2026年中考数学二轮复习：锐角三角函数

**基本信息** 以典型问题为载体，系统整合锐角三角函数的定义应用、实际建模与综合计算，形成"概念-方法-应用"三阶训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|选择1-5、填空11-12|构造直角三角形、等角代换、定义直接应用|从三角函数定义出发，通过勾股定理与互余角关系建立基本计算模型| |实际应用|选择6-10、填空13-15|坡度坡角转化、仰角俯角建模、距离高度计算|结合生活场景（摩天轮、避险车道、遮阳篷）构建数学模型，培养空间观念与应用意识| |综合拓展|解答16-20|辅助线添加、方程思想、多三角形联动|融合几何证明与代数运算，通过复杂图形分解提升推理能力与创新意识|

2026年中考数学二轮复习：锐角三角函数 一．选择题（共10小题） 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝3，CD⊥AB于点D，则sin∠ACD的值为（　　） A． B． C． D． 2．一块木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下（OG⊥AD），支持力N的方向与斜面垂直（ON⊥AB），摩擦力f的方向与斜面平行（OC∥AB）．若摩擦力f与重力G方向的夹角∠1＝120°，则斜面的坡角∠2的度数是（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 3．某摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高128m（即最高点离水面平台MN的距离），圆心O到MN的距离为68m，摩天轮匀速旋转一圈用时30min．某轿厢从点A出发，10min后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即的长度为（　　） A．40πm B． C．80πm D． 4．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠ACB的值为（　　） A． B． C．2 D． 5．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，，CD＝6，则BD的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．12 6．如图，一辆小车沿长斜坡向上行驶20米，小车上升的高度为10米，则斜坡的坡度是（　　） A． B． C． D．30° 7．如图，点A，B，C在5×5的网格的格点上，则∠BAC的正弦值是（　　） A． B． C． D． 8．五一假期期间，小明一家自驾出游，在一段长下坡高速公路上，汽车突然刹车失灵，情况十分危急，幸好路边设有紧急避险车道（如图），这是一条由粗糙碎石铺成的上坡路段，专门为失控车辆设计的安全避险坡道．已知汽车在避险车道上的速度v随路程x的关系式为v2，并且避险车道坡比（斜坡竖直高度：水平宽度）为1：5，汽车停止时的位置距离刚进入避险车道时的水平距离为100m，则刚进入避险车道时的速度是（　　） A． B． C．20m/s D． 9．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AD∥BC．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，交BC于E，F两点；②分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作直线AP交BC于点H，连接DH．若CH＝4，BH＝2，则△HCD的面积为（　　） A． B．8 C． D．16 10．如图所示的是一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为500米，∠BAC＝α，则缆车从A点到B点上升的高度（即线段BC的长）为（　　） A．米 B．500sinα米 C．米 D．500cosα米 二．填空题（共5小题） 11．定义一种运算：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ．例如：当α＝60°，β＝45°时，．则cos15°的值为　 　 ． 12．如图是地铁入口双翼闸机示意图．已知双翼边缘AC＝BD＝60cm，与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠QDB＝30°，双翼展开时端点A、B的间距为8cm．当双翼收起时，可通过闸机的物体最大宽度为　 　 cm． 13．从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点B处的俯角为45°，看到楼顶部点C处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，那么教学楼的高CB＝　 　 米．（结果保留根号） 14．图1为一款常见的桌面手机支架，其侧面支撑结构可简化为图2．使用时，支撑脚BN放置于水平桌面，AC用于支撑手机．若∠B＝65°，∠A＝50°，AB＝8cm，AC＝6cm，则点C到BN的距离约为　 　 cm．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin65°≈0.90，cos65°≈0.42） 15．如图所示，某同学练习排球扣球，已知排球网高AB为2.24米，扣球点C距离地面的高度CD为2.8米，且CD垂直于地面．排球从C点扣出的飞行路线近似为射线CA，当该射线与水平方向所成的夹角为16°时，球恰好擦网而过．此时，起跳点D到球网底部B的水平距离BD为　 　 米．（结果保留一位小数，参考数据：sin16°≈0.28，cos16°0.96，tan16°≈0.29） 三．解答题（共5小题） 16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，点D在BC边上，∠CAD＝30°，且． （1）求线段BD的长； （2）求sin∠BAD的值． 17．某科技公司生产的智能机器人装配了“超敏”感应器，可感应周围60米范围内的移动物体；机器人还装配了一枚高清广角摄像头，该摄像头的可视角度为106°，其可视范围如图1所示．公司对该机器人的相关性能进行测试．如图2，机器人（其高度忽略不计）在点P处，摄像头正对测试轨道MN，且与测试轨道的距离PQ为20米．一测试物体沿轨道MN自左向右运动时，于点E处恰好被机器人感应到．感应到移动物体后，机器人的摄像头立即朝移动物体的方向转动．当摄像头转动角度为10°时，运动到点F处的移动物体恰好进入摄像头的可视范围，摄像头随即停止转动．求摄像头转动的过程中，测试物体移动的距离EF的长．（结果保留两位小数，参考数据：）． 18．某“综合与实践”小组开展了测量本校教学大楼高度的实践活动，并利用课余时间完成了实地测量．请你帮他们完成下面的实践报告． 活动课题 测量教学大楼AB的高度 活动目的 运用三角函数知识解决实际问题 方案示意图 测量步骤 该小组同学在点C处使用测角仪CD测量教学楼楼顶A的仰角∠1，随后后退至点E处利用测角仪EF测量教学楼楼顶A的仰角∠2 说明 图中A，B，C，D，E，F在同一平面内，且AB，CD，EF均垂直于BE 测量数据 测角仪CD，EF的高度为1.2m，∠1＝60°，∠2＝42°，CE＝10m 任务 根据该报告的数据，求出教学大楼AB的高（结果保留整数）． （参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90， 19．为提升社区居民环境，方便居民休憩，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷．如图，在侧面示意图中，遮阳篷CD长为6米，与水平面的夹角为18°，且靠墙端C离地高CB为5米．若太阳光线DE与地面AB的夹角为50°． （1）求遮阳篷边缘点D到墙体BC的水平距离； （2）求阴影BE的长．（结果精确到0.1米，参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，tan50°≈1.19，sin50°≈0.766，cos50°≈0.643） 20．为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4.4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时． （1）求遮阳棚边缘点A到墙体BC的距离； （2）求阴影CD的长． （结果精确到0.1米．参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29） 2026年中考数学二轮复习：锐角三角函数 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝3，CD⊥AB于点D，则sin∠ACD的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】解直角三角形． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】D 【分析】先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长，从而求出sinB，然后利用同角的余角相等可得：∠ACD＝∠B，即可解答． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝3， ∴AB， ∴sinB， ∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°， ∴∠B+∠BCD＝90°， ∵∠ACD+∠BCD＝90°， ∴∠ACD＝∠B， ∴sin∠ACD＝sinB， 故选：D． 【点评】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 2．一块木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下（OG⊥AD），支持力N的方向与斜面垂直（ON⊥AB），摩擦力f的方向与斜面平行（OC∥AB）．若摩擦力f与重力G方向的夹角∠1＝120°，则斜面的坡角∠2的度数是（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；垂线． 【专题】解直角三角形及其应用． 【答案】A 【分析】延长NO交AD于点E，构造直角三角形，根据直角三角形的两个锐角互余找角之间的关系． 【解答】解：如图所示，延长NO交AD于点E， ∵ON⊥AB，OC∥AB， ∴ON⊥OC， ∴∠COE＝90°， ∵∠1＝120°， ∴∠EOG＝∠1﹣∠COE＝120°﹣90°＝30°， ∵OG⊥AD， ∴∠OGE＝90°， ∴∠EOG+∠OEG＝90°， ∴∠OEG＝60°， 又∵ON⊥AB， ∴∠2+∠OEG＝90°， ∴∠2＝30°． 故选：A． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，垂线，掌握其相关知识点是解题的关键． 3．某摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高128m（即最高点离水面平台MN的距离），圆心O到MN的距离为68m，摩天轮匀速旋转一圈用时30min．某轿厢从点A出发，10min后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即的长度为（　　） A．40πm B． C．80πm D． 【考点】解直角三角形的应用；垂径定理的应用；生活中的旋转现象． 【专题】解直角三角形及其应用． 【答案】A 【分析】先求出摩天轮半径，再求出∠AOB＝120°，最后根据弧长公式求出结果即可． 【解答】解：∵最高点离水面平台MN的距离为128m，圆心O到MN的距离为68m， ∴摩天轮的半径为128﹣68＝60（m）， ∵摩天轮匀速旋转一圈用时30min，轿厢从点A出发，10min后到达点B， ∴， ∴该轿厢所经过的路径长度为： ， 故选：A． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，垂径定理的应用，生活中的旋转现象，掌握其相关知识点是解题的关键． 4．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠ACB的值为（　　） A． B． C．2 D． 【考点】解直角三角形． 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力． 【答案】C 【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D， ∵AD＝2，CD＝1， ∴． 故选：C． 【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义． 5．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，，CD＝6，则BD的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．12 【考点】解直角三角形． 【专题】解直角三角形及其应用；推理能力． 【答案】C 【分析】根据同角的余角相等，得到∠BCD＝∠A，进而得到，进而得到，进行求解即可． 【解答】解：∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝∠CDA＝90°， ∴∠ACD+∠A＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∴， 在Rt△CDB中，， ∵CD＝6， ∴BD＝9； 故选：C． 【点评】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 6．如图，一辆小车沿长斜坡向上行驶20米，小车上升的高度为10米，则斜坡的坡度是（　　） A． B． C． D．30° 【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；勾股定理． 【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识． 【答案】C 【分析】根据题意及勾股定理求出BC，根据坡度的定义即可解答． 【解答】解：如图， 由题意知，AC＝10米，AB＝20米， ∴BC10（米）， ∴i， 故选：C． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡比问题，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 7．如图，点A，B，C在5×5的网格的格点上，则∠BAC的正弦值是（　　） A． B． C． D． 【考点】解直角三角形． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】C 【分析】连接BD，则∠ADB＝90°，由勾股定理得到BD，AB，于是得到sin∠BAC． 【解答】解：连接BD，则∠ADB＝90°， 由勾股定理得到：BD，AB， ∴sin∠BAC． 故选：C． 【点评】本题考查解直角三角形，关键是由勾股定理求出BD和AB的长，掌握锐角的正弦定义． 8．五一假期期间，小明一家自驾出游，在一段长下坡高速公路上，汽车突然刹车失灵，情况十分危急，幸好路边设有紧急避险车道（如图），这是一条由粗糙碎石铺成的上坡路段，专门为失控车辆设计的安全避险坡道．已知汽车在避险车道上的速度v随路程x的关系式为v2，并且避险车道坡比（斜坡竖直高度：水平宽度）为1：5，汽车停止时的位置距离刚进入避险车道时的水平距离为100m，则刚进入避险车道时的速度是（　　） A． B． C．20m/s D． 【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题． 【专题】解直角三角形及其应用；应用意识． 【答案】A 【分析】根据坡度的概念求出汽车在避险的斜坡竖直高度，根据勾股定理求出汽车进入避险车道行驶的距离，代入公式计算得到答案． 【解答】解：∵避险车道坡比为1：5，汽车停止时的位置距离刚进入避险车道时的水平距离为100m， ∴汽车在避险的斜坡竖直高度为20m， 由勾股定理得：汽车进入避险车道行驶的距离为：20（m）， 则v2＝520， 解得：v＝10， 故选：A． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 9．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AD∥BC．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，交BC于E，F两点；②分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作直线AP交BC于点H，连接DH．若CH＝4，BH＝2，则△HCD的面积为（　　） A． B．8 C． D．16 【考点】解直角三角形；三角形的面积． 【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】A 【分析】由作图方法可知，AH⊥BC，解直角三角形求出AH的长，再根据三角形的面积公式求解即可． 【解答】解：由作图方法可知，AH⊥BC， ∠B＝60°，∠AHB＝90°，BH＝2， ∴， ∴， 则△HCD的面积为4， 故选：A． 【点评】本题考查了三角形的面积，解直角三角形，关键是相关性质的熟练掌握． 10．如图所示的是一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为500米，∠BAC＝α，则缆车从A点到B点上升的高度（即线段BC的长）为（　　） A．米 B．500sinα米 C．米 D．500cosα米 【考点】解直角三角形的应用． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】B 【分析】根据题意可得：BC⊥AC，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，即可解答． 【解答】解：由题意得：BC⊥AC， 在Rt△ABC中，∠BAC＝α，AB＝500米， ∴BC＝AB•sinα＝500sinα（米）， ∴缆车从A点到B点上升的高度为500sinα米， 故选：B． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．定义一种运算：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ．例如：当α＝60°，β＝45°时，．则cos15°的值为　　 ． 【考点】解直角三角形；二次根式的混合运算． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】， 【分析】根据定义的新运算进行计算，即可解答． 【解答】解：cos15° ＝cos（60°﹣45°） ＝cos60°cos45°+sin60°sin45° ， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解直角三角形，准确熟练地进行计算是解题的关键． 12．如图是地铁入口双翼闸机示意图．已知双翼边缘AC＝BD＝60cm，与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠QDB＝30°，双翼展开时端点A、B的间距为8cm．当双翼收起时，可通过闸机的物体最大宽度为　68　 cm． 【考点】解直角三角形的应用；勾股定理的应用． 【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；模型思想；应用意识． 【答案】68． 【分析】过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为8cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度． 【解答】 解：过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F， 则Rt△ACE中，， 同理可得，BF＝30cm， 又∵点A与B之间的距离为8cm， ∴通过闸机的物体的最大宽度为30+8+30＝68（cm）． 故答案为：68． 【点评】本题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 13．从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点B处的俯角为45°，看到楼顶部点C处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，那么教学楼的高CB＝　（6+6）　 米．（结果保留根号） 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 【专题】解直角三角形及其应用；几何直观． 【答案】（6+6）． 【分析】过点A作AD⊥BC于点D．则AD＝6米，在Rt△ACD中，tan60°，解得CD＝6，在Rt△ABD中，tan45°1，解得BD＝6，由BC＝CD+BD可得出答案． 【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D． 则AD＝6米，∠CAD＝60°，∠DAB＝45°， 在Rt△ACD中，tan60°， 解得CD＝6， 在Rt△ABD中，tan45°1， 解得BD＝6， ∴BC＝CD+BD＝（6+6）米． 故答案为：（6+6）． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键． 14．图1为一款常见的桌面手机支架，其侧面支撑结构可简化为图2．使用时，支撑脚BN放置于水平桌面，AC用于支撑手机．若∠B＝65°，∠A＝50°，AB＝8cm，AC＝6cm，则点C到BN的距离约为　1.8　 cm．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin65°≈0.90，cos65°≈0.42） 【考点】解直角三角形的应用；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力；应用意识． 【答案】1.8． 【分析】延长AC交BN于点D，过C作CH⊥BN于点H，根据三角形内角和定理求出及等角对等边求出CD，通过解直角三角形即可解答． 【解答】解：如图，延长AC交BN于点D，过C作CH⊥BN于点H， 在△ABD中，∠B＝65°，∠A＝50°， ∴∠CDH＝180°﹣65°﹣50°＝65°， ∴AB＝AD＝8cm， ∵AC＝6cm， ∴CD＝2cm， ∴点C到BN的距离CH＝CD•sin65°≈2×0.9＝1.8（cm）， 故答案为：1.8． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解题的关键． 15．如图所示，某同学练习排球扣球，已知排球网高AB为2.24米，扣球点C距离地面的高度CD为2.8米，且CD垂直于地面．排球从C点扣出的飞行路线近似为射线CA，当该射线与水平方向所成的夹角为16°时，球恰好擦网而过．此时，起跳点D到球网底部B的水平距离BD为　1.9　 米．（结果保留一位小数，参考数据：sin16°≈0.28，cos16°0.96，tan16°≈0.29） 【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题． 【专题】解直角三角形及其应用；应用意识． 【答案】1.9． 【分析】根据题意求出CE，再根据正切的定义求出AE，进而求出BD． 【解答】解：由题意可知：四边形EDBA为矩形， ∴ED＝AB＝2.24米，BD＝AE， ∵CD＝2.8米， ∴CE＝2.8﹣2.24＝0.56（米）， 在Rt△ACE中，∠CAE＝16°， ∵tan∠CAE， ∴AE1.9（米）， ∴BD≈1.9米， 故答案为：1.9． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 三．解答题（共5小题） 16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，点D在BC边上，∠CAD＝30°，且． （1）求线段BD的长； （2）求sin∠BAD的值． 【考点】解直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形． 【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力． 【答案】（1）1； （2）． 【分析】（1）利用直角三角形的三角函数性质，分别求出BC和CD的长度，再作差得到BD的长度．第一步：在Rt△ACD中，已知∠CAD＝30°，直角边，利用正切函数的定义求出CD；第二步：结合∠B＝45°，可得Rt△ABC是等腰直角三角形，因此；第三步：根据线段和差关系BD＝BC﹣CD，代入计算得到最终结果； （2）通过作辅助线构造包含∠BAD的直角三角形，结合正弦函数的定义计算结果．第一步：先在Rt△ACD中，利用三角函数求出斜边AD的长度；第二步：过D作AB的垂线DE，在等腰直角△BDE中，利用BD的长度求出高DE；第三步：在Rt△ADE中，根据正弦定义：正弦值等于对边比斜边，代入DE和AD的长度计算得到结果；本题也可利用角度差得到∠BAD＝15°，用两角差的正弦公式计算得到相同结果． 【解答】解：（1）在Rt△ACD中，∠C＝90°， ， CD＝AC•tan30°1， 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°， 可得， ． （2）在Rt△ACD中， ， 过点D作 DE⊥AB于点E， 在Rt△BDE中，∠B＝45°， ， 在Rt△ADE中， ． 【点评】题目考查了解直角三角形、勾股定理、等腰直角三角形，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 17．某科技公司生产的智能机器人装配了“超敏”感应器，可感应周围60米范围内的移动物体；机器人还装配了一枚高清广角摄像头，该摄像头的可视角度为106°，其可视范围如图1所示．公司对该机器人的相关性能进行测试．如图2，机器人（其高度忽略不计）在点P处，摄像头正对测试轨道MN，且与测试轨道的距离PQ为20米．一测试物体沿轨道MN自左向右运动时，于点E处恰好被机器人感应到．感应到移动物体后，机器人的摄像头立即朝移动物体的方向转动．当摄像头转动角度为10°时，运动到点F处的移动物体恰好进入摄像头的可视范围，摄像头随即停止转动．求摄像头转动的过程中，测试物体移动的距离EF的长．（结果保留两位小数，参考数据：）． 【考点】解直角三角形的应用． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识． 【答案】17.36米． 【分析】由题意知，PQ＝20米，PE＝60米，∠PQF＝90°，∠QPF＝106°÷2+10°＝63°，利用勾股定理求出EQ，通过解直角三角形求出FQ，即可解答． 【解答】解：由题意知，PQ＝20米，PE＝60米，∠PQF＝90°，∠QPF＝106°÷2+10°＝63°， 在Rt△PEQ中，由勾股定理得EQ4056.56（米）， 在Rt△PQF中，∠PQF＝63°， ∴FQ＝PQ•tan63°≈20×1.96＝39.2（米）， ∴EF＝EQ﹣FQ≈56.56﹣39.2＝17.36（米）， 答：物体移动的距离EF的长为17.36米． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握解直角三角形的应用是解题的关键． 18．某“综合与实践”小组开展了测量本校教学大楼高度的实践活动，并利用课余时间完成了实地测量．请你帮他们完成下面的实践报告． 活动课题 测量教学大楼AB的高度 活动目的 运用三角函数知识解决实际问题 方案示意图 测量步骤 该小组同学在点C处使用测角仪CD测量教学楼楼顶A的仰角∠1，随后后退至点E处利用测角仪EF测量教学楼楼顶A的仰角∠2 说明 图中A，B，C，D，E，F在同一平面内，且AB，CD，EF均垂直于BE 测量数据 测角仪CD，EF的高度为1.2m，∠1＝60°，∠2＝42°，CE＝10m 任务 根据该报告的数据，求出教学大楼AB的高（结果保留整数）． （参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90， 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 【专题】解直角三角形及其应用；应用意识． 【答案】教学大楼AB的高约为20m． 【分析】先得出四边形EFDC，四边形CDGB是长方形，得∠AGD＝90°，利用30°角的Rt△DAG和等腰直角△AFG，得出AD＝2DG，，AG＝FG，利用FG＝FD+DG进行列式求出DG，即可求解先利用AGDG求出AG，再利用AB＝AG+BG即可求解． 【解答】解：∵EF＝BG＝1.2m，CD＝1.2m， ∴EF＝BG＝CD＝1.2m， ∵AB⊥BE，CD⊥BE，EF⊥BE， ∴四边形EFDC，四边形CDGB是长方形， ∴FD＝CE＝10m，∠AGD＝90°， ∵∠ADG＝60°， ∴∠DAG＝90°﹣∠ADG＝30°， ∴AD＝2DG； 在Rt△ADG中，∠AGD＝90°，AD＝2DG， ∴AGDG， ∵∠AFG＝42°， ∴tan∠AFG0.90， ∴DG≈10.8， ∴AGDG≈18.7（m）， ∴AB＝AG+BG＝18.7+1.2≈20（m）， 答：教学大楼AB的高约为20m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，含30°角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，二次根式的计算，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 19．为提升社区居民环境，方便居民休憩，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷．如图，在侧面示意图中，遮阳篷CD长为6米，与水平面的夹角为18°，且靠墙端C离地高CB为5米．若太阳光线DE与地面AB的夹角为50°． （1）求遮阳篷边缘点D到墙体BC的水平距离； （2）求阴影BE的长．（结果精确到0.1米，参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，tan50°≈1.19，sin50°≈0.766，cos50°≈0.643） 【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；平行投影． 【专题】解直角三角形及其应用；应用意识． 【答案】（1）5.7米； （2）3.1米． 【分析】（1）过点D作DG⊥BC于G，利用余弦的定义求出DG； （2）过点D作DH⊥AB于H，利用正弦的定义求出CG，进而求出BG，根据正切的定义求出EH，计算即可． 【解答】解：（1）如图，过点D作DG⊥BC于G， 在Rt△DCG中，CD＝6米，∠CDG＝18°， ∵cos∠CDG， ∴DG＝CD•cos∠CDG≈6×0.95＝5.7（米）， 答：点D到墙体BC的水平距离约为5.7米； （2）如图，过点D作DH⊥AB于H， 在Rt△DCG中，CD＝6米，∠CDG＝18°， ∵sin∠CDG， ∴CG＝CD•sin∠CDG≈6×0.31＝1.86（米）， ∴BG＝BC﹣CG＝5﹣1.86＝3.14（米）， ∵DG⊥BC，DH⊥AB，∠B＝90°， ∴四边形GBHD为矩形， ∴BH＝GD＝5.7米，DH＝GB＝3.14米， 在Rt△DHE中，tan∠DEH， 则EH2.64（米）， ∴BE＝BH﹣EH＝5.7﹣2.64≈3.1（米）， 答：阴影BE的长约为3.1米． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 20．为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4.4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时． （1）求遮阳棚边缘点A到墙体BC的距离； （2）求阴影CD的长． （结果精确到0.1米．参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29） 【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；平行投影． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】（1）4.8米； （2）1.8米． 【分析】（1）过A作AT⊥BC于T，在Rt△ABT中，根据余弦定义求出AT即可； （2）过A作AK⊥CE于K，在Rt△ABT中，根据余弦定义求出BT，根据矩形的判定与性质可得CK＝AT＝4.8米，AK＝CT＝BC﹣BT＝3（米），而∠ADK＝45°，知DK＝AK＝3米，故CD＝CK﹣DK，计算即可． 【解答】解：（1）当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时．如图，过A作AT⊥BC于T， 在Rt△ABT中， AT＝AB•cos∠BAT＝5×cos16°≈4.8（米）， 即遮阳棚边缘点A到墙体BC的距离4.8米； （2）过A作AK⊥CE于K， 在Rt△ABT中， BT＝AB•sin∠BAT＝5×sin16°≈1.4（米）， ∵∠ATC＝∠C＝∠CKA＝90°， ∴CK＝AT＝4.8米，AK＝CT＝BC﹣BT＝4.4﹣1.4＝3（米）， ∵∠ADK＝45°， ∴DK＝AK＝3米， ∴CD＝CK﹣DK＝4.8﹣3＝1.8（米）， ∴阴影CD的长约为1.8米． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $