精品解析：2026年四川资阳市雁江区初中毕业班模拟测试数学试卷

雁江区初中2026届毕业班模拟测试 数 学 本卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．全卷满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，请考生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、学校和考号．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回． 2．各学科的选择题，每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案． 3．各学科的非选择题须用0.5mm黑色墨水签字笔在答题卡上对应题号答题位置作答；在试卷上作答，答案无效． 第I卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数，如果收入元记作元.那么元表示（ ） A. 支出元 B. 收入元 C. 支出元 D. 收入元 2. 下列几何体中，从正面、左面、上面看完全相同的几何体是（ ） A. B. C. D. 3. 若表示运算x+z-（y+w），则的运算结果是（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 4. 下列大学校徽内部图案中可以看成由某一个基本图形通过平移形成的是（ ） A. B. C. D. 5. 某校举办水浒文化进校园朗诵大赛，比赛中七位评委给某位参赛选手的分数，如果去掉一个最高分和一个最低分，则下列数据一定不发生变化的是（　　　） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 6. 把a3﹣2a2+a分解因式的结果是 A. a2（a﹣2）+a B. a（a2﹣2a） C. a（a+1）（a﹣1） D. a（a﹣1）2 7. 如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（　　　） A. 1.8 B. 2.2 C. 3.5 D. 3.8 8. 如图，在矩形中，点是边上一点，连接，过作于点，若，，，则矩形的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，．则这个最小值是（    ） A. B. C. D. 10. 四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. “蛟龙”号在海底深处的沙岩中，捕捉到一种世界上最小的神秘生物，它们的最小身长只有0.000 000 02米，比已知的最小细菌还要小，将0.000 000 02用科学记数法表示为____________． 12. 某AI编程训练营进行随机组卷测验，题库中有3道Python题和4道C++题．系统从中随机抽取1道题进行测验，则恰好抽到C++题的概率是________． 13. 如图，数轴上从左到右有A、C、B三点，其中点A、B表示的数分别是，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上且到点的距离为6，则点表示的数是____________． 14. 五子棋是全国智力运动会竞技项目之一，它的其中一种比赛规则是只要同色五子先成一条直线就算获胜．如图是两人玩的一盘五子棋，若白①的位置是，黑①的位置是，现轮到黑棋走，你认为黑棋放在________的位置就可以获胜（填对一个位置即可）． 15. 如图，已知是的平分线，，若，则的面积等于______．     16. 如图，在平行四边形中，，以点B为圆心、的长为半径作弧交边于点E，连接，分别以点A，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点O，交边于点F，此时，若，则平行四边形的面积是_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2）化简求值：，其中 18. 2024年4月23日是第29个“世界读书日”，成都市某校组织读书征文比赛活动，评出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图． 请你根据图中信息解答下列问题： （1）本次比赛获奖的总人数共有 人；扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数是 ；补全条形统计图； （2）学校从甲、乙、丙、丁4位一等奖获得者中随机抽取2人参加“世界读书日”宣传活动，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率． 19. 端午节是我国首个入选世界非物质文化遗产的传统节日，吃粽子是端午节的习俗之一，某超市每盒豆沙粽的进价比每盒肉粽的进价便宜10元，用6000元购进豆沙粽的盒数和用8000元购进肉粽的盒数相同． （1）求每盒豆沙粽、肉粽的进价各为多少元？ （2）现有一批粽子需要在14天内（包括14天）加工完，已知甲队单独加工20天完成，乙队单独加工30天完成，目前甲队有工人12人，乙队有工人10人，这批粽子由甲乙两队合作完成，两队合作4天后，乙队另有任务需调出部分人员，则乙队最多调走多少人？ 20. 随着人工智能的发展，智能机器人警察已经陆续出现，图1是机器人警察安安和全全，他们从街头处出发，准备前往相距米的处（、在同一直线上）巡逻，安安警察比全全警察先出发，且速度保持不变，全全警察出发一段时间后将速度提高到原来的倍.已知安安警察、全全警察行走的路程（米），（米）与安安警察行走的时间（秒）之间的函数关系图象如图2所示． （1）如图2，折线①表示______警官行走的路程与时间的函数图象（填“安安”或“全全”）； （2）求全全警察提速后的速度，并求、的值； （3）求折线①中线段所在直线的函数解析式； （4）全全警察加速后经过几秒追上安安警察． 21. 仅用无刻度的直尺作图，是一种考查灵活运用图形性质和判定的绘图方式，按要求完成下面仅用无刻度的直尺作图的题目： （1）如图①，在内，作任意两条直径、，顺次连接、、、，则画出了的一个内接矩形，请说明理由； （2）如图②，是的直径，是弦，且，画出的内接正方形．（保留画图痕迹，不写作法） 22. 如图，为了求某条河的宽度，在它的对岸岸边任意取一点，再在河的这边沿河取两点、，使得，，量得的长为． （1）求河的宽度(结果保留根号)． （2）请再设计两种测量河的宽度的方案，简要说明，并计算出结果． 23. 在一堂数学实践活动课上，老师拿出三个边长均为的正方形硬纸板，向同学们提问：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径是多大？同学们经过讨论，得出了三种不同的摆放类型，如图所示： （1）分别计算三种摆放类型中，圆形硬纸板的最小直径（结果保留根号与）． （2）其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你猜想并画出用圆形硬纸板盖住三个正方形的直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径． 24. 如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； （3）若点在抛物线对称轴上，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 雁江区初中2026届毕业班模拟测试 数 学 本卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．全卷满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，请考生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、学校和考号．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回． 2．各学科的选择题，每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案． 3．各学科的非选择题须用0.5mm黑色墨水签字笔在答题卡上对应题号答题位置作答；在试卷上作答，答案无效． 第I卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数，如果收入元记作元.那么元表示（ ） A. 支出元 B. 收入元 C. 支出元 D. 收入元 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正负数的实际应用，相反意义的量，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据收入元记作元，得出负数表示的意义． 【详解】解：如果收入元记作元.那么负数表示支出，元表示支出元， 故选：A． 2. 下列几何体中，从正面、左面、上面看完全相同的几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、三棱柱从正面看、从左面看都是长方形，从上面看是三角形，则该选项不符合题意； B、圆柱从正面看、从上面看都是长方形，从左面看是圆，则该选项不符合题意； C、圆锥从正面看，从左面看都是三角形，从上面看是圆，则该选项不符合题意； D、球从三个方向看都是圆，则该选项符合题意； 3. 若表示运算x+z-（y+w），则的运算结果是（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】先根据新定义列出运算式，再利用加减运算法则进行计算即可． 【详解】解：由题意得：表示： 故选C． 【点睛】本题考查的是新定义下的加减运算，理解题意，掌握加减运算的运算法则是解题关键． 4. 下列大学校徽内部图案中可以看成由某一个基本图形通过平移形成的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平移的性质，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：由平移的性质可知，C选项的图案是通过平移得到的； A、B、D中的图案不是平移得到的； 故选：C． 【点睛】本题考查了平移的性质，解题的关键是掌握图案的平移进行解题． 5. 某校举办水浒文化进校园朗诵大赛，比赛中七位评委给某位参赛选手的分数，如果去掉一个最高分和一个最低分，则下列数据一定不发生变化的是（　　　） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】中位数是指从小到大排列后位于中间位置或中间两数的平均数，可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数． 【详解】解：∵中位数是指：从小到大排列后位于中间位置或中间两数的平均数， ∴去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响， 故选：A． 【点睛】本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数、众数、平均数及方差的定义，难度不大． 6. 把a3﹣2a2+a分解因式的结果是 A. a2（a﹣2）+a B. a（a2﹣2a） C. a（a+1）（a﹣1） D. a（a﹣1）2 【答案】D 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式即可得出答案. 【详解】. 故选D. 【点睛】本题考查了综合提公因式及公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键. 7. 如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（　　　） A. 1.8 B. 2.2 C. 3.5 D. 3.8 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再根据垂线段最短求出AP的最小值，然后得到AP的取值范围，从而得解． 【详解】解：∵∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°， ∴AC＝AB＝×4＝2， ∵点P是BC边上的动点， ∴2≤AP≤4， ∴AP的值不可能是1.8． 故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，垂线段最短，熟记性质并求出AP的取值范围是解题的关键． 8. 如图，在矩形中，点是边上一点，连接，过作于点，若，，，则矩形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质及正弦的定义得，继而得到，如图，过作于点，则，推出，得，根据等腰三角形三线合一得，求得，可得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 如图，过作于点，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴， ∴矩形的面积是． 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形的相关计算，矩形的性质，等腰三角形三线合一性质等知识点，掌握锐角三角函数的定义、通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 9. 如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，．则这个最小值是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作E点关于的对称点，连接、 、，当、P、F三点共线，时，此时的值最小，由题意可得，则，根据勾股定理即可求出 的值，即的最小值． 【详解】解：作E点关于的对称点，过作交于点F，交于点P， 连接，则， ∴， 当、P、F三点共线，且时，的值最小， ∵是正三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴的最小值． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了将军饮马问题，垂线段最短，等边三角形的性质，含30度角直角三角形的性质以及勾股定理．熟练掌握相关知识是解题的关键． 10. 四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要查了二次函数的性质，一元二次方程的应用．当时，点M在上，求出，可判断①；当时，点M在上，利用三角形面积公式求出的面积，利用二次函数的性质，可判断②；分两种情况：当点M在上时，点M在上，结合的面积为，列出方程，可判断③． 【详解】解：根据题意得：点M在上的运动时间为，点M在上的运动时间为，点N在上的运动时间为， ①当时，点M在上， 此时，， ∴， ∴，故①正确； ②当时，点M在上， 此时，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随t的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 即当时，的最大面积为，故②错误； ③当点M在上时， ∵的面积为， ∴， 解得：（舍去）， ∴当时，的面积为； 当点M在上时， ∵，， ∴，即， 此时， 解得：， ∴当时，的面积为； ∴有两个不同的值满足的面积为，故③正确． 故选：C 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. “蛟龙”号在海底深处的沙岩中，捕捉到一种世界上最小的神秘生物，它们的最小身长只有0.000 000 02米，比已知的最小细菌还要小，将0.000 000 02用科学记数法表示为____________． 【答案】2×10－8 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示方法解答即可． 【详解】解：将0.000 000 02用科学记数法表示为2×10－8． 故答案为：2×10－8． 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 12. 某AI编程训练营进行随机组卷测验，题库中有3道Python题和4道C++题．系统从中随机抽取1道题进行测验，则恰好抽到C++题的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了概率公式的应用．直接利用概率公式求解即可求得答案 ． 【详解】解：题库中有3道Python题和4道C++题， 恰好抽到C++题的概率是：． 故答案为：． 13. 如图，数轴上从左到右有A、C、B三点，其中点A、B表示的数分别是，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上且到点的距离为6，则点表示的数是____________． 【答案】0或6 【解析】 【分析】本题考查了数轴的折叠问题与距离计算，解题的关键是设出点表示的数，根据折叠性质和距离关系分情况列方程． 【详解】解：设点表示的数为，则， 折叠后点的对应点为，则． ∵到的距离为，表示的数为， ∴表示的数为或． 当时，，解得； 当时，，解得． 故答案为：或． 14. 五子棋是全国智力运动会竞技项目之一，它的其中一种比赛规则是只要同色五子先成一条直线就算获胜．如图是两人玩的一盘五子棋，若白①的位置是，黑①的位置是，现轮到黑棋走，你认为黑棋放在________的位置就可以获胜（填对一个位置即可）． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据已知点的坐标画出平面直角坐标系，由比赛规则找出黑棋放的位置，进而根据平面直角坐标系写出黑棋的坐标即可，根据点的坐标建立平面直角坐标系是解题的关键. 【详解】解：∵白①的位置是，黑①的位置是， ∴建立平面直角坐标系如下： 当黑棋放在图中三个黑棋的两头位置，就能获胜， ∴黑棋放的位置为或， 故答案为：或． 15. 如图，已知是的平分线，，若，则的面积等于______．     【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的角平分线和全等三角形的判定，解题的关键是熟练运用三角形的角平分线和全等三角形的判定．延长交于点，根据题意，证，因为和同高等底，所以面积相等，根据等量代换便可得出． 【详解】解：如图所示，延长，交于点， ， ， ∵是的角平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ∵和同底等高， ， ， ， 故答案为： ． 16. 如图，在平行四边形中，，以点B为圆心、的长为半径作弧交边于点E，连接，分别以点A，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点O，交边于点F，此时，若，则平行四边形的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由作法可知，平分，证明是等边三角形，由含30度角的直角三角形的性质求出和的长，由平行四边形的面积即可求解． 本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，角平分线的定义． 【详解】解：过A作于H， 四边形是平行四边形， ，，， 根据作法知：，平分， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，，， ， 平分， ， ，， ， ， ， 的面积 故答案为： 三、解答题（本大题共8个小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2）化简求值：，其中 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的性质化简，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂进行计算即可求解； （2）先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ， 当时，原式． 18. 2024年4月23日是第29个“世界读书日”，成都市某校组织读书征文比赛活动，评出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图． 请你根据图中信息解答下列问题： （1）本次比赛获奖的总人数共有 人；扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数是 ；补全条形统计图； （2）学校从甲、乙、丙、丁4位一等奖获得者中随机抽取2人参加“世界读书日”宣传活动，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率． 【答案】（1）；；统计图见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联；列表法与树状图法； （1）由一等奖人数及其所占百分比可得被调查的总人数，用360°乘以二等奖人数所占比例即可，根据40减去一、二等奖的人数得出三等奖的人数，进而补全统计图，即可求解； （2）画出树状图得出所有等可能结果数，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 本次比赛获奖的总人数共有（人）， 扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数是， 三等奖人数：（人） 统计图如图所示， 【小问2详解】 树状图如图所示， ∵从四人中随机抽取两人有种等可能结果，恰好是甲和乙的有种可能， ∴抽取两人恰好是甲和乙的概率是． 19. 端午节是我国首个入选世界非物质文化遗产的传统节日，吃粽子是端午节的习俗之一，某超市每盒豆沙粽的进价比每盒肉粽的进价便宜10元，用6000元购进豆沙粽的盒数和用8000元购进肉粽的盒数相同． （1）求每盒豆沙粽、肉粽的进价各为多少元？ （2）现有一批粽子需要在14天内（包括14天）加工完，已知甲队单独加工20天完成，乙队单独加工30天完成，目前甲队有工人12人，乙队有工人10人，这批粽子由甲乙两队合作完成，两队合作4天后，乙队另有任务需调出部分人员，则乙队最多调走多少人？ 【答案】（1）每盒豆沙粽的进价为30元，每盒肉粽的进价为40元 （2）5人 【解析】 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解此题的关键是根据题意列出分式方程和不等式，注意分式方程要检验． （1）根据用6000元购进豆沙粽的盒数和用8000元购进肉粽的盒数相同的数量关系列分式方程，求解即可． （2）设乙队调走人，由题意可得，甲队的工作效率为，乙队的工作效率为，合作4天后剩余，全部工作需要在14天内（包括14天）加工完，据此列不等式并解不等式即可． 【小问1详解】 解：设每盒豆沙粽的进价为元，则每盒肉粽的进价为元， 依题意得：. 方程两边乘得 . 解得：， 检验：当时，. 所以，原分式方程的解为. ∴ 答：每盒豆沙粽的进价为30元，每盒肉粽的进价为40元． 【小问2详解】 根据题意可知，甲队的工作效率为，乙队的工作效率为，合作4天完成，剩余， 设乙队调走人，则 解得 即乙队最多调走人． 答：乙队最多调走人． 20. 随着人工智能的发展，智能机器人警察已经陆续出现，图1是机器人警察安安和全全，他们从街头处出发，准备前往相距米的处（、在同一直线上）巡逻，安安警察比全全警察先出发，且速度保持不变，全全警察出发一段时间后将速度提高到原来的倍.已知安安警察、全全警察行走的路程（米），（米）与安安警察行走的时间（秒）之间的函数关系图象如图2所示． （1）如图2，折线①表示______警官行走的路程与时间的函数图象（填“安安”或“全全”）； （2）求全全警察提速后的速度，并求、的值； （3）求折线①中线段所在直线的函数解析式； （4）全全警察加速后经过几秒追上安安警察． 【答案】（1）全全 （2）全全提速后速度为米/秒，， （3）折线①中线段所在直线的函数解析式为 （4）全全警官加速后经过秒追上安安警官 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，一次函数的应用，用待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意结合图象分析即可得解； （2）先求出全全提速前速度，从而即可得出提速后速度，计算得出各段经过的时间，即可得解； （3）利用待定系数法求解即可； （4）利用待定系数法求所在直线的函数解析式，与所在直线的函数解析式联立，求出交点的横坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：折线①表示全全警官行走的路程与时间的函数图象， 故答案为：全全； 【小问2详解】 解：全全提速前速度为（米/秒）， 全全提速后速度为（米/秒）， 段经过的时间为（秒）， ， 当时，安安警官的路程为米， 安安警官的速度为（米/秒）， ； 【小问3详解】 解：设折线①中线段所在直线的函数解析式为， 将，代入得， 解得， 折线①中线段所在直线的函数解析式为； 【小问4详解】 解：设所在直线的函数解析式为，将代入得， 解得， 所在直线的函数解析式为， 联立， 解得， 时，全全警官追上安安警官， （秒）， 全全警官加速后经过秒追上安安警官． 21. 仅用无刻度的直尺作图，是一种考查灵活运用图形性质和判定的绘图方式，按要求完成下面仅用无刻度的直尺作图的题目： （1）如图①，在内，作任意两条直径、，顺次连接、、、，则画出了的一个内接矩形，请说明理由； （2）如图②，是的直径，是弦，且，画出的内接正方形．（保留画图痕迹，不写作法） 【答案】（1）理由见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了复杂作图以及圆的性质的运用，垂径定理，圆周角定理，矩形与正方形的判定； （1）根据直径所对的圆周角是直角得出，即可得证； （2）根据对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，画出圆的一条直径，使其与互相垂直，即可得到的内接 【小问1详解】 解：∵是直径， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：如图所示，连接，并延长交于点，连接，交于点，连接并延长交于，，连接，，，，则四边形即为所求． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，即在的垂直平分线上， ∵， ∴， ∴，即点在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴，，经过的中点， ∴是的直径， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形． 22. 如图，为了求某条河的宽度，在它的对岸岸边任意取一点，再在河的这边沿河取两点、，使得，，量得的长为． （1）求河的宽度(结果保留根号)． （2）请再设计两种测量河的宽度的方案，简要说明，并计算出结果． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）如图，过作于，设，通过锐角三角函数可知：，；根据的长为即可建立方程，解之即可求出河宽． （2）方案1，利用相似三角形的性质求解；方案2，构造等腰直角三角形求解． 【小问1详解】 解：过点作于， 设 ， ， ， ， ， ，且， ， 解得，， 答：则河的宽度为． 【小问2详解】 方案1，如图， 在河对岸找一点，在河边找到一点，满足与河岸边垂直， 画一垂直于河岸的线段，使， 找到与的交点，则，有， ， 测出，，，即可求得河的宽度． 若测量得出，则河宽为：． 方案2，如图， 1.在河的一侧岸边选定一点，使得垂直于河岸（为对岸目标点） 2.在岸边沿着垂直于的方向量取一段距离到达点 3.调整点的位置，使得在点处观测点的视线与岸边的夹角，则是等腰直角三角形， 4.测量线段的长度，即可求得河的宽度， 若测量得出，则河宽为：． 23. 在一堂数学实践活动课上，老师拿出三个边长均为的正方形硬纸板，向同学们提问：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径是多大？同学们经过讨论，得出了三种不同的摆放类型，如图所示： （1）分别计算三种摆放类型中，圆形硬纸板的最小直径（结果保留根号与）． （2）其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你猜想并画出用圆形硬纸板盖住三个正方形的直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径． 【答案】（1），， （2）图见解析， 【解析】 【分析】（1）图①中，三个正方形并排成一个矩形，过圆心分别作长和宽的垂线，根据垂径定理得两垂足分别为长、宽的中点，再利用勾股定理求得半径长；图②③中，可得半径即为正方形对角线长； （2）将两个正方形并排放置成长为8，宽为4的矩形，然后将第三个正方形放置在矩形的上面，且正方形的中心在边长为8的垂直平分线上，此时圆形硬纸板的直径最小；根据垂径定理推论可得为直径的一部分，即圆心在上．连接、，构成与，设长为，利用勾股定理以为等量关系，列方程求得，再求半径长，进而求得直径． 【小问1详解】 解：（Ⅰ）如下图，连接， ∵， ∴（） ∴图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为 （Ⅱ）如下图， 三个正方形的边长均为4， ∴三点在以O为圆心，以为半径的圆上， ∴（）， ∴图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 （Ⅲ）如下图所示， ∵， ∴是过A、B、D三点的圆的直径， ∵， ∴为圆心， ∴⊙的半径为， ∴（）， ∴图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 【小问2详解】 如下图，为盖住三个正方形时直径最小的放置方法，连接，延长交于点P，则，P为中点 设，则， 则有：， 解得： 则， ∴圆形硬纸板的直径是 24. 如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； （3）若点在抛物线对称轴上，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）最大值为， （3）存在，， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与面积，特殊四边形的综合问题，涉及待定系数法求解函数解析式，菱形的性质，平移的性质等知识点． （1）先求出直线与坐标轴的交点，再由待定系数法求解二次函数解析式； （2）先求出，过点D作y轴的平行线交于点K，则，则，那么，由，得到，再由二次函数的性质即可求解； （3）由菱形可得，设，则，解得，故，再由平移的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴当； 当，则，解得， ∴，， ∵对称轴为直线 ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：∵，抛物线对称轴为， ∴， ∴ 过点D作y轴的平行线交于点K， 则，则， ∴ ∵， ∴ ， ∵，， ∴当时，取得最大值为，此时； 【小问3详解】 解：存在， 如图，设， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 解得， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴点向点的平移方式与点C向点Q的平移方式一样， ∵，，， ∴由平移的性质可得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $