精品解析：江西南昌市新建区第二中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

新建二中2024-2025学年度下学期3月份月考 高一数学 命题人：曾蓉 审题人：周灿 考试范围：三角函数 时量：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知 {第二象限角}，{钝角}，{大于90°的角}，那么关系是（ ） A. B. C. D. 2. 若为第四象限角，且，则为（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 3. 在下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象（ ） A. 关于点对称 B. 关于点对称 C. 关于直线对称 D. 关于直线对称 5. 英国著名数学家布鲁克・泰勒（Brook Taylor）以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世．泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限项连加式来表示一个函数，如：，其中．根据该展开式可知，与的值最接近的是（ ） A. B. C. D. 6. 要得到函数的图象，只需把函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 7. 函数，若在上有且只有个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的部分图象如图所示，为图象与轴的交点，为图象与轴的一个交点，且.若实数，满足，则（ ） A. B. 0 C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得3分，有选错得0分. 9. 在单位圆中，已知角的始边和终边分别与单位圆的交点为和，则（ ） A. B. C. 扇形的面积 D. 角所对的弧长 10. 已知函数的部分图象如图所示，其最小正周期为T，则（ ） A. B. C. 的一个单调递增区间为 D. 为奇函数 11. 函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为__________． 13. 已知则的值为__________. 14. 已知函数在区间上单调递减，，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 平面直角坐标系中，若角的始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线上． （1）求和的值； （2）若，化简并求值． 16. 设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有.当时，. （1）当时，求的解析式； （2）计算的值. 17. 青岛市黄岛区金沙滩海滨浴场是一个受广大冲浪爱好者喜爱的冲浪地点.已知该海滨浴场的海浪高度是时间t（，单位：小时）的函数，记作.经长期观察，的曲线可近似地看成是函数的图象，其中.用“五点法”函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： （1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并求出函数的函数表达式； （2）依据规定，当海浪高度高于1m时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）中的结论，判断一天内的上午8:00到晚上20:00之间有多少时间可供冲浪者进行运动？ 18. 已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向右平移m个单位长度，所得图象关于y轴对称，求m的最小正值； （3）若方程区间上恰有三个实数根，且，求及的取值范围． 19. 已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质. （1）若一次函数具有性质，且，求的解析式； （2）若函数（其中）具有性质，求的单调递增区间； （3）对于（1）（2）中的函数，求函数在区间上的所有零点之和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新建二中2024-2025学年度下学期3月份月考 高一数学 命题人：曾蓉 审题人：周灿 考试范围：三角函数 时量：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知 {第二象限角}，{钝角}，{大于90°的角}，那么关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用任意角象限角的概念逐一分析判断得解. 【详解】对A，如在集合里，但是并不是钝角，所以不在集合里，所以选项A错误； 对B，钝角大于90°，小于180°，故，故选项B正确； 对C，错误，如在第二象限，但是并不大于，所以选项C错误； 对D，错误. 如在第二象限，但是并不在集合中，故D错误. 故选：B 2. 若为第四象限角，且，则为（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】D 【解析】 【分析】若为第四象限角，得到范围，进而得到范围及象限. 【详解】为第四象限角，，，则，.又，则为第四象限角， 故选：D. 3. 在下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的性质及函数图象的变换一一判断即可. 【详解】对A：对A：的图象是由的图象将轴下方的图象关于轴对称上去， 轴及轴上方部分不变所得，其函数图象如下所示： 则的最小正周期为，且在上单调递减，故A正确； 对B：的最小正周期为，故B错误； 对C：的最小正周期为，但是在上单调递增，故C错误； 对D：的最小正周期为，故D错误. 故选：A. 4. 函数的图象（ ） A. 关于点对称 B. 关于点对称 C. 关于直线对称 D. 关于直线对称 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦函数的对称中心、对称轴，应用整体代入判断各选项的正误. 【详解】由题设，由余弦函数的对称中心为，令，得，，易知A、B错误； 由余弦函数的对称轴为，令，得，， 当时，，易知C错误，D正确； 故选：D 5. 英国著名数学家布鲁克・泰勒（Brook Taylor）以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世．泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限项连加式来表示一个函数，如：，其中．根据该展开式可知，与的值最接近的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，再根据，转化为角度制求解. 【详解】解：由题意知， 因为， 所以． 故选：B． 6. 要得到函数的图象，只需把函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】先将两个函数名称变成一样，再根据平移规则变换即可. 【详解】， 根据“左加右减”平移规则， 将函数的图象向左平移个单位长度，得到. 故选：A. 7. 函数，若在上有且只有个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由得，由可求出的取值范围，根据函数在上的零点个数，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】令，得，由于，所以. 又因为在上有且只有个零点，所以， 解得，因此，正实数的取值范围是. 故选：B. 8. 已知函数的部分图象如图所示，为图象与轴的交点，为图象与轴的一个交点，且.若实数，满足，则（ ） A. B. 0 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先根据函数图象确定的值，再利用、两点坐标及距离公式求出点纵坐标，进而确定，然后求出得到函数表达式，最后根据计算. 【详解】由正弦函数的图象可知，， 则. 已知，设，根据两点间距离公式，因为， 所以，即， 解得（由图象可知点纵坐标为负）. 因为在的图象上，所以， 即， 又因为，所以，则. 因为在的图象上，所以， 即，，，，. 由图象可知，（为函数周期），，又，所以，， 当时，满足条件，所以. 因为的最大值为，最小值为， 已知，所以，一个为，一个为. 不妨设，，则，，解得；，，解得. 所以. 将代入得： . 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得3分，有选错得0分. 9. 在单位圆中，已知角的始边和终边分别与单位圆的交点为和，则（ ） A. B. C. 扇形的面积 D. 角所对的弧长 【答案】BC 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出、，，即可判断A、B，由扇形的面积公式及弧长公式判断C、D. 【详解】因为角的始边和终边分别与单位圆的交点为和， 所以，，，故A错误； ，故B正确； 又，则， 所以扇形的面积，故C正确； 角所对的弧长，故D错误. 故选：BC 10. 已知函数的部分图象如图所示，其最小正周期为T，则（ ） A. B. C. 的一个单调递增区间为 D. 为奇函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图象过点求出的值可判断A；求出周期可判断B；求出函数的单调增区间可判断C；求出的解析式，结合诱导公式和奇偶性的概念可判断D. 【详解】由题图可得，所以， 因为，所以当时，，所以，故A正确； ，故B正确； 由，得， 取，可得函数的一个单调递增区间为，故C错误； 因为，，且定义域关于原点对称， 所以为奇函数，故D正确． 故选：ABD 11. 函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用轴对称有中心对称的意义推理可得函数是偶函数，再利用单调性逐项分析判断. 【详解】由为奇函数，得，即， 由为偶函数，得，则， ，于是， 因此函数是偶函数，且当时，单调递减， 对于A，，则，A正确； 对于B，，则，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，， 则，，即，D错误. 故选：ABC 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为__________． 【答案】， 【解析】 【分析】根据对数函数的性质可得，解三角不等式，即可求得答案. 【详解】由，可得， 即，则, 故函数的定义域为，. 13. 已知则的值为__________. 【答案】0 【解析】 【分析】利用诱导公式求解. 【详解】解：原式 ， 故答案为：0 14. 已知函数在区间上单调递减，，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由在区间上单调递减，用周期公式，缩小范围．得出对称中心，求出，解出即可． 【详解】在区间上单调递减，， 由，得①. 又，图象关于点对称， 即②. 由②①得，由于， 则，代入①，即， 由于，则． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 平面直角坐标系中，若角的始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线上． （1）求和的值； （2）若，化简并求值． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据任意角三角函数值的定义分析求解即可； （2）利用诱导公式化简，并结合齐次式问题分析求解. 【小问1详解】 由题意，角的终边在射线上，可取角的终边上一点为， 则，. 【小问2详解】 由， 由（1）可知：， 所以. 16. 设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有.当时，. （1）当时，求的解析式； （2）计算的值. 【答案】（1）， （2）0 【解析】 【分析】（1）设，则，根据的周期性和奇偶性可知，从而可得答案； （2）求出，，，，再根据周期性即可求解. 【小问1详解】 ∵，∴， ∴是周期为4的周期函数. ∵，∴，∴， ∴， 又， ∴，即，. 【小问2详解】 ∵，，，， 又是周期为4的周期函数， ∴ ， ∴. 17. 青岛市黄岛区金沙滩海滨浴场是一个受广大冲浪爱好者喜爱的冲浪地点.已知该海滨浴场的海浪高度是时间t（，单位：小时）的函数，记作.经长期观察，的曲线可近似地看成是函数的图象，其中.用“五点法”函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： （1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并求出函数的函数表达式； （2）依据规定，当海浪高度高于1m时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）中的结论，判断一天内的上午8:00到晚上20:00之间有多少时间可供冲浪者进行运动？ 【答案】(1)图表见解析 ； (2) 一天内的上午9:00到下午15:00之间共6个小时可供冲浪者进行运动. 【解析】 【分析】(1)由表可知每两个量之间的差为,一行的每两个量之间的差为3,再完成表格,再根据表中数据列式求解参数即可. (2)由题意即求上午8:00到晚上20:00之间的时间,求解三角函数不等式即可. 【详解】(1)补全表格： 0 3 6 9 12 1.5 1 0.5 1 1.5 故,,再代入时的数据有 .故表达式为：. (2)由题,当,即时可供冲浪者进行运动. 此时,解得. 当时有. 一天内的上午9:00到下午15:00之间共6个小时可供冲浪者进行运动. 【点睛】本题主要考查了三角函数的实际运用,需要根据题意根据中各个参数的求解方法列式求解,再根据题中的实际意义分析需要列出的三角函数不等式进行求解.属于中档题. 、 18. 已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向右平移m个单位长度，所得图象关于y轴对称，求m的最小正值； （3）若方程区间上恰有三个实数根，且，求及的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）由题意得，求出周期，再利用周期公式可求出，然后将点代入中可求出的值，从而可求出函数解析式； （2）先根据函数的平移得到函数解析式，再结合正弦型函数的奇偶性求解即可； （3）设，则将问题转化为方程在区间上恰有三个实数根，然后结合正弦函数的图象可求出的范围，从而可求出的范围，进而可求出的取值范围． 【小问1详解】 因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，所以， 所以，又，即，所以，所以， 又因为函数的图象过点，所以，即， 又因为，解得，所以； 【小问2详解】 将函数的图象向右平移m个单位长度，得， 因为此函数图象关于y轴对称，所以， 则，所以时，m取得最小正值，即为； 【小问3详解】 当时，设，则， 由方程在区间上恰有三个实数根， 得方程在区间上恰有三个实数根， 则函数与在上有3个交点， 则的图象如下： 由图可知，，即，则的取值范围为， 且， 即，故， 由图得，，则，即， 即，所以． 19. 已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质. （1）若一次函数具有性质，且，求的解析式； （2）若函数（其中）具有性质，求的单调递增区间； （3）对于（1）（2）中的函数，求函数在区间上的所有零点之和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，利用定义求出可得答案； （2）由定义求出的解析式，再根据正弦函数的单调性可得答案； （3）问题转化为曲线和所有交点的横坐标之和，画出它们的大致图象可得共有8个交点，再根据它们的图象都关于对称可得答案. 【小问1详解】 设，则， 由，得， 又， ； 【小问2详解】 由，得， ，又， ， 由，得， 即， ，或， 又， 令，得， 故的单调递增区间为； 【小问3详解】 令，得， 问题转化为曲线和所有交点的横坐标之和， 曲线和均关于成中心对称.. ，， ， 在上单调递减， 画出它们的图象如图所示. 由图象可知曲线和共有8个交点， 设其交点的横坐标从小到大依次为， 则， 故函数在区间上的所有零点之和为. 【点睛】方法点睛：对于以函数为背景的新定义问题的求解策略：1.紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2.用好函数的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的函数的性质的一些因素. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $