精品解析：　江苏扬州市邗江区2025年九年级第二次中考适应性调研（二模）数学试卷

2024－2025学年度网上阅卷第二次适应性练习试卷 九年级数学 （总分150分 时间120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的倒数，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据倒数的定义求解即可． 【详解】解： 的倒数是， 故选：A． 2. 如两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，解题的关键是掌握：从左边看得到的图形是左视图．据此判断即可． 【详解】解：A．它的左视图的两个长方形的长应该相等，故此选项不符合题意； B．它的左视图应该是上下两层，故此选项不符合题意； C．该图形是几何体的左视图，故此选项符合题意； D．它的左视图应该是上下两层，故此选项不符合题意． 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项的法则，有理数的加减法法则逐一判断即可． 【详解】，故选项 不合题意； 与不是同类项，故不能合并，故选项 不合题意； 与 不是同类项，故不能合并，故选项 不合题意； ，正确，故选项 符合题意． 故选 ． 【点睛】主要考查了幂的运算以及有理数的加减法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 4. 我校在一次歌唱选拔比赛中，将所有参赛学生的成绩绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法错误的是（ ） A. 最高分为100分 B. 最高分与最低分的差是15分 C. 参赛学生人数为8人 D. 参赛学生的满分率为 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了根据统计图获得信息，数形结合，熟练掌握统计图的特点，是解题的关键．根据统计图中提供的信息，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、从统计图可以得出最高分为100分，故本选项不符合题意； B、从统计图可以得出最高分为100分，最低分为85分，最高分与最低分差是15分，故本选项不符合题意； C、从统计图可以得出参赛学生人数共有人，故本选项符合题意； D、参赛学生的满分率为，故本选项不符合题意． 故选：C． 5. 点关于原点对称的点的坐标为（　 　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的关系．解题的关键在于熟练掌握关于原点对称的点的关系．根据“关于原点对称的点的坐标关系，横坐标与纵坐标都互为相反数”，即可求解． 【详解】解：∵关于原点对称的点的坐标关系，即横坐标与纵坐标都互为相反数， ∴点关于原点的对称点的坐标是． 故选A． 6. 对于任意4个实数 ， ， ， ，定义一种新的运算，例如：，则关于 的方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是根的判别式，实数的运算，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键．根据题意得出关于 的一元二次方程，再利用根的判别式解答即可． 【详解】解： ， 关于 的方程可化为，即， ，，， ， 有两个不相等的实数根． 故选：B． 7. 如图，在的网格中，圆经过格点A、B、C．若E、F是圆上任意两点，且，则的度数为（　 　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理、勾股定理等知识点，掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键． 如图，连接 ，根据勾股定理的逆定理证明，由 求出 的度数，由圆周角定理求出的度数，根据圆的内接四边形的性质求出的度数，再由三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：如图，连接 ． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形内接于圆， ∴， ∴． 故选：D． 8. 已知函数的部分图象如图所示，则（　 　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据时，求得，由对称轴为，求得，当时，，求得，据此计算即可求解． 【详解】解：由图象得，当时，， ∴， 对称轴为， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 据市文广旅局综合各方数据测算，“五一”假期全市接待游客数约万人次创历史新高，数据万用科学记数法可表示为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．据此确定a的值以及n的值即可． 【详解】解：万， 故答案为： 10. 分解因式：3x2﹣6xy=__． 【答案】3x（x﹣2y） 【解析】 【详解】3x2﹣6xy=3x（x﹣2y）， 故答案为3x（x﹣2y）． 11. 对某批乒乓球的质量进行随机抽查，结果如表所示： 随机抽取的乒乓球数 优等品数 优等品率 在这批乒乓球中任取一个，它为优等品的概率大约是______（精确到）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，由表中数据可判断频率在左右摆动，于是利于频率估计概率可判断任意抽取一只乒乓球是优等品的概率为，解题的关键是正确理解大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 【详解】解：由表可知，随着乒乓球数量的增多，其优等品的频率逐渐稳定在附近， ∴这批乒乓球中任取一个，它为优等品的概率大约是， 故答案为：． 12. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可． 【详解】解：设边数为n，由题意得， 180（n－2）=360 3， 解得n=8． 所以这个多边形的边数是8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键． 13. 如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．设这个数为 ，根据“先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同”列出方程即可求解． 【详解】解：设这个数为 ，则有， ， ， ， 解得． 故答案为：1． 14. 如图，在 中，线段 的垂直平分线分别交于点，连接 ，若，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、等边对等角、直角三角形的性质等知识点，掌握30度角所对的直角边是斜边的一半成为解题的关键． 设，由垂直平分线的性质以及等边对等角可得，再根据三角形外角的性质可得，然后由直角三角形两锐角互余可得，解得：，即；最后根据30度角所对的直角边是斜边的一半即可解答． 【详解】解：设， ∵线段 的垂直平分线分别交于点，连接 ， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴，即，解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 中国高铁飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为 ，曲线终点为 ，过点 的两条切线相交于点 ，列车在从 到 行驶的过程中转角为 ，若圆曲线的半径千米，则这段圆曲线的长为_________（结果保留 ）． 【答案】千米 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质、弧长公式；由转角为 可得，由切线的性质可得，根据四边形的内角和定理求出，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵列车在从 到 行驶的过程中转角为， ∴， 又∵过点 的两条切线相交于点 ， ∴， ∴， 这段圆曲线的长为千米， 故答案为：千米． 16. 如图，点在双曲线上，作直线交双曲线 于点B，过点 作轴于点C，连接 ，已知 的面积为2，那么_________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数交点问题，反比例函数 的几何意义，矩形的性质，先求出 点坐标进而求出 的解析式，过点 作轴与点D，延长 交 于点 ，根据三角形的面积公式，求出 点坐标，即可得出 值． 【详解】解：点在双曲线上， ∴， ∴， ∴， 设直线 的解析式为，则：， ∴， ∴直线 的解析式为， 设， 过点 作轴于点D，延长 交 于点 ， ∵轴， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 17. 如图是凸透镜成像的光路示意图，线段 分别表示蜡烛、蜡烛的像、凸透镜，它们均与主光轴 垂直．一束平行于主光轴的光线 经凸透镜折射后，其折射光线经过焦点F，一束经过光心的光线 与折射光线相交于点C．已知，则的值为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，矩形的性质，根据题意可得，四边形是矩形，得出，，求出，即可求解． 【详解】解：根据题意可得，四边形是矩形， ∴，， 即， 解得：， ∴， 故答案为： ． 18. 如图，在矩形 中，，点 是平面内一点，且 ，过点 作交于点 ．当线段 绕点 在平面内旋转时，线段 长度的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质及最值问题，找到点 的运动轨迹是解题的关键． 确定点 的轨迹，根据勾股定理，判断出 时有最大值，即可求解． 【详解】解：矩形 中，，， ∴，， ∵， ∴点 在以 为圆心， 为半径的上， ∵， ∴， ∵， ∴当 最大时， 最小，此时 与相切， ， 如图： ∵，， 在中，，， ∵，， ∴， 设，则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴此时． 故答案为： ． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算或化简： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角三角函数值，二次根式的混合运算，零指数幂分式的混合运算， （1）先计算零指数幂，化简绝对值和二次根式，代入特殊角三角函数值，然后根据二次根式的加减计算法则计算即可； （2）先通分计算括号内减法，再运算除法，化简即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解不等式组：，并求出它的所有整数解的和． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，求出每个不等式的解集，再确定其公共解，得到不等式组的正整数解，求其和即可． 【详解】解：由①得： 由②得： ∴不等式组的解集为， 整数解为， ， ， ∴不等式组的整数解的和为：． 21. 从2025年春季学期起，江苏省所有义务教育学校的课间时间延长到15分钟．某校为了解学生课间喜欢的体育活动，在全校范围内抽取部分学生进行调查问卷，并将收集到的信息进行整理，绘制成如图所示不完整的统计图，其中 为“羽毛球”， 为“乒乓球”， 为“踢毽子”， 为“跳绳”．请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取了 名学生； （2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“踢毽子”所对应的圆心角度数； （3）若全校共有1500名学生，请估计全校有多少名学生课间喜欢乒乓球． 【答案】（1）50 （2） 补全条形统计图如图所示： （3）510名 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的关联，涉及画条形统计图、求扇形统计图中某项的圆心角、用样本估计总体，理解题意，看懂统计图是解答的关键． （1）根据喜欢“羽毛球”的人数及其所占的百分比求解即可； （2）由调查人数减去已知人数可得喜欢“乒乓球”人数，进而补全条形统计图即可；用 乘以喜欢“踢毽子”所占的比例可求解圆心角的度数； （3）用总人数乘以抽样调查中喜欢“乒乓球”所占比例求解即可． 【小问1详解】 解：调查人数为（名）， 故答案为：50； 【小问2详解】 解：喜欢“乒乓球”的人数为（名）， 喜欢“踢毽子”圆心角度数所对应的圆心角度数为； 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计全校有510名学生课间喜欢乒乓球 22. 中国快递越来越“科技范儿”，某快递公司为了让快递“跑”得更快，新购进A型号分拣机器人2台，B型号分拣机器人3台． （1）随机抽取一台机器人分拣快递，则抽取到B型号分拣机器人的概率为 ； （2）随机抽取两台机器人分拣快递，请用画树状图或列表的方法，求抽取的分拣机器人恰好是同一型号分拣机器人的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了用概率公式，列表法求概率，掌握概率公式及会列表或画树状图是解题的关键． （1）直接利用概率公式求出即可； （2）利用列表法表示出所有可能，进而利用概率公式求出即可． 【小问1详解】 解：∵共 台机器人，B型号分拣机器人3台 ∴随机抽取一台机器人分拣快递，则抽取到B型号分拣机器人的概率为， 故答案为：． 【小问2详解】 列表如下： 共有20种等可能的结果，其中同一型号机器人的结果有8种， ∴抽取到同一型号机器人的概率为 23. 扬州大运河博物馆发售了4款冰箱贴，某旅行社购买“个园”和“大明寺”两款冰箱贴，若“个园”冰箱贴的单价比“大明寺”冰箱贴的单价多10元，且用500元购买“大明寺”冰箱贴的数量与用700元购买“个园”冰箱贴的数量相等，求“大明寺”和“个园”两种冰箱贴的单价分别是多少元？ 【答案】大明寺单价为25元，个园单价为35元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设“大明寺”冰箱贴单价为 元，根据“个园”冰箱贴的单价比“大明寺”冰箱贴的单价多10元，且用500元购买“大明寺”冰箱贴的数量与用700元购买“个园”冰箱贴的数量相等，列出分式方程进行求解即可． 【详解】解：设“大明寺”冰箱贴单价为 元，“个园”冰箱贴单价为元 根据题意可列方程：， 解得：， 经检验是原方程的解； （元）； 答：大明寺”单价为25元，“个园”单价为35元． 24. 如图，在平行四边形 中，线段 的垂直平分线 交 于点E，交 于点O，连接 ， ，过点C作，交 的延长线于点F，连接 ． （1）证明：四边形为菱形； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵ 的垂直平分线 交 于点 ， ∴，， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 又∵，，， ∴平行四边形为菱形； （2）96 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据垂直平分线的性质可得，，根据全等三角形的判定和性质可得，，根据平行四边形的判定和菱形的判定可推得四边形为菱形； （2）根据勾股定理求得，根据菱形的性质即可求得四边形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平行四边形 中，， ∴， ∴， 在中，， 故菱形的面积为． 【点睛】本题考查了平行线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． 25. 在 中， ，以 为直径的 交边 于点 （点 不与点 重合），交边 于点E，点F在边 上，且． （1）在图1中，请用无刻度的直尺和圆规作出点F（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； （2）借助图2解决问题：若，求⊙O的半径． 【答案】（1） 即为所作； （2）2.5 【解析】 【分析】本题主要考查作垂线、圆周角定理和解直角三角形，正确作图是解答本题的关键． （1）根据“过直线外一点作已知直线的垂线”作图即可； （2）连接 ，由作图得，根据得，得，，求出，可得，从而得出⊙O的半径． 【小问1详解】 解：如图，以点 为圆凡，任意长为半径画弧，交 于点 ，分别以 为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于点，过作直线交 于点 ， 【小问2详解】 解：连接 ， ∵ 是直径， ∴ ， ∵ ， ∴， ∵， ∴； 又∵， ∵, ∴， ， ∴ ， ∴， ， ， ， ∴半径为2.5． 26. 已知二次函数 （ 为实数 ． （1）二次函数图象的对称轴是 ； （2）若该函数图象经过点，且满足，求 的值； （3）对于二次函数图象上的两点，当时，均满足，请结合函数图象，直接写出 的取值范围． 【答案】（1）直线 （2） （3） 【解析】 【分析】（）把二次函数解析式整理成一般式，进而根据对称轴公式即可求解； （ ）把点代入解析式，可得，进而得到，即得，据此即可求解； （ ）由二次函数解析式可得抛物线图象开口向上，再根据对称轴可得当与时的函数值相等，进而根据二次函数的性质可得，解不等式组即可求解； 本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴二次函数图象的对称轴是直线， 故答案为：直线； 【小问2详解】 解：∵该函数图象经过点， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴二次函数的图象开口向上， ∵二次函数图象的对称轴是直线， ∴当与时的函数值相等， ∵点在二次函数图象上，当时，均满足， ∴， 解得， 即 的取值范围为． 27. 定义：我们把一个整数 平方后得到的数称为完全平方数．例如：，，我们就将这些数都称为完全平方数． （1）如果一个完全平方数满足，则满足条件 的值为 （请写出所有满足条件的数）； （2）是正整数，如果和都是完全平方数，求的值； （3）如果关于 的一元二次方程至少有一个整数解，请直接写出满足题意的正整数 的值． 【答案】（1） （2）420 （3）1；3；6；10 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根、平方差公式、一元二次方程等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）直接运用平方根的知识估算即可解答； （2）设，k、m为正整数，易得，由1只有因数1和41，可列方程组求得，最后代入即可求得n的值； （3）关于 的一元二次方程至少有一个整数解，根据根的判别式可得，则，由方程的解为正整数，为整数，设，则，解得：，设可得，然后代入验证即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件 的值为． 【小问2详解】 解：设，k、m为正整数， ∴， ∴， ∵41只有因数1和41， ∴，解得：， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：∵关于 的一元二次方程至少有一个整数解， ∴恒成立，即， ∴， ∵因为方程至少有一个整数解且a是正整数， ∴或为整数， 设(k为非负整数)，则，解得：， ∵a为正整数， ∴k为正奇数，且， 设（ 为正整数），则， 当时，，，符合题意； 当 时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，，不符合题意； ， 当时，，此时，，都不是整数； ∴满足题意的正整数 的值是：1；3；6；10． 28. 九年级某学习小组围绕“探讨锐角三角形面积”展开项目式学习活动． 【特例探究】 （1）如图①，在 中，，则 的面积为 ； 【一般证明】 （2）如图②，锐角 中，， 的面积为 ．求证：； 【迁移应用】 （3）如图③，锐角 中，是 的平分线，，，则 的面积为 ； （4）如图④， 中，，点E为 内心，连接 ，与线段 相交于点 ，过点 作直线 与边分别交于两点，且 为锐角三角形，求的值． 【答案】（1）； （2）证明：作于点 ，如图， ∴， ∴； （3）； （4） 【解析】 【分析】（1）作于点 ，利用正弦函数的定义求得 边上的高 ，利用三角形的面积公式求解即可； （2）作于点 ，利用正弦函数的定义求得 边上的高 ，利用三角形的面积公式求解即可； （3）设 ，，求得，利用（2）的结论求得，，，根据，求得，再根据，列式计算即可求解； （4）过C作于点 ，设 ，则，利用勾股定理列式计算求得，求得，设，，同（3）计算即可求解． 【详解】解：（1）作于点 ，如图， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）设 ，， ∵ 是 的平分线， ∴， 由（2）得，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴； 故答案为：； （4）过C作于点 ，如图， 设 ，则， ∵，即， 解得， ∴，， ∴，， ∵点E为 内心，设 内切圆的半径为， ∴， 即， 解得， 设，， ∴，， ， ∵， ∴，即， ∴， 即． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，内心的性质，勾股定理，理解并应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度网上阅卷第二次适应性练习试卷 九年级数学 （总分150分 时间120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 如两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 我校在一次歌唱选拔比赛中，将所有参赛学生的成绩绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法错误的是（ ） A. 最高分为100分 B. 最高分与最低分的差是15分 C. 参赛学生人数为8人 D. 参赛学生的满分率为 5. 点关于原点对称的点的坐标为（　 　） A. B. C. D. 6. 对于任意4个实数 ， ，， ，定义一种新的运算，例如：，则关于 的方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 7. 如图，在的网格中，圆经过格点A、B、C．若E、F是圆上任意两点，且，则的度数为（　 　） A. B. C. D. 8. 已知函数的部分图象如图所示，则（　 　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 据市文广旅局综合各方数据测算，“五一”假期全市接待游客数约万人次创历史新高，数据万用科学记数法可表示为_________． 10. 分解因式：3x2﹣6xy=__． 11. 对某批乒乓球的质量进行随机抽查，结果如表所示： 随机抽取的乒乓球数 优等品数 优等品率 在这批乒乓球中任取一个，它为优等品的概率大约是______（精确到）． 12. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 13. 如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是______． 14. 如图，在 中，线段 的垂直平分线分别交于点，连接 ，若，，则_________． 15. 中国高铁飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为 ，曲线终点为 ，过点 的两条切线相交于点 ，列车在从 到 行驶的过程中转角为 ，若圆曲线的半径千米，则这段圆曲线的长为_________（结果保留 ）． 16. 如图，点在双曲线上，作直线交双曲线 于点B，过点 作轴于点C，连接 ，已知 的面积为2，那么_________． 17. 如图是凸透镜成像的光路示意图，线段 分别表示蜡烛、蜡烛的像、凸透镜，它们均与主光轴 垂直．一束平行于主光轴的光线 经凸透镜折射后，其折射光线经过焦点F，一束经过光心的光线 与折射光线相交于点C．已知，则的值为_________． 18. 如图，在矩形 中，，点 是平面内一点，且 ，过点 作交于点 ．当线段 绕点 在平面内旋转时，线段 长度的最大值为_________． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算或化简： （1）计算：； （2）化简：． 20. 解不等式组：，并求出它的所有整数解的和． 21. 从2025年春季学期起，江苏省所有义务教育学校的课间时间延长到15分钟．某校为了解学生课间喜欢的体育活动，在全校范围内抽取部分学生进行调查问卷，并将收集到的信息进行整理，绘制成如图所示不完整的统计图，其中 为“羽毛球”， 为“乒乓球”， 为“踢毽子”， 为“跳绳”．请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取了 名学生； （2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“踢毽子”所对应的圆心角度数； （3）若全校共有1500名学生，请估计全校有多少名学生课间喜欢乒乓球． 22. 中国快递越来越“科技范儿”，某快递公司为了让快递“跑”得更快，新购进A型号分拣机器人2台，B型号分拣机器人3台． （1）随机抽取一台机器人分拣快递，则抽取到B型号分拣机器人的概率为 ； （2）随机抽取两台机器人分拣快递，请用画树状图或列表的方法，求抽取的分拣机器人恰好是同一型号分拣机器人的概率． 23. 扬州大运河博物馆发售了4款冰箱贴，某旅行社购买“个园”和“大明寺”两款冰箱贴，若“个园”冰箱贴的单价比“大明寺”冰箱贴的单价多10元，且用500元购买“大明寺”冰箱贴的数量与用700元购买“个园”冰箱贴的数量相等，求“大明寺”和“个园”两种冰箱贴的单价分别是多少元？ 24. 如图，在平行四边形 中，线段 的垂直平分线 交 于点E，交 于点O，连接 ， ，过点C作，交 的延长线于点F，连接 ． （1）证明：四边形为菱形； （2）若，求四边形的面积． 25. 在 中， ，以 为直径的 交边 于点 （点 不与点 重合），交边 于点E，点F在边 上，且． （1）在图1中，请用无刻度的直尺和圆规作出点F（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； （2）借助图2解决问题：若，求⊙O的半径． 26. 已知二次函数 （ 为实数 ． （1）二次函数图象的对称轴是 ； （2）若该函数图象经过点，且满足，求 的值； （3）对于二次函数图象上的两点，当时，均满足，请结合函数图象，直接写出 的取值范围． 27. 定义：我们把一个整数 平方后得到的数称为完全平方数．例如：，，我们就将这些数都称为完全平方数． （1）如果一个完全平方数满足，则满足条件 的值为 （请写出所有满足条件的数）； （2） 是正整数，如果和都是完全平方数，求 的值； （3）如果关于 的一元二次方程至少有一个整数解，请直接写出满足题意的正整数 的值． 28. 九年级某学习小组围绕“探讨锐角三角形面积”展开项目式学习活动． 【特例探究】 （1）如图①，在 中，，则 的面积为 ； 【一般证明】 （2）如图②，锐角 中，， 的面积为 ．求证：； 【迁移应用】 （3）如图③，锐角 中，是 的平分线，，，则 的面积为 ； （4）如图④， 中，，点E为 内心，连接 ，与线段 相交于点 ，过点 作直线 与边分别交于两点，且 为锐角三角形，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $