精品解析：2026年江苏省扬州市邗江区九年级 第二次中考适应性调研数学试题

2026年邗江区数学学科九年级二模试卷 （全卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每题所给的四个选项，只有一个符合题意，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列四个数中，比小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法不正确的是（ ） A. 为了解扬州早茶中蟹黄汤包的受欢迎程度，适宜采用抽样调查的方式 B. 统计扬州东关街各类小吃的销量占比，最适宜选用条形统计图直观展示 C. 游玩瘦西湖时，途经五亭桥恰好遇到画舫驶过，这一事件是随机事件 D. 扬州马拉松比赛中，若甲选手分段配速方差大于乙选手，则乙选手分段配速更稳定 5. 如图，在中，，D是边上的点，将沿直线折叠，使点B的对应点E恰好落在边上，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 6. 关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 如图所示的网格中，每个小正方形边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点，分别是边，与网格线的交点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 若，则的值可能是（ ） A. B. 3 C. D. 2 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 的立方根是__________． 10. 2026年4月11日，江苏省城市足球联赛（苏超）开幕战在扬州盛大举行，扬州队主场迎战苏州队，现场约28000名球迷到场观赛，为球队呐喊助威，将数据28000用科学记数法表示为________． 11. 如图，在中，，，，点是的中点，则长为________． 12. 如图，是的外接圆，，则的度数等于________． 13. 已知等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的面积为________． 14. 如图，嘉嘉的作业纸不小心被撕了一部分，则被撕去部分的整式是________． 15. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以为直径的圆经过点C，D，则的值为___________． 16. 如图为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清视力表最小“”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足 ，当时，属于正常视力，则正常视力对应的分辨视角的范围是________． 17. 定义：在平面直角坐标系中，到原点的距离等于1的点叫做“单位圆点”．下列三个函数的图象上存在2个“单位圆点”的是________（填序号）； ①； ②； ③． 18. 如图，在四边形中，，，，，是线段的中点，是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（图中所有的点均在同一平面内），连接，，当________时，的面积最小． 三、解答题（本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解不等式组：，并在数轴上表示其解集． 21. 扬州“皮包水”早茶文化名扬天下.“五一”期间，某茶社为了解顾客对甲、乙两种早茶套餐的体验评价，茶社从点这两种套餐的顾客中各随机抽取了名顾客进行评价问卷调查 (问卷调查满分为分)，对数据进行整理、描述和分析，得分用表示，共分为四组： （；；；） 下面给出了部分信息： ①甲套餐份问卷调查的得分为： ，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，． ②乙套餐份问卷调查的得分中，其中落在C组中的数据为： ，，，，，，． 两种套餐评价得分统计表 套餐 平均数 众数 中位数 方差 甲 乙 乙套餐评价得分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中， ， ， ； （2）根据以上数据分析，你认为顾客对甲套餐还是乙套餐的体验评价更高？请说明理由（写出一条理由即可）． 22. 如图，有两个质地均匀、可以自由转动的转盘，A盘被等分为四个扇形，分别标有数字1、2、3、5，B盘中圆心角为的扇形上标有数字4，其余部分标有数字3．小聪和小明用这两个转盘做游戏，制定规则如下：随意转动A、B转盘各一次，转盘停止后，将、转盘的指针所指数字相加（如果指针指向两个扇形的交线处，则重新转动转盘），若和为偶数，则小聪胜；若和为奇数，则小明胜． （1）小明任意转动B盘一次，指针指向3的概率为 ； （2）这个游戏对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由． 23. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题的大意为：把一份文件用慢马送到900里(1里)外的城市需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间就比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定几天到达． 24. 如图1，中，，E是边上一点，将沿边折叠，A的对应点F恰好落在边上，连接，与交于点O． （1）求证：四边形是菱形； （2）如图2，连接，若，，，求的长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．与y轴交于点，的面积为6． （1）求反比例函数、一次函数的表达式； （2）根据图象，直接写出当不等式成立时，的取值范围． 26. 图形的旋转是一种重要的图形变换，不仅能产生许多美丽的图案，还能帮助我们研究图形． （1）初步感知：如图1，将绕点A逆时针旋转得到对应的，连接，显然是等边三角形．若点P是边上任意一点，请用圆规和无刻度的直尺作出点P绕A点逆时针旋转后的对应点Q ，此时点Q （填“在”或“不在”）边上； （2）迁移运用：如图2，点P是内部一点，利用（1）中的研究和发现，尝试用圆规和无刻度的直尺作等边，其中点C在边上，点D在边上，并写出必要的文字说明； （3）继续思考：如图3，中，，，，点P在边上，，点D是线段上一动点，以P为旋转中心，将点D顺时针旋转得到点E，若点D在从点A运动到点B的过程中，点E只有一次落在上，则的半径r的取值范围是 ． 27. 【问题提出】如图1，在四边形中，，小明同学在研究这个四边形时，发现“这个四边形具有四个顶点均在同一个圆上”的性质，证明的思路如下： 如图2，连接对角线，取中点O，可得，连接，． ∵， ，∴， ， ∴， ∴四边形的顶点A，B，C，D均在以点O为圆心，为直径的圆上． （1）请补全小明同学的证明过程． 【问题探究】 （2）如图3，在四边形中，点P在对角线上，连接、，若，，试判断线段与是否相等？并说明理由； 【问题解决】 （3）如图4，四边形，，，垂足为H，，且，请你探究线段与之间的数量关系，并证明你的结论． 28. 在平面直角坐标系中，点，为某函数图象G上不重合的两点，若有，则称点Q与点P关于图象G互为“反差点”． （1）直线上任意一点关于该直线都 （填“有”或“没有”）“反差点”； （2）已知抛物线G ：； ①求抛物线顶点关于G的“反差点”坐标； ②抛物线G上任意一点P关于G是否都有“反差点”，如有，请说明理由，如否，请求出没有“反差点”的点坐标； ③将抛物线G在y轴右侧的部分沿x轴翻折，y轴左侧的部分不变，得到新的函数图象W，若图象W上一点关于图象W有两个“反差点”，请直接写出m的取值范围 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年邗江区数学学科九年级二模试卷 （全卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每题所给的四个选项，只有一个符合题意，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列四个数中，比小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先估算出的大小，再运用不等式的性质，得，最后结合选项进行分析，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ 则， 观察四个选项， 即在四个选项中，比小的数是． 2. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：几何体的主视图是 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方法则、同底数幂的除法法则逐一判断选项，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意 4. 下列说法不正确的是（ ） A. 为了解扬州早茶中蟹黄汤包的受欢迎程度，适宜采用抽样调查的方式 B. 统计扬州东关街各类小吃的销量占比，最适宜选用条形统计图直观展示 C. 游玩瘦西湖时，途经五亭桥恰好遇到画舫驶过，这一事件是随机事件 D. 扬州马拉松比赛中，若甲选手分段配速方差大于乙选手，则乙选手分段配速更稳定 【答案】B 【解析】 【分析】结合抽样调查适用条件、不同统计图的特点、随机事件定义、方差的意义，逐一判断选项正误． 【详解】解：调查蟹黄汤包的受欢迎程度，调查范围较大，不适合全面调查，适宜采用抽样调查，因此A说法正确； 要直观展示各类小吃的销量占比，最适宜选用扇形统计图，条形统计图适合展示具体数量，因此B说法不正确； 途经五亭桥遇到画舫驶过，该事件可能发生也可能不发生，属于随机事件， C说法正确； 方差越大表示数据波动越大，稳定性越差，甲选手配速方差大于乙选手，因此乙选手配速更稳定，D说法正确． 5. 如图，在中，，D是边上的点，将沿直线折叠，使点B的对应点E恰好落在边上，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得，再由折叠性质得，然后利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由折叠性质得， ∵， ∴． 6. 关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】结合一元二次方程有两个相等的实数根，得出根的判别式等于0，代入方程系数计算，整理即可得到所求代数式的值． 【详解】解：关于的一元二次方程 有两个相等的实数根， 根的判别式， 整理得． 7. 如图所示的网格中，每个小正方形边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点，分别是边，与网格线的交点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过作辅助线，求得，从而得到相似比，，设，，，再根据，则可求，利用三角形相似，对应边成比例即可求得的长． 【详解】解：如图：延长至点，连接、延长至点，连接， ，， ， ， ， 设，， ， ， ， ，， ， ， ， ． 8. 若，则的值可能是（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由得，代入，得到关于x的一元二次函数，化为顶点式，求出最值，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 的值可能是2． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 的立方根是__________． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据立方根的定义进行求解即可得． 【详解】解：∵（﹣2）3=﹣8， ∴﹣8的立方根是﹣2， 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 10. 2026年4月11日，江苏省城市足球联赛（苏超）开幕战在扬州盛大举行，扬州队主场迎战苏州队，现场约28000名球迷到场观赛，为球队呐喊助威，将数据28000用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数．确定的值时，需看原数变为时，小数点移动的位数，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数的绝对值大于或等于时，为正整数 【详解】解：． 11. 如图，在中，，，，点是的中点，则长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：，，， ， ， 是直角三角形， 点是的中点， ， ． 12. 如图，是的外接圆，，则的度数等于________． 【答案】##度 【解析】 【分析】利用是的外接圆，可得，再根据等腰三角形底角相等和三角形的内角和为，可求得的大小，最后再利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可解答． 【详解】解：如图：连接， 是的外接圆， ， ， ， 根据圆周角定理可知，． 13. 已知等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形三边关系，解题的关键是根据题意，确定出三角形的三边长． 根据题意，分腰长为和两种情况，结合三角形三边关系，确定出三角形，然后根据勾股定理求得等腰三角形底边上的高，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：当腰长为时，三角形三边长为，，， 因为，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为时，三角形三边长为，，， ，满足三角形三边关系，能构成三角形， 此时等腰三角形底边长为，根据等腰三角形三线合一，底边的一半为， 由勾股定理得底边上的高， 三角形面积为． 14. 如图，嘉嘉的作业纸不小心被撕了一部分，则被撕去部分的整式是________． 【答案】 【解析】 【分析】通过设被撕去的整式为，再利用平方差公式：进行分式的化简计算． 【详解】解：根据题意可知，设被撕去的整式为， ， ， ， ， ， 所以被撕去部分的整式是． 15. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以为直径的圆经过点C，D，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆周角定理得到，再根据正切的定义计算即可． 【详解】解：连接， 由图可得：，，， ∵为直径 ∴在中， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，正切定理，熟悉掌握正切的比值关系是解题的关键． 16. 如图为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清视力表最小“”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足 ，当时，属于正常视力，则正常视力对应的分辨视角的范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质可知随的增大而减小，再利用时，求出的取值范围，结合求的范围． 【详解】， 在自变量的取值范围中，随的增大而减小， 时，， ， ． 17. 定义：在平面直角坐标系中，到原点的距离等于1的点叫做“单位圆点”．下列三个函数的图象上存在2个“单位圆点”的是________（填序号）； ①； ②； ③． 【答案】① 【解析】 【分析】若点是“单位圆点”，则满足．要判断函数图象上“单位圆点”的个数，联立函数解析式与，根据方程实数解的个数判断即可． 【详解】解：根据定义，“单位圆点”满足，分别对三个函数判断如下： 联立 将代入，整理得， ，此方程有两个不相等的实数解，即函数的图象上存在2个“单位圆点”． 联立 将代入，整理得，令，方程变形为，此方程无实数解，即函数的图象上不存在“单位圆点”． ③联立 将代入，整理得 因式分解得 解得或或，共三个不同实数解，即函数的图象上存在3个“单位圆点”． 综上，存在2个“单位圆点”的是． 18. 如图，在四边形中，，，，，是线段的中点，是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（图中所有的点均在同一平面内），连接，，当________时，的面积最小． 【答案】 【解析】 【分析】添加辅助线，构造四边形为正方形，再由勾股定理求解出的长度，再由面积的最小时，则该三角形的高最小，再由翻折可得点是在以点为圆心，1为半径的半圆上运动，根据点 三点共线时，最小，作辅助线构造等腰直角三角形，设，再表示出其他相关的边长，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作于点G，如图， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， 在中，， ∴当点到的距离最小时，的面积最小． 过点作交的延长线于点，如图， 即当最小时，的面积最小． ∵是线段的中点，， ∴ ， 由折叠的性质可知， ，， ， ∴点是在以点为圆心，1为半径的半圆上运动， ∴当点 三点共线时，最小， 过点作 于点，过点作于点，连接，如图， 在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 为等腰直角三角形， 设，则， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴四边形为矩形， ∴ ， ， ∴ ， 在 中，， 即，整理可得 ， 解得（舍掉）， ∴ ， ∴当 时，的面积最小． 三、解答题（本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）化简二次根式、计算特殊角的正弦值、负整数指数幂，然后进行二次根式减法运算即可； （）根据完全平方公式、同底数幂的除法法则分别化简，然后合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解不等式组：，并在数轴上表示其解集． 【答案】，图见解析 【解析】 【分析】先求得每个不等式的解集，再找到它们的公共部分即为该不等式组的解集，然后表示在数轴上即可，注意是空心还是实心． 【详解】解：由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， 在数轴上表示其解集如图所示： 21. 扬州“皮包水”早茶文化名扬天下.“五一”期间，某茶社为了解顾客对甲、乙两种早茶套餐的体验评价，茶社从点这两种套餐的顾客中各随机抽取了名顾客进行评价问卷调查 (问卷调查满分为分)，对数据进行整理、描述和分析，得分用表示，共分为四组： （；；；） 下面给出了部分信息： ①甲套餐份问卷调查的得分为： ，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，． ②乙套餐份问卷调查的得分中，其中落在C组中的数据为： ，，，，，，． 两种套餐评价得分统计表 套餐 平均数 众数 中位数 方差 甲 乙 乙套餐评价得分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中， ， ， ； （2）根据以上数据分析，你认为顾客对甲套餐还是乙套餐的体验评价更高？请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】（1），，； （2）答案不唯一，见解析． 【解析】 【分析】（1）根据众数是一组数据出现次数最多的数、一组数为奇数个，中位数则为中间那个数，若为偶数个，中位数是中间两位数的平均值，的值为； （2）根据平均数、中位数、众数比较即可． 【小问1详解】 甲套餐份问卷调查中，出现次数最多的是，众数； 乙套餐份问卷调查中，在组的数据有（个），将其组的数据从大到小排列为：，， ，， ， ，， 故中位数是第位和位的平均数， ； ， 故． 综上所述，，． 【小问2详解】 甲乙套餐平均数相等；甲套餐的众数，中位数均大于乙套餐的众数和中位数； 对甲套餐体验评价更高．（答案不唯一） 22. 如图，有两个质地均匀、可以自由转动的转盘，A盘被等分为四个扇形，分别标有数字1、2、3、5，B盘中圆心角为的扇形上标有数字4，其余部分标有数字3．小聪和小明用这两个转盘做游戏，制定规则如下：随意转动A、B转盘各一次，转盘停止后，将、转盘的指针所指数字相加（如果指针指向两个扇形的交线处，则重新转动转盘），若和为偶数，则小聪胜；若和为奇数，则小明胜． （1）小明任意转动B盘一次，指针指向3的概率为 ； （2）这个游戏对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由． 【答案】（1） （2）不公平，见解析 【解析】 【分析】（1）根据概率公式计算，即可求解． （2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵盘中圆心角为的扇形上标有数字，其余部分标有数字． ∴指针指向的概率为； 【小问2详解】 解：游戏不公平，理由： 将B盘上数字的扇形平分成两个圆心角为的扇形，则列表如下， B A 3 3 4 1 4 4 5 2 5 5 6 3 6 6 7 5 8 8 9 共有种等可能的结果，其中和为偶数的结果有7种，和为奇数的结果有5种． ∴小聪胜的概率，小明胜的概率， ∵， ∴游戏不公平． 23. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题的大意为：把一份文件用慢马送到900里(1里)外的城市需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间就比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定几天到达． 【答案】规定7天到达 【解析】 【分析】设规定x天到达，根据题意列分式方程，然后解方程即可解答． 【详解】解：设规定x天到达， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解． 答：规定7天到达． 24. 如图1，中，，E是边上一点，将沿边折叠，A的对应点F恰好落在边上，连接，与交于点O． （1）求证：四边形是菱形； （2）如图2，连接，若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质、全等三角形的判定得出四边形是平行四边形，再根据折叠性质得到一组邻边相等，从而推导出四边形是菱形； （2）根据等边三角形性质和菱形性质求出长和，再利用锐角三角函数解直角三角形，以及勾股定理求出的长． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ∵折叠， ，， 在和中，，， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：过点O作，垂足为点H， ∵折叠， ， ， 是等边三角形， ，， ∵四边形是菱形， ， 在Rt中，，即，， 在Rt中，，即，， 在Rt中，根据勾股定理得，． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．与y轴交于点，的面积为6． （1）求反比例函数、一次函数的表达式； （2）根据图象，直接写出当不等式成立时，的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）先利用三角形的面积求出点的坐标，然后利用待定系数法求函数表达式； （2）结合函数图象交点横坐标，得出不等式的解集． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵的面积为6，且点，， ∴， 解得， ∴，代入得， ， ∴反比例函数的表达式为， 将点代入得， ， ∴， 将和代入得， 解得 ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵一次函数和反比例函数的交点坐标为和， ∴由图象可得，当或时，直线位于双曲线的下方， ∴不等式的解集为或． 26. 图形的旋转是一种重要的图形变换，不仅能产生许多美丽的图案，还能帮助我们研究图形． （1）初步感知：如图1，将绕点A逆时针旋转得到对应的，连接，显然是等边三角形．若点P是边上任意一点，请用圆规和无刻度的直尺作出点P绕A点逆时针旋转后的对应点Q ，此时点Q （填“在”或“不在”）边上； （2）迁移运用：如图2，点P是内部一点，利用（1）中的研究和发现，尝试用圆规和无刻度的直尺作等边，其中点C在边上，点D在边上，并写出必要的文字说明； （3）继续思考：如图3，中，，，，点P在边上，，点D是线段上一动点，以P为旋转中心，将点D顺时针旋转得到点E，若点D在从点A运动到点B的过程中，点E只有一次落在上，则的半径r的取值范围是 ． 【答案】（1）作图见详解，在 （2）作图和文字说明见详解 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意作出对应的点Q，利用旋转的性质可得出点Q在边上； （2）根据题意作出对应的等边即可； （3）先确定点E的运动轨迹，利用旋转的性质，等边三角形的性质，解30度直角三角形的性质，矩形的判定与性质及勾股定理求出相关线段的长度，再分情况讨论：当过点时，与只有一个交点；当过点时，与有两个交点，且属于临界情况；当与相切时，与只有一个交点，求出不同情况下的半径，从而得出结果． 【小问1详解】 解：如图所示，点Q即为所求： ∵点P在边上，绕点A逆时针旋转得到， ∴， 将点P绕点A逆时针旋转后，则， ∴， ∴点Q在边上． 【小问2详解】 解：如图所示，等边即为所求： 文字说明： ①连接，分别以点O、P为圆心，长为半径画弧，两弧交于点Q，得等边； ②在的左侧作，交于点D； ③在上截取，连接，，； ④即为所画等边三角形． 证明：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形． 【小问3详解】 解：∵点D为线段上的动点，点D绕点P顺时针旋转得到点E， ∴当点D与点B重合时，点E在线段上，即点，，；此时是等边三角形， 当点D与点A重合时，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 即点E的运动轨迹是与线段夹角为的线段， ∵， ∴， 如图，过点A作交于点N，过点作交于点K，过点P作交于点M， ∵，，， ∴， 在中，， ∴，， ∴， 同理可得，在中，，， ∴， 在中，， ∵是等边三角形， ∴， 在中，， ∴，则，，则， 在中，， ∴， 过点C作交于点H， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 当过点时，与只有一个交点， ∴， 在中，， ∴； 当过点时，与有两个交点，且属于临界情况， ∴， 在中，， ∴； 当与相切时，与只有一个交点， ∴， 综上所述，的半径r的取值范围是或． 27. 【问题提出】如图1，在四边形中，，小明同学在研究这个四边形时，发现“这个四边形具有四个顶点均在同一个圆上”的性质，证明的思路如下： 如图2，连接对角线，取中点O，可得，连接，． ∵， ，∴， ， ∴， ∴四边形的顶点A，B，C，D均在以点O为圆心，为直径的圆上． （1）请补全小明同学的证明过程． 【问题探究】 （2）如图3，在四边形中，点P在对角线上，连接、，若，，试判断线段与是否相等？并说明理由； 【问题解决】 （3）如图4，四边形，，，垂足为H，，且，请你探究线段与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）O为的中点， （2），理由见解析 （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接对角线，取中点O，利用直角三角形斜边上的中线性质可推导出，进而利用圆的定义可得结论； （2）分别证明和，利用相似三角形的性质可得结论； （3）连接，，过C作于G，设，则，先证明点A、B、H、P四点共圆，利用圆内接四边形的性质得到，再利用等腰三角形的性质推导出，分别证明和，利用相似三角形的性质推导出，进而可求解． 【小问1详解】 解：连接对角线，取中点O，可得，连接，． ∵，O为的中点， ∴，， ∴， ∴四边形的顶点A，B，C，D均在以点O为圆心，为直径的圆上； 【小问2详解】 解：∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：． 证明：连接，，过C作于G， 设，则， 由，得， ∴点A、B、H、P四点共圆， ∴ ，又 ， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴，又， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴，则． 28. 在平面直角坐标系中，点，为某函数图象G上不重合的两点，若有，则称点Q与点P关于图象G互为“反差点”． （1）直线上任意一点关于该直线都 （填“有”或“没有”）“反差点”； （2）已知抛物线G ：； ①求抛物线顶点关于G的“反差点”坐标； ②抛物线G上任意一点P关于G是否都有“反差点”，如有，请说明理由，如否，请求出没有“反差点”的点坐标； ③将抛物线G在y轴右侧的部分沿x轴翻折，y轴左侧的部分不变，得到新的函数图象W，若图象W上一点关于图象W有两个“反差点”，请直接写出m的取值范围 【答案】（1）没有 （2）①；②没有，；③或或 【解析】 【分析】（1）根据定义判断即可； （2）①根据“反差点”的定义列式求解即可；②根据“反差点”的定义设参列式即可；③根据题意得的解析式为，关于图象W 的“反差点”所在直线的解析式为，结合图象可以确定当图象W上一点关于图象W有两个“反差点”时，直线与有两个不同交点，与有一个交点，据此借助判别式和求根公式列式求解即可． 【小问1详解】 解：设点，为上不重合的点， ， 则没有反差点； 【小问2详解】 解：①，顶点坐标为， 设顶点关于的“反差点”坐标， 则，解得（舍去），， 故“反差点”坐标为； ②设任意一点， 反差点， ∴， 则， ∴， 若，则，则存在反差点； 若，则时，两点重合，则没有反差点； ∴没有“反差点”； ③， ∵设关于图象的“反差点”， ∴， 则， ∵关于图象有2个“反差点”， ∴直线与图象有2个与不重合的不同交点， 如图，在和之间的直线均满足条件，此时直线与有两个不同交点，与有一个交点， 当时，； 即， 对于的部分，， 则， 此时存在两个交点，则令得，， 且，，则， 对于的部分，， 则， 得，或， 且， 由于，则，即此时在范围内一定有一个交点， 则或， 当时，； 即， 对于的部分，， 则， 此时存在两个交点，则令得， ， 且，由于，则此时， 即， 综上所述，或，． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，二次函数和一次函数的图象与性质，二次函数和一次函数的交点问题，以二次函数视角看待一元二次方程，能够理解“反差点”并根据新定义列式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $