黑龙江省北安市第二中学校2025-2026学年度八年级下学期阶段测试（第20章 勾股定理）

2026年05月12日璇玑数学的初中数学反向细目表组卷 题号 难度 知识点 分值 一、选择题 1 易 勾股定理 4 2 中档 勾股定理的证明 4 3 较易 勾股数 4 4 中档 勾股定理的逆定理 4 5 较易 勾股定理的应用 4 6 中档 勾股定理 4 7 较易 勾股定理 4 二、填空题 8 易 勾股定理 4 9 较易 勾股定理 4 10 难 勾股定理 4 11 易 勾股定理的应用 4 三、解答题 12 易 勾股定理 8 13 较易 勾股定理的应用 8 14 中档 勾股定理 10 15 中档 勾股定理 10 16 中档 勾股定理 10 17 较难 勾股定理的应用 10 $ 黑龙江省北安二中2025-2026学年度八年级数学下学期阶段测试（人教版八年级下第20章） 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题，满分28分，每小题4分） 1．解：设另一条直角边长为a，a＞0， ∵直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，已知一条直角边长为3，斜边长为5， ∴a2+32＝52， 整理得a2＝25﹣9＝16， ∵a＞0， ∴， 故选：B． 2．解：∵四边形ABDE，四边形BCHI均为正方形， ∴AB＝DB，∠ABD＝90°，BC＝BI，∠CBI＝90°， ∴∠CBI＝∠ABD＝90°， ∴∠CBI﹣∠ABI＝∠ABD﹣∠ABI， ∴∠ABC＝∠DBI， 在△ABC和△DBI中， ， ∴△ABC≌△DBI（SAS）， ∴S△ABC＝S△DBI， ∴S正方形ABDE＝S△DBI+S△DEJ+S四边形ABIJ＝S△ABC+S△DEJ+S四边形ABIJ， 在△ABC中，∠ACB＝90°， 由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2， ∴四边形ABDE，四边形ACFG，四边形BCHI均为正方形， ∴S正方形ABDE＝AB2，S正方形ACFG＝AC2，S正方形BCHI＝BC2， ∴S正方形ABDE＝S正方形ACFG+S正方形BCHI， 又∵S正方形BCHI＝S△ABC+S四边形ABIJ+S△DEJ， ∴S△ABC+S△DEJ+S四边形ABIJ＝S正方形ACFG+S△ABC+S四边形ABIJ+S△DEJ， ∴S△DEJ＝S正方形ACFG+S△DEJ， ∴S正方形ACFG＝S△DEJ﹣S△DEJ， ∵△AHJ，△DEJ的面积分别为2和7， ∴S正方形ACFG＝7﹣2＝5， ∴AC2＝5， 由算术平方根得：AC， ∴直角边AC的长为． 故选：C． 3．根据勾股数的定义，需同时满足两个条件：①三个数均为正整数；②较小两数的平方和等于最大数的平方．对于选项A：22+32＝4+9＝13，而42＝16，13≠16，不满足勾股定理，故不是勾股数．对于选项B：42+52＝16+25＝41，而62＝36，41≠36，不满足勾股定理，故不是勾股数．对于选项C：52+122＝25+144＝169，而132＝169，169＝169，满足勾股定理；且5、12、13均为正整数，故是勾股数．对于选项D：0.62+0.82＝0.36+0.64＝1，而12＝1，满足勾股定理；但0.6、0.8、1不是正整数（是小数），故不是勾股数．综上，只有选项C符合勾股数的定义．故选：C． 4．解：A、∵∠A＝∠B+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝∠B+∠C＝90°，能判定△ABC是直角三角形，故不符合题意； B、∵（a+b）（a﹣b）＝c2，∴a2﹣b2＝c2，即a2＝c2+b2，根据勾股定理逆定理可判定△ABC是直角三角形，故不符合题意； C、由a：b：c＝3：4：5可设a＝3x，b＝4x，c＝5x，则有a2+b2＝25x2＝c2，根据勾股定理逆定理可判定△ABC是直角三角形，故不符合题意； D、由∠A：∠B：∠C＝3：4：5可设∠A＝3k，∠B＝4k，∠C＝5k，所以3k+4k+5k＝180°，解得k＝15°，则∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，所以不能判定△ABC是直角三角形，故符合题意； 故选：D． 5．解：连接AC， ∵∠ADC＝90°，AD＝4m，CD＝3m， ∴AC2＝AD2+CD2＝42+32＝25， ∴AC＝5m， ∵AB＝13m，BC＝12m， ∴BC2＝122＝144，AB2＝132＝169， ∴AB2＝BC2+AC2，则△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°， ∴这块地的面积为． 故选：B． 6．解：由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2， ∴AB2BC2AC2， 即S1+S2＝S3， ∵S1+S3﹣S2＝10， ∴2S1＝10， ∴S1＝5， ∴S阴影AE•AB＝S1＝5， 故选：A． 7．设该直角三角形三边长分别为 n，n+1，n+2（单位：米），其中 n 为正整数．由于 n+2 是最大边，故为斜边．根据勾股定理：n2+（n+1）2＝ （n+2）2展开得：n2+n2+2n+1 ＝ n2+4n+4整理得：2n2+2n+1 ＝ n2+4n+4n2﹣2n﹣3 ＝ 0因式分解：（n﹣3）（n+1）＝ 0解得 n ＝ 3 或 n ＝﹣1（舍去负值）因此三边长分别为 3 米，4 米，5 米．验证：32+42＝ 9+16 ＝ 25 ＝ 52，符合勾股定理．计算面积：S ＝ 1/2×3×4 ＝ 6（平方米）计算围栏总长度（周长）：L ＝ 3+4+5 ＝ 12（米）围栏总造价：12×20 ＝ 240（元）综上，绿地面积为 6 平方米，围栏总造价为 240 元．对照选项，答案为 C． 二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分） 8．解：∵数轴上点B所表示的数为0，点C所表示的数为2， ∴BC＝2﹣0＝2， 由勾股定理得， ∴， ∵点B所表示的数为0，点A在点B左侧， ∴a的值为， 故答案为：． 9．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4， ∴， ∴AC2， ①点P在线段AB上， ∵∠PCB＝30°，∠CBA＝60°， ∴∠CPB＝90°， ∴∠CPA＝90°， 在Rt△ACP中，∠A＝30°， ∴． ∴在Rt△APC中，由勾股定理得AP＝3． ②点P在线段AB的延长线上，如图，位于P1， ∵∠P1CB＝30°， ∴∠ACP1＝90°+30°＝120°， ∵∠A＝30°， ∴∠CP1A＝30°． ∵∠P1CB＝30°， ∴∠P1CB＝∠CP1A， ∴BP1＝BC＝2， ∴AP1＝AB+BP1＝4+2＝6． 故答案为：6或3． 10．解：如图作CK∥AB，使得CK＝CA．作BG⊥KC交KC的延长线于G． ∵CK∥AB， ∴∠KCE＝∠A， ∵CK＝CA，CE＝AD， ∴△CKE≌△CAD， ∴CD＝KE， ∵CD+BE＝EK+EB≥BK， ∴CD+BE的最小值为BK的长， 在Rt△BCG中，∵∠G＝90°，BC＝8， ∴CGBC＝4，BG＝4， 在Rt△KBG中，BK2． 故答案为2． 11．解：由勾股定理得AB12（m）， 则地毯总长为12+5＝17（m）， 则地毯的总面积为17×2＝34（平方米）， 所以铺完这个楼道至少需要34×30＝1020（元）． 故答案为：1020． 三．解答题（共6小题，满分56分） 12．解：（1）c25； （2）b． 13．解：由题意可知CE＝BD＝5尺， ∴AE＝CE﹣AC＝4尺． 设OA＝OB＝x尺，则OE＝OA﹣AE＝（x﹣4）尺， 在Rt△OBE中，OB2＝OE2+EB2， ∴x2＝（x﹣4）2+102， 解得：x＝14.5， ∴OA＝OB＝14.5尺． 14．解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，由勾股定理得：BC＝6； 故答案为：6； （2）设斜边AB上的高为h， ∵AB•hAC•BC， ∴10h＝6×8， ∴h＝4.8． ∴斜边AB上的高为4.8； 故答案为：4.8； （3）当点P'在∠BAC的角平分线上时，过点P'作P'D⊥AB，如图： ∵AP'平分∠BAC，P'C⊥AC，P'D⊥AB， ∴P'D＝P'C＝2t﹣8， ∵BC＝6， ∴BP'＝6﹣（2t﹣8）＝14﹣2t， 在Rt△ACP'和Rt△ADP'中， ， ∴Rt△ACP'≌Rt△ADP'（HL）， ∴AD＝AC＝8， 又∵AB＝10， ∴BD＝2， 在Rt△BDP'中，由勾股定理得： 22+（2t﹣8）2＝（14﹣2t）2， 解得：t． 当P与A重合时，也满足条件，此时t＝12． 故答案为：或12． （4）由图可知，当△BCP是等腰三角形时，点P必在线段AC或线段AB上， ①当点P在线段AC上时，此时△BCP是等腰直角三角形， ∴此时CP＝BC＝6， ∴AP＝AC﹣CP＝8﹣6＝2， ∴2t＝2， ∴t＝1； ②当点P在线段AB上时，若BC＝BP， 则点P运动的长度为： AC+BC+BP＝8+6+6＝20， ∴2t＝20， ∴t＝10； 若PC＝BC，如图2，过点C作CH⊥AB于点H，则BP＝2BH， 在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，AC＝8， ∴AB•CH＝AC•BC， ∴10CH＝8×6， ∴CH4.8， 在Rt△BCH中，由勾股定理得： BH3.6， ∴BP＝7.2， ∴点P运动的长度为：AC+BC+BP＝8+6+7.2＝21.2， ∴2t＝21.2， ∴t＝10.6； 若PC＝PB，如图3所示，过点P作PQ⊥BC于点Q， 则BQ＝CQ＝0.5×BC＝3，∠PQB＝90°， ∴∠ACB＝∠PQB＝90°， ∴PQ∥AC， ∴PQ为△ABC的中位线， ∴PQ＝0.5×AC＝0.5×8＝4， 在Rt△BPQ中，由勾股定理得：BP5， 点P运动的长度为：AC+BC+BP＝8+6+5＝19， ∴2t＝19， ∴t＝9.5． 综上，t的值为1或9.5或10或10.6． 故答案为：1或9.5或10或10.6． 15．解：（1）由勾股定理得：， 故答案为：； （2）①将图3画在图4的边长为1的正方形网格中，如图4即为所求； ②由勾股定理得：； （3）借助网格解几何题的局限性在于，它只能解决可以用网格画出的格点线段的相关问题，对于一些无法在网格中准确表示或计算的线段长度等问题，这种方法就无法使用，限制了解题的普适性． 16．解：（1）在锐角三角形ABC中，过点A作AD⊥BC于点D．∠ADC＝∠ADB＝90°． 在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2． 在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝AB2﹣（BC﹣CD）2． ∴AC2﹣CD2＝AB2﹣（BC﹣CD）2， ∴AB2＝AC2+BC2﹣2BC•CD． 故答案为：∴AC2﹣CD2＝AB2﹣（BC﹣CD）2；∴AB2＝AC2+BC2﹣2BC•CD； （2）AB2＝AC2+BC2+2BC•CD，理由如下： 如图②，作AD⊥BC交BC的延长线于点D，则∠ADB＝90°． 在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2． 在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣（BC+CD）2． ∴AC2﹣CD2＝AB2﹣（BC+CD）2． 即AC2﹣CD2＝AB2﹣BC2﹣2BC•CD﹣CD2， ∴AB2＝AC2+BC2+2BC•CD； （3）如图③，连接AC，作DF⊥AC于点F． 由勾股定理得，AC10， 由题意知，△ACD是锐角三角形， ∴AD2＝AC2+CD2﹣2AC•CF， 即112＝102+92﹣2×10•CF， 解得CF＝3， ∴DF6， ∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD 8×610×6 ＝24+30． 17．解：任务一．建立模型：如图，设CF＝5，AC＝2，CB＝x，DF＝1，AC⊥CF，DF⊥CF， 则AB，BD，的最小值即为AB+DB的值最小， 当A，B，D共线时AB+DB的值最小，最小值为AD， 过点D作DH⊥AC，交AC的延长线于H，则四边形CFDH是矩形， ∴DH＝CF＝5，CH＝DF＝1， ∴AH＝3， 在Rt△ADH中，AD， ∴的最小值为， 故答案为：； 任务二．过点B作BD⊥河岸于D，在射线BD上截取BB′＝PQ，则四边形B′DQP是平行四边形， ∴BB′＝PQ＝5km，B′P＝BQ， 当点A，P，B′共线时，AP+B′P＝AP+BQ最小，最小值为AB′， 过点A作AE⊥BB′交其延长线于点E． 则AC＝2km，BD＝3km，AE＝12km， ∴AB′13（km）， 则从A到B的最短路程是： AP+PQ+BN ＝AB′+PQ＝18（km）． 答：从Q到B的最短路程为18km， 故答案为：18； 任务三．如图： ∵AD⊥BC，AC＝6，AB＝8，AD＝x，BC＝10，则， 设CD＝y，则x2＝62﹣y2＝82﹣（10﹣y）2，解得y， ∴x（负值舍去）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省北安二中2025-2026学年度八年级数学下学期阶段测试（人教版八年级下第20章） 一．选择题（共7小题，满分28分，每小题4分） 1．（4分）一个直角三角形的一条直角边长是3，斜边长是5，则另一条直角边长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（4分）勾股定理是数学史上的一颗璀璨明珠．被誉为清代“历算第一名家”的名数学家梅文鼎先生在《梅氏丛书辑要》（由其孙子梅毂成编纂）的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在如图的基础上，运用“出入相补”原理完成的．在△ABC中∠ACB＝90°，四边形ABDE，ACFG，BCHI均为正方形，HI与AE相交于点J，连接ID，若△AHJ，△DEJ的面积分别为2和7，则直角边AC的长为（　　） A． B． C． D．2 3．（4分）我国某地区有三个地震监测站A、B、C，呈三角形分布．在一次地震监测演练中，测得A站到B站的正北方向距离为5km，B站到C站的正东方向距离为12km．若三个监测站恰好构成一个直角三角形，且监测信号从A站直接传到C站的时间与从A站经B站传到C站的时间差可作为测震参数．已知监测站之间的坐标间隔数据需满足勾股数条件才能建立标准测震模型，则下列哪组数据符合该监测站的布置要求？ A．2，3，4 B．4，5，6 C．5，12，13 D．0.6，0.8，1 4．（4分）在△ABC中，BC＝a，AB＝c，AC＝b，则不能作为判定△ABC是直角三角形的条件的是（　　） A．∠A＝∠B+∠C B．（a+b）（a﹣b）＝c2 C．a：b：c＝3：4：5 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 5．（4分）如图，一块四边形地ABCD，已知AD＝4m，CD＝3m，∠ADC＝90°，AB＝13m，BC＝12m，则这块地的面积为（　　） A．30m2 B．24m2 C．18m2 D．12m2 6．（4分）如图，Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长作等腰直角△ABE，△BCF，△ACD，面积分别记为S1，S2，S3，若S1+S3﹣S2＝10，则阴影部分面积为（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 7．（4分）某社区规划一块直角三角形绿地，三边恰好是连续的三个整数米长，工作人员需要在绿地边缘安装一圈围栏．若每米围栏造价为20元，则这块绿地的面积及围栏的总造价分别是（　　） A．6平方米，120元 B．8平方米，120元 C．6平方米，240元 D．10平方米，240元 二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分） 8．（4分）如图，数轴上点B所表示的数为0，点C所表示的数为2，DC垂直于该数轴，且DC＝1，若数轴上点A所表示的数为a，则a的值为　 　 ． 9．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，若点P在直线AB上（不与点A，B重合），且∠PCB＝30°，则AP的长为　 　 ． 10．（4分）在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，AC＝10，点D、E在AB、AC边上，且AD＝CE，则CD+BE的最小值 　 　 ． 11．（4分）如图，某会展中心准备将高5m，长13m，宽2m的楼道铺上地毯，若地毯每平方米30元，则铺完这个楼道至少需要 　 　 元． 三．解答题（共6小题，满分56分） 12．（8分）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b． （1）已知a＝7，b＝24，求c； （2）已知a＝4，c＝7，求b． 13．（8分）阅读并解答问题： 明朝数学家程大位在数学著作《直指算法统宗》中以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”问题： 原文：平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记，仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索有几？ 译文：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？（注古代5尺为1步） 建立数学模型，解决问题： 如图，秋千绳索OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC＝1尺），将它往前推进两步（EB＝10尺），此时踏板升高离地五尺（BD＝5尺），已知OC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，BE⊥OC于点E，OA＝OB，求秋千绳索（OA或OB）的长度． 14．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设点P的运动时间为t秒（t＞0）． （1）BC的长为 　 　 ． （2）斜边AB上的高是 　 　 ． （3）若点P在∠BAC的角平分线上，则t的值为 　 　 ． （4）在整个运动过程中，若△PBC是等腰三角形，则t＝ 　 　 ． 15．（10分）阅读与思考 下面是小华同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 借助网格解几何题 在课本中有一些利用网格求线段长或图形面积的题．通过做这些题和阅读杂志，我发现可以将网格作为数学工具，帮助我们解决一些几何问题． 例如：如图1，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC＝∠BDE＝90°，点A是DE的中点，若AB＝BC，DB＝DE＝2，连接CE，则CE的长为　 　 ． 直接解决本题较难，但是如果把它放到如图2所示的边长为1的正方形网格中就可以化难为易．但关键是要确定在网格中先画哪个三角形，由于△BDE的边长已知，所以应先画这个三角形，再画△ABC，连接CE，且让三角形的顶点都在网格的格点上，看上去与题目中图的方向有所不同，但图形与原图形是形状相同的，然后利用网格可以轻松得到CE的长． 任务： （1）图2中，CE＝　 　 ； （2）借助网格解决以下问题： 如图3，△ABC中，点D是AB的中点，以CD为直角边作等腰直角△CDE，且点A在△CDE内部，连接AE，求线段AE的长． ①将图3画在图4的边长为1的正方形网格中，并使各三角形的顶点在格点上； ②直接写出线段AE的长； （3）反思： 借助网格解几何题有一定的局限性，其局限性是什么？ 16．（10分）我们知道直角三角形的三边长满足a2+b2＝c2，那么在锐角三角形和钝角三角形中，三边长又满足什么关系呢？ 勤思小组做了进一步探究，以下是部分探究过程： 如图①，在锐角三角形ABC中，过点A作AD⊥BC于点D．∠ADC＝∠ADB＝90°． 在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2． 在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝AB2﹣（BC﹣CD）2． 　 　 ． 　 　 ． （1）请你补充完成上面横线上所缺的过程； （2）善学小组在探究中发现，如图②，当△ABC为钝角三角形（∠C为钝角）时，也有类似的结论．请类比勤思小组的方法写出该结论，并说明理由； （3）如图③，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，CD＝9，AD＝11，求该四边形的面积．敏学小组的思路是连接AC，过点D作DF⊥AC于点F，请利用敏学小组的思路直接写出四边形ABCD的面积． 17．（10分）“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 几何模型在最短路径问题中的应用 素材一 提出问题：求代数式的最小值． 素材二 建立模型：可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2．原问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB的值最小？” 素材三 解答过程：如图2连接AD，交CF于点B，此时AB+DB的值最小，将AC延长至AH使得CH＝DF＝2，连接HD，则 ∵AH＝AC+CH＝3+2＝5， HD＝CF＝12， ∴在Rt△ADH中，， ∴|AB+DB|min＝AD＝13， ∴的最小值是13． 问题解决 任务一 根据以上学习：代数式的最小值为　 　 ． 任务二 知识运用：如图，一条河的两岸平行，河宽5km，A村庄到河岸的垂直距离为2km，B村庄到河岸的垂直距离为3km，且A、B到河岸的垂足之间的水平距离为12km．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥PQ，使得从A到P，过桥PQ，再从Q到B的路程最短，则最短路程为　 　 km． 任务三 思维拓展：已知正数x满足，求x的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $