精品解析：2026年湖南省邵阳市隆回县二模数学试题

2026年5月中考适应性考试试题卷 九年级数学 温馨提示： 1．本学科试卷分试题卷和答题卡两部分； 2．请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上； 3．请你在答题卡上作答，写在本试题卷上无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. 0 B. 3 C. D. 2. 2026年湖南省政府工作报告提出，将推进一批重大交通项目建设，其中某高速项目总投资约120亿元．其中“120亿”用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 3. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某校为了解该校七年级学生湖南文旅景点打卡情况，从七年级的600名学生中随机抽取了100名学生进行调查，以下说法正确的是（ ） A. 抽取的100名学生的湖南文旅景点打卡情况是样本 B. 七年级的600名学生的湖南文旅景点打卡情况是样本 C. 该校的所有学生是总体 D. 此调查为普查 5. 如图，，，都是的半径，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是关于的方程的解，则的值为（ ） A. B. 3 C. 6 D. 7. 如图，已知直线与直线，分别交于点，，且的补角为，若要使直线，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知第一象限内的点在反比例函数的图象上，第二象限内的点在反比例函数的图象上，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，，，有以下作图：①以点为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点，交于点；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点．若点，分别为，上的动点，那么的最小值是（ ） A. 4 B. 3 C. D. 2 10. 如图，已知矩形，点是边的中点，，与相交于点，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 因式分解：______． 12. 使代数式有意义的取值范围是_________． 13. 分式方程的解是_______． 14. 甲、乙、丙三名同学参加短跑测试，已知他们几次测试成绩的平均数相同，方差如下：，，，则成绩最稳定的是______． 15. 如图，圆锥的底面半径，高，则该圆锥的侧面积等于______． 16. 如图，正六边形的边长为4，动点、分别从点、同时出发，以相同的速度沿，向终点，运动，过点作，垂足为点，连接、，当最大时，线段的长为_________． 三、解答题（本大题共8个小题，第17、18题每小题6分，第19、20每小题8分，第20、21每小题10分，第23、24每小题12分，共72分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 某特产店销售A款臭豆腐挂件和B款酱板鸭挂件．购进50个A款和30个B款，共需940元；购进30个A款和50个B款，共需820元．A款售价20元/个，B款售价15元/个． （1）A、B两种挂件每个的进价分别是多少元？ （2）该商家计划购进A、B两款挂件共200个，且A款数量不少于B款数量的，总费用不超过2000元，该商家如何进货能在这批挂件全部售完时获利最大？最大利润是多少元？ 20. 如图，在中，点在上，以为圆心，长为半径作圆，恰好与相切于点，且． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的半径． 21. 为了解某校八年级学生的生地会考模拟成绩，随机抽取50名学生的测试成绩进行整理和分析（成绩共分成六组：A．，B．，C．，D．，E．，F．） 等级 A B C D E F 分数 人数 9 11 8 5 请根据以上信息，解答下列问题： （1）_____，_____，_____． （2）在扇形统计图中，求D组对应扇形圆心角的度数，并补全频数分布直方图； （3）若该校约有名学生，请估计该次数学水平测试成绩超过分的学生有多少人． 22. “1”腔热血护家园，“1”呼百应齐参与，“9”久守护永不变，在“全国消防日”之际，学校组织学生到消防队参观消防救援车实施救援演练的过程，图1是高空救援消防车实物图，图2是其侧面示意图，操作面与水平地面平行，操作面离地面的距离米，伸缩臂可绕着点O旋转，点A在上，为云梯的液压杆，其中可伸缩，已知套管米，且套管的长度不变．消防员为大家介绍：此时，，，于点E，交于点F，云梯末端工作台C上升到了离地面米的高处．（参考数据：，，结果精确到0.1） （1）求此时液压杆的长度；（结果保留根号） （2）通过消防员的操作，云梯伸缩臂绕点O逆时针旋转并伸长至，云梯末端工作台C的铅锤高度上升了4米至，请问伸缩臂比伸缩臂伸长了多少米？ 23. 如图，在矩形中，，点是边上一点，连接．将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别是点，． （1）如图1，若点是边的中点，且点恰好落在的延长线上，连接，求的度数； （2）如图2，若点恰好落在的延长线上，连接，交于点． ①求证：垂直平分； ②当时，探究线段与线段的数量关系． 24. 在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于A，B两点，其中点A在点B的左侧，点是抛物线上的一个动点． （1）若，求点A的坐标； （2）若点A恰好为抛物线的顶点，在抛物线上另取一点，当时，试比较与的大小，并说明理由； （3）若点A的横坐标为4，当时，，求b的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年5月中考适应性考试试题卷 九年级数学 温馨提示： 1．本学科试卷分试题卷和答题卡两部分； 2．请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上； 3．请你在答题卡上作答，写在本试题卷上无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. 0 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数估算及实数比较大小，根据选项中所给四个数，运用实数比较大小的方法求解即可得到答案，熟记实数比较大小的方法是解决问题的关键． 【详解】解：， ，即选项中最小的数是， 故选：C． 2. 2026年湖南省政府工作报告提出，将推进一批重大交通项目建设，其中某高速项目总投资约120亿元．其中“120亿”用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：120亿． 3. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解；选项A：与不是同类项，不能合并，∴A错误． 选项B：，∴B错误． 选项C：，∴C正确． 选项D：，∴D错误． 4. 某校为了解该校七年级学生湖南文旅景点打卡情况，从七年级的600名学生中随机抽取了100名学生进行调查，以下说法正确的是（ ） A. 抽取的100名学生的湖南文旅景点打卡情况是样本 B. 七年级的600名学生的湖南文旅景点打卡情况是样本 C. 该校的所有学生是总体 D. 此调查为普查 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵本题中总体是该校七年级600名学生的湖南文旅景点打卡情况，并非该校所有学生， ∴选项C错误． ∵样本是从总体中抽取的部分研究对象的相关数据，本题中抽取的100名学生的湖南文旅景点打卡情况是样本， ∴选项A正确，选项B错误． ∵本次调查仅抽取100名学生进行调查，没有调查所有七年级学生， ∴该调查是抽样调查，不是普查，选项D错误． 5. 如图，，，都是的半径，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：在中，所对的圆周角为、所对的圆心角为， ∴， ∵，， ∴， ∴． 6. 已知是关于的方程的解，则的值为（ ） A. B. 3 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程的解的定义，将已知解代入原方程，得到关于m的一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入原方程，得， 解得． 7. 如图，已知直线与直线，分别交于点，，且的补角为，若要使直线，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据补角的定义得，再根据平行线的判定及对顶角相等可得答案． 【详解】解：如图， ∴， ∵的补角为， ∴， ∴， 当时，， 此时． 8. 如图，已知第一象限内的点在反比例函数的图象上，第二象限内的点在反比例函数的图象上，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作轴，作轴，先证明，利用相似比得到，继而求出值即可． 【详解】解：如图，作轴，垂足为，作轴，垂足为， ， ， 又， ， ， ， ， ∵反比例函数图象在第二象限， ． 9. 如图，中，，，，有以下作图：①以点为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点，交于点；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点．若点，分别为，上的动点，那么的最小值是（ ） A. 4 B. 3 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】在上截取，连接，作于点，由题意可知，平分，从而可证明，则，因此，利用含角的直角三角形的性质计算出即可． 【详解】解：如图，在上截取，连接，作于点， 由题意可知，平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当、、共线，且点与点重合时，取得最小值， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 10. 如图，已知矩形，点是边的中点，，与相交于点，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】先根据矩形的性质得出，， ，再由中线的性质得出，再利用相似三角形的判定以及性质即可得出，，，再根据矩形的性质进一步可得出， 设，根据勾股定理得到，可知，根据，，，即可得出，进而可判断与不垂直． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 点是边的中点， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ①③正确， ， 设，则，， ∴， ∴， 故②正确， ， ， ， ， 与不垂直， 故④不正确， 正确的是①②③，共3个． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 使代数式有意义的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】要使该代数式有意义，需同时满足二次根式有意义的条件和分式分母不为零的条件，据此列出不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：要使代数式有意义，需满足二次根式的被开方数为非负数，且分式的分母不为零，因此可得， 解得． 13. 分式方程的解是_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：去分母，方程两边同乘最简公分母，得 展开得 移项合并同类项得 系数化为得 经检验是原分式方程的解 14. 甲、乙、丙三名同学参加短跑测试，已知他们几次测试成绩的平均数相同，方差如下：，，，则成绩最稳定的是______． 【答案】丙 【解析】 【详解】解：∵， ∴， 因此，成绩最稳定的是丙． 15. 如图，圆锥的底面半径，高，则该圆锥的侧面积等于______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的母线长，然后利用扇形的面积公式计算圆锥的侧面积． 【详解】解：根据题意得圆锥的母线长为， 所以该圆锥的侧面积． 16. 如图，正六边形的边长为4，动点、分别从点、同时出发，以相同的速度沿，向终点，运动，过点作，垂足为点，连接、，当最大时，线段的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接、交于点，利用正六边形的对称性，确定O为中心，且直线必过点O，由得，推导出点H在以为直径的圆上，当与该圆相切时，取得最大值，最后利用勾股定理计算出切线长，得出线段的长． 【详解】解：如图，连接、交于点， 六边形为正六边形， 点为正六边形的对称中心，且中心角为，， 和均为等边三角形， ， 由题意可得：， 由对称性可得，直线必过对称中心， ， ， 点在以为直径的上， 是定线段， 当最大时，则与相切，连接，则，且， ， ， 故当最大时，线段的长为． 三、解答题（本大题共8个小题，第17、18题每小题6分，第19、20每小题8分，第20、21每小题10分，第23、24每小题12分，共72分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】利用特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂和绝对值的性质先化简，再进行加减运算即可求解． 【详解】解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；1 【解析】 【详解】解： ． 将代入得：原式 19. 某特产店销售A款臭豆腐挂件和B款酱板鸭挂件．购进50个A款和30个B款，共需940元；购进30个A款和50个B款，共需820元．A款售价20元/个，B款售价15元/个． （1）A、B两种挂件每个的进价分别是多少元？ （2）该商家计划购进A、B两款挂件共200个，且A款数量不少于B款数量的，总费用不超过2000元，该商家如何进货能在这批挂件全部售完时获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）每个A款挂件的进价为14元，每个B款挂件的进价为8元 （2）该商家购进50个A款挂件，150个B款挂件时获利最大，为1350元 【解析】 【分析】（1）设每个A款挂件的进价为元，每个B款挂件的进价为元，根据“购进50个A款和30个B款，共需940元；购进30个A款和50个B款，共需820元”列方程组求解即可； （2）设购进个A款挂件，则购进个B款挂件，先求出利润的函数解析式，再根据题意得到m的取值范围，进而根据一次函数的性质作答即可． 【小问1详解】 解：设每个A款挂件的进价为元，每个B款挂件的进价为元， 由题意得，， 解得， 答：每个A款挂件的进价为14元，每个B款挂件的进价为8元； 【小问2详解】 解：设购进个A款挂件，则购进个B款挂件， 利润． 由题意得， 解得，， ，随的增大而减小 当时，取得最大值，最大值元 答：该商家购进50个A款挂件，150个B款挂件时获利最大，为1350元 20. 如图，在中，点在上，以为圆心，长为半径作圆，恰好与相切于点，且． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）的半径为6 【解析】 【分析】（1）首先连接，利用切线性质得到，从而推出，接着利用半径相等（）和三角形外角性质，得出，结合已知条件，通过等量代换得到，最后将代入互余关系中，证得，即，从而完成证明； （2）在已知和的情况下，首先在中利用三角函数定义求出斜边的长，再利用勾股定理求出的长，接着，通过证明（利用公共角和第一问证得的），建立对应边成比例的关系式。设半径为，将、及已知线段长代入比例式，列出关于的方程求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 与相切， ，， ， ， ， ， ， ， ， 半径于点， 为的切线． 【小问2详解】 解：由知， 在中，， ， ， ，， ， ， 设的半径为，则有， 解得：， 的半径为6． 21. 为了解某校八年级学生的生地会考模拟成绩，随机抽取50名学生的测试成绩进行整理和分析（成绩共分成六组：A．，B．，C．，D．，E．，F．） 等级 A B C D E F 分数 人数 9 11 8 5 请根据以上信息，解答下列问题： （1）_____，_____，_____． （2）在扇形统计图中，求D组对应扇形圆心角的度数，并补全频数分布直方图； （3）若该校约有名学生，请估计该次数学水平测试成绩超过分的学生有多少人． 【答案】（1）；； （2）D组对应扇形圆心角的度数为；图见解析 （3）该次数学水平测试成绩超过分的学生约有人 【解析】 【分析】（1）结合统计图得到A、B、F组的学生数和占比，从而计算出、、； （2）计算出D组的占比，再乘以即可得到圆心角，结合（1）的数据补全频数分布直方图即可； （3）根据样本中超过分的学生占比，乘以全校学生数即可． 【小问1详解】 解：由扇形统计图可知，B组占比为，F组的学生有2名，A组的学生有9名， ∴，，， ∴； 【小问2详解】 解：， ∴D组对应扇形圆心角的度数为． 补全频数分布直方图如下： ； 【小问3详解】 解：（人）， 答：该次数学水平测试成绩超过分的学生约有人． 22. “1”腔热血护家园，“1”呼百应齐参与，“9”久守护永不变，在“全国消防日”之际，学校组织学生到消防队参观消防救援车实施救援演练的过程，图1是高空救援消防车实物图，图2是其侧面示意图，操作面与水平地面平行，操作面离地面的距离米，伸缩臂可绕着点O旋转，点A在上，为云梯的液压杆，其中可伸缩，已知套管米，且套管的长度不变．消防员为大家介绍：此时，，，于点E，交于点F，云梯末端工作台C上升到了离地面米的高处．（参考数据：，，结果精确到0.1） （1）求此时液压杆的长度；（结果保留根号） （2）通过消防员的操作，云梯伸缩臂绕点O逆时针旋转并伸长至，云梯末端工作台C的铅锤高度上升了4米至，请问伸缩臂比伸缩臂伸长了多少米？ 【答案】（1）米 （2）伸缩臂比伸缩臂伸长了1.625米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点B作，分别解和，进行求解即可； （2）过点作，垂足为Q，过点C作，垂足为R，通过解直角三角形可求出和，再相减即可得到答案． 【小问1详解】 解：过点B作，如， 在中，米，， ∴（米）， 在中，， ∴，即, ∴（米）； 【小问2详解】 解：过点作，垂足为Q，过点C作，垂足为R， 根据题意知，（米） ∵（米） ∴（米） ∵, ∴（米） 由作图知四边形是矩形， ∴米， ∵米， ∴米， 又 ∴ 在中，, ∴米， ∴米， 即伸缩臂比伸缩臂伸长了1.625米 23. 如图，在矩形中，，点是边上一点，连接．将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别是点，． （1）如图1，若点是边的中点，且点恰好落在的延长线上，连接，求的度数； （2）如图2，若点恰好落在的延长线上，连接，交于点． ①求证：垂直平分； ②当时，探究线段与线段的数量关系． 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）容易判断是等腰直角三角形，则，由旋转可得，则，因此； （2）①根据旋转的性质容易证明，则，结合等腰三角形的性质可得垂直平分； ②设，则，由勾股定理可得，容易证明，则，计算得，，由旋转可得，，，结合可得，因此． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①证明：由旋转的性质可得，，， ∵点落在的延长线上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴垂直平分； ②设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 由旋转的性质可得，，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 24. 在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于A，B两点，其中点A在点B的左侧，点是抛物线上的一个动点． （1）若，求点A的坐标； （2）若点A恰好为抛物线的顶点，在抛物线上另取一点，当时，试比较与的大小，并说明理由； （3）若点A的横坐标为4，当时，，求b的范围． 【答案】（1） （2） 解：∵，点A恰好为抛物线的顶点， ∴， ∵直线与抛物线相交于A点， ∴，即， 解得：， 当时，则抛物线图象关于对称，开口向上， ∵， ∴， ∴两点关于直线对称， ∴； 当时，直线与抛物线的另一个交点在点A左侧，不合题意，舍去； 综上，当时，； （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数化顶点式，二次函数与一元二次方程，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据题意得到抛物线和直线的解析式，令，解一元二次方程，即可解题； （2）将抛物线化为顶点式，得到顶点坐标，进而求出，再分情况讨论求解，即可解题； （3）根据点A的横坐标为4，得到的一个解为4，进而求出或，根据点A在点B的左侧，的对称轴为直线，推出，再结合二次函数增减性讨论求解，即可解题． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线解析式为，直线解析式为， 令，即， 解得：， ⸪点A在点B的左侧， ⸫，则， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：点A的横坐标为4， 的一个解为4，即的一个解为4， ， 整理得， 解得或， 点A在点B的左侧，的对称轴为直线， ， 解得， ， 当时，， 当时，， ①当时， 又，有， 当时，有，不满足，舍去； ②当时，随的增大而减小， 又，有，时，， 或， 解得， 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $