点A画这个圆的切线，点P在这条切线上，且满足BC=2PA.请用无刻度的 直尺，在如图所示的网格中，画出点P,并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） 53.(2026·天津.一模)已知△ABC,AB=AC,⊙O过点A,且与边BC切于点E,点D是⊙O上一点 A E 图① 图② I)如图①，若∠BAC=70°，点O在AB上，且与边AC交于点F,连接DE和DF,求∠EDF的大小： (②)如图②，点E为BC中点，⊙O与边AB交于点G,连接DG,当DG‖AC时，若∠ABC=70°， BG=10,AB=15,求DG的长 54.(2026天津东丽一模)已知在⊙O中，点C为AB的中点，连接OC交弦AB于点E,点D在⊙O上， 连接OA,OB,BD,CD, D D E B E 图① 图② (1)如图①，连接AC,若∠D=28°，求∠OBA和∠OAC的度数： (②)如图②，过点A作⊙O的切线交OC延长线于点F,若∠D=30°，OA=3,求AB和AF的长. 25126 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 55.(2026·天津.一模)已知AB是⊙O的直径，AD,DE是⊙O的弦. D D B B 0 E E 图① 图② I)如图①，若E为AB的中点，∠DAB=70°，求∠AED和∠DAE的大小； (②)如图②，若DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线交BA延长线于点C,连接CE.BD=DC, CA=2V3,求CE的长. 56.(2026天津.一模)已知锐角三角形ABC内接于⊙O,AB=AC,CD为⊙O的直径，连接BD 图① 图② (1)如图①，若∠ABD=36°，求∠BAC和∠BCD的大小： (②)如图②，过点A作OO的切线，与BD的延长线相交于点P.若AB⊥CD,PD=2,求线段AC的长， 26126 专题07 圆 5年真题1年模拟·答案版 考点01 利用垂径定理求值 1．(1)， (2) 2．(1)， (2) 考点02 圆周角 3．(1)， (2)， 4． 解法一：如图，取格点，连接，与网格线交于点，连接，与交于点，与半圆相交于点，连接，与网格线相交于，取与网格线的交点，连接并延长，与网格线相交于，连接并延长，与相交于点，则点即为所求. 解法二：如图， 设分别与格线交于点O，点D，连接并延长交格线于点E，连接交于点M，交格线于点F，设交格线于点G，连接并延长交格线于点，连接交半圆于点K，连接交于点N，则点M，点N即为所求． 5．(1) (2)3， 6． 如图所示，点即为所求， 作法：直线PA与射线BC的交点为；取圆与网格线的交点和，连接；取格点，连接，与相交于点；连接并延长，与相交于点，与直线相交于点；连接并延长，与网格线相交于点，连接，与网格线相交于点；连接，与线段的延长线相交于点，则点M，N即为所求． 7．D 8． 点M，N即为所求， 考点03 切线的性质定理 9．(1)； (2) 10． 如图，根据题意，切点为；连接并延长，与网格线相交于点；取圆与网格线的交点和格点，连接并延长，与网格线相交于点；连接，分别与，相交于点，，则点，，即为所求． 1．C 2． 取格点G，作射线交圆于点K，连接，取圆与格线交点J，连接交于点O，连接交格线于点H，作射线交于点M，连接交于点I 3． 见解析 如图所示： 根据网格取中点为，再取如图格点，连接与圆的交点即为点； 4． 取圆与格线交点M，N，连接交于点O，延长交格线于点T，连接交圆O于点P，点P即为所求 5． 先作出的垂直平分线，并交于点，点即为圆心，连接并延长交圆于一点，此点即为点 6． 38 取的中点，取的中点，连接交于，连接交于即为所求 7． 取与点水平与圆相交的点为，连接，连接,交竖直网格线为点,连接，根据网格取的中点，延长，使得,连接交为点，点满足最短． 8． 如图所示，点P即为所求； 取圆与格线的交点T，连接交于点O，取格点G，H，连接分别与格线交于点K，L，连接交圆于点R，连接并延长交圆于点P，则点P即为所求． 9． 取格点，，连接，交于点，，连接交于点，连接并延长交于点，延长交网格线于点，连接交于点，点即为所求． 10． 取格点，，连接并延长交于点H，连接交格线于点P，连接交格线于点Q，连接并延长交于点，则点即为所求 11． 45 取格点，，，，连接，分别与格线交于，，射线交于圆心：作射线交格线于点，连接交格线于，连接交圆弧于点，则点即为所求． 12． 如图，取格点E，连接与半圆交于点F，连接并延长与交于点G，连接与交于点N，连接并延长与交于点M，则点M，N即为所求． 13． 如图， 取圆与网格线的交点D，E，连接； 取格点F，连接与圆相交于点G； 取与圆的交点H，连接与相交于点O； 连接与网格线相交于点I，连接与网格线相交于点J； 连接，取与网格线的交点K，连接并延长，与相交于点P； 连接并延长，与直线l相交于点Q，则点Q即为所求． 14． 如图，取圆与格线交点，，连接交于点，点即为圆心，连接与格线交于点，取格点，，，，Q，T，连接，，延长交于，连接并延长，交格线于点，连接并延长，交延长线于点，点即为所求． 15． 取格点、，连接交圆于点，连接交圆于点，连接，则为直径，取圆与格线的交点、，连接，则是直径，与交于点，点即为圆心，连接并延长交圆于点，连接交圆于点，连接交于点，连接并延长交于点，取与格线的交点，取与格线的交点，连接并延长交格线于点，连接即为所求． 如图，即为所求． 16． 点M如图所示． 17． 点，如图所示： 18． 点在线段上，满足，如图所示： 取圆与水平格线交点，连接与水平格线交于点，取格点，连接与水平格线交于点，取格点，连接并延长与水平格线交于点，连接并延长与圆交于点，连接与交于点，则点即为所求． 理由如下：根据上下距离相等得到，，，结合得到与关于直线对称，则， 由对顶角相等得到，由圆内接四边形得到， 即可得到圆周角，则， ∴， ∵中，中， ∴． 19． 连接交格线于点N，作射线交直径于点O，连接交格线于点，取格点F，作射线，连接交线段于点G，作射线交于点，作直线交格线于点J，K，作射线交于点H，连接交于点，作射线交于点P，点P即为所求． 20．(1) (2) 21．(1)； (2)． 22．(1) (2) 23．(1)， (2) 24．(1)， (2)， 25．(1)， (2)如图，点P即为所求． 如图，取格点使得，连接并延长交格线于点H，连接交格线于点K，连接交于I，连接并延长与的交点即为所求点P． ， 26．(1) (2) 27．(1)， (2) 28．(1) (2) 29．(1) (2)半径为2， 30．(1)，； (2)，的面积为． 31．(1)，； (2)；． 32．(1)， (2) 33．(1)， (2)， 34．(1) (2) 35． 90 如图，点P，M，N即为所求： 作法：作射线交格线于点D和点E，连接交格线于点F，连接交格线于点G，连接并延长，分别交、于点N、点P，连接、相交于点H，连接并延长交于点M，则点P、M、N即为所求． 36．(1)， (2) 37．(1)， (2)的半径为 38． 如图①，取格点，，连接，交网格线于点，，分别为与网格线的交点，连接，，与交于点，连接，交于点；设与网格线的交点为，连接并延长交于点，则点，即为所求． 如图②，取点，则点为的中点， ∵点为小正方形网格线的中点， ∴， ∴， ∴为的直径， ∵， ∴为的直径， ∴与的交点为圆心； 设弦交网格线于点，则点为弦的中点， ∴的延长线与的交点为的中点． 39．(1)， (2) 40．(1) (2) 41．(1)， (2)， 42．(1)， (2)的半径为，线段的长为 43．(1) (2) 44．(1) (2)， 45．(1) (2) 46．(1) (2) 47． ； 取圆与格线的交点，连接，与相交于点，由圆周角定理可得，因为，故可知四边形为矩形，所以，可得为圆的直径，因此点为圆心，再利用正方形的性质作出的中点，连接，与圆相交于点，连接，由垂径定理可得，即可得，故点为所求 48．(1) (2) 49．(1) (2) 50． 如图：点D即为所求： 取圆与网格线的交点E，连接交于点O，则为直径，延长至点F，使得M为中点，连接交圆于点D，点D即为所求 51．(1)， (2)， 52． 2 作的中位线在上，在上)，连接交于圆心，延长交横格线于点，作切线，射线交切线于点，点即为所求． 53．(1) (2) 54．(1)． (2)， 55．(1)， (2) 56．(1)， (2) 试卷第1页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 圆 5年真题1年模拟 考点分类 天津考情（2022-2026） 命题规律 考点01利用垂径定理求值 1. 每年必考，双线考查： ①填空12题（5分）单独考弦长、半径计算； ②解答21题圆综合大题核心工具，每年融合出现 2. 2022-2026五年全部覆盖，无断考；常搭配勾股定理、特殊直角三角形计算线段长度 1. 核心模型：见弦作垂线，连半径构造直角三角形，方程思想求解半径、弦长、弦心距 2. 极少单独出大题，多作为计算工具嵌套在圆周角、切线综合题中 3. 难度中档，侧重线段长度计算，不单独设置复杂证明，是圆类计算基础工具 考点02 圆周角 1. 高频双题型：填空11/12小题（5分）、21题综合大题 2. 2022、2023、2024、2025、2026连续五年考查，角度计算必考； 常结合直径所对直角、圆内接四边形互补、同弧等角命题 1. 两大核心考向：①角度等量转化（同弧圆周角相等）；②直径隐含90°直角； 2. 小题纯角度推导，大题搭配切线、垂径定理综合求边长； 3. 侧重几何推理，计算量小，是圆角度推导的核心依据，每年必出 考点03 切线的性质定理 1. 天津中考圆综合21题固定压轴核心，五年全部考查，分值6-8分； 填空偶有单独小问（切线垂直半径求角度） 2. 2022-2026每年21题第一问必用切线性质：连切点得垂直，构造直角三角形，融合三角函数、相似、勾股定理求解 1. 固定辅助线模板：切点连圆心，直接得到90°直角； 2. 大题分层命题：第一问用切线性质证角相等，第二问结合垂径、圆周角求线段； 3. 全卷圆板块最高频综合考点，兼具证明与计算，区分度高，是复习重点； 4. 常与解直角三角形、相似三角形跨模块结合命题 考点01 利用垂径定理求值 1．（2023·天津·中考真题）在中，半径垂直于弦，垂足为D，，E为弦所对的优弧上一点．    (1)如图①，求和的大小； (2)如图②，与相交于点F，，过点E作的切线，与的延长线相交于点G，若，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据半径垂直于弦，可以得到，从而得到，结合已知条件即可得到，根据即可求出； （2）根据，结合，推算出，进一步推算出，在中，，再根据即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，半径垂直于弦，    ∴，得． ∵， ∴． ∵， ∴． （2）解：如图，连接． 同（1）得． ∵在中，， ∴． ∴． 又， ∴． ∵与相切于点E， ∴，即． 在中，， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理、切线的性质和直角三角函数，解题的关键是灵活运用相关知识． 2．（2022·天津·中考真题）已知为的直径，，C为上一点，连接． (1)如图①，若C为的中点，求的大小和的长； (2)如图②，若为的半径，且，垂足为E，过点D作的切线，与的延长线相交于点F，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由圆周角定理得，由C为的中点，得，从而，即可求得的度数，通过勾股定理即可求得AC的长度； （2）证明四边形为矩形，FD=CE= CB，由勾股定理求得BC的长，即可得出答案． 【详解】（1）∵为的直径， ∴， 由C为的中点，得， ∴，得， 在中，， ∴； 根据勾股定理，有， 又，得， ∴； （2）∵是的切线， ∴，即， ∵，垂足为E， ∴， 同（1）可得，有， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，于是， 在中，由，得， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的性质，等腰直角三角形的性质，垂径定理，勾股定理和矩形的判定和性质等，解题的关键是利用数形结合的思想解答此题． 考点02 圆周角 3．（2026·天津·中考真题）已知点 ， 在 上，，点在上，点在以 ， 为端点的优弧上． (1)如图①，当为的中点时，若，求和的大小； (2)如图②，当时，过点作的切线，且，与相交于点，若 的半径为 ，求和的长． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）连接，根据题意可得，则可得到，由圆周角定理可得；根据等腰三角形的性质和三角形内角定理可求出的度数，进而可求出的度数； （2）连接，由切线的性质得到，则由平行线的性质可得；由勾股定理可求出；求出，则由圆周角定理得到；可证明，则，解直角三角形求出的长即可． 【详解】（1）解：如图①所示，连接， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图②所示，连接， ∵与相切， ∴，即， ∵， ∴， ∴； ∵ 的半径为， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 4．（2026·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为 的网格中，点，均在格点上，点在网格线上，以为直径的半圆经过点B． （Ⅰ）线段 的长为________； （Ⅱ）点在线段上，点 在线段上，满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点 ， ，并简要说明点 ， 的位置是如何找到的（不要求证明）________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________． 【答案】 解法一：如图，取格点，连接，与网格线交于点，连接，与交于点，与半圆相交于点，连接，与网格线相交于，取与网格线的交点，连接并延长，与网格线相交于，连接并延长，与相交于点，则点即为所求. 解法二：如图， 设分别与格线交于点O，点D，连接并延长交格线于点E，连接交于点M，交格线于点F，设交格线于点G，连接并延长交格线于点，连接交半圆于点K，连接交于点N，则点M，点N即为所求． 【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求解即可； （Ⅱ）解法一：连接，由网格线的特点可得：为中点，为的中点，可得，进一步可证明，可得，结合，可得，由为直径可得，而，可得，，是中位线，可得，可得，，可得，可得，可得，结合，可得，可得； 解法二：可证明点O为的中点，点D为的中点，点D为的中点，点G为的中点，点G为的中点，则可证明四边形是菱形，得到；证明四边形是平行四边形，进而可证明四边形是平行四边形，得到；由圆内接四边形对角互补可得，则可证明，得到，据此可证明四点共圆，得到，则． 【详解】解：（Ⅰ）由网格的特点和勾股定理可得； （Ⅱ）解法一：如图，取格点，连接，与网格线交于点，连接，与交于点，与半圆相交于点，连接，与网格线相交于，取与网格线的交点，连接并延长，与网格线相交于，连接并延长，与相交于点，则点即为所求. 解法二：如图所示，连接，取格点P、Q， 可证明，得到，则点O为的中点，即点O为半圆的圆心， 同理可得点D为的中点，点D为的中点，点G为的中点，点G为的中点， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴； 同理可证明四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∴． 5．（2025·天津·中考真题）已知与相切于点与相交于点D，E为上一点． (1)如图①，求的大小； (2)如图②，当时，与相交于点，延长与相交于点，若的半径为3，求和的长． 【答案】(1) (2)3， 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）连接，切线的性质得到，三线合一，求出的度数，圆周角定理求出的度数即可； （2）平行线的性质，结合三角形的外角的性质，得到，直径得到，解，进行求解即可． 【详解】（1）解：连接． 与相切于点， ．又， 平分． ∴． ， ． 在中，， ． （2）由（1）知：． ， ． 为的一个外角， ． 由题意，为的直径， ． 又的半径为3，则：． 在中，， ． 6．（2025·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点P，A均在格点上． （1）线段的长为____________； （2）直线与的外接圆相切于点．点在射线上，点在线段的延长线上，满足，且与射线垂直．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）____________． 【答案】 如图所示，点即为所求， 作法：直线PA与射线BC的交点为；取圆与网格线的交点和，连接；取格点，连接，与相交于点；连接并延长，与相交于点，与直线相交于点；连接并延长，与网格线相交于点，连接，与网格线相交于点；连接，与线段的延长线相交于点，则点M，N即为所求． 【分析】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理的推论，等腰三角形的性质，正方形的性质，三角形中位线的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用勾股定理进行求解即可； （2）利用圆周角定理的推论，正方形的性质确定圆心，再根据全等三角形和等腰三角形的三线合一确定线段的中点，利用网格确定点为线段的中点，则为三角形的中位线，利用一组平行线确定点为线段的中点，证明和，得出，即，最后利用切线的性质和等腰三角形的性质，得出为等腰三角形，再利用等腰三角形的性质得出． 【详解】解：（1）由勾股定理得， 故答案为：； （2）理由：∵， ∴为圆的直径， ∵为正方形的对角线， ∴, ∴垂直平分线段， ∴点为圆的圆心， ∴， 又， ， ， 平分， ∴点为线段的中点， 由网格可知点为线段的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴点为线段的中点， ∵， ， ， ∴， 又， ∴， , 即， 延长交于点， ∵， ∴, ， ∴ ∵为圆的切线， ∴， ， , ∴， 即， ∵， ， ∴为等腰三角形， ∴， ∴点即为所求． 7．（2023·天津·中考真题）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接．若，则的长为（    ）    A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】D 【分析】由作图可知直线为边的垂直平分线，再由得到，则可知三点在以为圆心直径的圆上，进而得到，由勾股定理求出即可． 【详解】解：由作图可知，直线为边的垂直平分线， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴三点在以为圆心直径的圆上， ∴， ∵， ∴ ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质，圆的基本性质和勾股定理，解答关键是熟练掌握常用尺规作图的作图痕迹，由作图过程得到新的结论． 8．（2022·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A，B，C及的一边上的点E，F均在格点上． （Ⅰ）线段的长等于___________； （Ⅱ）若点M，N分别在射线上，满足且．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）___________． 【答案】 点M，N即为所求， 【分析】（Ⅰ）根据勾股定理，从图中找出EF所在直角三角形的直角边的长进行计算； （Ⅱ）由图可找到点Q，，即四边形EFBQ是正方形，因为，所以，点M在EQ上，BM、BN与圆的交点为直径端点，所以EQ与PD交点为M，通过BM与圆的交点G和圆心O连线与圆相交于H，所以H在BN上，则延长BH与PF相交点即为N． 【详解】解：（Ⅰ）从图中可知：点E、F水平方向距离为3，竖直方向距离为1， 所以， 故答案为：； （Ⅱ）连接，与竖网格线相交于点O，O即为圆心；取格点Q（E点向右1格，向上3格），连接与射线相交于点M；连接与相交于点G；连接并延长，与相交于点H；连接并延长，与射线相交于点N， 理由如下：连接 由勾股定理算出， 由题意得， 四边形为正方形， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 从而确定了点的位置． 【点睛】本题考查作图，锐角三角函数、圆周角定理，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握圆周角的定理． 考点03 切线的性质定理 9．（2024·天津·中考真题）已知中，为的弦，直线与相切于点． (1)如图①，若，直径与相交于点，求和的大小； (2)如图②，若，垂足为与相交于点，求线段的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查等腰三角形的性质，切线的性质，解直角三角形，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键． （1）根据等边对等角得到，然后利用三角形的内角和得到，然后利用平行线的性质结合圆周角定理解题即可； （2）连接，求出，再在中运用三角函数解题即可． 【详解】（1）为的弦， ．得． 中，， 又， ． 直线与相切于点为的直径， ．即． 又， ． 在中，． ， ． （2）如图，连接． ∵ 直线 与 相切于点 ， ∴ ∵ ∴． ，得． 在中，由， 得． ． 在中，， ． 10．（2024·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为的网格中，点，，均在格点上．    （1）线段的长为______； （2）点在水平网格线上，过点，，作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与，的延长线相交于点，，中，点在边上，点在边上，点在边上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，，使的周长最短，并简要说明点，，的位置是如何找到的（不要求证明）______． 【答案】 如图，根据题意，切点为；连接并延长，与网格线相交于点；取圆与网格线的交点和格点，连接并延长，与网格线相交于点；连接，分别与，相交于点，，则点，，即为所求． 【分析】此题考查了勾股定理、切线的性质等知识，根据题意正确作图是解题的关键． （1）利用勾股定理即可求解； （2）作点关于、的对称点、，连接、，分别与、相交于点、，的周长等于的长，等腰三角形的腰长为，当的值最小时，的值最小，此时是切点，由此作图即可． 【详解】（1）由勾股定理可知，， 故答案为： （2）略 一、单选题 1．（2026·天津河西·二模）如图，要将边长为的正方形铁丝框变形为以点为圆心，以，为半径的扇形（忽略铁丝的粗细）．有下列结论： ①若的长取时，此扇形的面积为； ②的长有两个不同的值满足扇形的面积为； ③当时，扇形的面积取得最大值． 其中，正确结论的个数是（  ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】设扇形半径，正方形边长为，正方形铁丝总长，变形为扇形后，弧长，扇形面积公式，代入得，依托二次函数性质、方程根的判别式判断3个结论对错． 【详解】解：设，铁丝总长，则扇形弧长， 扇形面积： ， 判断结论①：当时，代入面积解析式： ，结论①正确； 判断结论②：令，得方程： ， 整理为标准一元二次方程： ， 判别式， 方程有两个相等实数根，不存在两个不同的值，结论②错误； 判断结论③二次函数，开口向下，最大值在对称轴处取得， 对称轴： ， 正方形边长， 即时，扇形面积取最大值，结论③正确； 综上，①③正确，共2个正确结论． 二、填空题 2．（2026·天津滨海新区·三模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，中，顶点A是圆与格线的交点，顶点B在格线上，顶点C是格点，点D是格点，连接． （Ⅰ）线段的长为_____； （Ⅱ）线段交圆于点E，线段交圆于格线上一点F，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，作出的内心I（所作直线、射线及线段的总数不得大于6条），并简要说明点I的位置是如何找到的（不要求证明）______________________________________________． 【答案】 取格点G，作射线交圆于点K，连接，取圆与格线交点J，连接交于点O，连接交格线于点H，作射线交于点M，连接交于点I 【分析】本题考查勾股定理，圆周角定理，三角形内心，正确理解题意，灵活运用知识点是解题的关键． （1）利用勾股定理即可求解； （2）先利用网格的特征结合圆周角定理找到圆心，再利用圆周角定理结合网格的特征找到的角平分线，两条角平分线的交点即为内心． 【详解】解：（Ⅰ）， 故答案为：； （Ⅱ）取格点G，作射线交圆于点K，连接，取圆与格线交点J，连接交于点O，连接交格线于点H，作射线交于点M，连接交于点I，点I即为所求． 由作图得，即点为圆心，为直径， 由网格的特征得点为中点，即， ∴， ∴，即是的角平分线， ∵，即是的角平分线， ∴点I为的内心． 故答案为：取格点G，作射线交圆于点K，连接，取圆与格线交点J，连接交于点O，连接交格线于点H，作射线交于点M，连接交于点I． 3．（2026·天津南开·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B，C，D均为格点． （1）线段的长为______________； （2）圆过格点A，B，且所对的圆心角是．点P为此圆上一点，使得为等边三角形，点Q为线段上一点，满足为此圆的切线．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，Q，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明）_______________________________． 【答案】 见解析 如图所示： 根据网格取中点为，再取如图格点，连接与圆的交点即为点； 【分析】（1）根据勾股定理计算边长即可； （2）利用格点作的垂直平分线即可得到，作等边三角形，连接，延长与的交点即为点． 【详解】解：（1） （2）理由： ， ，又是中点， 在的垂直平分线上，则， 又所对的圆心角是， ，则为等边三角形； 通过连线得到中点，同理可作点，使得， 连接，与的交点即为圆心，连接分别交于点， 连接，并延长相交于点，再连接，延长与的交点即为点， 理由：垂直平分， 圆心在上，又， 为直径， 为圆心， 分别垂直平分，则分别为中点， ,又， ，， 垂直平分， ， 为等边三角形， ， 又， ， ， ， 又为半径， 为的切线， 即为此圆的切线． 4．（2026·天津·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A和点B是格点，点C在格线上，圆的直径与点C所在的格线互相垂直，垂足为C，是圆的切线，点F为切点． （1）点A和点B的距离为________； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在半圆上画出的中点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明，所作的直线，射线或线段的条数不得大于5）________． 【答案】 取圆与格线交点M，N，连接交于点O，延长交格线于点T，连接交圆O于点P，点P即为所求 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）取圆与格线交点M，N，连接（1条）交于点O，此时，即为直径，即点O为圆心；延长（2条）交格线于点T，根据题意是圆的切线，点C为切点；连接（3条）交圆O于点P，根据切线长定理可知，易证，可知，则，故点P即为所求． 【详解】解：（1）由网格可知，； （2）取圆与格线交点M，N，连接（1条）交于点O，延长（2条）交格线于点T，连接（3条）交圆O于点P，点P即为所求． 5．（2026·天津和平·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，C，D，E，F均在格点上． （1）线段的长为______； （2）直线与的外接圆相切于点P，点M在上，满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明）________． 【答案】 先作出的垂直平分线，并交于点，点即为圆心，连接并延长交圆于一点，此点即为点 【分析】（1）可利用勾股定理计算线段的长度； （2）先借助网格特点确定的垂直平分线；观察图可知，根据切线的性质，得到圆心在上，则的垂直平分线与的交点即为圆心；再结合的条件，利用圆的相关性质，即可找到符合条件的点M． 【详解】（1）由网格可知，、的水平间距为，竖直间距为， 根据勾股定理得： ； （2）先作出的垂直平分线，并交于点，点即为圆心，连接并延长交圆于一点，此点即为点． 6．（2026·天津河西·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点在格点上，点在格线上，以为直径的圆上有点和点，且平分． （1）若，则的大小为______； （2）若该圆上有一点，连接交于，恰好使得．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（画线不能超过10条，不要求证明）______． 【答案】 38 取的中点，取的中点，连接交于，连接交于即为所求 【分析】（1）由角平分线定理即可求解； （2）根据题意，取的中点，的中点，连接交于，连接交于即为所求． 【详解】解：（1） 平分，， ； （2）点如下图： 根据格点取中点为，延长交格线于，连接与格线交于点，且为中点，连接，交于， 连接交于，连接并延长交于即为所求： 为的中位线， ， ，又， ， 又为直径， ，， 又平分， ，又（同弧所对圆周角相等）， ， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ． 7．（2026·天津和平·三模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，在竖直网格线上，点在水平网格线上，以为直径的半圆经过，两点． （I）若，，则点到的距离为________； （II）与竖直网格线相交于点，点在半圆上，满足，连接，在线段上取一点，使线段最短．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，并简要说明点，的位置是如何找到的（不要求证明）____________． 【答案】 取与点水平与圆相交的点为，连接，连接,交竖直网格线为点,连接，根据网格取的中点，延长，使得,连接交为点，点满足最短． 【分析】（I）根据直径所对的圆周角为，进而根据勾股定理即可求解； （II）由（I）可知，即可知,可得，根据网格可知，进而可知,可得,由平行线的性质可知 【详解】解：（I）连接, ∵圆的直径为， ∴ ∴ ∴点到的距离为； （II）略 8．（2026·天津·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，均在格点上． （1）线段的长为___； （2）经过点，的圆与网格线相交于点，与相交于点，圆心记为．点在上．满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）____． 【答案】 如图所示，点P即为所求； 取圆与格线的交点T，连接交于点O，取格点G，H，连接分别与格线交于点K，L，连接交圆于点R，连接并延长交圆于点P，则点P即为所求． 【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可； （2）取圆与格线的交点T，连接交于点O，取格点G，H，连接分别与格线交于点K，L，连接，，连接交圆于点R，连接并延长交圆于点P，则点P即为所求；由90度的圆周角所对的弦是直径可得是直径，由平行线分线段成比例定理可证明点O为的中点，则点O为圆心，同理可证明K、L分别是的中点，则可得到，则垂直平分，则，故，进而可得，再由得到，则，即． 【详解】解：（1）由题意得，； （2）略 9．（2026·天津·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A在格点上，点B，C在网格线上，的外接圆交网格线于点D，且D为网格线中点，的外接圆圆心为O． （Ⅰ）的长为________； （Ⅱ）上有一点P，连接，满足，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的(不要求证明)________________． 【答案】 取格点，，连接，交于点，，连接交于点，连接并延长交于点，延长交网格线于点，连接交于点，点即为所求． 【分析】（Ⅰ）根据勾股定理计算的长即可； （Ⅱ）根据垂径定理及圆的对称性，作点A关于圆心O的对称点H，则为直径，再作点D关于的对称点P，则，利用网格特性找到点H和点P即可． 【详解】解：∵每个小正方形边长为1，D为网格线中点， ∴由勾股定理： （Ⅱ）如图，取格点E，F，连接交于点M，N，连接交于点O，连接并延长交于点H，延长交网格线于点Q，连接交于点P，点P即为所求． 10．（2026·天津·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．为的直径，点M在线段上． （1）线段的长为__________； （2）请利用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，满足的值最小，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明）__________ 【答案】 取格点，，连接并延长交于点H，连接交格线于点P，连接交格线于点Q，连接并延长交于点，则点即为所求 【分析】（1）根据网格特点，利用勾股定理计算的长即可； （2）要求的最小值，需将转化为某条线段．构造，则到的距离为．问题转化为求到的垂线段长度．利用为直径，，故过作的平行线即为到的垂线方向，根据三角形的中位线构造出平行线，该平行线与的交点即为．点H可通过作的垂直平分线与圆的交点得到，此时为等边三角形，，进而推得． 【详解】（1）解：由网格图可知，，两点间的水平距离为，垂直距离为， 根据勾股定理，． （2）解：取格点，，连接并延长交于点H，连接交格线于点P，连接交格线于点Q，连接并延长交于点，则点即为所求． 理由如下： 连接，， 由作图可知，四边形是正方形， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 连接， ∵， ∴． ∵是直径， ∴ 由网格特点可得，点是的中点， ∵点O是的中点， ∴， 过点M作于点N， ∴， ， ∵， ∴， ∴点O，M，H三点共线， ∴， 根据垂线段最短，为最小值，即为最小值． 11．（2026·天津·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点在格点上，点在格线上，以为直径作半圆，半圆弧的中点为． （1）的度数为________°； （2）若点在圆上，与相交于点．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，使，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）________． 【答案】 45 取格点，，，，连接，分别与格线交于，，射线交于圆心：作射线交格线于点，连接交格线于，连接交圆弧于点，则点即为所求． 【分析】（1）根据圆周角定理的推论和等腰三角形的性质解答； （2）先确定圆心O，再确定的中点F，连接，可知是的中位线，可得，然后根据，可得，进而推导出，即． 【详解】解：（1）∵是的直径，点C是的中点， ∴， ∴； （2）如图所示，取格点，，，，连接，分别与格线交于，，射线交于圆心：作射线交格线于点，连接交格线于，连接交圆弧于点，则点即为所求． 12．（2026·天津西青·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，半圆的直径经过格点A，B，点D是半圆上一点． ①线段的长等于______； ②若，点M在线段上，点N在线段上，在如图所示的网格中，请用无刻度的直尺，画出点M和点N，使得最短，并简要说明点M和点N的位置是如何找到的（不要求证明）_______． 【答案】 如图，取格点E，连接与半圆交于点F，连接并延长与交于点G，连接与交于点N，连接并延长与交于点M，则点M，N即为所求． 【分析】①根据勾股定理即可解答； ②取格点E，连接与半圆交于点F，可得为等腰直角三角形，得到，连接并延长与交于点G，根据，可得点和点关于对称，连接与交于点N，连接并延长与交于点M，则可得，所以，根据垂线段最短可得此时最短． 【详解】解：（1）； （2）略 13．（2026·天津·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B均在格点上，点C在经过点A的圆上． （1）线段的长为________； （2）l为过点A且与圆相切的直线，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在直线l上画出点Q，使，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明）________． 【答案】 如图， 取圆与网格线的交点D，E，连接； 取格点F，连接与圆相交于点G； 取与圆的交点H，连接与相交于点O； 连接与网格线相交于点I，连接与网格线相交于点J； 连接，取与网格线的交点K，连接并延长，与相交于点P； 连接并延长，与直线l相交于点Q，则点Q即为所求． 【分析】（1）由勾股定理求解； （2）借助网格，利用直径定理确定圆心，利用平行线分线段成比例确定中点，利用垂径定理确定垂直，最后利用线段的垂直平分线确定点的位置． 【详解】解：（1）由勾股定理得； （2）略 14．（2026·天津·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于，点为格点，为直径，，． （1）的长等于__________； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出过点的的切线，与的延长线交于点，并简要说明点位置是如何找到的（不要求证明）__________． 【答案】 如图，取圆与格线交点，，连接交于点，点即为圆心，连接与格线交于点，取格点，，，，Q，T，连接，，延长交于，连接并延长，交格线于点，连接并延长，交延长线于点，点即为所求． 【分析】（1）利用直径定理和勾股定理求解； （2）根据的圆周角所对的弦是直径确定圆心，通过正方形的性质以及全等三角形的判定和性质证明，得出，证明，得出，得出，即得出圆的切线． 【详解】解：（1）∵为直径， ∴， ∴由勾股定理得； （2）如图，取圆与格线交点，，连接交于点，点即为圆心，连接与格线交于点，取格点，，，，Q，T，连接，，延长交于，连接并延长，交格线于点，连接并延长，交延长线于点，点即为所求． 说明：根据的圆周角所对的弦是直径确定圆心，通过正方形的性质证明，证明，得到，进而得出，证明，得出，得出，即得出圆的切线． 15．（2026·天津·二模）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，点A在格点上，点B是小正方形边的中点，有一个经过格点A的圆． （Ⅰ）线段AB的长等于__________； （Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出经过点A的圆的切线，并简要说明画图方法（不要求证明）__________ ． 【答案】 取格点、，连接交圆于点，连接交圆于点，连接，则为直径，取圆与格线的交点、，连接，则是直径，与交于点，点即为圆心，连接并延长交圆于点，连接交圆于点，连接交于点，连接并延长交于点，取与格线的交点，取与格线的交点，连接并延长交格线于点，连接即为所求． 如图，即为所求． 【分析】本题主要考查了作圆的切线，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，根据相关知识点正确作图是解题的关键． （Ⅰ）由勾股定理即可求解； （Ⅱ）取格点、，连接交圆于点，连接交圆于点，连接，由全等三角形可得，则为直径，取圆与格线的交点、，连接，由图可知，则是直径，与交于点，则点即为圆心，连接并延长交圆于点，则为直径，连接交圆于点，连接交于点，则有，连接并延长交于点，根据三角形的三条高相交于一点，则，则，取与格线的交点，取与格线的交点，连接并延长交格线于点，因为，，，则，则，则，则连接即为所求． 【详解】解：（Ⅰ）由题意得：， 故答案为：． （Ⅱ）略 16．（2026·天津河东·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，P均是格点． （Ⅰ）线段的长等于____； （Ⅱ）过的顶点A，B，与边交于点D，直线与该圆相切于点A，点M在劣弧上，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明）_____． 【答案】 点M如图所示． 【分析】（Ⅰ）利用勾股定理计算线段的长； （Ⅱ）绕逆时针旋转并延长得到，根据直线与该圆相切于点A得到圆心在上，取格点，则，垂直平分，连接交于，连接并延长交圆于，根据圆的对称性可得，则，则；取与格线的交点，根据左右距离固定可得，在直线上取一点，连接，连接与交于点，连接并延长与交于点，连接并延长交圆于点，中由面积比可得，结合得到，得到，根据圆中平行弦所夹的弧相等得到，则，即． 【详解】解：（Ⅰ）； （Ⅱ）略 17．（2026·天津红桥·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，均在格点上． （I）线段的长为________； （II）点在的延长线上，点，在以为直径的半圆上，满足且．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，并简要说明点，的位置是如何找到的（不要求证明）________． 【答案】 点，如图所示： 【分析】（1）利用勾股定理即可求解； （2）取格点，则是等腰直角三角形，取中点，则，连接交半圆于点，根据直径可得，；把线段平移到，直线与半圆交于点，连接与交于点，连接交于点，则根据平行弦和对称性得到点为半圆的圆心，取中点，连接交于，由可得，则为中点，连接并延长交半圆于点，根据垂径定理可得． 【详解】解：（1）， （2）略 18．（2026·天津西青·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，是格点，点是线段上一点，点与点在同一条水平格线上，且，过，，三点作圆，连接，． （1）线段的长等于________； （2）点在线段上，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明，所有添加的线不超过6条）__________． 【答案】 点在线段上，满足，如图所示： 取圆与水平格线交点，连接与水平格线交于点，取格点，连接与水平格线交于点，取格点，连接并延长与水平格线交于点，连接并延长与圆交于点，连接与交于点，则点即为所求． 理由如下：根据上下距离相等得到，，，结合得到与关于直线对称，则， 由对顶角相等得到，由圆内接四边形得到， 即可得到圆周角，则， ∴， ∵中，中， ∴． 【详解】解：（1） （2）略 19．（2026·天津·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A和点B是格点，点C在格线上，点M是弧的中点，为所在半圆的直径． （1）点A和点B的距离为_____； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在半圆上画出弧的中点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）____________． 【答案】 连接交格线于点N，作射线交直径于点O，连接交格线于点，取格点F，作射线，连接交线段于点G，作射线交于点，作直线交格线于点J，K，作射线交于点H，连接交于点，作射线交于点P，点P即为所求． 【分析】①由勾股定理即可求解； ②连接交格线于点N，作射线交直径于点O，由网格知点C到点N的铅锤距离与点A到点N的铅锤距离相等，结合全等三角形可得点为中点，由垂径定理推论可得点为圆心，连接交格线于点，同上可得点为的中点，取格点F，作射线，连接交线段于点G，作射线交于点，则，分解图形，延长至点，连接，则四边形为平行四边形，则，，，则，，那么，则，结合对顶角相等，即可证明，继而导角得到，然后作直线交格线于点J，K，同上可得为中点，最后作射线交于点H，连接交于点，由得到相似三角形，继而，则，故点为的中点，作射线交于点P，由垂径定理得到点P即为所求． 【详解】解：①由网格可得：， 故答案为：； ②略 【点睛】本题考查了使用无刻度直尺作图，涉及垂径定理及其推论，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，难度很大，熟练掌握知识点是解题的关键． 三、解答题 20．（2026·天津滨海新区·三模）如图，是的直径，弦于点E，过点C作的切线交的延长线于点F．连接．    (1)如图1，若，求的大小； (2)如图2，连接，取中点G，连接，若，且，求的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆周角定理，切线的性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键： （1）连接，圆周角定理，得到，垂径定理，得到，切线得到，再利用角的和差关系进行求解即可； （2）分别连接，求出，设的半径半径为r，在中，利用三角函数求出，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，    ∵，， ∴． ∵是的直径，弦于点E， ∴， ∴． ∵为的切线，且为半径， ∴，即， ∴． （2）如图，分别连接，    由（1）可知，且， ∵， ∴． 在中，有， 即：， ∴． ∵是的直径， ∴， ∵，且G为中点， ∴， ∴， ∴， 设的半径半径为r， ∵在中，，， ∴， ∵在中，，，， 由勾股定理得：， ∴，即半径为． 21．（2026·天津和平·三模）如图，点，，在上，以，为边作． (1)如图①，若，当经过圆心时，求的度数； (2)如图②，若的半径为，，当与相切时，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，根据圆周角定理得，进而求解即可； （2）连接、，根据切线的性质得到，根据平行四边形的性质得到，，可知，由垂径定理可知，根据圆周角定理可知，根据三角函数求出，进而可知的长． 【详解】（1）解：，以，为边作， 故， ∵经过圆心， ， 故； （2）解：如图，连接、， ∵是的切线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由垂径定理可知， 根据圆周角定理可知， 在中，，， ∴ ∴ ∴． 22．（2026·天津红桥·三模）如图，是的直径，弦于点C，过点E作的切线，交的延长线于点D． (1)如图①，若H为的中点，，求的大小； (2)如图②，若G为的中点，，，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接、、，利用切线的性质和三角形的内角和定理得到，再根据等腰三角形的性质得到，然后利用圆周角定理求解即可； （2）连接、、，设的半径为r，利用切线的性质和等腰三角形的性质求得，，利用等腰三角形的性质得到，，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得，则，在中，利用勾股定理求得 ，在中，利用直角三角形的性质求得，进而可求解． 【详解】（1）解：如图①，连接、、， ∵是的切线，， ∴，则， ∵弦，， ∴， ∵H为的中点， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图②，连接、、，设的半径为r， ∵是的切线，， ∴，则， ∵弦，， ∴，， ∵G为的中点，， ∴，， ∴，， ∴， 在中，由得， 解得， 在中，，， ∴，则， ∴． 23．（2026·天津南开·三模），分别与相切于，两点，是的直径．过点作交于点，交于点．连接，． (1)如图1，若，求和的大小； (2)如图2，连接，若，且的半径为，求线段的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据圆的切线的性质以及四边形内角和定理求出，再由圆周角定理以及平行线的性质求解； （2）连接，由圆的切线的性质以及切线长定理得到，求出，再解和，最后运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵，分别与相切于，两点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴； （2）解：如图2，连接， ∵，分别与相切于，两点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， 在中，， ∴， ∴． 24．（2026·天津·二模）已知是的直径，，是的弦，为的中点，与交于点． (1)如图①，若，连接，求和的大小； (2)如图②，过点作的切线与的延长线交于点，若，半径为2，求，的长． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）由垂径定理推论可得，求出，即可求出，再利用圆周角定理可得，进而可得； （2）先证明四边形是平行四边形，再结合证得四边形是菱形，得到，连接，推出是等边三角形，得到， 根据切线的性质可得，进而得到，，再利用直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵为的中点， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∵为的中点，即， ∴； （2）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 连接，如图②， 则， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的切线， ∴, ∴，， ∴，， ∴，． 25．（2026·天津·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点为格点，过点的圆上有点，，，且于，连接，． (1)写出图中与互余的角为________； (2)若弦上有一点，当最短时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（画线不超过10条，不要求证明）． 【答案】(1)， (2)如图，点P即为所求． 如图，取格点使得，连接并延长交格线于点H，连接交格线于点K，连接交于I，连接并延长与的交点即为所求点P． ， 【分析】（1）根据余角的定义可知互余的角为，再根据同弧所对的圆周角相等可得，即互余的角为； （2）先说明，再利用平行线等分线段定理以及等腰三角形的性质作图即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即图中与互余； ∵， ∴， ∴，即图中与互余． 综上，图中与互余的角为，． （2）解：如图：取格点使得，连接并延长交格线H，连接交格线于K，连接交于I，连接并延长与的交点即为所求点P． 图略． 证明：∵上有一点，最短时， ∴， 由作图过程可知：， ∴是的中位线， ∴， ∴，即点I是的中点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴， ∴，即点P即为所求． 26．（2026·天津·二模）已知是的直径，为上一点，与过点的切线互相垂直，垂足为点，交于点，连接． (1)如图①，若，求的大小； (2)如图②，过点作交于点，连接，若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质得出，结合可证，进而得出，根据等边对等角可得，进而得出，即可求解； （2）连接，，，利用勾股定理求出，利用圆内接四边形的性质可证，利用圆周角定理，余角的性质等可证，进而得出，证明，再利用相似三角形的性质求出，然后利用勾股定理求出，延长交于G，证明，利用平行线分线段成比例求出，再证明，利用相似三角形的性质可得答案． 【详解】（1）解：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接，，， 在中，，， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 又， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 延长交于G， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 27．（2026·天津·二模）已知为的直径，又以为边的平行四边形． (1)如图①，当点在上，边与交于点时，与交于，若，求和的大小； (2)如图②，当边与相切于点，边交于点时，若，的半径为，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意易得，根据平行四边形的性质可知，，然后根据角的和差关系可进行求解； （2）连接，，过点作于点，由题意易得，则有，然后可得，设，在中，，则有，进而求解即可． 【详解】（1）解：是直径， ． ， 在中，， 平行四边形， ，， ， 又， ， ． （2）解：连接，，过点作于点，如图所示： 与相切于， ，即． ， ， ． 又， 在中，． ， ， 设，在中，， 在中，， ． 解得， ． 28．（2026·天津·一模）已知：在中，为直径，P为射线上一点，过点P作的切线，切点为点C，D为弧上一点，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若四边形为平行四边形，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由为的切线可得，由可得，最后可求出的度数； （2）利用平行四边形的性质，三角形内角和定理，结合（1）的结论，证明是等边三角形，即可求出的长． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵为的切线， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图2，连接， ∵四边形为平行四边形， ∴， 为直径， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴ 【点睛】本题考查了切线的性质，平行四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是正确作出辅助线． 29．（2026·天津·一模）已知中，，与相交于点D，过点D作的切线，交于点E． (1)如图①，线段为的直径，若，求的大小； (2)如图②，过圆心O，线段与相切于点F，若，且，求圆的半径和的长． 【答案】(1) (2)半径为2， 【分析】（1）连接，，根据线段为的直径，可得，结合，可得，进而有为中位线，即，，根据是的切线，可得，即可得，问题随之得解； （2）设交于另一点N，连接，，，根据（1）的方法可证明，即可得，再根据等腰三角形的性质可得，根据线段与相切于点F，有，在中，，有，，进而有，可得，，再证明四边形是正方形，问题即可得解． 【详解】（1）连接，，如图， ∵线段为的直径， ∴， ∴，， ∵， ∴，即为中点， ∵为中点， ∴为中位线， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）设交于另一点N，连接，，，如图， 根据（1）的方法可证明， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵线段与相切于点F， ∴，即， 在中，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 即半径为2，． 【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形的性质，正方形的判定与性质，三角形中位线的判定与性质等知识，构造合理的辅助线，掌握切线的性质，圆周角定理，是解答本题的关键． 30．（2026·天津·一模）如图，已知是的直径，，是的两条切线，，为切点，且，连接． (1)求和的大小； (2)如图，在直径上取一点，使，延长交于点，连接，若，，求的度数及的面积． 【答案】(1)，； (2)，的面积为． 【分析】（1）由切线长定理和切线的性质，可得，，由等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理，可得，即可得，由直径所对的圆周角是直角，结合直角三角形的两个锐角互余，即可得； （2）由（1）可知，，，由同弧所对的圆周角相等，可得，由等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理，可得，由三角形外角的性质，可得的度数，可得，作于，由角所对的直角边与斜边的关系，可得，即可得的面积． 【详解】（1）解：∵是的直径，，是的两条切线， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵为直径， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作于，在Rt中，， ∴的面积． 31．（2026·天津·一模）为的直径，为的切线，为切点，弦，垂足为点，，连接，． (1)如图，若，求和大小； (2)如图，若，，求的半径和的长． 【答案】(1)，； (2)；． 【分析】（1）根据切线定理，得出，再根据垂径定理得到，且，，结合，证明四边形为平行四边形，推出，最后根据圆周角定理即可求解； （2）有（1）得四边形为平行四边形和，求出，，根据求出，设的半径为，即，再根据求出的半径，即可求出． 【详解】（1）解：∵为的直径，为的切线， ∴，即， ∵弦，且为直径， ∴，且，， ∴； ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵由（1）得，四边形为平行四边形， ∴，， ∵由（1）得，， ∴， ∵在中，，， ∴由勾股定理可知， ∵设的半径为， ∴， 在中，，，， ∴由勾股定理可知，解得， ∴的半径为， ∴， ∵， ∴的长为． 32．（2026·天津·一模）已知是的切线，切点为C，连接，与有一个公共点E，为直径． (1)如图①，点D在上，，，，求的大小与线段的长； (2)如图②，点D在外，切于点E，G为上一点，连接，，，若，，求的大小． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据切线的性质和四边形的内角和为，可求得，从而得到，然后根据直径所对的圆周角为直角，在中，利用，即可解答； （2）根据切线的性质易证，得到，然后根据直径所对的圆周角为直角，可求得，由根据两直线平行，内错角相等，可知 ，从而求得，即可解答． 【详解】（1）解：∵切于点C， 于点C，即， 又∵，， ∴， ∴， ∵为直径，， ∴， 在中，， ∴； （2）解：∵切于点E，切于点C， 于点E，于点C， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 33．（2026·天津·一模）已知是的直径，线段和是的弦． (1)如图①，，垂足是E，若的半径是5，，求弦，的长； (2)如图②，点C是的中点，过点A作的切线，与的延长线交于点M，连接，若，求和的大小． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）连接，由勾股定理求出，由垂径定理求出，再利用勾股定理求出即可． （2）连接，由直径所对的圆周角等于90度得出，进而求出，再根据等弧所对的圆周角相等得出，进而可求出，由切线的定义进一步得出，由圆内接四边形的性质得出， 最后再利用三角形外角的定义即可求出． 【详解】（1）解：连接． ， ． 在中，，． ． ，是的直径， ． 在中，，． ． （2）解：如图，连接． 是的直径， ． ． 点C是的中点， ． ． ． 切于点A，是的直径， ．即． ． ， ． ． 34．（2026·天津北辰·二模）已知与相切于点，，，与相交于点，为上一点． (1)如图①，求的大小； (2)如图②，当点在的延长线上，过点作的切线，与的延长线交于点，线段上有一点，且，若的半径为，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，推导出，得到平分，求出，则，即可解答； （2）连接，过点作于，交于点，推导出四边形是矩形，，，得到，求出，得到，则，继而根据求解即可． 【详解】（1）解：连接，如图 与相切于点， ， ∵， 平分， ∴． ， ． 在中，， ； （2）解：连接，过点作于，交于点，如图 ． 是的切线， ． ， 四边形是矩形，，， ，， ． ， ， 又， ， 在中，． 35．（2026·天津红桥·三模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B在网格线上，以为直径的圆经过点C． （1）的大小为________（度）； （2）点M，N，P分别在边，，上，且四边形为矩形，当时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，M，N，并简要说明点P，M，N的位置是如何找到的（不要求证明）________． 【答案】 90 如图，点P，M，N即为所求： 作法：作射线交格线于点D和点E，连接交格线于点F，连接交格线于点G，连接并延长，分别交、于点N、点P，连接、相交于点H，连接并延长交于点M，则点P、M、N即为所求． 【详解】解：（1）∵是已知圆的直径， ∴根据圆周角定理，； （2）作图依据： 由作图，格线上的点A、点D与点F所在的格线的距离都为2，则点F为的中点，同理格线上的点A、点E与点G所在的格线的距离都为1，则点G为的中点， ∴根据三角形的中位线定理，， 根据平行线分线段成比例定理，点N、点P分别为、的中点， ∴、为的中线， ∴为的中线，则点M为的中点， 连接， 根据三角形的中位线定理，得，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 故点P、M、N即为所求． 36．（2026·天津和平·三模）已知在中，为的直径，点在上，，直线切于点． (1)如图①，若，直径与相交于点，求和的大小； (2)如图②，若，，垂足为，与相交于点，，求线段的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据切线的性质和直径所对的圆周角是直角可得，继而可得，再根据圆周角定理求解即可； （2）连接，则，根据切线的性质和直径所对的圆周角是直角可得，继而可得，再根据解直角三角形求解即可． 【详解】（1）解：∵直线切于点， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：连接，则， ∵直线切于点， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，即 ∴， ∴． 37．（2026·天津河东·三模）已知内接于，为的直径，与相切于点，连接并延长交于点． (1)如图①，若，，求和的大小； (2)如图②，若，，，求的半径． 【答案】(1)， (2)的半径为 【分析】（1）连接、，由直径所对圆周角为直角，结合证，得，利用同弧所对圆周角相等求出，根据切线性质得，得，结合等边对等角求，相加得的度数； （2）连接、，由等边对等角、同弧所对圆周角相等推导角相等，证，得出，得，结合切线性质得，在中用勾股定理求，再证，由相似比求出，进而得到的半径． 【详解】（1）解：如图，连接，， ∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴，即， 在中，，， 由勾股定理得： ， ∵是的直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴的半径为． 38．（2026·天津北辰·二模）如图，在每个小正方形的边长为的网格中，点，均在格点上，点为小正方形网格线的中点． （1）线段的长为________； （2）经过点，的与交于点，点为劣弧的中点．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，并简要说明点，的位置是如何找到的（不要求证明）_________． 【答案】 如图①，取格点，，连接，交网格线于点，，分别为与网格线的交点，连接，，与交于点，连接，交于点；设与网格线的交点为，连接并延长交于点，则点，即为所求． 如图②，取点，则点为的中点， ∵点为小正方形网格线的中点， ∴， ∴， ∴为的直径， ∵， ∴为的直径， ∴与的交点为圆心； 设弦交网格线于点，则点为弦的中点， ∴的延长线与的交点为的中点． 【分析】（1）根据网格确定点与点的水平距离为、垂直距离为，直接用勾股定理计算出线段的长度即可； （2）利用“圆周角所对的弦是直径”的性质，分别作出圆的两条直径和，两条直径的交点即为圆心，接着找到弦的中点，根据垂径定理，连接并延长交劣弧于点，该点即为劣弧的中点． 【详解】解：（1）． （2）略 39．（2026·天津宁河·二模）在中，为的直径，C为上一点． (1)如图①，D为劣弧上一点，若，求和的大小； (2)如图②，过点C作的垂线，交于点H，交于点E，过点E作的切线交的延长线于点F，连接，，若，，求的长度． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先通过圆心角定理得出，再根据直径所对圆周角为直角得出，最后利用圆内接四边形的性质得出结果； （2）由垂径定理得出，继而证得是等边三角形，利用同弧所对圆周角相等得到，从而求得的度数；连接OE，证得是等边三角形，得出，由切线的性质得出，利用解直角三角形的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， 如解图①，连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵为的直径，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 如解图②，连接OE， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线，为半径， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴． 40．（2026·天津河东·二模）已知是的外接圆，是的高，是的角平分线，，，延长与圆交于点F． (1)如图①，求的大小； (2)如图②，过点F的切线与的延长线交于点G，若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知得，由等腰三角形三线合一的性质得是的角平分线，，由角平分线的定义得，则，再由圆周角的性质得，即可求解； （2）由切线的定义得，由（1）可知，，由圆周角定理得，再根据等腰三角形三线合一的性质得，，解得，解求出，即可求的长． 【详解】（1）解：∵是的高，， ∴， 又∵， ∴是的角平分线， 设， ∵AE是的角平分线， ∴， ∴， 解得， ∴； （2）解：连接，与交于点H， ∵与切于点F， ∴， 由（1）可知，，点F为弧的中点， 连接， ∴， 又∵， ∴，， 在中， ∵， ∴， 在中，， ∴． 41．（2026·天津北辰·二模）在中，直径垂直于弦，垂足为E，连接，． (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，若，过点D作的切线，过点B作，垂足为G，交于点H，若的半径为2，求和的长． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）如图①，连接，根据垂径定理得出，根据圆周角定理得出，根据是的直径，得出，在中，即可求解．      （2）如图②，连接，，同（1）得，结合，得出是等边三角形，则，根据切线的性质得出，根据，得出，证出，则，根据，得出，根据，得出，证出是等边三角形．则，，在中，解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：如图①，连接， ，是的直径， ， 在中，， ， ∵是的直径， ， 在中，． （2）解：如图②，连接，． 同（1），得， ， 是等边三角形， ， ∵为的切线，为的半径， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 是等边三角形． ， ， 在中，， ． 42．（2026·天津南开·二模）内接于，过点C作的切线，连接，与相交于点E．若，． (1)如图1，若，求和的大小； (2)如图2，的延长线与相交于点F，若， ，求的半径和线段的长． 【答案】(1)， (2)的半径为，线段的长为 【分析】（1）由圆周角定理可得，进而得到，再由切线的性质可得，进而可得． （2）易得四边形为矩形，得到，设的半径为，在，中，利用勾股定理求出，进而得到． 【详解】（1）解：， ， 又， ，则， ，， ， 是的切线， ，， ； （2）解：由（1）知，，又， ， 则四边形为矩形，且垂直平分， ，，， 连接，设的半径为， 在中，， 在中，，， 即，解得（负值已舍去）， ∴， 则的半径为，线段的长为． 43．（2026·天津和平·二模）已知为的直径，，，为上的点，连接，，，，． (1)如图①，求的度数； (2)如图②，当时，且，过点作的切线，与的延长线相交于点，若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接、，先由圆内接四边形对角互补及已知条件求出，再由圆周角定理得到、的角度，最后由直角三角形两锐角互余即可； （2）连接，先证是等边三角形，得到，再由平行线性质及圆周角定理的推论确定是的直径，进而得到是等腰直角三角形，求出圆的半径及，最后在中，解直角三角形即可得到答案． 【详解】（1）解：连接、，如图所示： 在圆内接四边形中，， ， ， ， ， 为的直径， ， 则； （2）解：连接，如图所示： 则， 由（1）知， ， 是等边三角形， 则， ， ， 在中，，则， 是的直径， 则， 由可得，即是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在中，，解得． 44．（2026·天津·二模）已知，在中，直径弦，垂足为点，连接是的弦． (1)如图①，连接，若，求的大小； (2)如图2，直线切于点，与的延长线交于点，连接，若，，，求的大小和线段的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由题可知，进而得到，结合圆周角定理即可求解； （2）根据平行线的性质及等边对等角，先求出，进而得到，再根据求解，在中，根据计算边长即可． 【详解】（1）解：在中，直径弦于点， ，即， 又， ， ， ； （2）如图，连接， 直线切于点， ， ， ， ， ，， ， ， 在中，， ． 45．（2026·天津·二模）已知点，在以为直径的上，，过点作的切线与的延长线相交于点． (1)如图①，连接，若，求的大小； (2)如图②，连接与相交于点，若四边形是平行四边形，，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用切线的性质求得，得到，再利用等边对等角，结合直径所对的圆周角是直角求解即可； （2）证明和是等边三角形，从而得到四边形是菱形，进而求得，，最后解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：连接， 与相切， ，即， ， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， ， ， ，， ， ，， 是等边三角形，同理也是等边三角形， ， 四边形是菱形， ，， ，即， ， 又与相切，即， ， ． 46．（2026·天津西青·二模）已知是的直径，弦与相交于点，． (1)如图①，若，求的大小； (2)如图②，过点作的切线，与的延长线交于点，若，的半径是3，求弦的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接．由三角形外角得到．由是的直径，得到．最后根据圆周角定理得到． （2）连接，．由切线的性质得到．即可得到．根据得，则，即可得到，最后在中利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：连接． ，， ． 是的直径， ． ． ． （2）解：连接， 切于点， ．即． ， ． ． ， ． ． ， ． ． 在中，． 47．（2026·天津滨海新区·一模）如图，在每个小正方形的边长为的网格中，内接于圆，且顶点在格点上，点在格线上，为圆的直径． （）的度数为______； （）在如图所示的网格中，请用无刻度的直尺，在上画出一点，使，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）______． 【答案】 ； 取圆与格线的交点，连接，与相交于点，由圆周角定理可得，因为，故可知四边形为矩形，所以，可得为圆的直径，因此点为圆心，再利用正方形的性质作出的中点，连接，与圆相交于点，连接，由垂径定理可得，即可得，故点为所求 【分析】（）根据圆周角定理即可求解； （）取圆与格线的交点，连接，与相交于点，由圆周角定理可得，因为，故可知四边形为矩形，所以，可得为圆的直径，因此点为圆心，再利用正方形的性质作出D的中点，连接，与圆相交于点，连接，由垂径定理可得，即可得，故点为所求； 本题考查了圆周角的性质，矩形的性质，正方形的性质，垂径定理，掌握正方形和矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：（）∵为圆的直径， ∴， 故答案为：； （）如图，取圆与格线的交点，连接，与相交于点，由圆周角定理可得，因为，故可知四边形为矩形，所以，可得为圆的直径，因此点为圆心，再利用正方形的性质作出的中点，连接，与圆相交于点，连接，由垂径定理可得，即可得，故点为所求， 故答案为：取圆与格线的交点，连接，与相交于点，由圆周角定理可得，因为，故可知四边形为矩形，所以，可得为圆的直径，因此点为圆心，再利用正方形的性质作出的中点，连接，与圆相交于点，连接，由垂径定理可得，即可得，故点为所求． 48．（2026·天津·一模）如图，是的直径，，分别与相切于点B，D，连接，E是的延长线上一点，连接，并延长交于点F． (1)若，求的度数 (2)若，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图所示，连接，根据圆周角定理，切线长定理及四边形内角和定理得到，，再证明，即可求解； （2）根据题意，结合（1）的计算，由勾股定理得到，，，，再证明，由此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵所对圆周角为，所对圆心角为， ∴， ∵，分别与相切于点B，D， ∴，，即， 在四边形中，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵，分别与相切于点B，D，点是直径延长线上一点， ∴，，， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，则，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查切线长定理，切线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析，合理作出辅助线是关键． 49．（2026·天津·一模）已知分别与相切于点，为半径，连接． (1)如图①，延长与相交于点，若，垂足为点，，求的度数； (2)如图②，延长与相交于点，若，，，求的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】（）连接，由垂径定理可得，即得，得到，又由切线的性质得，再根据四边形内角和解答即可求解； （）过点作于，连接，由切线长定理可得，即可得，进而由矩形的性质得，再利用解答即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵分别与相切于点， ∴，， ∴， ∵ ∴； （2）解：如图，过点作于，连接， ∵分别与相切于点， ∴，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，切线的性质，切线长定理，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 50．（2026·天津·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B均在格点上． （1）线段的长为_____； （2）是圆的直径，圆与网格线交于点C，过点C作圆的切线，与网格线交于点M．过点M作圆的切线，切点为D（点D与点C不重合）．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点D，并简要说明点D的位置是如何找到的（不要求证明）_____． 【答案】 如图：点D即为所求： 取圆与网格线的交点E，连接交于点O，则为直径，延长至点F，使得M为中点，连接交圆于点D，点D即为所求 【分析】（1）根据勾股定理计算即可； （2）取圆与网格线的交点E，连接交于点O，则为直径，延长至点F，使得M为中点，连接交圆于点D，点D即为所求． 【详解】解：（1）； （2）略 51．（2026·天津·一模）已知中，，为的直径，，与分别相交于点D，E，弦，垂足为G，连接． (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，若经过点O，过点E作的切线，交于点H，的半径为3，求和的长． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，由题意可得，即可得出的度数；连接，由圆周角定理可得，求出，即可得出结果； （2）连接、、，由圆周角定理可得，即，先证明四边形为菱形，得出，再证明为等边三角形，求出，，，即可得出，再证明，由相似三角形的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：∵中，，， ∴， ∵弦，垂足为G， ∴， ∴， 如图：连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，连接、、， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵过点E作的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、切线的性质、圆周角定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 52．（2026·天津·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，均在格点上，点在格线上，且． （Ⅰ）线段的长为________； （Ⅱ）圆过点，，，过点画这个圆的切线，点在这条切线上，且满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） __________________________________________________________________________________________． 【答案】 2 作的中位线在上，在上)，连接交于圆心，延长交横格线于点，作切线，射线交切线于点，点即为所求． 【分析】本题考查了垂直平分线的性质与无刻度的直尺作图，解题的关键是利用网格特征构造垂直平分线和利用对称性构造切线． （Ⅰ）取中点，由且得是的垂直平分线，从而； （Ⅱ）作中位线，连接交得圆心，延长交横格线于点，直线为切线，射线与的交点即为所求点． 【详解】解：（Ⅰ）如图，取的中点，连接， 点,C,D均在格点上， , , 是的垂直平分线 ， 又, ． 故答案为：2； （Ⅱ）1：确定圆心 作的中位线，点在上，点在上，连接与的交点即为圆心； 2：作圆的切线 延长交横格线于点，此时，作直线，则即为圆的切线； 3：确定点 射线交直线于一点，则此点即为所求作的点． 故答案为：作的中位线在上，在上)，连接交于圆心，延长交横格线于点，作切线，射线交切线于点，点即为所求． 53．（2026·天津·一模）已知，，过点，且与边切于点，点是上一点． (1)如图①，若，点在上，且与边交于点，连接和，求的大小； (2)如图②，点为中点，与边交于点，连接，当时，若，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，切线的性质，圆周角定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）连接，，求出，即可得到，再根据圆周角定理即可求出答案． （2）连接，，，证明，，证明为等边三角形，在中，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：连接，， 与切于点， ． ，， ， ，， ， ； （2）解：连接，，， 与切于点， ， ，点为中点， ， 点在上， ， ， ， ， ， 为等边三角形． 在中， ，， ． ． 54．（2026·天津东丽·一模）已知在中，点C为的中点，连接交弦于点E，点D在上，连接，，，． (1)如图①，连接，若，求和的度数； (2)如图②，过点A作的切线交延长线于点F，若，，求和的长． 【答案】(1)． (2)， 【分析】（1）根据题意得，，再根据等腰三角形的定义可得． （2）由圆周角定理得，可求出，的长，进而可求出的长． 【详解】（1）解：∵C为的中点， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． （2）解：由（1）知 ，．                ∵，， ∴， ∴， ∵C为的中点， ∴， ∵切于点A， ∴，即， 又， ∴． 55．（2026·天津·一模）已知是的直径，，是的弦．      (1)如图①，若E为的中点，，求和的大小； (2)如图②，若是的直径，过点D作的切线交延长线于点C，连接．，，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据直径所对圆周角为直角和圆周角定理得到，再根据E为的中点，得到，即可求解； （2）根据切线的性质结合圆周角定理推出，求出，利用含30度角直角三角形的特征得到，，利用勾股定理求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， 在中，， ∴， ∵与都是所对的圆周角， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵是的切线，是直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∵，， 在中，． 56．（2026·天津·一模）已知锐角三角形内接于，，为的直径，连接． (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，过点A作的切线，与的延长线相交于点P．若，，求线段的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）因为为的直径，所以，结合已知，可先求出的度数；然后利用等腰三角形内角和定理可求出的度数；因为同弧所对的圆周角相等，则有，再结合与互余，可求出的度数． （2）因为是的切线，连接，，有；再根据条件和垂径定理可推出，进而得到相关角的关系，确定的形状；利用切线的性质、圆周角定理，得出是含角的直角三角形，再结合已知，求解出线段长度，进而得到的长． 【详解】（1）解：为的直径， ． ，， ． ． ． ． （2）解：如图，连接，． 与相切， ，即． 为的直径，， ，， ． 为等边三角形． ． ，． ， ． ． ． ， ． 在中，． 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $