2025-2026学年北师大版数学八年级下册期中知识点复习要点梳理（1-3章）

2026北师大版（新教材）初中数学八年级下册期中知识点复习要点梳理（1-3章） 第一章 三角形的证明及其应用 单元核心考点 本单元为初中几何核心证明章节，聚焦三角形相关定理、特殊三角形性质与判定、线段与角平分线定理，是期末几何证明题、计算题、简答题必考内容，侧重逻辑推理、定理运用与解题步骤规范性。 1 三角形内角和定理 一、核心定理 三角形内角和等于 ，这是三角形角度计算、角度关系证明的基础定理。 二、定理推论 1. 直角三角形的两个锐角互余，两角之和为 ； 1. 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和； 1. 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角； 1. 多边形内角和： 边形内角和为 ，任意多边形外角和恒为 。 三、解题应用 用于求三角形未知内角度数、证明角的等量关系、判断三角形形状，解题时找准内角与外角的对应关系。 2 等腰三角形 一、等腰三角形性质 1. 等边对等角：等腰三角形的两底角相等； 1. 三线合一：等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，这是高频考点； 1. 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为底边的高（中线、顶角平分线）所在直线； 1. 等腰三角形两腰相等，两底角相等。 二、等腰三角形判定 1. 定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形； 1. 等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形。 三、等边三角形（特殊等腰三角形） 1. 性质：三边相等，三角均为 ，具备三线合一性质，轴对称图形有三条对称轴； 1. 判定：三边相等、三角相等、有一个角是 的等腰三角形，均为等边三角形。 3 直角三角形 一、直角三角形性质 1. 两锐角互余，内角和为 ； 1. 勾股定理：直角三角形两直角边 、 的平方和等于斜边 的平方，即 ； 1. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 1. 在直角三角形中， 角所对的直角边等于斜边的一半。 二、直角三角形判定 1. 定义法：有一个角是直角的三角形是直角三角形； 1. 勾股定理逆定理：若三角形三边满足 ，则该三角形为直角三角形； 1. 有两个角互余的三角形是直角三角形。 三、全等直角三角形判定 除普通三角形全等判定（SSS、SAS、ASA、AAS）外，特有判定定理：HL（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）。 4 线段的垂直平分线 一、性质定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 二、判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 三、三角形外心 三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点的距离相等。 四、解题应用 常用于证明线段相等、构造等腰三角形、解决最短路径、几何作图类问题。 5 角平分线 一、性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等（前提：点到两边为垂线段）。 二、判定定理 在角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 三、三角形内心 三角形三个内角平分线的交点，叫做三角形的内心，内心到三角形三边的距离相等。 四、解题应用 常用于证明线段相等、角相等、几何证明题添加辅助线，解题时务必作垂线段，贴合定理条件。 ☆ 问题解决策略：反思 几何证明解题核心思路：先找准已知条件，对应匹配相关定理，一步步推理推导，步骤有理有据；做完题目及时复盘，梳理定理运用、辅助线添加思路，规范证明书写步骤，杜绝跳步、漏证。 单元复习重点&易错点 1. 等腰三角形三线合一仅限顶角平分线、底边中线与高，不可随意套用； 1. 勾股定理仅适用于直角三角形，分清直角边与斜边，杜绝公式用错； 1. 线段垂直平分线、角平分线的性质与判定易混淆，分清使用前提； 1. 直角三角形 HL 全等判定仅限直角三角形，普通三角形不可用； 1. 几何证明步骤规范，每一步均需标注定理依据，不主观臆断。 第二章 不等式与不等式组 单元核心考点 本单元为初中代数核心计算模块，考查不等式性质、一元一次不等式（组）解法、解集表示、与一次函数综合应用、实际应用题，侧重计算准确性、解集理解与实际问题建模，是期末计算、解答题必考内容。 1 不等式及其基本性质 一、基础概念 用不等号（、、、、）连接而成的式子叫做不等式，能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解；所有解的集合，叫做不等式的解集。 二、不等式基本性质 1. 性质 1：不等式两边加（减）同一个数（整式），不等号方向不变； 1. 性质 2：不等式两边乘（除以）同一个正数，不等号方向不变； 1. 性质 3：不等式两边乘（除以）同一个负数，不等号方向改变（易错点，重点记忆）； 1. 对称性、传递性：若 ，则 ；若 ，，则 。 2 一元一次不等式 一、定义 只含有一个未知数，未知数次数为 1，不等号两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。 二、解法步骤 去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为 1； 注意：去分母、系数化为 1 时，若乘除负数，不等号方向必须改变。 三、解集表示 用数轴表示不等式解集，遵循“大于向右画、小于向左画，有等号画实心圆点、无等号画空心圆圈”原则。 四、实际应用 找准题干不等关系，列不等式求解，结合实际意义取舍解（如正整数解、整数解）。 3 一元一次不等式与一次函数 一、函数与不等式关系 对于一次函数 ，求 、、、 的解集，等价于求对应一元一次不等式的解集； 函数图像在 轴上方，对应 的解集；图像在 轴下方，对应 的解集。 二、综合应用 利用函数图像数形结合，快速判断不等式解集，解决方案选择、最值、比较大小类实际问题。 4 一元一次不等式组 一、定义 由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。 二、解集定义 不等式组中所有不等式解集的公共部分，叫做不等式组的解集；无公共部分则解集为空集。 三、解集口诀（同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找） 口诀 条件示例 解集结果 同大取大 若 ， () 同小取小 若 ， () 大小小大中间找 若 ， () 大大小小无处找 若 ， () 无解 四、解题步骤 分别解每个不等式 画数轴找公共部分 写出不等式组解集 解决实际应用问题。 单元复习重点&易错点 1. 不等式两边乘除负数，不等号方向必改变，这是最易错点； 1. 数轴表示解集，区分实心圆点与空心圆圈，不画错方向； 1. 解不等式组时，找准解集公共部分，熟记口诀不混淆； 1. 实际应用题，解集中未知数需符合实际意义（如人数、件数为正整数）； 1. 区分不等式与等式性质，移项不变号，系数化为 1 需判断符号。 第三章 图形的平移与旋转 单元核心考点 本单元为图形变换核心章节，考查平移、旋转的性质、作图、坐标变化、图案设计，侧重性质理解、动手作图与数形结合能力，期末多以选择、填空、作图题考查。 1 图形的平移 一、平移定义 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移，平移由平移方向和平移距离决定。 二、平移性质 1. 平移只改变图形位置，不改变图形形状、大小、方向； 1. 平移前后对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等； 1. 对应点所连线段平行（或共线）且相等。 三、平面直角坐标系平移规律 · 左右平移：横坐标左减右加，纵坐标不变； · 上下平移：纵坐标上加下减，横坐标不变； · 口诀：左减右加，上加下减。 四、平移作图 找准关键点 按方向和距离平移关键点 顺次连接对应点，保留作图痕迹。 2 图形的旋转 一、旋转定义 在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转；定点叫做旋转中心，转动角度叫做旋转角，旋转由旋转中心、旋转方向、旋转角决定。 二、旋转性质 1. 旋转不改变图形的形状和大小，只改变位置； 1. 旋转前后对应点到旋转中心的距离相等； 1. 任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角； 1. 对应线段相等，对应角相等。 三、中心对称与中心对称图形 1. 中心对称：把一个图形绕某一点旋转 ，能与另一个图形重合，两图形成中心对称； 1. 中心对称图形：绕自身某一点旋转 ，能与自身重合的图形，为中心对称图形； 1. 性质：中心对称对应点连线经过对称中心，且被对称中心平分。 四、旋转作图 找准旋转中心 确定旋转方向与旋转角 平移关键点 顺次连接，规范作图。 3 简单的图案设计 综合运用平移、旋转、轴对称变换，进行图案设计；设计原则：找准基本图案，确定变换方式，图案美观、规律清晰，能说出图案用到的图形变换方式。 ☆ 问题解决活动：最短距离 利用图形平移、对称变换，解决直线同侧两点最短路径问题，核心思路：通过平移转化线段，构造两点之间线段最短的模型，结合几何性质求解。 单元复习重点&易错点 1. 区分平移与旋转：平移沿直线运动，无方向改变；旋转绕定点转动，方向改变； 1. 坐标系平移规律牢记“左减右加、上加下减”，不混淆横纵坐标变化； 1. 旋转作图找准旋转中心、旋转角，对应点连线符合旋转性质； 1. 区分中心对称（两个图形）与中心对称图形（一个图形）； 1. 最短路径问题，掌握平移转化线段的解题思路。 2 学科网（北京）股份有限公司 $