内蒙古自治区呼和浩特市新城区北京一零一中呼和浩特分校2025-2026学年八年级下学期5月阶段检测数学试题

**基本信息** 初二年级数学阶段检测卷，以赵爽弦图渗透文化传承，树折断、土地面积等实际情境体现应用意识，通过基础（最简二次根式）、提升（菱形动点中点）、综合（矩形折叠证明计算）三层设计，考查几何直观、推理能力与空间观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/30|二次根式、四边形性质、勾股定理|第3题赵爽弦图关联文化传承，第5题树折断问题培养应用意识| |填空题|4/20|代数式意义、二次根式化简、勾股定理|第9题梯子靠墙问题结合几何直观，第10题三角形三边关系考查抽象能力| |计算题|1/10|二次根式运算|基础运算能力考查| |解答题|3/40|四边形证明与计算、实际面积计算|第12题土地面积计算发展应用意识，第14题矩形折叠综合推理与空间观念|

2025-2026学年第二学期初二年级阶段检测卷 数 学 学 科 考试时长：90分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是(     ) A. B. C. D. 2.下列命题中，是真命题的是(     ) A. 两条对角线相等的四边形是矩形 B. 两条对角线相互平分的四边形是矩形 C. 两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 D. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 3.“赵爽弦图”是我国古代数学的伟大成就，它巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形如图拼成的一个大正方形如图设直角三角形的较长的直角边为，较短的直角边为，若图中大正方形的面积为，线段的长为，图中个全等的直角三角形面积和为(     ) A. B. C. D. 4.如图，在菱形中，菱形的周长是，，，分别是边上的动点，连接和，，分别为的中点，连接，则的最小值为(     ) A. B. C. D. 5.一棵高为的大树被台风刮断，若树在离地面处折断，则树顶端落在离树底部处． A. B. C. D. 6.如图，在中，点、点分别是，的中点，点是上一点，且，若，，则的长为(     ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 7.若代数式有意义，则实数的取值范围是             ． 8.若是整数，则正整数的最小值是______． 9.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，梯子顶端到地面的距离为米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为米，则小巷的宽为______米． 10.已知的三边分别为，，且，满足，则         ． 三、计算题：本大题共1小题，共10分。 11.计算 四、解答题：本题共3小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 12.本小题分 如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量小明找了一卷米尺，测得米，米，米，米，又已知． 土地的面积是多少？ 蔬菜单位面积产量为，则这块地产蔬菜多少千克？ 13.本小题分 如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使，连接． 求证：四边形是矩形； 连接，若，，求的长度． 14.本小题5分 如图，在矩形中，将沿着折叠，使点与点重合，过点作交线段于点，连接和． 求证：； 求证：四边形为菱形； 连接交于点，若，，求线段的长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期初二年级阶段检测卷 数 学 学 科 考试时长：90分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是(     ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】本题主要考查了最简二次根式的识别，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此逐一判断即可． 【详解】解：、被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：． 2.下列命题中，是真命题的是(     ) A. 两条对角线相等的四边形是矩形 B. 两条对角线相互平分的四边形是矩形 C. 两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 D. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】C  【解析】本题主要考查了判断命题真假，正方形，正方形，菱形和矩形的判定定理，对角线相等且互相平分的四边形是正方形，对角线相等且互相平分的四边形是矩形，对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，据此逐一判断即可． 【详解】解：两条对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题，不符合题意； B. 两条对角线相互平分且相等的四边形是矩形，原命题是假命题，不符合题意； C. 两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，，原命题是真命题，符合题意； D. 两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原命题是假命题，不符合题意； 故选：． 3.“赵爽弦图”是我国古代数学的伟大成就，它巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形如图拼成的一个大正方形如图设直角三角形的较长的直角边为，较短的直角边为，若图中大正方形的面积为，线段的长为，图中个全等的直角三角形面积和为(     ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】本题考查了勾股定理的应用，首先得出图中间小正方形的边长为，根据四个全等的直角三角形面积等于大正方形的面积减去中间小正方形的面积即可求解． 【详解】解：， 图中小正方形的边长为， 大正方形的面积为， 图中个全等的直角三角形面积和为． 故选：． 4.如图，在菱形中，菱形的周长是，，，分别是边上的动点，连接和，，分别为的中点，连接，则的最小值为(     ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识． 连接，根据菱形定义得，根据三角形中位线性质得，当时，最小，得到最小值，根据是等腰直角三角形得，得的最小值为． 【详解】解：连接，如图所示： 四边形是菱形，周长为， ， ，分别为的中点， 是的中位线， ， 当时， 最小，得到最小值， 则， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 即的最小值为， 故选：． 5.一棵高为的大树被台风刮断，若树在离地面处折断，则树顶端落在离树底部处． A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：设树顶端落在离树底部米，由题意得： ， 解得：． 故选：． 首先设树顶端落在离树底部米，根据勾股定理可得，再解即可． 此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 6.如图，在中，点、点分别是，的中点，点是上一点，且，若，，则的长为(     ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可． 【解答】 解：点、点分别是，的中点， 是的中位线， ， ， ， 在中，，点是的中点，， ， ， 故选B． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 7.若代数式有意义，则实数的取值范围是            ． 【答案】  【解析】解：代数式有意义，  ，  解得：，  故答案为：． 根据分式和二次根式有意义的条件求解即可． 本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握该条件是解题的关键． 8.若是整数，则正整数的最小值是______． 【答案】  【解析】解：，且是整数， 是整数，即是完全平方数； 的最小正整数值为． 故答案为：． 因为是整数，且，则是完全平方数，满足条件的最小正整数为． 主要考查了二次根式的定义，关键是根据乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数进行解答． 9.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，梯子顶端到地面的距离为米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为米，则小巷的宽为______米． 【答案】  【解析】解：在中， 米， 米， 在中， 米， 米， 答：小巷的宽为米， 故答案为：． 在中，利用勾股定理计算出长，再在中利用勾股定理计算出长，然后可得的长． 此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握利用勾股定理求有关线段的长度的方法． 10.已知的三边分别为，，且，满足，则        ． 【答案】  【解析】解：根据题意可知，， ， ， ， 则， 是直角三角形， ． 故答案为：． 先根据二次根式的非负性得，，再结合，得出是直角三角形，即可求出． 本题考查了二次根式有意义的条件，勾股定理的逆定理，三角形的面积，掌握相应的运算法则是关键． 三、计算题：本大题共1小题，共10分。 11.计算 【答案】(1) .........................................................................3分 ........................................................................5分 (2) ........................................................................3分 ．........................................................................5分 【解析】  此题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质化简，零指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则．首先根据二次根式的性质化简，计算零指数幂和绝对值，然后计算加减即可；  首先计算二次根式的乘法和除法，然后计算加减． 四、解答题：本题共3小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 12.本小题分 如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量小明找了一卷米尺，测得米，米，米，米，又已知． 土地的面积是多少？ 蔬菜单位面积产量为，则这块地产蔬菜多少千克？ 【答案】解：连结， 在中，米，米， 米，......................................................2分 米，米， ，......................................................5分 ， 平方米， 即这块土地的面积是平方米......................................................7分 即这块地产蔬菜......................................................10分 【解析】根据勾股定理逆定理求出，再根据三角形面积公式求解即可； 根据总量单位面积产量单位面积求解即可． 此题考查了勾股定理逆定理、三角形面积、勾股定理，熟练运用勾股定理逆定理、三角形面积公式、勾股定理是解题的关键． 13.本小题分 如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使，连接． 求证：四边形是矩形； 连接，若，，求的长度． 【答案】证明：四边形是菱形， 且， ， ，......................................................2分 ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形；......................................................5分 解：四边形是菱形，， ， ， ......................................................7分 在中，， 在中，，......................................................8分 四边形是菱形， ， ．......................................................10分 【解析】根据菱形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； 由菱形的性质得，由勾股定理求出，，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案． 本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键． 14.本小题5分 如图，在矩形中，将沿着折叠，使点与点重合，过点作交线段于点，连接和． 求证：； 求证：四边形为菱形； 连接交于点，若，，求线段的长． 【解析】证明：四边形是矩形， ， ， ， ，......................................................2分 由翻折性质可得，， ， ， ；......................................................5分 证明：，， 四边形是平行四边形，......................................................7分 又， 平行四边形是菱形．......................................................10分 如图，连接交相交于． 平行四边形是菱形． ，，......................................................12分 ， ，......................................................13分 ， 根据勾股定理得．......................................................15分 易证，可得； 易证四边形是平行四边形，即可得证； 利用面积法求出，再利用勾股定理求出． 本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $