精品解析：内蒙古自治区呼和浩特市新城区北京一零一中呼和浩特分校2025-2026学年八年级下学期5月阶段检测数学试题

呼和浩特初二年级下学期期中阶段测试（六） 适用版本：新课标人教版八年级下册 考试时长：90分钟 满分：100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，矩形中，，，则的长是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 3. 如图，在菱形中，，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 下列说法正确的是（　　） A. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D. 如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是菱形，那么原来四边形的对角线一定相等 5. 如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（ ） ①△ACE≌△BCD；②∠DAB＝∠ACE；③AE+AC＝AD；④AE+AD＝2AC A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 下列图象中，能表示y是x的函数的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 对于正比例函数的图象，下列说法不正确的是（ ） A. 是一条直线 B. y随着x增大而减小 C. 经过点 D. 经过第一、第三象限 8. y关于x的一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 9. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这根芦苇的长度为_________尺． 10. 如图，将正方形和菱形按照如图所示摆放，顶点与顶点重合，菱形的对角线经过点，点分别在上，若，则的长为________． 11. 已知正方形的一条对角线长为cm，则该正方形的边长为__________cm． 12. 如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为、．求________ ． 三、解答题：本题共5小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. 计算： （1）； （2）． 14. 根据下列条件分别确定函数的解析式： （1）y与x成正比例，当时，； （2）直线经过点与点． 15. “黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg，如果一次购买以上的种子，超过部分的种子价格打8折； （1）填表： 购买量x/kg 0 1 2 3 ··· 付款金额y元 0 5 ··· （2）求付款金额y关于购买量x的函数解标式，并自己绘制平面直角坐标系画出函数图象； （3）一次性购买多少种子付款22元？ 16. 如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F． (1)求证：△AOE≌△BOF； (2)如果两个正方形的边长都为a，那么正方形A1B1C1O绕O点转动，两个正方形重叠部分的面积等于多少？ 17. 取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如图： （1）【课本再现】 第一步：如图①，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：在上选一点P，沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接，根据以上操作，当点M在上时，如图①，连接，判断的形状并证明． （2）【类比应用】如图②，现将矩形纸片换成边长为正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接，当点M在上时，求与的数量关系是 （用数学式子表示）； （3）【拓展延伸】在（2）的探究中，改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），沿折叠纸片，如图③，使点A落在矩形内部的点M处，连接，并延长交于点Q，连接．当时，请求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 呼和浩特初二年级下学期期中阶段测试（六） 适用版本：新课标人教版八年级下册 考试时长：90分钟 满分：100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件， 根据二次根式的定义，需满足两个条件：①根指数为2；②被开方数非负．逐项判定即可． 【详解】解：选项A：，被开方数为（负数），不符合条件②，排除． 选项B：，根指数为2（默认省略），被开方数，满足两个条件，是二次根式． 选项C：，根指数为3，属于三次根式，不符合条件①，排除． 选项D：，，（负数），不符合条件②，排除． 综上，正确答案为B． 故选：B． 2. 如图，矩形中，，，则的长是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 先求出，再由矩形性质得，则可证得是等边三角形，则，即可求得长． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：D． 3. 如图，在菱形中，，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，连接交于O，根据菱形的性质得出，，， ，则可证是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，进而求出，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：连接交于O， ∵在菱形中，，， ∴，，， ， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4. 下列说法正确的是（　　） A. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D. 如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是菱形，那么原来四边形的对角线一定相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定、菱形的性质判断即可． 【详解】解：A、一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，本选项说法错误，不符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形，本选项说法错误，不符合题意； C、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，本选项说法错误，不符合题意； D、如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是菱形，那么原来四边形的对角线一定相等，本选项说法正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定以及菱形的性质、三角形中位线定理，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键． 5. 如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（ ） ①△ACE≌△BCD；②∠DAB＝∠ACE；③AE+AC＝AD；④AE+AD＝2AC A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质得到CA＝CB，∠CAB＝∠CBA＝45°，CD＝CE，∠E＝∠CDE＝45°，则可根据“SAS”证明△ACE≌△BCD，于是可对①进行判断；利用三角形外角性质得到∠DAB+∠BAC＝∠E+∠ACE，加上∠CAB＝∠E＝45°，则可得对②进行判断；由全等三角形得性质和等边三角形得性质得出③不正确；证出△ADB是直角三角形，由勾股定理得出④正确． 【详解】解：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形， ∴CA＝CB，∠CAB＝∠CBA＝45°，CD＝CE，∠E＝∠CDE＝45°， ∵∠ACE+∠ACD＝∠ACD+∠BCD， ∴∠ACE＝∠BCD， 在△ACE和△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD(SAS)，所以①正确； ∵∠DAC＝∠E+∠ACE，即∠DAB+∠BAC＝∠E+∠ACE， 而∠CAB＝∠E＝45°， ∴∠DAB＝∠ACE，所以②正确； 在AD上截取DF=AE，连接CF，如图所示， 在△ACE和△FCD中， ∴△ACE△FCD(SAS)， ∴AC=FC， 当，△ACF是等边三角形， 则AC=AF，此时AE+AC=DF+AF=AD， 但无法求证， 故③不正确； 由①得，△ACE≌△BCD， ∴AE=BD，CEA=CDB=45°， ∴ADB=CDB+EDC=90°， ∴△ADB是直角三角形， ∴， ∴， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴， ∴，故④正确； 故选C． 【点睛】本题考查了全等三角形得判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理和直角三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． 6. 下列图象中，能表示y是x的函数的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的概念解答即可． 【详解】解：∵根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应 ∴能表示y是x的函数是前三个图． 故选C． 【点睛】本题主要考查了函数的概念，函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直于x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象与x轴只会有一个交点． 7. 对于正比例函数的图象，下列说法不正确的是（ ） A. 是一条直线 B. y随着x增大而减小 C. 经过点 D. 经过第一、第三象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据正比例函数的性质进行逐一判断即可． 【详解】解：A、正比例函数的图象是一条直线，原说法正确，不符合题意； B、∵，∴正比例函数中，y随着x增大而减小，原说法正确，不符合题意； C、当时，，则正比例函数的图象经过点，原说法正确，不符合题意； D、∵，∴正比例函数的图象经过第二、四象限，原说法错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的性质，掌握正比例函数图象与系数的关系是解题的关键． 8. y关于x的一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象：一次函数、为常数，是一条直线，当，图象经过第一、三象限，随的增大而增大；当，图象经过第二、四象限，随的增大而减小；图象与轴的交点坐标为． 对于每个选项，先确定一个解析式所对应的图象，根据一次函数图象与系数的关系确定、的符号，然后根据此符号看另一个函数图象的位置是否正确． 【详解】解：A、对于，当，图象经过第一、三象限，则也要经过第一、三象限，所以A选项不符合题意； B、对于，当，图象经过第一、三象限，则经过第二、四象限，与轴的交点在轴上方，所以B选项符合题意； C、对于，当，图象经过第一、三象限，则也要经过第一、三象限，所以C选项不符合题意； D、对于，当，图象经过第二、四象限，若，则经过第一、三象限，所以D选项不符合题意． 故选：B． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 9. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这根芦苇的长度为_________尺． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．设芦苇的长度为尺，则水深为尺，根据题意，构造直角三角形，利用勾股定理列出关于的方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图，设芦苇的长度为尺，则水深为尺， 芦苇长在水池中央， 尺， 根据勾股定理，得：， ，解得：， 答：这根芦苇长为尺． 故答案为：． 10. 如图，将正方形和菱形按照如图所示摆放，顶点与顶点重合，菱形的对角线经过点，点分别在上，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形和正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质． 连接交于点，根据菱形和正方形的性质得出，根据全等三角形的性质得出相关的边长，利用勾股定理求出、的长，最后利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图所示，连接交于点，根据菱形对角线的性质，则， 在正方形和菱形中， ∵， ， ∴， 由勾股定理得， 在正方形和菱形中， ， ∴为等腰直角三角形， 由勾股定理得， ， ∴， 故答案为：． 11. 已知正方形的一条对角线长为cm，则该正方形的边长为__________cm． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形性质可知：正方形的一条角平分线即为对角线，对角线和正方形的两条相邻的边构成等腰直角三角形，根据勾股定理可得正方形的周长. 【详解】解：∵正方形的对角线长为2, 设正方形的边长为x, ∴2x²=(2)² 解得：x=2 ∴正方形的边长为：2 故答案为2. 【点睛】本题考查了正方形的性质，解题的关键是明确正方形的对角线和正方形的两条相邻的边构成等腰直角三角形. 12. 如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为、．求________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，由矩形性质可得，，，，然后通过勾股定理得出，则有，然后通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴． 三、解答题：本题共5小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算； （1）先算乘除，再算加减即可； （2）先利用平方差公式和完全平方公式展开，再计算即可． 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 14. 根据下列条件分别确定函数的解析式： （1）y与x成正比例，当时，； （2）直线经过点与点． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）先根据正比例函数的定义可得b=0，再利用待定系数法即可得； （2）直接利用待定系数法即可得． 【详解】（1）∵y与x成正比例， ∴b=0 又∵当x=5时，y=6， ∴5k=6， 解得， 则； （2）由题意，将点(3，6)，代入y=kx+b得： ， 解得：， 则． 【点睛】本题考查正比例函数的定义，利用待定系数法求函数解析式，掌握待定系数法是解题关键． 15. “黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg，如果一次购买以上的种子，超过部分的种子价格打8折； （1）填表： 购买量x/kg 0 1 2 3 ··· 付款金额y元 0 5 ··· （2）求付款金额y关于购买量x的函数解标式，并自己绘制平面直角坐标系画出函数图象； （3）一次性购买多少种子付款22元？ 【答案】（1）10，14； （2），函数图象见解析 （3）一次性购买种子付款22元 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用，明确题意、写出相应的函数解析式是解答本题的关键． （1）根据题意和题目中的数据，可以计算出和对应的函数值； （2）根据题意写出付款金额y关于购买量x的函数解析式，并在给出的平面直角坐标系中画出函数图像即可； （3）将代入相应的函数解析式，求出相应的x的值即可． 【小问1详解】 解：由题意可得： 当时，， 当时，． 故答案为：10，14； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， 综上分析可得，， 函数图像如图所示： 【小问3详解】 解：将代入，得，解得：， 答：一次性购买种子付款22元． 16. 如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F． (1)求证：△AOE≌△BOF； (2)如果两个正方形的边长都为a，那么正方形A1B1C1O绕O点转动，两个正方形重叠部分的面积等于多少？ 【答案】(1)证明见解析；(2)S四边形OEBF=a2. 【解析】 【分析】(1)由题意得OA=OB，∠OAB=∠OBC=45°，又因为∠AOE+∠EOB=90°，∠BOF+∠EOB=90°可得∠AOE=∠BOF，根据ASA证明△AOE≌△BOF全等即可；(2)由(1)得△AOE≌△BOF，进而可知S四边形OEBF=S△EOB+S△OBF=S△EOB+S△AOE=S△AOB=S正方形ABCD=a2 【详解】(1)证明：在正方形ABCD中，AO=BO，∠AOB=90°，∠OAB=∠OBC=45°， ∵∠AOE+∠EOB=90°，∠BOF+∠EOB=90°， ∴∠AOE=∠BOF． 在△AOE和△BOF中，∠OAE=∠OBF=45°，OA=OB，∠AOE=∠BOF， ∴△AOE≌△BOF； (2)两个正方形重叠部分面积等于a2， ∵△AOE≌△BOF， ∴S四边形OEBF=S△EOB+S△OBF=S△EOB+S△AOE=S△AOB=S正方形ABCD=a2． 【点睛】本题考查正方形的性质、三角形全等的证明，根据全等则面积相等，从而求得重叠部分的面积，熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定定理是解题关键. 17. 取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如图： （1）【课本再现】 第一步：如图①，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：在上选一点P，沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接，根据以上操作，当点M在上时，如图①，连接，判断的形状并证明． （2）【类比应用】如图②，现将矩形纸片换成边长为正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接，当点M在上时，求与的数量关系是 （用数学式子表示）； （3）【拓展延伸】在（2）的探究中，改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），沿折叠纸片，如图③，使点A落在矩形内部的点M处，连接，并延长交于点Q，连接．当时，请求出的长． 【答案】（1）等边三角形，证明见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质得，，从而得到是等边三角形即可求解； （2）根据正方形的性质得出，，根据折叠得出，垂直平分，，根据余角的性质证明，证明，得出，即可证明； （3）分两种情况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，分别画出图形，利用勾股定理解方程即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵对折矩形纸片，使与重合，折痕为， ∴垂直平分， ∴， ∵沿折叠纸片，使点落在矩形内部的点处， ∴， ∴， ∴是等边三角形； 【小问2详解】 解：∵四边形为正方形， ∴，， 根据折叠可知：，垂直平分，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴； 【小问3详解】 解：当点Q在点F的下方时，如图所示： ∵正方形中，， ∴， ∴， 由（2）知， ∴， 设，由折叠知， ∴，， 在中，， ∴， 解得， 即； 当点Q在点F的上方时，如图， 则， ∴， ∴， 设， 则，， 在中，， ∴， 解得，即； 综上可知，的长为或． 【点睛】本题考查正方形折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定等，掌握折叠前后对应角相等、对应边相等，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $