精品解析：重庆市铜梁实验中学校2025-2026学年八年级下学期数学期中试卷

实验27届八下半期 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】最简二次根式需满足两个条件是①被开方数不含分母；② 被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．的被开方数含有分母，可化简为，不是最简二次根式，不符合题意； B．的被开方数含能开得尽方的因数，可化简为，不是最简二次根式，不符合题意； C．满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式，符合题意； D．的被开方数含能开得尽方的因数，可化简为，不是最简二次根式，不符合题意． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B正确； C、，故C错误； D、，故D错误． 3. 分别以下列四组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，判断较小的两个数的平方和与较大数的平方关系，若相等，则能构成直角三角形，反之，不能构成直角三角形． 【详解】解：A．，故该选项能构成直角三角形，不符合题意， B．，故该选项能构成直角三角形，不符合题意， C．，故该选项不能构成直角三角形，符合题意， D．，故该选项能构成直角三角形，不符合题意． 4. 在中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形对角相等即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， 故选：B． 5. 下列条件中，不能判定一个四边形为平行四边形的是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对角分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行，另一组对边相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法对每个选项一一判断即可． 【详解】若一个四边形两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形，故A选项可以判定； 若一个四边形两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形，故B选项可以判定； 若一个四边形对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形，故C选项可以判定； 若一个四边形一组对边平行，另一组对边相等，那么这个四边形不一定是平行四边形，可能是等腰梯形，故D选项不能判定． 故选：D． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定方法，熟记平行四边形的判定方法是解题关键． 6. 如图，在数轴上点A表示的实数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理求出，再加上点B表示的数可得结果． 【详解】解：由题意得：， 数轴上点表示的实数是：， 故选：B． 【点睛】本题考查了实数与数轴，勾股定理，熟练运用勾股定理求出相应线段的长度是解题的关键． 7. 如图所示，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，过点作轴的垂线交于点，连接．根据矩形的性质，的长度即为的长度，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线交于点，连接． 点的坐标是， ， ， 矩形， ∴， 故选：C． 8. 如图所示，在四边形中，，，，，，分别是，边的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理，设的中点为，连接、，从而可得是的中位线，为的中位线，由三角形中位线定理可得，，求出，最后由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，设的中点为，连接、， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线，为的中位线， ∴，，，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 9. 如图，在正方形中，E，F分别为边的中点，连接，点N，M分别为的中点，连接若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接并延长交于点，连接，根据正方形的性质可得，，由平行线的性质和对顶角相等可得，，证得，可得，，再根据三角形中位线定理可得，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点，连接， 四边形是正方形， ，，， ， 点为的中点， ， 又， ， ，， 又点为的中点，点为的中点， ， 点、为边、的中点，， ， 为等腰直角三角形， ， ， 在中，， 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、对顶角相等、平行线的性质、三角形中位线定理、勾股定理，正确构造全等三角形得出是解题的关键． 10. 给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定：．以下结论：①；②；③存在4个整数使得的值为整数．正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、代数式化简、整数解的存在性问题等知识点，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键． ①先根据题意求得即可判定①；②设，进而得到、，然后求和即可判断②；需逐一验证三个结论的正确性；③先求出，进而得到，即为整数，据此确定x的可能取值即可判定③． 【详解】解：①由递推式，代入得：，故结论①正确． ②设，由递推式得．初始值．依次计算： ，求和得： ，故结论②错误． ③：由，故．比值需为整数．变形为：，要求为整数，即为的约数（）．解得为整数且分母非零的情况有： ，解得：； ，解得：； ，解得：； 共3个整数解，但题目中结论为“存在4个整数”，故结论③错误． 综上，仅结论①正确． 答案选B． 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 若有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于x的一元一次不等式，求解即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件为被开方数是非负数．有意义， ∴． 解得． 12. 如图，在中，，，D是的中点，则______°． 【答案】36 【解析】 【分析】由“直角三角形的两个锐角互余”得到．根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到，则等边对等角求得． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵D为线段的中点， ∴， ∴， 故答案为：36． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质．解题关键是熟练掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 13. 一个多边形的内角和是，那么这个多边形的边数是______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了边形的内角和，熟练掌握该知识点是解题的关键．设这个多边形为边形，根据公式可知，解方程即可得到答案． 【详解】解：设这个多边形为边形， 故答案为：9 14. 如图，矩形中，，，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，则的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质和矩形的性质，由矩形的性质和折叠的性质得出，，求出，在中，根据勾股定理列出方程，解方程即可．其中根据已知设出未知数，用代数法解决几何问题是解答本题的关键． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， 由翻折的性质可知． 设，则． 在中，由勾股定理可得， ∴，在中，， ∴，解得， ∴． 故答案为：3． 15. 如图在RtABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD=_______时，平行四边形CDEB为菱形． 【答案】． 【解析】 【分析】如图（见解析），连接CE交AB于点O，先根据勾股定理求出AB的长，再根据菱形的性质可知，从而根据三角形的面积公式可求出OC的长，然后根据勾股定理可求出OB的长，从而可得BD的长，最后根据线段的和差即可得出答案． 【详解】如图，连接CE交AB于点O 在中， 若平行四边形CDEB为菱形，则， ，即 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、菱形的性质等知识点，熟记菱形的性质是解题关键． 16. 如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解称，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M为“无量数”，并把数M分解成的过程称为“无量分解”，则最小的“无量数”为___________．把一个四位“无量数”M进行“无量分解”，即．若A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的和记为；A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的差的绝对值记为，令．当能被4整除时，满足条件的M的最大值为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义、最值和整除，当M最小时，A和B的十位数的值为1，设A的个位数为x，则B的个位数为，求出M的表达式，即可求得最值；设A的十位数为a，A的个位数为b, 则B的十位数为a，B的个位数为，根据M是四位数，求出，再求出的表达式，根据能被4整除求出a的值，分别求出b的可能得值，即可求出M的最大值． 【详解】解：∵A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为10， ∴A和B的十位最小值为1, 设A的个位数为x，则B的个位数为， ∴A的值为，B的值为， ∴M的值为， ∵， ∴当或时，M的值最小，且最小值为， 设A的十位数为a，A的个位数为b, 则B的十位数为a，B的个位数为， ∴，， ∴， ∵能被4整除， 设，n为正整数， ∴， ∵M是四位数， ∴， ∵能被4整除， ∴， ∴， ∴或或或 当时，A为，B为，M的值为； 当时，A为，B为，M的值为； 当时，A为，B为，M的值为； 当时，A为，B为，M的值为； ∴满足条件的M的最大值为， 故答案为：；． 三、解答题（共86分） 17. 计算下列各小题： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）利用二次根式乘除法则计算各部分后，再进行加减运算即可； （）利用平方差公式和完全平方公式展开原式后，合并化简即可得到结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在中，点、、分别是、、的中点．连接、． （1）求证：． （2）若，，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线段的中点以及三角形中位线定理，得出，，，即可利用“”证明全等； （2）由（1）可知，，，将四边形的周长转化为，即可得解． 【小问1详解】 解：点、、分别是、、的中点， ，，，、是的中位线， ，， ，， ． 【小问2详解】 解：由（1）可知，，， ，， 四边形的周长． 19. 如图，在四边形中，，，平分． （1）尺规作图：作的平分线交于点F（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）中所作的图中，证明：四边形为平行四边形的结论（请补全下面的证明过程，将答案写在答题卡对应的番号后，不写证明理由）． 证明： ∵， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴ ， ∵， ∴．即． 又∵ ， ∴四边形为平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）四边形是平行四边形，，， 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的尺规作图步骤作图即可； （2）根据题干证明思路，结合平行四边形的判定与性质可得答案． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求： 【小问2详解】 证明： ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∵， ∴．即． 又∵， ∴四边形为平行四边形． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据运算法则进行化简，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ； 将代入，原式． 21. 如图，在四边形中，，为四边形的对角线，已知，，，． （1）请判断的形状，并说明理由； （2）过点D作于点E，求线段的长． 【答案】（1）是直角三角形．理由见解析 （2）线段的长为6 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，解题的关键是利用勾股定理求出对角线长度，再结合逆定理判断三角形形状；利用面积法与勾股定理求线段长度． （1）先在中用勾股定理求的长；再计算与的关系，判断的形状； （2）利用的面积法求，再结合勾股定理求的长． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴， ∴ 又∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 【小问2详解】 ∵是直角三角形，，， ∴， 即， 化简得，即， ∴ 在中，， ∴． 答：线段的长为6． 22. 如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，，，求四边形的面积． 【答案】（1）见详解 （2）20 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出平行的边和相等的边，判定出四边形是平行四边形，再根据矩形的定义即可判定； （2）利用平行的性质和角平分线的性质得出，然后根据勾股定理求出，即可求出矩形的面积． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又 ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵平分， ， ， ， ， ， ∴矩形的面积． 23. 如图，四边形是平行四边形，点是延长线上一点，，连接，，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，四边形的面积为6，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2）12 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，，进而得到，易证四边形是平行四边形，再说明即可证明结论； （2）设，，由菱形的面积为6可得；再利用勾股定理可得，再利用完全平方公式以及算术平方根求得，即，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明：如图2，四边形是平行四边形， ，，． ， ， 四边形是平行四边形． ，， ， 四边形是菱形．． 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ， 设，，由菱形的面积为6， ∴，即． 在中，，，即， ， 的周长为． 24. 阅读与思考：数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简．例如： ； ． 解决下列问题： （1）化简：； （2）化简并求出：的值． （3）如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃，求出新正方形花圃的边长． 【答案】（1） （2）9 （3）米 【解析】 【分析】（1）将被开方数凑成的形式，再利用二次根式的性质化简即可； （2）分别将两个被开方数凑成完全平方式，再分别利用二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可解答； （3）先求出新正方形花圃ABCD的面积为，则边长为，再仿照范例解答即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解：由题意可得：， 所以新正方形花圃的边长为， 米． 25. 探究不同情境，回答下面问题： （1）【问题初探】请解答王老师提出的问题：数学活动课上，王老师出示了如下问题：如图1，在正方形中，在上取点M，连接，过点A作交于点N．求证：． （2）【解决问题】在原有问题条件不变的基础上，王老师提出新问题，请你解答．如图2，点O为正方形的对角线交点，P，Q分别在边，上，满足，连接，，． ①判断的形状，并说明理由； ②若，求的最小值． （3）【深入研究】数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，在（2）的条件下，如图3，连接，，与交于点H，使，若，，请求出正方形的面积（用含有m，n的式子表示）． 【答案】（1）见解析 （2）①是等腰直角三角形，理由见解析；②的最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到，进而得到，证明，得到，根据即可证明； （2）①连接、，根据正方形的性质得到，根据得到，进而得到，根据得到，证明，得到，根据得到，即，可知是等腰直角三角形； ②根据等腰三角形的定义及勾股定理得到，则当取得最小值时，最小，根据垂线段最短，得：当时，最小，根据得到，根据勾股定理得到，连接，根据中位线定理得到，，即，根据勾股定理求出，设，则，根据勾股定理得到，求出，即，根据勾股定理得到，即的最小值为，进而可知的最小值为； （3）连接、、，根据正方形的性质得到点O是的中点，进而得到是的中位线，得到，进而得到，根据得到，即，根据得到，证明，得到，根据等腰三角形的定义及勾股定理得到，根据正方形的性质得到，根据勾股定理得到，进而可求正方形的面积． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：①是等腰直角三角形，理由如下． 如图，连接、， ∵点O为正方形的对角线交点， ∴， 由（1）知：， ， ， 即， ， ∴，即， ∵， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形； ②由①知是等腰直角三角形， ∴， ∴当取得最小值时，最小，根据垂线段最短，得：当时，最小， ∵， ∴ ∵，， ∴， 如图，连接， ∵点M、O分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， 在中，， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， 在中，， 即的最小值为， ∴， 故的最小值为； 【小问3详解】 解：如图，连接、、， ∵点O为正方形的对角线交点， ∴点O是的中点， ∵点H是的中点， ∴是的中位线， ∴， ，即， ∴，即， ∵， ∵是等腰直角三角形， ∴，即， ∵四边形是正方形， ∴， 在中，， ∴， ∴正方形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 实验27届八下半期 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 分别以下列四组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 在中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列条件中，不能判定一个四边形为平行四边形的是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对角分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行，另一组对边相等 6. 如图，在数轴上点A表示的实数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，在四边形中，，，，，，分别是，边的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，E，F分别为边的中点，连接，点N，M分别为的中点，连接若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定：．以下结论：①；②；③存在4个整数使得的值为整数．正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 若有意义，则的取值范围是_____． 12. 如图，在中，，，D是的中点，则______°． 13. 一个多边形的内角和是，那么这个多边形的边数是______． 14. 如图，矩形中，，，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，则的长为______． 15. 如图在RtABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD=_______时，平行四边形CDEB为菱形． 16. 如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解称，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M为“无量数”，并把数M分解成的过程称为“无量分解”，则最小的“无量数”为___________．把一个四位“无量数”M进行“无量分解”，即．若A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的和记为；A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的差的绝对值记为，令．当能被4整除时，满足条件的M的最大值为_______． 三、解答题（共86分） 17. 计算下列各小题： （1）； （2）． 18. 如图，在中，点、、分别是、、的中点．连接、． （1）求证：． （2）若，，求四边形的周长． 19. 如图，在四边形中，，，平分． （1）尺规作图：作的平分线交于点F（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）中所作的图中，证明：四边形为平行四边形的结论（请补全下面的证明过程，将答案写在答题卡对应的番号后，不写证明理由）． 证明： ∵， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴ ， ∵， ∴．即． 又∵ ， ∴四边形为平行四边形． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，在四边形中，，为四边形的对角线，已知，，，． （1）请判断的形状，并说明理由； （2）过点D作于点E，求线段的长． 22. 如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，，，求四边形的面积． 23. 如图，四边形是平行四边形，点是延长线上一点，，连接，，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，四边形的面积为6，求的周长． 24. 阅读与思考：数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简．例如： ； ． 解决下列问题： （1）化简：； （2）化简并求出：的值． （3）如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃，求出新正方形花圃的边长． 25. 探究不同情境，回答下面问题： （1）【问题初探】请解答王老师提出的问题：数学活动课上，王老师出示了如下问题：如图1，在正方形中，在上取点M，连接，过点A作交于点N．求证：． （2）【解决问题】在原有问题条件不变的基础上，王老师提出新问题，请你解答．如图2，点O为正方形的对角线交点，P，Q分别在边，上，满足，连接，，． ①判断的形状，并说明理由； ②若，求的最小值． （3）【深入研究】数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，在（2）的条件下，如图3，连接，，与交于点H，使，若，，请求出正方形的面积（用含有m，n的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $