第一章 三角形的证明及其应用 知识清单 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

知识清单 第一章 三角形的证明及其应用 一、三角形相关定理 三角形内角和定理 三角形的三个内角的和等于180° 三角形外角定理 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，且大于任何一个和它不相邻的内角 三角形外角和定理 三角形的三个外角（每个顶点取一个）的和等于360° 二、等腰三角形 定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角 性质 两条腰相等 两个底角相等（“等边对等角”） 顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（“三线合一”） ，这是等腰三角形最核心的性质 判定 如果一个三角形中有两个角相等，则该三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”） 如果一个三角形中有两条边相等，则该三角形是等腰三角形 如果一个三角形中一条边的中线和高或者对角的角平分线重合，则该三角形是等腰三角形 三、等边三角形 定义 三边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是一种特殊的等腰三角形 性质 三边都相等，三个内角都相等并且每一个角都等于60° 轴对称图形，有三条对称轴（三条高所在的直线） 任意一边上的高、中线、对应的角平分线重合（“三线合一”） 判定 三条边都相等的三角形是等边三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 有两个角等于60°的三角形是等边三角形 四、直角三角形 性质 直角三角形的两个锐角互余 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； ⚠勾股定理只能在直角三角形中使用，运用时要分清直角边和斜边； 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 判定 有一个角是直角的三角形是直角三角形 有两个角互余的三角形是直角三角形 勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 补充：直角三角形全等的判定： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称为“HL”）； 五、互逆命题与定理 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题； 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理； ⚠每个命题都有逆命题，但并非所有定理都有逆定理，只有当定理的逆命题被证明为真命题时，才能称为逆定理 在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出与已知或公理或已证明过的定理相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法； 反证法的一般步骤：①假设（假设命题结论不成立）→ ②归谬（推导出矛盾）→ ③结论（由矛盾判定假设不成立，原命题成立） 六、垂直平分线 定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称“中垂线”） 性质 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； ⚠三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等（该点称为三角形的外心）； 判定 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 七、角平分线 定义 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线； ⚠注意：角平分线是一条射线，而垂直平分线是一条直线； 性质 角平分线上的点到这个角两边的距离相等； ⚠三角形三个内角的平分线相交于一点，这一点到三角形三边的距离相等（该点称为三角形的内心）； 判定 在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 八、常见题型与考点 考点类别 常见题型 等腰三角形的性质 利用“等边对等角”求角度或长度： 例题一：如图，是等边三角形，， ，则的度数为 ． 例题二：若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则其底角的度数为 ． 例题三：如图，在中，，，若，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 利用“三线合一”证明线段或角相等： 例题：如图，等腰中，，，于点，延长至点，使 ，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 等腰三角形的判定 判定一个三角形是否为等腰三角形： 例题：中，，的高与角平分线交于点． (1)求证：； (2)求证：为等腰三角形． 格点等腰三角形： 例题：如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点且使△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 等边三角形 等边三角形的性质求角度或长度： 例题一：如图，已知是等边三角形，是边上的高，点E在边上，且，则的大小为 度． 例题二：如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，若使点恰好落在上，则线段的长是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 等边三角形的判定： 例题：如图，点E在的外部，点D在上，交于点F，，，． (1)求证：． (2)若，猜想的形状并证明． 直角三角形 两锐角互余的应用： 例题：如图，在中，，于点，平分，交于点．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 直角三角形的判定： 例题一：下列条件中，能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 例题二：如图，四边形纸片，．经测得，，，． (1)求A、C两点之间的距离； (2)求这张纸片的面积． 直角三角形全等的判定（HL）： 例题一：如图，已知AB⊥CF于点B，DE⊥CF于点E，BH＝EG，AH＝DG，∠C＝∠F． (1)求证：△ABH≌△DEG； (2)求证：CE＝FB． 例题二：如图，在四边形ABCD中，，，点E是上点．若，， 则的度数为 ． 含30°角的直角三角形 含30°角的直角三角形的线段关系： 例题：如图，在中，，以为边在外作等边，过点作．若，，则 ． 含30°角的直角三角形的角度关系： 例题：如图所示，把两块完全相同的等腰直角三角板如图所示的方式摆放，线段在直线上．若点恰好是线段中点，则的大小为 °． 含30°角的直角三角形的面积关系： 例题：如图，在中，，D是上一点，连接，若平分，设和的面积分别是，，则（    ） A． B． C． D． 线段垂直平分线 利用性质求角度、线段长度： 例题一：如图，，若和分别垂直平分和，则的周长为 ． 例题二：如图，中，边的垂直平分线分别交于点，连接．若，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 垂直平分线的尺规作图： 例题：如图，请在上找一点，使得． 垂直平分线的性质与判定综合： 例题：如图，在四边形中，，E为的中点，且，延长交的延长线于点F．若，，则的长为 ． 角平分线 利用性质求角度、线段长度： 例题一：如图，平分交于D点，于E点，若，，，则的长为 ． 例题二：如图，于E，于F，，，则的度数是 ． 利用性质求面积： 例题：如图，在中，，，平分，于，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 角平分线的尺规作图： 例题一：如图，在△ABC中，，．尺规作图的步骤为：①以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点D，交的延长线于点E；②分别以D，E为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F；③作射线．则的度数为（  ） A． B． C． D． 例题二：如图，某个居民小区附近有三条两两相交的道路、、，拟在上建造一个大型超市，使得它到、的距离相等，请确定该超市的位置． 角平分线的判定：： 例题：如图，是内部的一条射线，点在上，连接、，，过点作，， ，分别是垂足，且，求证：平分． 角平分线的性质与判定综合：： 例题：如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，三角形的面积是16，求的长． 尺规作图识别 根据作图痕迹判断尺规作图类型： 例题：如图，中，，如果要用尺规作图的方法在上确定一点，使，那么符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 最值问题 利用线段垂直平分线或角平分线解决最短路径问题： 例题一：如图，在中，，，面积是12，的垂直平分线分别交，边于点E，F．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值是（　　） A．8 B．3 C．6 D．4 例题二：如图，在中，，点D在边上，连接，过点D作交于点E，，点P为线段上一动点，连接，若，则线段的最小值是 ． 命题与定理 判断逆命题的真假： 例题：下列命题的逆命题成立的是（　　） A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 D．两直线平行，同位角相等 区分互逆命题与互逆定理： 例题：“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 综合运用（拓展） 例题一：如图，等边中，为边上的高，点，分别在，上，且，连，，当最小时，则 ． 例题二：如图，为线段上一动点（不与、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，以下五个结论：①；②；③；④；⑤，恒成立的结论有（　　）    A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 例题三：已知，如图，在中，，，．动点从点出发，沿向点运动，动点从点出发，沿向点运动，如果动点以，以的速度同时出发，设运动时间为，解答下列问题： (1) ． (2)求当是等边三角形时对应的值？ (3)在运动过程中，的形状不断发生变化，当为何值时，是直角三角形？说明理由． 例题四：如图，在平面直角坐标系中，点O的坐标为，点M的坐标为，N为y轴上一动点，连接．将线段绕点M逆时针旋转得到线段，接． 求线段长度的最小值（    ） A． B． C．2 D． 学科网（北京）股份有限公司 $加识清单 第一章三角形的证明及其应用 一、三角形相关定理 三角形内角 三角形的三个内角的和等于180 和定理 三角形外角 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和， 定理 且大于任何一个和它不相邻的内角 三角形外角 三角形的三个外角（每个顶点取一个）的和等于360 和定理 二、等腰三角形 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条 定义 边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角， 底边与腰的夹角叫做底角 两条腰相等 两个底角相等（“等边对等角”) 性质 顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(“三 线合一”），这是等腰三角形最核心的性质 如果一个三角形中有两个角相等，则该三角形是等腰 判定 三角形（简称“等角对等边”) 如果一个三角形中有两条边相等，则该三角形是等腰 三角形 如果一个三角形中一条边的中线和高或者对角的角平 分线重合，则该三角形是等腰三角形 三、等边三角形 三边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是一 定义 种特殊的等腰三角形 三边都相等，三个内角都相等并且每一个角都等于60 性质 轴对称图形，有三条对称轴（三条高所在的直线） 任意一边上的高、中线、对应的角平分线重合(“三线 合一”) 三条边都相等的三角形是等边三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 判定 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 有两个角等于60°的三角形是等边三角形 四、直角三角形 直角三角形的两个锐角互余 性质 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； 勾股定理只能在直角三角形中使用，运用时要分清直 角边和斜边； 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所 对的直角边等于斜边的一半 有一个角是直角的三角形是直角三角形 有两个角互余的三角形是直角三角形 判定 勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三 边的平方，那么这个三角形是直角三角形 补充：直角三角形全等的判定： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称为“L”） 五、互逆命题与定理 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一 个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题， 如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题； 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这 两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理； △每个命题都有逆命题，但并非所有定理都有递定理，只有当定理的 逆命题被证明为真命题时，才能称为逆定理 在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出与已知或公理 或已证明过的定理相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这 种证明方法称为反证法； 反证法的一般步骤：①假设（假设命题结论不成立）②归谬（推导 出矛盾)③结论（由矛盾判定假设不成立，原命题成立） 六、垂直平分线 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线 定义 段的垂直平分线（简称“中垂线”） 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相 等； 性质 三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点到三角 形三个顶点的距离相等（该点称为三角形的外心）； 到一条线段两个端，点距离相等的点，在这条线段的垂直 判定 平分线上 七、角平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相 等的角，这条射线叫做这个角的平分线； 定义 注意：角平分线是一条射线，而垂直平分线是一条直 线； 角平分线上的点到这个角两边的距离相等； 性质 三角形三个内角的平分线相交于一点，这一点到三角 形三边的距离相等（该，点称为三角形的内心）； 在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平 判定 分线上 八、常见题型与考点 考点类别 常见题型 利用“等边对等角”求角度或长度： 例题一：如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AB, BD=AB,则∠ADC的度数为 B 【答案】30° 【解答】'△ABC为等边三角形， ∴.BA=BC,∠ABC=60°. 等腰三角形 :.BD⊥AB,BD=AB, 的性质 ·△ABD为等腰直角三角形， .∠ABD=90°，BD=BC,∠ADB=∠BAD=45°， ∴.∠CBD=∠ABC+∠ABD=150°， ∴.∠DCB=∠BDC=专(180°-∠CBD)=15°， .∴∠ADC=∠ADB-∠CDB=45°-15°=30°. 故答案为：30°. 例题二：若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为42°，则其 底角的度数为 【答案】66°或24° 【解答】分两种情况讨论： ①若LA<90°，如图1所示： B 图1 .BD⊥AC, .∴.∠A十∠ABD=90°， ∠ABD=42°， .∴.∠A=90°-42°=48°， .AB=AC, ∴.∠ABC=∠C=(180°-∠A)=66°； ②若LA>90°，如图2所示： D B 图2 同①可得：∠DAB=90°-42°=48°， .∴.∠BAC=180°-480=132°， .AB=AC, ∴.ABC=∠C=(180°-∠A)=24°； 综上所述：等腰三角形底角的度数为66°或24°. 故答案为：66°或24°. 例题三：如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=∠EDF,若 BE=CD=1,BC=3,则CF的长为() E B A.1B.2C.3D.4 【答案】B 【解答】AB=AC, .∠B=LC, :'∠BED=180°-∠B-∠BDE,∠CDF=180°-∠EDF-∠BDE ∠B=∠EDF, .∴.∠BED=∠CDF, .BE=CD, ∴.△BED≌△CDF(ASA), ∴CF=BD, .BC=3,CD=1, .BD=2, .CF=2, 故选：B 利用“三线合一”证明线段或角相等： 例题：如图，等腰△ABC中，AB=AC,∠A=60°，BE⊥AC于 点E,延长BC至点F,使CF=CE,连接FE (I)求∠ABC的度数； (2)求证：BE=FE, 【答案】（1)60°(2)见解析； 【解答】(1)解：：△ABC是等腰三角形，AB=AC, ∠A=60°， ·△ABC是等边三角形， :∠ABC=60° (2)证明：CF=CE, .∠F=∠CEF, '∠ACB=60°=∠F+∠CEF, .∠F=30°， '△ABC是等边三角形，BE LAC, .∠EBC=30°， .∠F=∠EBC, .BE=EF. 等腰三角形 判定一个三角形是否为等腰三角形： 的判定 例题：Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的高CD与角平分线 BE交于点F C F D (I)求证：∠CAD=∠BCD; (2)求证：△CEF为等腰三角形. 【答案】(1)见解析；(2)见解析； 【解答】(1)证明：CD是△ABC的高， ∴.CD⊥AB, .∴.∠ADC=∠BDC=90°. .∠ACB=90°， ..∠ACD+∠A=∠ACD+∠BCD=90°， .∴.∠CAD=∠BCD. (2)证明：由(1)得：∠BDC=90°， .BE是LABC的角平分线， .∠CBE=∠ABE .∠ACB=∠ADC=90°， .∴·∠ABE+∠BFD=∠CBE+∠CEB=90°， .∴.∠CEF=∠BFD, .'∠BFD=∠CFE, .∴.∠CEF=∠CFE, ∴.CE=CF, ∴.△CEF为等腰三角形. D 格点等腰三角形： 例题：如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已 知A、B是两格点，如果C也是图中的格，点且使△ABC为等腰 三角形，则点C的个数是() B A A.6B.7 C.8D.9 【答案】C 【解答】如图：分情况讨论. ①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C,点有4个（包括两 个等腰直角三角形)；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时， 符合条件的C点有4个，一共有8个点 故选：C C B 等边三角形的性质求角度或长度： 等边三角形 例题一：如图，已知△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高， 点E在边AC上，且AE=AD,则∠EDC的大小为 度 E B D 【答案】15 【解答】？△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=∠C=60°， 'AD⊥BC, ·∠DAE=号∠BAC=30°， AE=AD, ·∠AED=号(180°-∠DAE)=75°， ∠AED=∠EDC+∠C, ∴.∠EDC+60°=75°， ·.∠EDC=15°， 故答案为：15. 例题二：如图，在等边△ABC中，AC=9,点O在AC上，且 AO=3,点P是AB上一动，点，连接OP,将线段OP绕点O逆时针 旋转60°得到线段OD,若使点D恰好落在BC上，则线段AP的长 是() A B 4B.5C.6D.8 【答案】C 【解答】如图，当点D恰好落在BC上时，OD=OP, :△ABC是等边三角形， .A=∠C=60°， ·∠C0D+∠0DC=180°-∠C=120°， ∠D0P=60°， .∠C0D+∠A0P=180°-∠D0P=120°， ∴∠ODC=∠AOP, I∠ODC=∠AOP 在△AOP和△CD0中， ∠C=∠A OP=OD ·.△AOP兰△CDO(AAS), .AP=OC, 'AC=9,OA=3, ∴.AP=0C=AC-0A=9-3=6, 故选：C 等边三角形的判定： 例题：如图，，点E在△ABC的外部，点D在BC上，DE交AC于 点F,∠2=∠3，AE=AC,DE=BC E A 2 1 人3 B C (I)求证：△ABC兰△ADE. (②)若L2=60°，猜想△ABD的形状并证明. 【答案】（①）见解析；（②等边三角形，见解析 【解答】(1)证明：，∠2+∠AFE+∠E=180°， ∴.∠E=180°-∠2-∠AFE, .∠3+∠CFD+∠C=180°， .∴.∠C=180°-∠3-∠CFD, .∠2=∠3，∠AFE=∠CFD, ..∠E=∠C, (AC=AE 在△ABC和△ADE中， ∠C=∠E BC=DE ∴.△ABC≌△ADE(SAS); (2)解：△ABD是等边三角形，理由如下： .∠3=∠2=60°， .∴∠BDE=180°-∠3=120°， .'△ABC≌△ADE, ∴·AB=AD,∠B=∠ADE, .∴·∠B=∠ADB, .∴∠ADB=∠ADE, ∴.∠ADB=号∠BDE=60°， △ABD是等边三角形. 两锐角互余的应用： 例题：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD 1BC于点D,BE 平分∠ABC,交AC于点E.若∠BAD=34°，则∠AEB的度数为() D A.56° B.60°C.62°D.65° 【答案】C 直角三角形 【解答】：AD⊥BC, ÷∠ADB=90°， :∠BAD=34°， .∠ABD=90°-∠BAD=90°-34°=56°， ~BE平分LABC, ·LABE=LABD=青X56°=28°， 在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABE=28°， .∠AEB=90°-28°=62°， 故选：C 直角三角形的判定： 例题一：下列条件中，能判定△ABC是直角三角形的是() A.a:b:c=7:12:13 B.(a+b)2=c2 C.∠B=∠A-∠C D.∠A:∠B:∠C=3:4:5 【答案】C 【解答】A、72+12≠132，·△ABC不是直角三角形，故 该选项不符合题意； B、(a+b)=a2+b2+2ab=c2,故不能判定△ABC是直角三 角形，故该选项不符合题意； C、.'∠B=∠A-∠C即∠A=∠B+∠C=180°-∠A, ∴∠A=90°，∴能判定△ABC是直角三角形，故该选项符合题 意； 5 D、LA:∠B:LC=3:4:5,∠C=3+×180°=75°，故 能判定△ABC不是直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：C 例题二：如图，四边形纸片ABCD,AB LBC.经测得AB=9cm, BC=12cm,CD=8cm,AD=17cm. A B (1)求A、C两点之间的距离； (2)求这张纸片的面积. 【答案】(1)15cm; (2)114cm2 A D 【解答】(1)解：连接AC,如图.B C 在Rt△ABC中，AB1BC,AB=9cm,BC=12cm, AB2+BC2=AC2, .92+12=AC2,解得AC=15(负值舍去) 即A、C两，点之间的距离为15cm; (2)解：CD2+AC2=82+152=17=AD2, .∴∠ACD=90°， .四边形纸片ABCD的面积=S△ABC十S△ACD =号AB·BC+AC·CD =号×9×12+号×15×8 =54+60 =114. 直角三角形全等的判定(HL): 例题一：如图，已知AB⊥CF于点B,DE⊥CF于点E,BH= EG,AH=DG,∠C=∠F. G H B (I)求证：△ABH2△DEG; (2)求证：CE=FB. 【答案】（①）见解析；(2见解析. 【解答】(1)证明：AB⊥CF,DE⊥CF, ∴.∠DEG=∠ABH=90°， BH-EG 在Rt△ABH和Rt△DEG中，{AH=DG, '.Rt△ABH≌Rt△DEG(HL); (2)Rt△ABH≌Rt△DEG(HL), .'.AB=DE, 「∠ABC=∠DEF=90 在△ABC和△DEF中， ∠C=∠F AB-DE .∴△ABC≌△DEF(AAS), ∴BC=EF, ∴.CE=FB. 例题二：如图，在四边形ABCD中，ADIBC,∠ADB=90°， 点E是BD上，点.若AB=CE,∠BCD=2∠DCE=45·, 则∠ABC的度数为 B 【答案】112.5 【解答】'ADIBC,∠ADB=90°， ..∠ADB=∠EBC=90°， ,'∠BCD=2∠DCE=45°， .∴∠BCD=∠BDC=45o,∠BCE=22.5o, .∴.BC=BD, (AB=EC 在Rt△ADB和Rt△EBC中，DB=BC, ·Rt△ADB≌Rt△EBC(HL), .∴∠ABD=∠ECB=22.5°， ∴.∠ABC=∠ABD+∠EBC=112.5°， 故答案为：112.5°. 含30°角的直角三角形的线段关系： 例题：如图，在△ABC中，∠ABC=60°，以AC为边在△ABC外 作等边△ACD,过点D作DE1BC.若AB=5.4,CE=3,则 BE= D B 含30°角的 【答案】7.8 直角三角形 【解答】过，点C作CP1AB于P,如图所示： '∠ABC=60°， .∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC=120°， :△ACD为等边三角形， .AC=CD,∠ACD=60°， ,∠DCE+∠BCA=180°-∠ACD=120°， .∠BAC=∠DCE, CP⊥AB,DE⊥BC, ·∠APC=∠CED=90°， (∠APC=∠CED=90° 在△APC和△CED中， ∠BAC=∠DCE AC=CD ·△APC≌△CED(AAS), ..AP=CE=3, BP=AB-AP=5.4-3=2.4, 在Rt△BCP中，∠ABC=60°， ∴∠BCP=30°， BC=2BP=2X2.4=4.8, ∴BE=BC+CE=4.8+3=7.8. 故答案为：7.8 含30°角的直角三角形的角度关系： 例题：如图所示，把两块完全相同的等腰直角三角板如图所示 的方式摆放，线段AC在直线MN上.若点F恰好是线段AB中，点， 则∠AFD的大小为」 ■ MC A DN 【答案】15 【解答】过点F作CD的垂线，垂足为H,如图： MC H .‘点F恰好是线段AB中点，FHLAC,∠BCA=90°， ∴.BC IIFH,BC=2FH, .∴.∠B=∠HFA=45°， 两块等腰直角三角板完全相同， ∴.BC=FD, .∴BC=FD=2FH, .'∠FHD=90°， .∴.∠FDH=30°， ∴.∠HFD=60°， .∠B=∠HFA=45°， ∴.∠AFD=∠HFD-∠HFA=60°-45°=15°， 故答案为：15. 含30°角的直角三角形的面积关系： 例题：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，D是BC上一 点，连接AD,若AD平分∠BAC,设△ADB和△ADC的面积分别 是S1,S2,则S1:S2=() D C A.1:1B.2:1C.3:1D.3:2 【答案】B 【解答】.∠C=90°，∠B=30°， .∴∠BAC=90°-30°=60°. .AD平分∠BAC, ∴.∠BAD=LCAD=∠BAC=30°， .∴·∠B=∠BAD, ∴·AD=BD, ∴CD=AD=BD, .S1:S2=号BD·AC:CD·AC=2:1. 故选B. 利用性质求角度、线段长度： 例题一：如图，BC=8cm,若MP和NQ分别垂直平分AB和AC, 则△APQ的周长为 cm. 线段垂直平 分线 【答案】8 【解答】MP和NQ分别垂直平分AB和AC, ..BP=AP,AQ=CQ, .△APQ的周长 =AP+AQ+PQ=BP+CQ+PQ=BC=8cm, 故答案为：8 例题二：如图，△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AC,AB于 点D,E,连接BD.若LC=24°，DB1BC,则∠A的度数为（) D A.24° B.30°C.33°D.66° 【答案】C 【解答】DE垂直平分AB, .∴AD=BD ∴·LA=∠DBA, .DB⊥BC, ..∠DBC=90°， .∠C=24°， ∴.∠BDC=90°-∠C=90°-24°=66°， .'∠BDC=∠A十∠DBA=2∠A, .2∠A=66°， ∠A=33°， 故选：C 垂直平分线的尺规作图： 例题：如图，请在AB上找一点P,使得LB=∠PCB, B 【答案】作图见解析 【解答】如图所示，点P即为所求 B 垂直平分线的性质与判定综合： 例题：如图，在四边形ABCD中，ABICD,E为BC的中点，且 AE⊥DE,延长DE交AB的延长线于点F.若AD=12,CD=5, 则AB的长为 B 【答案】8 【解答】：E为BC的中点， BE=EC, ABIDC, .∠F=∠CDE,∠FBE=∠DCE, ∠F=∠CDE 在△BEF与△CED中， ∠FBE=∠DCE BE=CE △BEF兰△CED(AAS), .EF DE,BF=CD=4, .AE⊥DE, ·AD=AF=12, .AF=AB+BF=AB+4=12, .AB=8, 故答案为：8 利用性质求角度、线段长度： 例题一：如图，BD平分LABC交AC于D点，DE⊥BC于E点， 若AB=4,BC=5,S△ABC=9,则DE的长为 B E 【答案】2 【解答】如图，过点D作DF⊥BA,交BA的延长线于F, A 角平分线 B E :BD平分LABC,DE⊥BC,DF⊥BA, .DE=DF, AB=4,BC=5,S△ABC=9, 克×4×DF+克×5×DE=9, 解得：DE=DF=2, 故答案为：2 例题二：如图，DE⊥OA于E,DF L OB于F,DE=DF, ∠AOD=25·,则∠EDF的度数是 B D E A 【答案】130° 【解答】：DE⊥OA,DF⊥OB,DE=DF, 点D在∠AOB的平分线上， .∴·∠A0D=∠B0D=25°. .∴.∠B0A=50 .∴.360°-90°-90°-50°=130° 故答案为：130 利用性质求面积： 例题：如图，在△ABC中，AB=7,AC=6,AD平分∠BAC, DE⊥AC于E,DE=2,则△ABC的面积为() B D A.13 B.19C.20 D.26 【答案】A 【解答】如图，过D点作DF⊥AB于F, A D AD平分∠BAC,DE⊥AC,DF⊥AB, .DF=DE=2, ·S△ABC=SAABD+S△ACD, =号×7×2+号×6×2， =13. 故选：A. 角平分线的尺规作图： 例题一：如图，在△ABC中，LA=74°，LB=56°.尺规作图的步 骤为：①以点C为圆心，任意长为半径画孤，分别交AC于点D, 交BC的延长线于点E;②分别以D,E为圆心，大于DE为半 径画孤，两孤交于点F;③作射线CF.则LECF的度数为() E A.74°B.65°C.60°D.56 【答案】B 【解答】'∠A=74°，∠B=56°， .∴∠ACE=∠A+∠B=130°， 由题意知：CF平分∠ACE, ∴.∠ECF=克∠ACE=65°， 故选：B 例题二：如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN 、 OA、OB,拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的 距离相等，请确定该超市的位置P, 小区C: ○ N B 【答案】见解析 【解答】如图所示：作LAOB的平分线交MN于点P,点P即为该 超市的位置 MA 小区C B 角平分线的判定：： 例题：如图，BP是LABC内部的一条射线，点D在BP上，连接 AD、CD,AD=CD,过点作PMLAD,PNL CD, M,N分别是垂足，且PM=PN,求证：BP平分∠ABC B 【答案】见解析 【解答】证明：·PMLAD,PN⊥CD,PM=PN, .DP为∠ADC的角平分线， .∠ADP=∠CDP, .∠ADB=∠CDB, AD=CD, ∠ADB=∠CDB, 在△ABD和△CBD中， BD=BD, △ABD≌△CBD(SAS, ∠ABP=∠CBP, BP平分∠ABC 角平分线的性质与判定综合：： 例题：如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=100°， ∠ADC的平分线交AC于点E,过，点E作EF LAB,垂足为F,且 LAEF=50°，连接BE B D (I)求∠DAE的度数； (2)求证：BE平分LABC; (3)若AD=6,CD=10,三角形ACD的面积是16，求F的长. 【答案】(1)40°；(2)见解析；(3)2 【解答】(1)解：EF上AB, ∠F=90°， ∠AEF=50°， ∴.∠BAE=∠F+∠AEF=90°+50°=140°， '∠BAE=∠BAD+∠CAD,∠BAD=100°， ·.∠CAD=∠BAE-∠BAD=140°-100°=40°，即 ∠DAE=40°. (2)证明：过点E作EG L AD交AD于点G,H⊥BC交BC于点H, B D万 ∠F=90°，∠AEF=50°， ∴∠EAF=90°-50°=40°， 由(1)可知，∠CAD=40°， ∴∠EAF=∠CAD=40°， ·AE平分∠FAD, 'EF⊥AF,EG⊥AD, .EF=EG, 'DE平分∠ADC,EG⊥AD,HH⊥BC, .EG=EH, .EF EH 'EF⊥BF,EH⊥BC, ·BE平分LABC (3)解：S△4cm=16, S△ADE+S△cDB=16, AD·EG+CD·EH=16, AD=6,CD=10,EG=EH, ·专×6×E+×10×EH=16, EH=2, .F=2 根据作图痕迹判断尺规作图类型： 例题：如图，ABC中，AB<AC<BC,如果要用尺规作图的方法 在BC上确定一点P,使PA+PB=BC,那么符合要求的作图痕迹 是() 尺规作图识 别 【答案】D 【解答】.PA+PB=BC,PC+PB=BC, ∴.PA=PC, ∴，点P在AC的垂直平分线上，即点P为AC的垂直平分线与 BC的交点. 故选：D 利用线段垂直平分线或角平分线解决最短路径问题： 例题一：如图，在△ABC中，AB=AC,BC=4,面积是12， 最值问题 AC的垂直平分线EF分别交AB,AC边于点E,F.若，点D为BC边 的中，点，点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值是 B A.8B.3C.6D.4 【答案】A E 【解答】连接AD,AP, D .AB=AC,点D是BC边的中点， .∴.AD⊥BC, ∴.S△ABC=BC·AD=X4×AD=12, .∴.AD=6, .EF是线段AC的垂直平分线， 点C关于直线EF的对称点为点A, .当A、P、D三点共线时，即AD的长为CP+PD的最小值， ∴.△CDP的周长最短 =(CP+PD)+CD=AD+BC=6+×4=6+2=8, 故选：A. 例题二：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC边上， 连接BD,过，点D作DEBC交AB于点E,DE=BE,点P为线段 AB上一动点，连接DP,若CD=6,则线段DP的最小值 是 【答案】6 【解答】由垂线段最短得，当DP⊥AB时，线段DP的值最小， .'DE=BE, ∴∠BDE=∠DBE, DEBC, ·.∠BDE=∠DBC, ∴.∠DBE=∠DBC,即BD平分LABC, .∠C=90°，当DP1AB时，线段DP的值最小， ∴.线段DP的最小值是：DP=CD=6, 故答案为：6. 判断逆命题的真假： 例题：下列命题的逆命题成立的是() A.对顶角相等 B,全等三角形的对应角相等 命题与定理 C.如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 D. 两直线平行，同位角相等 【答案】D 【解答】：A、逆命题为相等的角为对顶角，不成立； B、逆命题为对应角相等的三角形全等，不成立； C、递命题为绝对值相等的两个数相等，不成立； D、逆命题为同位角相等，两直线平行，成立， 故选D 区分互递命题与互逆定理： 例题：“直角都相等”与“相等的角是直角”是() A.互为逆命题B.互逆定理C.公理D.假命题 【答案】8 【解答】“直角都相等”的条件是“两个角是直角”，结论是 “这两个角相等”，“相等的角是直角”的条件是“两个角相 等”，结论是“这两个角是直角”，条件和结论互换，所以是 互为逆命题. 定理：“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”明显这 个定理的递命题是假命题，所以“直角都相等”与“相等的角 是直角”不是互逆定理 故选：A. 例题一：如图，等边aABC中，AD为BC边上的高，点M,N分 别在AD,AC上，且AM=CN,连BM,BN,当BM+BN最小时， 综合运用（拓 则LNBM= 展) 【答案】30° 【解答】作CH⊥BC,使CH=BC,连接NH、BH,如图， 在等边△ABC中，∠ABC=∠BAC=90°， .AD⊥BC, .∴∠DAC=∠DAB=30°， .CH⊥BC, ..ADII CH, ..∠HCN=∠CAD=∠BAM=30°， .AM=CN,AB=BC=CH, ∴.△ABM兰△CHN(SAS), ..BM=HN, .BN+HN≥BH, ∴.当B、N、H共线时，BM+BN=BN+HN的值最小， A B、N、H共线时，如图，B .CH=BC,∠BCH=90°， .∴∠CBH=∠CHB=45°， ,'△ABM≌△CHN, ∴.∠ABM=∠CBH=∠CHB=45°， .∴∠ABN=∠ABC-∠CBH=15°， .∴·∠NBM=∠ABM-∠ABN=45°-15°=30°， .当BM+BN最小时，则∠NBM=30°. 故答案为：30°. 例题二：如图，C为线段AE上一动点（不与A、E重合），在AE 同侧分别作等边△ABC和等边△CDE,AD与BE交于点O,AD与 BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ,以下五个结论：① AD=BE;②PQIAE;③CP=CQ;④BO=OE;⑤∠AOB=60° ,恒成立的结论有() A. ①3⑤B.①3④⑤C.①23⑤D.①2③④⑤ 【答案】C 【解答】'△ABC和△CDE都是等边三角形， .∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°， .∴·∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD, .∴.∠ACD=∠BCE, AC=BC 在△ACD和△BCE中， ∠ACD=∠BCE CD=CE ∴.△ACD≌△BCE(SAS), ∴AD=BE,故结论①正确； .'△ACD≌△BCE, .∴∠CAD=∠CBE, 又.'∠ACB=∠DCE=60°， ..∠BCD=180°-60°-60°=60°， ∴.LACP=∠BCQ=60°， I∠ACP=∠BCQ AC=BC 在△ACP和△BCQ中， ∠CAP=∠CBQ' ∴.△ACP≌△BCQ(ASA), ∴AP=BQ,CP=CQ,故结论③正确； 又：∠PCQ=60°， ∴，△PCQ为等边三角形， .∴.∠PQC=∠DCE=60°， .PQIAE,故结论②正确. .'△ACD≌△BCE, .∴∠ADC=∠AE0, .∴·∠AOB=∠DAE十∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°， .故结论⑤正确. C为线段AE上一动点（不与A、E重合），即：AC十CE=AE, 由图形可知：当AC变短时，则CE变长，这时BO变短，则OE变 长， B0不一定等于OE,故结论④错误 综上所述，可得正确的结论有4个：①②③⑤. 故选：C 例题三：已知，如图，在Rt△AB中，∠C=90°，∠A=30°， BC=I8Cm·动，点P从，点A出发，沿AB向点B运动，动，点Q从点B 出发，沿BC向，点C运动，如果动点P以2cm/s,Q以1cm/s的速 度同时出发，设运动时间为t(s),解答下列问题： A 备用图 (1)AB= (②)求当△PBQ是等边三角形时对应的t值？ (③)P,Q在运动过程中，△PBQ的形状不断发生变化，当t为何值 时，△PBQ是直角三角形？说明理由. 【答案】(036cm;(2)t=12;(③)当t为9或号时，△PBQ是直角 三角形，理由见解析； 【解答】(1)解：.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， BC=18cm, .∴.AB=2BC=36cm; (2)解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， ·∠B=90°-∠A=60°， .要使△PBQ是等边三角形，则有PB=BQ, 由题意得：AP=2t(cm),BQ=t(cm),则 BP=AB-AP=(36-2t)(cm), ..36-2t=t,解得：t=12, ∴.当△PBQ是等边三角形时对应的t值为12； (3)解：当t为9或号时，△PBQ是直角三角形，理由如下： .在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， .∠B=90°-∠A=60°， 由题意得：AP=2t(cm),BQ=t(cm),则 BP=AB-AP=(36-2t)(cm), △PBQ是直角三角形， .BP=2BQ或BQ=2BP, 当BP=2BQ时，36-2t=2t,解得t=9, 当BQ=2BP时，t=2(36-2t),解得：t=号， 综上所述，当t为9或号时，△PBQ是直角三角形. 例题四：如图，在平面直角坐标系中，点O的坐标为(0,0)， 点M的坐标为(3，O),N为y轴上一动点，连接MN.将线段 MN绕，点M逆时针旋转60°得到线段MK,接NK,OK, 求线段OK长度的最小值() M A.是B.5C.2D.25 【答案】A 【解答】如图所示，将△MOK绕点M顺时针旋转60度得到 △MQN,连接OQ,由旋转的性质可得 OK=NQ,OM=QM,∠0MQ=60°， .△OMQ是等边三角形， .∴.∠Q0M=60°，0Q=0M, .∴.N0Q=30°， 点M的坐标为(3,0)， ∴.00=0M=3, 由垂线段最短可知，当NQ⊥y轴，NQ最小，即OK最小，此时 点N与点N重合，OK最水值=NQ最水值=OQ=号， 故选A. y N M K知识清单 第一章三角形的证明及其应用 一、三角形相关定理 三角形内角 三角形的三个内角的和等于180° 和定理 三角形外角 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和， 定理 且大于任何一个和它不相邻的内角 三角形外角 三角形的三个外角（每个顶，点取一个)的和等于360° 和定理 二、等腰三角形 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条 定义 边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角， 底边与腰的夹角叫做底角 两条腰相等 两个底角相等(“等边对等角”) 性质 顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(“三 线合一”)，这是等腰三角形最核心的性质 如果一个三角形中有两个角相等，则该三角形是等腰 判定 三角形（简称“等角对等边”） 如果一个三角形中有两条边相等，则该三角形是等腰 三角形 如果一个三角形中一条边的中线和高或者对角的角平 分线重合，则该三角形是等腰三角形 三、等边三角形 三边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是一 定义 种特殊的等腰三角形 三边都相等，三个内角都相等并且每一个角都等于60° 轴对称图形，有三条对称轴（三条高所在的直线） 性质 任意一边上的高、中线、对应的角平分线重合(“三线 合一”) 三条边都相等的三角形是等边三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 判定 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 有两个角等于60°的三角形是等边三角形 四、直角三角形 直角三角形的两个锐角互余 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； 性质 勾股定理只能在直角三角形中使用，运用时要分清直 角边和斜边； 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对 的直角边等于斜边的一半 有一个角是直角的三角形是直角三角形 有两个角互余的三角形是直角三角形 判定 勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三 边的平方，那么这个三角形是直角三角形 补充：直角三角形全等的判定： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称为“HL”); 五、互逆命题与定理 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一 个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题， 如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题； 如果一个定理的递命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这 两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理； 每个命题都有逆命题，但并非所有定理都有逆定理，只有当定理的 逆命题被证明为真命题时，才能称为逆定理 在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出与已知或公理 或已证明过的定理相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这 种证明方法称为反证法； 反证法的一般步骤：①假设（假设命题结论不成立)→②归谬（推导 出矛盾)→③结论（由矛盾判定假设不成立，原命题成立） 六、垂直平分线 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线 定义 段的垂直平分线（简称“中垂线”) 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相 等； 性质 三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点到三角 形三个顶点的距离相等（该，点称为三角形的外心)； 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直 判定 平分线上 七、角平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相 等的角，这条射线叫做这个角的平分线； 定义 注意：角平分线是一条射线，而垂直平分线是一条直 线； 角平分线上的，点到这个角两边的距离相等； 性质 三角形三个内角的平分线相交于一点，这一点到三角 形三边的距离相等（该点称为三角形的内心)； 在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平 判定 分线上 八、常见题型与考点 考点类别 常见题型 利用“等边对等角”求角度或长度： 例题一：如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AB, BD=AB,则∠ADC的度数为 B 例题二：若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为42°，则其 底角的度数为 例题三：如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=∠EDF,若 BE=CD=1,BC=3,则CF的长为() 等腰三角形 的性质 B A.1B.2C.3D.4 利用“三线合一”证明线段或角相等： 例题：如图，等腰△ABC中，AB=AC,∠A=60°，BE⊥AC 于点E,延长BC至点F,使CF=CE,连接FE. A (1)求∠ABC的度数； (2)求证：BE=FE. 判定一个三角形是否为等腰三角形： 例题：Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的高CD与角 平分线BE交于点F. D B (1)求证：∠CAD=∠BCD; (2)求证：△CEF为等腰三角形. 等腰三角形 的判定 格点等腰三角形： 例题：如图所示的正方形网格中，网格线的交，点称为格点.已 知A、B是两格点，如果C也是图中的格，点且使△ABC为等腰 三角形，则点C的个数是() B A A.6B.7C.8D.9 等边三角形的性质求角度或长度： 例题一：如图，已知△ABC是等边三角形，AD是BC边上的 高，点E在边AC上，且AE=AD,则∠EDC的大小为」 E 度. B D 例题二：如图，在等边△ABC中，AC=9,点O在AC上， 且AO=3,点P是AB上一动点，连接OP,将线段OP绕 点O逆时针旋转60°得到线段OD,若使点D恰好落在BC上， 则线段AP的长是（) 等边三角形 A A.4B.5C.6D.8 等边三角形的判定： 例题：如图，点E在△ABC的外部，，点D在BC上，DE交 AC于点F,∠2=∠3，AE=AC,DE=BC. A 2 人3 B D (1)求证：△ABC≌△ADE. (2)若∠2=60°，猜想△ABD的形状并证明. 两锐角互余的应用： 例题：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于，点D, BE平分∠ABC,交AC于，点E.若∠BAD=34°，则∠AEB 的度数为() B D A.56° B.60°C.62°D.65° 直角三角形的判定： 例题一：下列条件中，能判定△ABC是直角三角形的是() 直角三角形 A.a:b:c=7:12:13B.(a+b)2=c2 C.∠B=∠A-∠CD.∠A∠B:∠C=3:4:5 例题二：如图，四边形纸片ABCD,AB⊥BC.经测得AB= 9cm,BC=12cm,CD=8cm,AD=17cm. A 0 B C (1)求A、C两点之间的距离； (2)求这张纸片的面积. 直角三角形全等的判定(HL): 例题一：如图，已知AB⊥CF于点B,DE⊥CF于点E,BH= EG,AH=DG,∠C=∠F. G B (1)求证：△ABH≌△DEG; (2)求证：CE=FB. 例题二：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ADB=90°， 点E是BD上点.若AB=CE,∠BCD=2∠DCE=45°， 则∠ABC的度数为 E B 含30°角的直角三角形的线段关系： 例题：如图，在△ABC中，∠ABC=60°，以AC为边在 含30°角的直 △ABC外作等边△ACD,过点D作DE⊥BC.若AB=5.4, 角三角形 CE=3,则BE= B 含30°角的直角三角形的角度关系： 例题：如图所示，把两块完全相同的等腰直角三角板如图所示 的方式摆放，线段AC在直线MN上.若点F恰好是线段AB 中点，则∠AFD的大小为。 A DN 含30°角的直角三角形的面积关系： 例题：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，D是BC 上一点，连接AD,若AD平分∠BAC,设△ADB和△ADC 的面积分别是S1,S2,则S1:S2=（) B D A.1:1B.2:1C.3:1D.3:2 利用性质求角度、线段长度： 例题一：如图，BC=8cm,若MP和TQ分别垂直平分AB 和AC,则△APQ的周长为_cm. 线段垂直平 分线 例题二：如图，△ABC中，边AB的垂直平分线分别交 AC,AB于点D,E,连接BD.若∠C=24°，DB⊥BC, 则∠A的度数为() D A.24°B.30°C.33°D.66° 垂直平分线的尺规作图： 例题：如图，请在AB上找一点P,使得∠B=∠PCB. B 垂直平分线的性质与判定综合： 例题：如图，在四边形ABCD中，AB‖CD,E为BC的中点， 且AE⊥DE,延长DE交AB的延长线于点F.若AD=12, CD=5,则AB的长为 BA E 利用性质求角度、线段长度： 例题一：如图，BD平分∠ABC交AC于D点，DE⊥BC于 E点，若AB=4,BC=5,S△ABC=9,则DE的长为 D B E 例题二：如图，DE⊥OA于E,DF⊥OB于F,DE=DF, ∠AOD=25°，则∠EDF的度数是 B 角平分线 F A 利用性质求面积： 例题：如图，在△ABC中，AB=7,AC=6,AD平分∠BAC, DE⊥AC于E,DE=2,则△ABC的面积为() B D A.13B.19C.20 D.26 角平分线的尺规作图： 例题一：如图，在△ABC中，∠A=74°，∠B=56°.尺规作图的步 骤为：①以点C为圆心，任意长为半径画孤，分别交AC于点D, 交BC的延长线于点E;②分别以D,E为圆心，大于DE为半 径画孤，两孤交于点F;③作射线CF.则∠ECF的度数为() A.74°B.65°C.60°D.56 例题二：如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路 MN、OA、OB,在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、 OB的距离相等，请确定该超市的位置P. 小区C. NB 角平分线的判定：： 例题：如图，BP是∠ABC内部的一条射线，点D在BP上， 连接AD、CD,AD=CD,过，点作PM⊥AD,PN⊥CD, M,N分别是垂足，且PM=PN,求证：BP平分∠ABC. 角平分线的性质与判定综合：： 例题：如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=100°， ∠ADC的平分线交AC于点E,过点E作EF⊥AB,垂足为 F,且∠AEF=50°，连接BE. B D (1)求∠DAE的度数； (2)求证：BE平分∠ABC; (3)若AD=6,CD=10,三角形ACD的面积是16，求EF的 长. 根据作图痕迹判断尺规作图类型： 例题：如图，ABC中，AB<AC<BC,如果要用尺规作图的方法 在BC上确定一，点P，使PA+PB=BC,那么符合要求的作图痕迹 是() 尺规作图识 别 利用线段垂直平分线或角平分线解决最短路径问题： 例题一：如图，在△ABC中，AB=AC,BC=4,面积是 12,AC的垂直平分线EF分别交AB,AC边于点E,F.若，点 D为BC边的中点，点P为线段EF上一动，点，则△PCD周 长的最小值是() ◇ B4 最值问题 D A.8B.3C.6D.4 例题二：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，，点D在AC边 上，连接BD,过，点D作DE∥BC交AB于点E,DE=BE, 点P为线段AB上一动，点，连接DP,若CD=6,则线段DP 的最小值是 P E 判断递命题的真假： 例题：下列命题的逆命题成立的是() A.对顶角相等 命题与定理 B.全等三角形的对应角相等 C. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 D.两直线平行，同位角相等 区分互逆命题与互逆定理： 例题：“直角都相等”与“相等的角是直角”是() A.互为逆命题B.互逆定理C.公理D.假命题 例题一：如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M,V分 别在AD，AC上，且AM=CN,连BM,BN,当BM+BN最小时， 则∠BM= A M 例题二：如图，C为线段AE上一动，点（不与A、E重合）， 综合运用（拓 在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE,AD与BE交 展) 于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ, 以下五个结论：①AD=BE;②PQ∥AE;③CP=CQ;④ BO=OE;⑤∠AOB=60°，恒成立的结论有() B A.①③⑤B.①③④⑤C.①②③⑤D.①2③④⑤ 例题三：已知，如图，在Rt△AB中，∠C=90°，∠A=30°， BC=18Cm.动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动，点 Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/S, Q以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t(s),解答下列 问题： 备用图 (1)AB= (2)求当△PBQ是等边三角形时对应的t值？ (3)P,Q在运动过程中，△PBQ的形状不断发生变化，当t 为何值时，△PBQ是直角三角形？说明理由. 例题四：如图，在平面直角坐标系中，点O的坐标为(0,0)， 点M的坐标为(3，O),N为y轴上一动点，连接MN.将线 段MN绕，点M逆时针旋转60°得到线段MK,接NK,OK. 求线段OK长度的最小值() M B A. 5C.2D.23