精品解析：2025年四川省资阳市雁江区五校2025年中考三模联考数学试题

雁江区初中2025届九年级下期数学模拟试题（三） （时间120分钟，共150分） 一、选择题（共10小题，共40分） 1. 函数的自变量的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴且， 故选：C． 2. 是关于的一元二次方程的解，则等于（ ） A. 1 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中计算求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的解， ∴， ∴， 故选：A． 3. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为，若，则点C的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据位似图形的性质，若以原点为位似中心，且都在同一侧的两个位似图形，其坐标比等于相似比，相似比为，则对应的坐标比也为，即可解得点C的坐标． 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为，点的坐标为， ∴点C的坐标为，即， 故选：D． 【点睛】本题主要考查位似图形的性质，注意位似比与坐标比的关系是解题的关键． 4. 如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ） A. ∠ABP=∠C B. ∠APB=∠ABC C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．当∠ABP=∠C时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； B．当∠APB=∠ABC时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； C．当时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确． 故选：D． 5. 如图，A，B，C，三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB． 【详解】过C点作，垂足为D 则根据旋转性质可知， 在中， 所以 故选B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法． 6. α为锐角，且关于x的一元二次方程x2－sin α·x＋1＝0有两个相等的实数根，则α＝（　　） A. 30° B. 45° C. 30°或150° D. 60° 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：关于x的一元二次方程x2－sin α·x＋1＝0有两个相等的实数根， 整理得： α为锐角， 故选B. 7. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题可先由一次函数y=ax+c图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+bx+c的图象相比较看是否一致． 【详解】解：A、一次函数y=ax+c与y轴交点应为（0，c），二次函数y=ax2+bx+c与y轴交点也应为（0，c），图象不符合，故本选项错误； B、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，a的取值矛盾，故本选项错误； C、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＜0，且抛物线与直线与y轴的交点相同，故本选项正确； D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，a的取值矛盾，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点． 8. 为了绿化校园，某校计划经过两年时间，绿地面积增加、设平均每年绿地面积增长率为，则方程可列为（ 　 ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得：增长后的量＝增长前的量×（1＋增长率），设平均每年绿地面积增长率为x，根据题意可得出方程． 【详解】解：设原来的绿地面积为单位1，平均每年绿地面积增长率为x，根据题意得： （1＋x）2＝1＋21%． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，掌握求增长率问题的一般规律是解题的关键． 9. 函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（　　） A. 0 B. 0或2 C. 0或2或﹣2 D. 2或﹣2 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，利用分类讨论的方法可以求得m的值，本题得以解决． 【详解】解：∵函数y＝mx2+（m+2）x+m+1图象与x轴只有一个交点， ∴当m＝0时，y＝2x+1，此时y＝0时，x＝﹣0.5，该函数与x轴有一个交点， 当m≠0时，函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点， 则△＝（m+2）2﹣4m（m+1）＝0，解得，m1＝2，m2＝﹣2， 由上可得，m的值为0或2或﹣2， 故选：C． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答． 10. 已知抛物线的图象如图所示，则下列结论中，正确的有（ ） ①；②；③；④；⑤； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①因为抛物线开口向上，可知a＞0，对称轴在y轴的左侧，a、b同号．故b＞0，抛物线与y轴的交点在负半轴，因此c＜0， ∴abc＜0，故①错误，不符合题意； ②抛物线和x轴有两个交点，故-4ac＞0，故②正确，符合题意； ③当x=-1时，y=a+bx+c=a-b+c＜0，故③正确，符合题意； ④当x=-1时，y=a-b+c＜0， 又∵a+b+c=2， ∴2b＞2，即：b＞1， 因为对称轴x=-介于-1与0之间，因此-＞-1，得2a＞b，而b＞1， ∴a＞，因此④正确，符合题意； ⑤由④知，a+b+c=2，则a+c=2-b，而b＞1，故-b＜-1，则2-b＜1， 故⑤正确，符合题意； 故②③④⑤正确，符合题意， 故选：D． 【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 二、填空题（共6小题，共24分） 11. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值是_________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据最简二次根式及同类二次根式的定义列方程求解． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式 ∴2a-3=7， 解得：a=5． 故答案为：5 【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 12. 在中，若，则等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方的非负性与二次根式的非负性，特殊角的三角函数值，三角形的内角和定理．先根据非负性求出，的值，从而得到、的值，再根据三角形的内角和定理求出的度数． 【详解】解：， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 13. 已知为方程根，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，熟练运用整体思想是解题的关键． 根据一元二次方程的解的定义得到，然后整体代入求解即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴ ∴． 故答案为：． 14. 抛物线上三点分别为，则大小关系为_________（用“＞”号连接） 【答案】 【解析】 【分析】计算抛物线的对称轴为，根据抛物线的图象性质，开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，据此解题. 【详解】抛物线的对称轴为，，抛物线开口向上， 时，y随x的增大而减小， 时，y随x的增大而增大， 故答案为： 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，其中涉及二次函数的增减性等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键. 15. 已知函数，若函数在上最大值是，则的值为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，属于“定范围动轴”的问题，正确分类讨论是解题的关键． 先求出抛物线的对称轴为，再根据对称轴与的范围比较，分类讨论，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：对称轴为直线， ①时， ∵， ∴函数在上，随的增大而减小， ∴当时，， 解得：或（舍）； ②当时，则， 此时当时，函数有最大值，则， 解得：； 当时，即， ∵， ∴函数在上，随的增大而增大， ∴当时，， 解得：（舍）， 综上：的值为或， 故答案为：或． 16. 已知菱形的边长为2，，对角线、相交于点，以点为坐标原点，分别以，所在直线为轴、轴建立如图所示的直角坐标系，以为对角线作菱形菱形，再以为对角线作菱形菱形，再以为对角线作菱形菱形，，按此规律继续作下去，在轴的正半轴上得到点，，，，，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，解直角三角形，坐标与图形．先根据菱形的性质求出的坐标，根据勾股定理求出的长，再由锐角三角函数的定义求出的长，故可得出的坐标，同理可得出的坐标，找出规律即可得出结论． 【详解】解：∵菱形的边长为2，， ∴，， ∴． ∵菱形菱形， ∴， ∴． 同理可得, … ∴． ∴点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题（共9题，共86分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，把特殊的三角函数值代入计算即可求解，熟记特殊的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用公式法解答，即可求解； （2）利用因式分解法解答，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， ∴， 分解因式得，， ∴． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 19. 先化简，再求值：，其中，满足． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，正确地把所求的代数式化简是解题的关键． 先利用非负数的性质求得a，b的值，然后代入化简后的代数式求值即可． 【详解】解：∵a，b满足． ∴，解得， 当时， ∴原式． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为，，且，求m的值． 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元一次方程根与系数的关系，掌握相关的知识是解题的关键． （1）证明即可； （2）根据根与系数的关系得到，，将变形为，代入相应的值，得到关于m的方程，求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：∵方程的两实根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得或． 21. 如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为，沿山坡向上走到处再测得点的仰角为，已知米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比），且O、A、B在同一条直线上．求电视塔的高度以及此人所在位置点的铅直高度．（测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式） 【答案】电视塔OC高为100米，点P的铅直高度为米 【解析】 【分析】在图中共有三个直角三角形，即、、，利用的三角函数值以及坡度，求出，再分别表示出和，然后根据两者之间的关系，列方程求解即可． 【详解】解：过点作，垂足为． 在中，由，，得（米）， 由坡度，设，则． ∴，． 在中，， ∴，即， ∴，即米． 【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形． 22. 如图，二次函数的图象与轴交于点，点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数的图像经过该二次函数图象上的点及点． （1）求二次函数与一次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足的的取值范围． 【答案】（1）二次函数解析式为：；一次函数解析式为： （2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式，待定系数法求二次函数解析式； （1）将点的坐标代入二次函数解析式求出的值，再根据二次函数解析式求出点的坐标，然后求出点的坐标，最后利用待定系数法求一次函数解析式求解即可； （2）根据函数图象点以及点右边的部分，点以及点左边的部分的自变量的取值范围即为不等式的解集． 【小问1详解】 解：抛物线经过点， ， ， 抛物线解析式为， 点坐标， 对称轴，、关于对称轴对称， 点坐标， 经过点、， ， 解得， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 由图象可知，满足的的取值范围为或． 23. 年春节期间，新型冠状病毒肆虐，突如其来的疫情让大多数人不能外出，网络销售成为这个时期最重要的一种销售方式。某乡镇贸易公司因此开设了一家网店，销售当地某种农产品。已知该农产品成本为每千克元，调查发现，每天销售量与销售单价（元）满足如图所示的函数关系（其中） （1）求与之间的函数关系式并标出自变量的取值范围； （2）当销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）（2）单价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）由图象知，当10＜x≤14时，y＝640；当14＜x≤30时，设y＝kx+b，将（14，640），（30，320）解方程组即可得到结论； （2）求得函数解析式为W＝（x﹣10）（﹣20x+920）＝﹣20（x﹣28）2+6480，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）由图象知，当时， 当时，设 将，代入 得， 解得 与之间的函数关系式为 综上所述， （2）设每天的销售利润为W元 当10＜x≤14时，W＝640×（x﹣10）＝640x﹣6400， ∵k＝640＞0， ∴W随着x的增大而增大， ∴当x＝14时，W＝4×640＝2560元； 当14＜x≤30时，W＝（x﹣10）（﹣20x+920）＝﹣20（x﹣28）2+6480， ∵a＝﹣20＜0，开口向下 ∴W有最大值 ∵14＜x≤30， ∴当x＝28时，W最大＝6480 当x＝28时，W最大＝6480（元） 答：当销售单价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元 【点睛】本题考查了二次函数的应用，得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键；利用配方法或公式法求得二次函数的最值问题是常用的解题方法． 24. 在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，当，且时，求的长； （3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求出的值． 【答案】（1）15°；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和直角三角形的性质，先得到，再由折叠的性质可得到； （2）由三等角证得，从而得，，再由勾股定理求出DE，则； （3）过点作于点，可证得．再根据相似三角形的性质得出对应边成比例及角平分线的性质即可得解． 【详解】（1）∵矩形， ∴， 由折叠的性质可知BF=BC=2AB，， ∴， ∴， ∴ （2）由题意可得， ， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴； （3）过点作于点． ∴ 又∵ ∴． ∴． ∵，即 ∴， 又∵BM平分，， ∴NG=AN， ∴， ∴ 整理得：． 【点睛】本题是一道矩形的折叠和相似三角形的综合题，解题时要灵活运用折叠的性质和相似三角形的判定与性质的综合应用，是中考真题． 25. 如图，过点的抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．且 （1）求此抛物线的解析式； （2）若抛物线的对称轴交轴于点，交于点，连接、，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）在（2）的条件下，连接交对称轴于点，抛物线对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）四边形为平行四边形，见解析 （3）抛物线的对称轴上存在点点的坐标，或或或，使是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）把点、代入抛物线求出b和c的值即可； （2）求出，得出，证出，即可得出四边为平行四边形； （3）求出，分情况讨论：①当点O为直角顶点时，证明，求出，即可得出P的坐标；②当点F为直角顶点时，同理可求出，，即可得出P的坐标；③当点P为直角顶点时，由勾股定理得，由直角三角形斜边上的中线性质得出的长，若点P在上方，得到；若点P在下方时，则；即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点、， ∴， 解得：， ∴此抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：四边形为平行四边形． ∵此抛物线与y轴交于点C， ∴， 又∵， ∴， 又∵抛物线的对称轴为：， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ①当点O为直角顶点时，如图1所示： 则， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ②当点F为直角顶点时，如图2所示： 同理可得， ∴， ∴， ∴； ③当点P为直角顶点时，由勾股定理得， 又∵是斜边上的中线， ∴， 若点P在上方，如图3所示： 则， ∴； 若点P在下方时，如图4所示： 则， ∴； 综上所述，抛物线的对称轴上存在点点的坐标，或或或，使是直角三角形． 【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求二次函数的解析式、坐标与图形性质、平行四边形的判定、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，需要进行分类讨论才能得出结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 雁江区初中2025届九年级下期数学模拟试题（三） （时间120分钟，共150分） 一、选择题（共10小题，共40分） 1. 函数的自变量的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 2. 是关于的一元二次方程的解，则等于（ ） A. 1 B. C. 5 D. 3. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为，若，则点C的坐标为（　　） A B. C. D. 4. 如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ） A. ∠ABP=∠C B. ∠APB=∠ABC C. D. 5. 如图，A，B，C，三点在正方形网格线交点处，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. α为锐角，且关于x的一元二次方程x2－sin α·x＋1＝0有两个相等的实数根，则α＝（　　） A. 30° B. 45° C. 30°或150° D. 60° 7. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 为了绿化校园，某校计划经过两年时间，绿地面积增加、设平均每年绿地面积增长率为，则方程可列为（ 　 ） A. B. C. D. 9. 函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（　　） A. 0 B. 0或2 C. 0或2或﹣2 D. 2或﹣2 10. 已知抛物线的图象如图所示，则下列结论中，正确的有（ ） ①；②；③；④；⑤； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共6小题，共24分） 11. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值是_________． 12. 在中，若，则等于______． 13. 已知为方程的根，则_____． 14. 抛物线上三点分别为，则的大小关系为_________（用“＞”号连接） 15. 已知函数，若函数在上的最大值是，则的值为_____． 16. 已知菱形的边长为2，，对角线、相交于点，以点为坐标原点，分别以，所在直线为轴、轴建立如图所示的直角坐标系，以为对角线作菱形菱形，再以为对角线作菱形菱形，再以为对角线作菱形菱形，，按此规律继续作下去，在轴的正半轴上得到点，，，，，则点的坐标为_____． 三、解答题（共9题，共86分） 17. 计算：． 18. 解方程： （1） （2） 19 先化简，再求值：，其中，满足． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为，，且，求m的值． 21. 如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为，沿山坡向上走到处再测得点的仰角为，已知米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比），且O、A、B在同一条直线上．求电视塔的高度以及此人所在位置点的铅直高度．（测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式） 22. 如图，二次函数的图象与轴交于点，点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数的图像经过该二次函数图象上的点及点． （1）求二次函数与一次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足的的取值范围． 23. 年春节期间，新型冠状病毒肆虐，突如其来的疫情让大多数人不能外出，网络销售成为这个时期最重要的一种销售方式。某乡镇贸易公司因此开设了一家网店，销售当地某种农产品。已知该农产品成本为每千克元，调查发现，每天销售量与销售单价（元）满足如图所示的函数关系（其中） （1）求与之间的函数关系式并标出自变量的取值范围； （2）当销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 24. 在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，当，且时，求长； （3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求出的值． 25. 如图，过点的抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．且 （1）求此抛物线的解析式； （2）若抛物线的对称轴交轴于点，交于点，连接、，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）在（2）条件下，连接交对称轴于点，抛物线对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $