精品解析：云南昭通市永善县永善县 2025-2026学年九年级下学期5月期中数学试题

二〇二六年初中学业水平模拟考试 数学 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，练习用时120分钟） 注意事项： 1．学生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在练习、草稿纸上作答无效． 2．练习结束后，请将练习和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 小明有一个储蓄罐，如果往储蓄罐中存入25元记作元，那么从中取出12元可记作（ ） A. 元 B. 12元 C. 元 D. 25元 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵存入与取出是一对相反意义的量，题目规定存入记为正， ∴取出应记为负， ∴取出12元可记作元． 2. 2026年第一季度，云南省实现约77543000万元．数据77543000用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 3. 如图，已知直线a，b被直线c所截，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A：，错误； 选项B：，正确； 选项C：，错误； 选项D：与不是同类项，不能合并，错误． 5. 如图，已知点A位于第二象限，且在反比例函数的图象上．过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点B，C．若，，则k的值为（ ） A. B. -2 C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定和性质得到，，，根据k的几何意义作答即可． 【详解】解：∵过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点B，C． ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴矩形的面积为， ∵反比例函数经过第二象限， ∴． 6. 如图，和相交于点O，，，若的周长为6，则的周长为（ ） A. 9 B. 5 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】证明，然后根据相似三角形周长的比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴的周长的周长． ∵的周长为6， ∴的周长为∶． 7. 如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体组成的，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵俯视图是从上面看到的图形， ∴它的俯视图是． 8. 观察下列式子：，则第（为正整数）个式子是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别从式子的符号、系数、字母的指数三个部分寻找规律，归纳得到第个式子的表达式即可． 【详解】解：符号规律：第1个式子为正，第2个为负，第3个为正，第4个为负 ∴可得符号为 ； 系数规律：第1个式子系数为1，第2个为2，第3个为3，第4个为4 ∴可得系数为； 的指数规律，第1个式子为，第2个为4，第3个为6，第4个为8 ∴可得第个式子中的指数为， ∴第（为正整数）个式子是． 9. 某学校为了解学生一分钟跳绳的情况，随机抽取40名学生进行一分钟跳绳测试，获得了他们跳绳的数据（单位：个），数据整理如下： 一分钟跳绳的个数 人数 5 10 15 10 根据以上数据，估计全校800名学生中一分钟跳绳的个数不低于180的人数为（ ） A. 200 B. 300 C. 400 D. 450 【答案】A 【解析】 【分析】先求出抽取样本中一分钟跳绳个数不低于180的人数占比，再乘以全校总人数即可得到估计结果． 【详解】解：∵抽取的样本总人数为，其中一分钟跳绳个数不低于的人数为， ∴样本中符合条件的人数占比为， ∴全校800名学生中一分钟跳绳的个数不低于180的人数为：人． 10. 若有意义，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式和分式有意义的条件，二次根式被开方数为非负数，分式分母不能为0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：有意义， 二次根式被开方数非负，且分式分母不为0， 可得， 解得，C选项符合题意． 11. 某校计划在一块长米、宽米的矩形空地上（如图）修建花坛．现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，其余部分种植花卉．若花坛的种植面积为平方米，设小道的宽为米，则可列方程为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用（矩形面积问题），建立关于面积和边长的等量关系，列出一元二次方程并求解即可． 【详解】解：设小道的宽为米，则个小矩形可合成长为米、宽为米的矩形， ∴根据矩形的面积公式可列出关于的一元二次方程：． 12. 下列每组词语中，两个字都是轴对称图形的是（ ） A. 干旱 B. 羽毛 C. 合作 D. 朋友 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，逐个判断选项中两个汉字是否都满足轴对称图形的要求，排除错误选项得到结果． 【详解】解：A选项中“干”和“旱”都能找到满足条件的直线，使折叠后两旁完全重合，都是轴对称图形，故符合题意； B选项中“羽”和“毛”都不是轴对称图形，故不符合题意； C选项中“合”是轴对称图形，但“作”不是轴对称图形，故不符合题意； D选项中“朋”和“友”都不是轴对称图形，故不符合题意． 13. 如图，在中，于点，是的平分线，若，，则的面积为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过作于点，由角平分线的性质可得，再通过即可求解． 【详解】解：如图，过作于点， ∵于点，是的平分线， ∴， ∴， ∴的面积为． 14. 估计的值在（ ） A. 3到4之间 B. 4到5之间 C. 5到6之间 D. 6到7之间 【答案】C 【解析】 【分析】先根据二次根式的运算法则把原式化简为，再估算的取值范围，然后根据不等式的性质变形即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴，即原式的值在5到6之间． 15. 如图，四边形是的内接四边形，点O在线段上，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆周角定理可得圆周角等于圆心角的一半，弧所对的圆周角为，故． 【详解】解：， ， ． 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解： 17. 如图，已知菱形的对角线与相交于点O，的长为，与长度的比为，则菱形的面积是______． 【答案】##24平方厘米 【解析】 【分析】先根据菱形的性质求出，再根据与长度的比为求出，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可． 【详解】解：∵菱形，的长为， ∴， ∵与长度的比为， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 18. 某中学在校园艺术节中举办“七彩云南·民族韵律”合唱比赛，八年级一共有5个班级参赛．评委从音准、节奏、表现力、民族特色四个维度方面打分（满分10分），最终得分情况如下（单位：分）：8.8，9.3，9.6，8.9，9.1．这5个数据的中位数是_________． 【答案】9.1 【解析】 【详解】解：首先将5个数据按从小到大的顺序排序如下∶8.8，8.9，9.1，9.3，9.6． 数据的个数为5，是奇数，根据中位数的定义，位于中间位置的数为第3个数，即9.1． 19. 已知一个圆锥的底面半径是，且该圆锥的侧面展开图的半径为，则该圆锥的高为_______． 【答案】8 【解析】 【分析】圆锥的母线长等于侧面展开图的半径，圆锥的高、底面半径与母线构成直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意可知，圆锥侧面展开图的半径即为圆锥的母线长，可得圆锥母线长，圆锥底面半径． 设圆锥的高为h，根据勾股定理得： ． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 计算：． 【答案】2 【解析】 【详解】解：原式． 21. 如图，等腰中，，D，E分别为边，上的点，且，连接，，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据平行线的性质得到，，根据等边对等角得到，则，可知，进而根据证明即可． 【详解】证明：如图， ∵， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 在和中， ∴． 22. 某茶叶合作社在春茶采摘季，安排甲、乙两个采茶队同时开采同一片茶园，假设两队每天各自的采茶量均恒定，已知甲队每天的采茶量是乙队每天采茶量的倍．合作社计划让两队各自独立采茶千克，实际执行时，甲队比乙队提前5天完成任务，求乙队每天采茶多少千克？ 【答案】千克 【解析】 【分析】设乙队每天采茶千克，则甲队每天采茶千克，由题意得，解得． 【详解】解：设乙队每天采茶千克，则， 方程两边同乘以，得 ， 化简得，， 解得． 经检验，是原分式方程的解． 答：乙队每天采茶千克． 23. 2026年3月，某市举办民族文化艺术节，现某文创商店推出3款特色文创挂件，分别为：A——扎染，B——银饰，C——木雕．小王购买3款特色文创挂件各1件．若小王从购买的3款挂件中随机抽取一款，记为x，不放回，再从剩余挂件中随机抽取一款，记为y，每款挂件被抽到的可能性均相等． （1）用列表法或画树状图法，求所有可能出现的结果总数； （2）求小王抽到的两款挂件中，恰好有一款是银饰的概率． 【答案】（1）6种 （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法和树状图法求解概率，解题的关键是求得所有情况数以及目标事件的情况数． （1）利用列表法列出所有情况，即可求解； （2）由（1）可得所有情况数，求出恰好有一款是银饰的情况数，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可列表如下， A B C A B C 由表可知，所有可能出现的结果共有6种． 【小问2详解】 解：由列表可知，共有6种等可能的结果， 小王抽到的两款挂件中，恰好有一款是银饰的结果有4种， 分别是，，，． ∴小王抽到的两款挂件中，恰好有一款是银饰的概率． 24. 如图，在中，，分别以A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线，分别交，于点O，E．在上取点F，使，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求AB的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，得是线段的垂直平分线，可知，，根据可证四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得到，，根据三角函数求出，根据菱形面积公式计算即可. 【小问1详解】 证明：由题意，得是线段的垂直平分线， ∴，． 又∵， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：在菱形中，，， ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴． 设菱形的面积为S，则 ， 即 ， 解得． 25. 为推进“教育强国”战略，某边境县教育局计划为辖区内乡村学校采购一批智慧黑板．现有甲、乙两种型号可供选择，若购买甲型号智慧黑板2块和乙型号智慧黑板1块，共需元；若购买甲型号智慧黑板1块和乙型号智慧黑板2块，共需元． （1）甲、乙两种型号智慧黑板的单价分别是多少？ （2）该县计划购买甲、乙两种型号智慧黑板共块，其中甲型号数量不超过乙型号数量的2倍．由于运输条件限制，每块黑板需额外支付元运费．该县应如何购买，才能使总费用（含运费）最少？并求出最少总费用． 【答案】（1）元；元 （2）购买甲型号块，乙型号块；元 【解析】 【分析】（1）设甲、乙两种型号智慧黑板的单价分别为a元和b元，由题意得：，解得； （2）购买甲型号智慧黑板x块，则购买乙型号智慧黑板块，设总费用为y元，由题意得， ，化简后可得到 ，则，故y随x的增大而减小，因此当，时，总费用最少为元． 【小问1详解】 解：设甲、乙两种型号智慧黑板的单价分别为a元和b元，由题意得： 解得 答：甲、乙两种型号智慧黑板的单价分别为元和元； 【小问2详解】 解：设购买甲型号智慧黑板x块，则购买乙型号智慧黑板块，设总费用为y元， 由题意得， 解得， ， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，总费用最少， 最少总费用 （元）， 答：购买甲型号智慧黑板块，乙型号智慧黑板块时，总费用最少，最少总费用为元． 26. 已知点在抛物线上，是抛物线与x轴的一个交点的横坐标．若． （1）求b和的值； （2）比较T与的大小关系． 【答案】（1）；3 （2） 【解析】 【分析】（1）把点代入求出，进而根据“是抛物线与轴交点的横坐标”得到，两边同时除以k即可； （2）根据完全平方公式得到，，将化为，求出T的值，进而与比较即可． 【小问1详解】 解：把点代入，得： ， 解得， 即 ∵是抛物线与轴的一个交点的横坐标， ∴， ∴ ， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得 ， ∴ ， ∴ ． 即． 27. 如图，是的外接圆，是的直径，E是的中点，过点E作的垂线，垂足为点H，交于点F，连接，交于点D． （1）连接，若，求的度数； （2）延长至点K，连接，若，求证：直线是的切线； （3）过点C作于点G，若，，求直径的长度． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）因为E是的中点，，所以，又因为，所以； （2）因为为的直径，所以，因为，所以，故 ，故 ，又是的直径，故直线是的切线； （3）连接，，易推出，故，，又 ，故，设，则，，，是直径，又 ，故， ，设，则，即 ①，又 ，，，故 ，即 ②，联立①②，解得，故． 【小问1详解】 解：∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴ ； 【小问2详解】 证明：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵（公共角）， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵是的直径， ∴直线是的切线； 【小问3详解】 解：如图，连接，， ∵，E是的中点，， ∴， ∴， ∴，． ∵，， ∴， ， ∵， 在和中， ， ∴ ， ∴， 设，则， ∴， ， ∵是直径， ∴， 在和中， ， ， ∴，即 ， 设，则， ，即 ①， 同理可得， ， ，即， ∴ ，即 ②， 联立①②，解得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二〇二六年初中学业水平模拟考试 数学 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，练习用时120分钟） 注意事项： 1．学生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在练习、草稿纸上作答无效． 2．练习结束后，请将练习和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 小明有一个储蓄罐，如果往储蓄罐中存入25元记作元，那么从中取出12元可记作（ ） A. 元 B. 12元 C. 元 D. 25元 2. 2026年第一季度，云南省实现约77543000万元．数据77543000用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，已知直线a，b被直线c所截，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知点A位于第二象限，且在反比例函数的图象上．过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点B，C．若，，则k的值为（ ） A. B. -2 C. 6 D. 6. 如图，和相交于点O，，，若的周长为6，则的周长为（ ） A. 9 B. 5 C. 4 D. 2 7. 如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体组成的，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 8. 观察下列式子：，则第（为正整数）个式子是（ ） A. B. C. D. 9. 某学校为了解学生一分钟跳绳的情况，随机抽取40名学生进行一分钟跳绳测试，获得了他们跳绳的数据（单位：个），数据整理如下： 一分钟跳绳的个数 人数 5 10 15 10 根据以上数据，估计全校800名学生中一分钟跳绳的个数不低于180的人数为（ ） A. 200 B. 300 C. 400 D. 450 10. 若有意义，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 某校计划在一块长米、宽米的矩形空地上（如图）修建花坛．现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，其余部分种植花卉．若花坛的种植面积为平方米，设小道的宽为米，则可列方程为（ ）. A. B. C. D. 12. 下列每组词语中，两个字都是轴对称图形的是（ ） A. 干旱 B. 羽毛 C. 合作 D. 朋友 13. 如图，在中，于点，是的平分线，若，，则的面积为（） A. B. C. D. 14. 估计的值在（ ） A. 3到4之间 B. 4到5之间 C. 5到6之间 D. 6到7之间 15. 如图，四边形是的内接四边形，点O在线段上，，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 分解因式：_____． 17. 如图，已知菱形的对角线与相交于点O，的长为，与长度的比为，则菱形的面积是______． 18. 某中学在校园艺术节中举办“七彩云南·民族韵律”合唱比赛，八年级一共有5个班级参赛．评委从音准、节奏、表现力、民族特色四个维度方面打分（满分10分），最终得分情况如下（单位：分）：8.8，9.3，9.6，8.9，9.1．这5个数据的中位数是_________． 19. 已知一个圆锥的底面半径是，且该圆锥的侧面展开图的半径为，则该圆锥的高为_______． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 计算：． 21. 如图，等腰中，，D，E分别为边，上的点，且，连接，，求证：． 22. 某茶叶合作社在春茶采摘季，安排甲、乙两个采茶队同时开采同一片茶园，假设两队每天各自的采茶量均恒定，已知甲队每天的采茶量是乙队每天采茶量的倍．合作社计划让两队各自独立采茶千克，实际执行时，甲队比乙队提前5天完成任务，求乙队每天采茶多少千克？ 23. 2026年3月，某市举办民族文化艺术节，现某文创商店推出3款特色文创挂件，分别为：A——扎染，B——银饰，C——木雕．小王购买3款特色文创挂件各1件．若小王从购买的3款挂件中随机抽取一款，记为x，不放回，再从剩余挂件中随机抽取一款，记为y，每款挂件被抽到的可能性均相等． （1）用列表法或画树状图法，求所有可能出现的结果总数； （2）求小王抽到的两款挂件中，恰好有一款是银饰的概率． 24. 如图，在中，，分别以A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线，分别交，于点O，E．在上取点F，使，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求AB的长． 25. 为推进“教育强国”战略，某边境县教育局计划为辖区内乡村学校采购一批智慧黑板．现有甲、乙两种型号可供选择，若购买甲型号智慧黑板2块和乙型号智慧黑板1块，共需元；若购买甲型号智慧黑板1块和乙型号智慧黑板2块，共需元． （1）甲、乙两种型号智慧黑板的单价分别是多少？ （2）该县计划购买甲、乙两种型号智慧黑板共块，其中甲型号数量不超过乙型号数量的2倍．由于运输条件限制，每块黑板需额外支付元运费．该县应如何购买，才能使总费用（含运费）最少？并求出最少总费用． 26. 已知点在抛物线上，是抛物线与x轴的一个交点的横坐标．若． （1）求b和的值； （2）比较T与的大小关系． 27. 如图，是的外接圆，是的直径，E是的中点，过点E作的垂线，垂足为点H，交于点F，连接，交于点D． （1）连接，若，求的度数； （2）延长至点K，连接，若，求证：直线是的切线； （3）过点C作于点G，若，，求直径的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $