广东河源市2025-2026学年八年级数学下学期期中测试（北师大版八年级下册第1—3章）

**基本信息** 八年级下册数学期中卷，以紫金茶农礼盒、万绿湖航行等地方特色情境及新能源充电桩等社会热点为载体，覆盖三角形证明、不等式、平移旋转、因式分解四章核心知识，通过基础题、能力题、创新题三级梯度设计，考查数学抽象、推理与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称与中心对称（1）、不等式性质（2）、旋转性质（6）|反证法（4）考查推理意识，函数图像应用（7）体现数形结合| |填空题|5/15|地方情境多边形内角（12）、新定义坐标变换（15）|原创题结合生活实际，培养数学眼光| |解答题|8/75|游艇测距离（18）、充电桩采购（20）、“相伴方程”新定义（22）、几何探究（23）|实际应用问题（18、20）发展模型意识，新定义与探究题（22、23）提升创新思维与推理能力|

八年级下册数学期中质量检测卷 考查范围：第一章三角形的证明、第二章一元一次不等式与不等式组、第三章图形的平移与旋转、第四章因式分解 答案及解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D D A A B C C A D 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）观察下列图形，其中既是轴对称又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【考点】中心对称图形；轴对称图形．版权所有 【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出． 【解答】解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，此选项不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，此选项不符合题意； C、该图形是中心对称图形，也是轴对称图形，选项符合题意； D、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，选项不符合题意． 故选：C． 【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键． 2．（3分）如果a＞b，那么下列结论一定正确的是（　　） A．a﹣3＜b﹣3 B．﹣4a＞﹣4b C．3﹣a＞3﹣b D． 【考点】不等式的性质．版权所有 【分析】根据不等式的基本性质对各个选项进行判断即可． 【解答】解：∵a＞b， ∴a﹣3＞b﹣3，A错误； ﹣4a＜﹣4b，B错误； 3﹣a＜3﹣b，C错误； ﹣＜﹣，D正确， 故选：D． 【点评】本题考查的是不等式的性质，不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 3．（3分）在平面直角坐标系中，把点P（﹣3，2）向右平移两个单位后，得到对应点的坐标是（　　） A．（﹣5，2） B．（﹣1，4） C．（﹣3，4） D．（﹣1，2） 【考点】坐标与图形变化﹣平移．版权所有 【分析】根据平移时，点的坐标变化规律“左减右加”进行计算即可． 【解答】解：根据题意，从点P到点P′，点P′的纵坐标不变，横坐标是﹣3+2＝﹣1， 故点P′的坐标是（﹣1，2）． 故选：D． 【点评】此题考查了点的坐标变化和平移之间的联系，平移时点的坐标变化规律是“上加下减，左减右加”． 4．（3分）用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”时，用反证法的假设正确的是：假设（　　） A．三个内角都大于60° B．三个内角都小于60° C．三个内角都不大于60° D．三个内角至多有两个大于60° 【考点】反证法．版权所有 【分析】“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“三角形的三个内角都大于60°”． 【解答】解：∵命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”，其结论为“至少有一个角不大于60°”，意思是三角形的三个内角中存在一个或者多个角是小于等于60°的， ∴它的否定就是三角形的三个内角都大于60°． ∴用反证法证明该命题时，应假设“三角形的三个内角都大于60°”． 故选：A． 【点评】本题考查了反证法．反证法是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后通过推理，推出矛盾，从而证明原命题成立． 5．（3分）关于x的不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．版权所有 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可得到答案． 【解答】解：， 解不等式﹣x﹣1＜0， 得x＞﹣1； 解不等式， x≤2， ∴原不等式组的解集为﹣1＜x≤2， 数轴表示如下所示： ． 故选：A． 【点评】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 6．（3分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝30°，则∠ADC的度数是（　　） A．80° B．75° C．70° D．65° 【考点】旋转的性质．版权所有 【分析】由旋转的性质可得∠ACE＝90°，AC＝CE，∠ACB＝∠DCE＝30°，由等腰三角形的性质和外角的性质可求解． 【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC， ∴∠ACE＝90°，AC＝CE，∠ACB＝∠DCE＝30°， ∴∠E＝45°， ∴∠ADC＝∠E+∠DCE＝45°+30°＝75°， 故选：B． 【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 7．（3分）如图，y＝2x和y＝ax+b（a＜0）的图象相交于A（m，3），则不等式ax+b＞2x的解集为（　　） A．x＜3 B． C． D． 【考点】一次函数与一元一次不等式；两条直线相交或平行问题．版权所有 【分析】先求出点A坐标，再找到直线y＝2x的函数图象在直线y＝ax+b（a＜0）的函数图象下方时自变量的取值范围即可得到答案． 【解答】解：在y＝2x中，当y＝3时，， ∴， ∴不等式的解集为， 故选：C． 【点评】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，熟练掌握该知识点是关键． 8．（3分）如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【考点】平移的性质．版权所有 【分析】根据平移的基本性质，得出四边形ABFD的周长＝AD+AB+BF+DF＝1+AB+BC+1+AC即可得出答案． 【解答】解：根据题意，将周长为8个单位的△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF， ∴AD＝1，BF＝BC+CF＝BC+1，DF＝AC； 又∵AB+BC+AC＝8， ∴四边形ABFD的周长＝AD+AB+BF+DF＝1+AB+BC+1+AC＝10． 故选：C． 【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行或在同一条直线上且相等，对应线段平行或在同一条直线上且相等．得到CF＝AD，DF＝AC是解题的关键． 9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，根据尺规作图的痕迹，CD长是（　　） A． B． C． D． 【考点】作图—基本作图；勾股定理．版权所有 【分析】由作图可知DE为AB的垂线，AD为∠BAC的角平分线，先由勾股定理求出AB的长度，利用HL证得△ACD≌△AED，得到AE的长度，再设DE＝CD＝x，再利用勾股定理求解即可． 【解答】解：由作图可知DE为AB的垂线，AD为∠BAC的角平分线， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴， ∵DE为AB的垂线， ∴∠DEB＝90°， ∵AD为∠BAC的角平分线，∠ACB＝90°， ∴DE＝CD，∠CAD＝∠EAD， 又∵AD＝AD， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AE＝AC＝3， ∴BE＝AB﹣AC＝2， 设DE＝CD＝x，则BD＝4﹣x， 在直角三角形BED中，利用勾股定理可得：（4﹣x）2＝22+x2， 解得， 故选：A． 【点评】本题主要考查了作图—基本作图，勾股定理，掌握其相关知识点是解题的关键． 10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、F是射线BC上两点，且AD⊥AF，若AE＝AD，∠BAD＝∠CAF＝15°，则下列结论中正确的有（　　）①CE⊥BF；②△ABD≌△ACE；③S△ABC＝S四边形ADCE；④BC﹣EF＝2AD﹣CF． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．版权所有 【分析】由AD⊥AF，∠BAD＝∠CAF，得出∠BAC＝90°，由等腰直角三角形的性质得出∠B＝∠ACB＝45°，由SAS证得△ABD≌△ACE（SAS），得出BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，S△ABC＝S四边形ADCE，则∠ECB＝90°，即EC⊥BF，易证∠ADF＝60°，∠F＝30°，由含30°直角三角形的性质得出EF＝2CE＝2BD，DF＝2AD，则BD＝EF，由BC﹣BD＝DF﹣CF，得出BC﹣EF＝2AD﹣CF，即可得出结果． 【解答】解：∵AD⊥AF，∠BAD＝∠CAF， ∴∠BAC＝90°， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝45°， 在△ABD和△ACE中，， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，S△ABC＝S四边形ADCE， ∴∠ECB＝90°， ∴EC⊥BF， ∵∠B＝45°，∠BAD＝15°， ∴∠ADF＝60°， ∴∠F＝30°， ∴EF＝2CE＝2BD，DF＝2AD， ∴BD＝EF， ∵BC﹣BD＝DF﹣CF， ∴BC﹣EF＝2AD﹣CF， ∴①、②、③、④正确， 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、含30°角直角三角形的性质、外角的定义等知识，熟练掌握直角三角形的性质、证明三角形全等是解题的关键． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11．（3分）“x与3的和是非负数”用不等式表示为x+3≥0　 ． 【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式．版权所有 【分析】直接利用非负数的定义得出不等关系． 【解答】解：由题意可得：x+3≥0． 故答案为：x+3≥0． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确得出不等关系是解题关键． 12．（3分）（原创题）紫金茶农采购蝉茶包装礼盒，如果这个多边形的礼盒的每一个内角都是144°，那么这个多边形是 　 十 　 边形． 【考点】多边形内角与外角．版权所有 【分析】先利用多边形的每个外角与相邻的内角互补得到这个多边形的每个外角都是（180°﹣144°）＝36°，然后根据n边的外角和为360°即可得到其边数． 【解答】解：∵一个多边形的每个内角都是144°， ∴这个多边形的每个外角都是（180°﹣144°）＝36°， ∴这个多边形的边数＝360°÷36°＝10． 故答案为：十． 【点评】本题考查了多边形的内角和和外角和定理．解题的关键是熟练掌握多边形的内角和和外角和定理：n边形的内角和为（n﹣2）×180°；n边的外角和为360°． 13．（3分）等腰三角形的一个角是65°，则它的顶角的度数是　65或50　 度． 【考点】等腰三角形的性质．版权所有 【分析】分两种情况讨论：①当65°的角为顶角时；当65°角为底角时；容易得出结论． 【解答】解：分两种情况讨论：①当65°的角为顶角时； ②当65°角为底角时，另一底角也为65°，顶角为50°； 综上所述：等腰三角形的一个角是65°，则它顶角的度数是65°或50°； 故答案为65或50 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键． 14．（3分）如果关于x的不等式组无解，那么m的取值范围是 m≥5　 ． 【考点】不等式的解集．版权所有 【分析】根据找不等式组解集的规律得出即可． 【解答】解：∵关于x的不等式组无解， ∴m≥5， 故答案为：m≥5． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式的解集，能熟记找不等式组解集的规律是解此题的关键． 15．（3分）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转90°，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点O（0，0）按序列“011…”作变换，表示点O先向右平移一个单位得到O1（1，0），再将O1（1，0）绕原点顺时针旋转90°得到O2（0，﹣1），再将O2（0，﹣1）绕原点顺时针旋转90°得到O3（﹣1，0）…依次类推．若点A（1，0）经过“011011011…”共2026次变换后得到点A2026，则A2026的坐标为　（﹣1，0）　 ． 【考点】坐标与图形变化﹣旋转；规律型：点的坐标；关于x轴、y轴对称的点的坐标；坐标与图形变化﹣平移．版权所有 【分析】根据所给变换方式，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， 点A（1，0）经过1次变换后的坐标为（2，0）， 经过2次变换后的坐标为（0，﹣2）， 经过3次变换后的坐标为（﹣2，0）， 经过4次变换后的坐标为（﹣1，0）， 经过5次变换后的坐标为（0，1）， 经过6次变换后的坐标为（1，0）， 经过7次变换后的坐标为（2，0）， …， 由此可见，从第1次变换开始，每经过6次变换，点A对应点的坐标按（2，0），（0，﹣2），（﹣2，0），（﹣1，0），（0，1），（1，0）循环出现． 因为2026÷6＝337余4， 所以第2026次变换后得到点A2026的坐标为（﹣1，0）． 故答案为：（﹣1，0）． 【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转、点的坐标变化规律、坐标与图形变化﹣平移及关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，能根据题意得出从第1次变换开始，每经过6次变换，点A对应点的坐标按（2，0），（0，﹣2），（﹣2，0），（﹣1，0），（0，1），（1，0）循环出现是解题的关键． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16．（7分）解不等式：4x+1＞x﹣2，并把解集表示在数轴上． 【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．版权所有 【分析】移项、合并同类项、系数化为1，即可求出不等式解集，然后把解集在数轴上表示即可． 【解答】解：4x+1＞x﹣2， 移项得，4x﹣x＞﹣2﹣1， 合并同类项得，3x＞﹣3， 系数化为1得，x＞﹣1． 把解集表示在数轴上，如图所示： ． 【点评】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 17．（7分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（﹣1，4），C（0，2）． （1）将△ABC以点O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；（请用黑色中性笔描黑） （2）将△ABC向左平移2个单位，向下平移4个单位，画出平移后对应的△A2B2C2；点A的对应点A2的坐标为 　（﹣5，﹣2）　 ，（请用黑色中性笔描黑） （3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标为 　（﹣1，﹣2）　 ． 【考点】作图﹣旋转变换；作图﹣平移变换．版权所有 【分析】（1）分别作出三个顶点绕点O旋转180°所得对应点，再首尾顺次连接即可； （2）根据已知可得平移过程，将三个顶点分别向左平移2个单位、向下平移4个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可，A2的坐标即可求； （3）连接B1B2，C1C2，与的交点即为所求． 【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求： （2）如图所示，△A2B2C2即为所求： ∴A2的坐标为（﹣5，﹣2）， 故答案为：（﹣5，﹣2）； （3）连接B1B2，C1C2， 由图可知交点为（﹣1，﹣2），即旋转中心的坐标为（﹣1，﹣2）， 故答案为：（﹣1，﹣2）． 【点评】本题主要考查作图—平移变换和旋转变换，解题的关键是掌握平移变换和旋转变换的定义和性质． 18．（7分）（原创题）一艘游艇在万绿湖上由西向东匀速航行，在A处测得小岛P在北偏东75°方向上，继续向东航行12海里到达B处后，在B处测得小岛P在北偏东60°方向上． （1）求游艇在B处时与小岛P的距离． （2）已知在小岛P周围7海里内有暗礁，若游艇继续向东航行，是否有触礁的危险？请说明理由． 【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．版权所有 【分析】（1）过点P作AB的垂线，求出角度后，利用等角对等边得出PB＝AB即可解决问题． （2）求出点P到AB的距离，将这个距离与7进行比较即可解决问题． 【解答】解：（1）过点P作AB的垂线，垂足为M， 由题知， ∠PAM＝90°﹣75°＝15°，∠PBM＝90°﹣60°＝30°， 所以∠APB＝30°﹣15°＝15°， 所以BP＝AB＝12（海里）， 答：游艇在B处时与小岛P的距离是12海里． （2）有触礁的危险． 在Rt△PBM中， sin∠PBM＝， 因为∠PBM＝30°，PB＝12， 所以， 则PM＝6， 因为6＜7， 所以若游艇继续向东航行，有触礁的危险． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，过点P作AB的垂线构造出直角三角形是解题的关键． 四、解答题（一）（本大题3小题，每小题9分，共21分） 19．（9分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF， （1）求证：AD平分∠BAC； （2）已知AC＝20，BE＝4，求AB的长． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】（1）求出∠E＝∠DFC＝90°，根据全等三角形的判定定理得出Rt△BED≌Rt△CFD，推出DE＝DF，根据角平分线性质得出即可； （2）根据全等三角形的性质得出AE＝AF，BE＝CF，即可求出答案． 【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠E＝∠DFC＝90°， ∴在Rt△BED和Rt△CFD中， ， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）， ∴DE＝DF， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AD平分∠BAC； （2）解：∵∠AED＝∠AFD＝90°，AD＝AD，DE＝DF， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL） ∴AE＝AF， ∵AC＝20，CF＝BE＝4， ∴AE＝AF＝20﹣4＝16， ∴AB＝AE﹣BE＝16﹣4＝12． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等． 20．（9分）（原创题）随着新能源汽车的普及，紫金居民的充电需求持续增长．为了提升便民服务水平，各个社区纷纷完善新能源汽车的配套设施．金城雅苑小区计划购置一批如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，为了精准预算，社区工作人员收集了两款充电桩的采购报价信息，如下表： 单枪充电桩数量（单位：个） 双枪充电桩数量（单位：个） 总报价（单位：元） 1 1 2500 3 2 6000 （1）求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； （2）若该社区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩共30个，购置总花费不超过40000元，则至少购进单枪新能源充电桩多少个？ 【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．版权所有 【分析】（1）设单枪新能源充电桩的单价为x元/个，双枪新能源充电桩的单价为y元/个，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设购进单枪新能源充电桩m个，则购进双枪新能源充电桩（30﹣m）个，根据题意列出一元一次不等式，求得最小整数解，即可求解． 【解答】解：（1）设单枪新能源充电桩的单价为x元/个，双枪新能源充电桩的单价为y元/个， ， 解得：， 答：单枪新能源充电桩的单价为1000元/个，双枪新能源充电桩的单价为1500元/个； （2）设购进单枪新能源充电桩m个， 1000m+1500（30﹣m）≤40000 解得：m≥10 答：至少购进单枪新能源充电桩10个． 【点评】本题考查一元一次不等式的应用，正确进行计算是解题关键． 21．（9分）如图，直线l1：y＝﹣2x+4与x轴交于点B，OB＝OC，直线l2：y＝kx+b经过点C，且与l1交于点A（1，2）． （1）求直线l2的解析式； （2）记直线l2与y轴的交点为D，记直线l1与y轴的交点为E，求△ADE的面积； （3）根据图象，直接写出0≤﹣2x+4＜kx+b的解集． 【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式．版权所有 【分析】（1）先求出直线l1表达式，再求点B坐标，根据OB＝OC，即得点C坐标，结合点A（1，2），即可求出直线l2的解析式； （2）先求出点D和点E的坐标，再根据三角形的面积公式建立等式，即可作答； （3）根据图象，要找满足0≤﹣2x+4＜kx+b的解集，只需找到对应的x的范围，满足直线l2的图象在l1的图象上方，且l1的图象在x轴的上方． 【解答】解：（1）∵l1的直线解析式为y＝﹣2x+4， 当y＝0时，x＝2， ∴B（2，0）， ∵OB＝OC， ∴C（﹣2，0）， ∵l2：y＝kx+b经过点C和点A， ， 解得， ∴l2的直线解析式为； （2）在直线l1的解析式y＝﹣2x+4中， 当x＝0时，y＝4， ∴E（0，4）， 在直线l2的解析式中，当x＝0时，， ∴， ∴， ∴； （3）由函数图象可知，0≤﹣2x+4＜kx+b的解集为1＜x≤2． 【点评】本题考查了一次函数的图象性质，一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是求得两条直线的解析式． 五．解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第24题14分，共27分） 22．（13分）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程2x﹣6＝0的解为x＝3，不等式组的解为2＜x＜5，因为2＜3＜5，所以称方程2x﹣6＝0为不等式组的“相伴方程”． （1）下列方程是不等式组的“相伴方程”的是 　①②　 ；（填序号） ①x﹣1＝0；②2x+1＝0；③﹣2x﹣2＝0． （2）若关于x的方程2x﹣k＝2是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围； （3）若方程2x+6＝0，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，其中m≠1，求m的取值范围． 【考点】解一元一次不等式组；一元一次方程的解．版权所有 【分析】（1）先分别求出方程的解和不等式组的解集，再逐个判断即可； （2）先分别求出方程的解和不等式组的解集，根据题意得出，再去求不等式组的解集即可； （3）分别求出方程的解，分为两种情况：①当m＜1时，求出不等式组的解集，再判断即可；②当m＞1时，求出不等式组的解集，再判断即可． 【解答】解：（1）解不等式组，得﹣1＜x＜2， 解方程x﹣1＝0得：x＝1； 解方程2x+1＝0得：； 解方程﹣2x﹣2＝0得：x＝﹣1， ∵﹣1＜1＜2，，﹣1＝﹣1， ∴①②是不等式组的“相伴方程”， 故答案为：①②； （2）解不等式组得：， 解方程2x﹣k＝2得：， ∵关于x的方程2x﹣k＝2是不等式组的“相伴方程”， ∴， 解得：3＜k≤4， 即k的取值范围是3＜k≤4； （3）解方程2x+6＝0得x＝﹣3， 解方程得x＝﹣1， ∵方程2x+6＝0，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，m≠1， 所以分为两种情况：①当m＜1时，则m﹣1＜0， ∴不等式组为， 此时不等式组的解集是x＞1，不符合题意，舍去； ②当m＞1时，不等式组的解集是m﹣5≤x＜1， 所以根据题意得：， 解得：1＜m≤2， 所以m的取值范围是1＜m≤2． 【点评】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解和解一元一次不等式组等知识点，能根据题意得出关于k和m的不等式组是解此题的关键． 23．（14分）如图，锐角∠EAF，点B，C分别在AE，AF上． （1）如图1，若∠EAF＝56°，连接BC，∠ABC＝α，∠ACB＝β，∠CBE的平分线与∠BCF的平分线交于点P，则a+β＝　124　 °，∠P＝　62　 °； （2）若点Q在∠EAF内部（点Q不在线段BC上），连接BQ，QC，∠EAF＝56°，∠CQB＝104°，BM，CN分别平分∠QBE和∠QCF，且BM与CN交于点D，求∠BDC的度数； （3）如图2，点G是线段CB延长线上一点，过点G作GH⊥AE于点H，∠EAF与∠CGH的平分线交于点O，请写出∠ACG与∠AOG的数量关系并说明理由． 【考点】三角形内角和定理．版权所有 【分析】（1）根据三角形内角和定理，α+β 等于 180° 减去∠EAF；再结合角平分线定义和三角形内角和，可求出∠P； （2）分两种情况，两种情况均根据角平分线定义以及邻补角定义求∠DCB+∠DBC的度数，根据三角形内角和定义即可求解． （3）由三角形外角性质可知∠CAO+∠ACG＝∠CGO+∠AOG，再由角平分线定义可得∠EAF+∠ACG＝∠CGH+∠AOG，由三角形内角和定义以及对顶角相等可得∠EAF＝180°﹣∠ACG﹣∠ABC＝180°﹣∠ACG﹣∠GBH，∠CGH＝90°﹣∠GBH，即可求解． 【解答】解：（1）在△ABC中：α+β＝180°﹣∠EAF＝180°﹣56°＝124°， ∵BP 平分∠CBE，CP 平分∠BCF， ∴∠PBC＝∠CBE＝（180°﹣α），∠PCB＝∠BCF＝（180°﹣β）， ∠PBC+∠PCB＝（360°﹣（α+β）＝（360°﹣124°）＝118°， ∠P＝180°﹣118°＝62°； 故答案为：124，62； （2）①点Q在BC上方时，如图， ∵∠ACQ+∠ABQ＝360°﹣（∠EAF+∠CQB）＝360°﹣（56°+104°）＝200°， ∴∠FCQ+∠QBE＝360°﹣（∠ACQ+∠ABQ）＝160°， ∵BM，CN分别平分∠QBE，∠QCF， ∴∠DCQ+∠QBD＝（∠FCQ+∠QBE）＝80°， ∵∠QCB+∠CBQ＝180°﹣∠CQB＝76°， ∴∠DCB+∠DBC＝80°+76°＝156°， ∴∠BDC＝180°﹣（∠DCB+∠DBC）＝180°﹣156°＝24°； ②点Q在BC下方时，如图， ∵∠CQB＝104°， ∴∠QCQ+∠QBC＝180°﹣104°＝76°， ∵∠ACB+∠ABC＝180°﹣∠EAF＝124°， ∴∠ACQ+∠ABQ＝124°﹣76°＝48°， ∴∠FCQ+∠QBE＝360°﹣48°＝312°， ∴∠DCQ+∠DBQ＝×312°＝156°， ∴∠BDC＝360°﹣104°﹣156°＝100°， 综上所述，∠BDC的度数为24°或100°． （3）∠AOG﹣∠ACG＝45°，理由如下： ∵AO，OG分别是∠FAE和∠CGH的平分线， ∴∠CAO＝∠EAF，∠CGO＝∠CGH， ∵∠CAO+∠ACG＝∠CGO+∠AOG， ∴∠EAF+∠ACG＝∠CGH+∠AOG， 即∠AOG﹣∠ACG＝（∠EAF﹣∠CGH）， ∵∠ABC＝∠GBH， ∴∠EAF＝180°﹣∠ACG﹣∠ABC＝180°﹣∠ACG﹣∠GBH，∠CGH＝90°﹣∠GBH， ∴ ∴∠AOG﹣∠ACG＝45°． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线定义，三角形外角性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理，角平分线定义，三角形外角性质． 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 3 图形的平移与旋转（轴对称图形、中心对称图形的识别） 0.9 2 单选题 3 一元一次不等式与不等式组（不等式的基本性质） 0.85 3 单选题 3 图形的平移与旋转（点的平移坐标变化规律） 0.9 4 单选题 3 三角形的证明（反证法的应用） 0.7 5 单选题 3 一元一次不等式与不等式组（解一元一次不等式组、数轴表示解集） 0.75 6 单选题 3 图形的平移与旋转（旋转的性质）、三角形的证明（三角形内角和、等腰三角形性质） 0.65 7 单选题 3 一元一次不等式与不等式组（一次函数与一元一次不等式的关系） 0.7 8 单选题 3 图形的平移与旋转（平移的性质） 0.75 9 单选题 3 三角形的证明（尺规作图、角平分线的性质、勾股定理、三角形面积） 0.6 10 单选题 3 三角形的证明（等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂直的判定、面积计算） 0.5 11 填空题 3 一元一次不等式与不等式组（列一元一次不等式） 0.9 12 填空题 3 三角形的证明（多边形的内角和定理） 0.8 13 填空题 3 三角形的证明（等腰三角形的性质、三角形内角和定理） 0.75 14 填空题 3 一元一次不等式与不等式组（一元一次不等式组的解集、无解的条件） 0.7 15 填空题 3 图形的平移与旋转（点的平移、旋转的坐标变化规律、周期规律） 0.55 16 解答题 7 一元一次不等式与不等式组（解一元一次不等式、数轴表示解集） 0.85 17 解答题 7 图形的平移与旋转（图形的旋转、平移的作图与坐标变化） 0.75 18 解答题 7 三角形的证明（解直角三角形的应用、方位角问题） 0.7 19 解答题 9 三角形的证明（全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、线段长度计算） 0.7 20 解答题 9 一元一次不等式与不等式组（二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用） 0.75 21 解答题 9 一元一次不等式与不等式组（一次函数的解析式求解、一次函数与不等式的关系、三角形面积计算） 0.65 22 解答题 13 一元一次不等式与不等式组（新定义题型、解一元一次方程、解一元一次不等式组、根据条件求参数范围） 0.6 23 解答题 14 三角形的证明（三角形内角和定理、角平分线的性质、三角形外角的性质、垂直的性质） 0.5 $ 应用场景：期中 八年级下册数学期中质量检测卷 考查范围：第一章三角形的证明、第二章一元一次不等式与不等式组、第三章图形的平移与旋转、第四章因式分解 （考试时间：120分钟，分值：120分） 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1．观察下列图形，其中既是轴对称又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．如果a＞b，那么下列结论一定正确的是（　　） A．a﹣3＜b﹣3 B．﹣4a＞﹣4b C．3﹣a＞3﹣b D． 3．（3分）在平面直角坐标系中，把点P（﹣3，2）向右平移两个单位后，得到对应点的坐标是（　　） A．（﹣5，2） B．（﹣1，4） C．（﹣3，4） D．（﹣1，2） 4．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”时，用反证法的假设正确的是：假设（　　） A．三个内角都大于60° B．三个内角都小于60° C．三个内角都不大于60° D．三个内角至多有两个大于60° 5．关于x的不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝30°，则∠ADC的度数是（　　） A．80° B．75° C．70° D．65° 7．如图，y＝2x和y＝ax+b（a＜0）的图象相交于A（m，3），则不等式ax+b＞2x的解集为（　　） A．x＜3 B． C． D． 8．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，根据尺规作图的痕迹，CD长是（　　） A． B． C． D． 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、F是射线BC上两点，且AD⊥AF，若AE＝AD，∠BAD＝∠CAF＝15°，则下列结论中正确的有（　　）①CE⊥BF；②△ABD≌△ACE；③S△ABC＝S四边形ADCE；④BC﹣EF＝2AD﹣CF． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11．“x与3的和是非负数”用不等式表示为　 　 ． 12．（原创题）紫金茶农采购蝉茶包装礼盒，如果这个多边形的礼盒的每一个内角都是144°，那么这个多边形是 　 　 边形． 13．等腰三角形的一个角是65°，则它的顶角的度数是　 　 度． 14．如果关于x的不等式组无解，那么m的取值范围是 　 　 ． 15．规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转90°，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点O（0，0）按序列“011…”作变换，表示点O先向右平移一个单位得到O1（1，0），再将O1（1，0）绕原点顺时针旋转90°得到O2（0，﹣1），再将O2（0，﹣1）绕原点顺时针旋转90°得到O3（﹣1，0）…依次类推．若点A（1，0）经过“011011011…”共2026次变换后得到点A2026，则A2026的坐标为　 　 ． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16．（7分）解不等式：4x+1＞x﹣2，并把解集表示在数轴上． 17．（7分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（﹣1，4），C（0，2）． （1）将△ABC以点O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；（请用黑色中性笔描黑） （2）将△ABC向左平移2个单位，向下平移4个单位，画出平移后对应的△A2B2C2；点A的对应点A2的坐标为 　 　 ，（请用黑色中性笔描黑） （3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标为 　 　 ． 18．（7分）（原创题）一艘游艇在万绿湖上由西向东匀速航行，在A处测得小岛P在北偏东75°方向上，继续向东航行12海里到达B处后，在B处测得小岛P在北偏东60°方向上． （1）求游艇在B处时与小岛P的距离． （2）已知在小岛P周围7海里内有暗礁，若游艇继续向东航行，是否有触礁的危险？请说明理由． 四、解答题（一）（本大题3小题，每小题9分，共21分） 19．（9分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF， （1）求证：AD平分∠BAC； （2）已知AC＝20，BE＝4，求AB的长． 20．（9分）（原创题）随着新能源汽车的普及，紫金居民的充电需求持续增长．为了提升便民服务水平，各个社区纷纷完善新能源汽车的配套设施．金城雅苑小区计划购置一批如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，为了精准预算，社区工作人员收集了两款充电桩的采购报价信息，如下表： 单枪充电桩数量（单位：个） 双枪充电桩数量（单位：个） 总报价（单位：元） 1 1 2500 3 2 6000 （1）求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； （2）若该社区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩共30个，购置总花费不超过40000元，则至少购进单枪新能源充电桩多少个？ 21．（9分）如图，直线l1：y＝﹣2x+4与x轴交于点B，OB＝OC，直线l2：y＝kx+b经过点C，且与l1交于点A（1，2）． （1）求直线l2的解析式； （2）记直线l2与y轴的交点为D，记直线l1与y轴的交点为E，求△ADE的面积； （3）根据图象，直接写出0≤﹣2x+4＜kx+b的解集． 五．解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第24题14分，共27分） 22．（13分）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程2x﹣6＝0的解为x＝3，不等式组的解为2＜x＜5，因为2＜3＜5，所以称方程2x﹣6＝0为不等式组的“相伴方程”． （1）下列方程是不等式组的“相伴方程”的是 　 　 ；（填序号） ①x﹣1＝0；②2x+1＝0；③﹣2x﹣2＝0． （2）若关于x的方程2x﹣k＝2是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围； （3）若方程2x+6＝0，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，其中m≠1，求m的取值范围． 23．（14分）如图，锐角∠EAF，点B，C分别在AE，AF上． （1）如图1，若∠EAF＝56°，连接BC，∠ABC＝α，∠ACB＝β，∠CBE的平分线与∠BCF的平分线交于点P，则a+β＝　 　 °，∠P＝　 　 °； （2）若点Q在∠EAF内部（点Q不在线段BC上），连接BQ，QC，∠EAF＝56°，∠CQB＝104°，BM，CN分别平分∠QBE和∠QCF，且BM与CN交于点D，求∠BDC的度数； （3）如图2，点G是线段CB延长线上一点，过点G作GH⊥AE于点H，∠EAF与∠CGH的平分线交于点O，请写出∠ACG与∠AOG的数量关系并说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $