精品解析：湖南省株洲市枫叶中学2025-2026学年下学期期中考试数学试卷

株洲市枫叶中学2026年上学期期中考试试卷 七年级数学学科 （本试卷总分：120分，时间：120分钟） 一、选择题 1. 下列各数是无理数的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列运算中，正确的（ ） A. B. C. D. 3. 下列式子中：①，②，③，④，不等式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 的计算结果为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若，则的值为（　　） A. B. C. D. 9. 已知，，则x、y、z三者的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 对于实数a，如果定义[]是一种取整运算新符号，即[a]表示不超过a的最大整数．例如：[1.3]＝1，[﹣1.3]＝﹣2，对于后面结论：①[﹣2.3]+[2]＝﹣1；②因为[1.3]+[﹣1.3]＝﹣1，所以[a]+[﹣a]＝﹣1；③若方程x﹣[x]＝0.1有解，则其解有无数多个；④若[a+2]＝2，则a的取值范围是0≤a＜1；⑤当﹣1≤a＜1时，则[1+a]﹣[1﹣a]的值为1或2．正确的是( ) A. ②③④ B. ①②④ C. ①③④⑤ D. ①③④ 二、填空题 11. 的相反数是______． 12. 计算______． 13. 比较大小______． 14. 已知，，则_____． 15. 将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则_____． 16. 我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）： 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 …… 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是______． 三、解答题 17. 计算：． 18. 解不等式（组）： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，那么化简的结果． 21. 为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元． （1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？ （2）若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，购买费用不超过3260元，请设计购买方案． 22. 解决下列问题： （1）已知，求的值： （2）已知的计算结果中不含x的三次项，求a的值． 23. 【实践操作】 如图①，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，形成一个长方形（如图②）． （1）通过计算图①和图②中阴影部分的面积可以验证的公式是______． 【应用探究】 （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①简便计算：； ②计算：． 24. 同学们，本学期我们学完《实数》一章，结识了无理数，数系从有理数扩充到实数，有理数的所有运算律对实数都适用．但是任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零． 由此可得：如果，其中，为有理数，为无理数，那么且．运用上述知识，解决下列问题： （1）如果，其中，为有理数，那么______，______； （2）如果，其中，为有理数，求的算术平方根． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 株洲市枫叶中学2026年上学期期中考试试卷 七年级数学学科 （本试卷总分：120分，时间：120分钟） 一、选择题 1. 下列各数是无理数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的概念“无限不循环小数”，求一个数的算是平方根，常见的无理数有：含有的最简式子，开不尽方的数，特殊结果的数（如），由此即可求解，掌握常见的无理数的形式，无理数的概念是解题的关键． 【详解】解：A、，是有理数，故该选项不符合题意； B、是分数，属于有理数，故该选项不符合题意； C、，是有理数，故该选项不符合题意； D、是无理数，故该选项符合题意． 故选：D． 2. 下列运算中，正确的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项符合题意； D、，该选项不符合题意． 3. 下列式子中：①，②，③，④，不等式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的定义判断各个式子是否为不等式，统计个数即可得到答案． 【详解】解：①使用不等号连接，是不等式． ②使用等号连接，是等式，不是不等式． ③使用不等号连接，是不等式． ④是多项式，没有不等号连接，不是不等式． 不等式共有个． 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂的乘方，底数不变，指数相乘；负数的奇次幂是负数进行计算即可． 【详解】解：， 根据幂的乘方法则，可得，且， 计算得． 5. 的计算结果为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，利用积的乘方的逆运算将原式变形，简化计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 6. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A.，，故本选项错误，不符合题意； B. ，，故本选项错误，不符合题意； C. ，，故本选项错误，不符合题意； D. ，，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 7. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解： 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 数轴表示如下： ． 8. 若，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】展开等式左边，根据多项式相等对应项系数相等求出的值，再计算即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴对比对应项系数可得 ：， ∴． 9. 已知，，则x、y、z三者的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题利用幂的乘方法则，将三个数变形为指数相同的形式，再通过比较底数大小得到幂的大小关系，运用初中幂的运算性质即可求解． 【详解】解：∵ ，，，根据幂的乘方法则，可得 ， ， . ∵ 指数相同的正幂，底数越大，幂越大，且， ∴ ，即． 10. 对于实数a，如果定义[]是一种取整运算新符号，即[a]表示不超过a的最大整数．例如：[1.3]＝1，[﹣1.3]＝﹣2，对于后面结论：①[﹣2.3]+[2]＝﹣1；②因为[1.3]+[﹣1.3]＝﹣1，所以[a]+[﹣a]＝﹣1；③若方程x﹣[x]＝0.1有解，则其解有无数多个；④若[a+2]＝2，则a的取值范围是0≤a＜1；⑤当﹣1≤a＜1时，则[1+a]﹣[1﹣a]的值为1或2．正确的是( ) A. ②③④ B. ①②④ C. ①③④⑤ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】①根据取整函数的定义，直接求出值； ②取特殊值验证，证实或证伪； ③在0到1的范围内，找到一个特殊值，进而可以找到无数个解； ④把方程问题转化为不等式问题； ⑤分情况讨论，验证[1+a]-[1-a的所有取值． 【详解】对于①，[-2.3]+[2]=-3+2=-1，故正确； 对于②，当a=1时，[a]+[-a]=0，故不正确； 对于③，当x=1.1，2.1，3.1，...时，方程均成立，故正确； 对于④，由[a+2]=2，得2≤a+2＜3，即0≤a＜1，故正确； 对于⑤，当a=-1时，[1+a]-[1-a]=0-2=-2； 当-1＜a＜0时，[1+a]-[1-a]=0-1=-1； a=0时，[1+a]+[1-a]=0； 当0＜a＜1时，[1+a]-[1-a]=1-0=1． 故[1+a]-[1-a]的值为-1或0或1或-2，故⑤不正确． 综上所述，正确的是①③④ 故选：D． 【点睛】本题考查取整函数与一元一次不等式．解题的关键在于能够把取整函数的等式，转化为一元一次不等式问题去解决． 二、填空题 11. 的相反数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，即可得解． 【详解】的相反数是． 故答案为： 【点睛】此题主要考查对相反数的求解，熟练掌握，即可解题． 12. 计算______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式，利用完全平方公式计算即可． 【详解】 故答案为： 13. 比较大小______． 【答案】< 【解析】 【分析】先估算的取值范围，再推出的取值范围，即可比较两个数的大小． 【详解】解：， ， ， ， 14. 已知，，则_____． 【答案】 ##0.5 【解析】 【分析】将两个已知等式根据完全平方公式展开，再将展开式作差消去和，即可计算出的值． 【详解】解：根据完全平方公式展开已知等式，得： ， ， 由得： ， 整理得， 解得． 15. 将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出关于x的方程，化简后求解即可． 【详解】解：根据题意得， 展开各项得， 解得． 16. 我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）： 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 …… 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是______． 【答案】4052 【解析】 【分析】，根据杨辉三角的规律确定目标项对应位置，再计算系数即可． 【详解】解：展开式按x的次数由大到小排列，x的指数从2026逐次递减1，2的指数从0逐次递增1，根据杨辉三角系数规律可得： ∴， 其中含的项为， ∴展开式中含项的系数是． 三、解答题 17. 计算：． 【答案】 8 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式（组）： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）按照一元一次不等式的解法步骤求解； （2）不等式组先分别求出每个不等式的解集． 再取两个解集的公共部分得到最终结果． 【小问1详解】 解：解不等式   去分母，两边同乘2得   移项合并同类项得    系数化为1得  【小问2详解】 解：  解不等式①，去括号得    移项合并同类项得   系数化为1得   解不等式②，去分母，两边同乘10得    去括号得    移项合并同类项得    系数化为1得   取两个解集的公共部分，得不等式组的解集为． 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【详解】解： 当，时，原式 20. 已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，那么化简的结果． 【答案】 【解析】 【分析】先根据数轴可得，则，再化简计算即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴ ∴ 21. 为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元． （1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？ （2）若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，购买费用不超过3260元，请设计购买方案． 【答案】（1）甲种树苗每棵的价格是40元，乙种树苗每棵的价格是30元 （2）可购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵；或甲种树苗26棵，乙种树苗74棵 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用，找到正确的数量关系是本题的关键． （1）设甲种树苗每棵的价格是元，乙种树苗每棵的价格是元，由“购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元”列出方程组，求解即可； （2）设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，由“购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，购买费用不超过3260元”列出不等式组，求解即可． 【小问1详解】 解：设甲种树苗每棵的价格是元，乙种树苗每棵的价格是元， 根据题意得：， 解得， 答：甲种树苗每棵的价格是40元，乙种树苗每棵的价格是30元； 【小问2详解】 解：设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵， 解得： 为正整数， 当时，， 当时，， 答：可购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵；或甲种树苗26棵，乙种树苗74棵． 22. 解决下列问题： （1）已知，求的值： （2）已知的计算结果中不含x的三次项，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知可得，进而根据，即可求解． （2）先计算单项式与多项式的乘法，再根据计算结果中不含x的三次项得到，求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∴ 【小问2详解】 解：． 计算结果不含x的三次项， ， 解得． 23. 【实践操作】 如图①，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，形成一个长方形（如图②）． （1）通过计算图①和图②中阴影部分的面积可以验证的公式是______． 【应用探究】 （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①简便计算：； ②计算：． 【答案】（1） （2）①90000 ② 【解析】 【分析】（1）用代数式分别表示图①、图②中阴影部分的面积即可； (2)①先将原式变形为 ，然后利用（1）中结论求解即可； ②利用（1）的结论，把原式化为： ，再连续利用平方差公式即可求解． 【小问1详解】 解：图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为：， 则阴影部分的面积可以验证的公式是； 【小问2详解】 ①解： ； ②解：原式 ． 24. 同学们，本学期我们学完《实数》一章，结识了无理数，数系从有理数扩充到实数，有理数的所有运算律对实数都适用．但是任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零． 由此可得：如果，其中，为有理数，为无理数，那么且．运用上述知识，解决下列问题： （1）如果，其中，为有理数，那么______，______； （2）如果，其中，为有理数，求的算术平方根． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得：，，然后进行计算即可解答； （2）将已知等式进行整理可得：，从而可得，进而可得，然后代入式子中进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：因为，其中，为有理数， 所以，， 解得，， 故答案为：，2； 【小问2详解】 解：因为， 所以， 所以， 因为，为有理数， 所以， 解得， 所以， 所以的算术平方根是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $