云南玉溪师范学院附属中学2026届高考模拟考试（一）数学试卷

**基本信息** 以真实情境与逻辑推理为核心，覆盖集合、函数、几何等模块，通过“大脚板”站位、电影票房统计等问题考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、向量、抛物线、排列组合|第7题结合校园趣味运动考查排列组合，体现数学眼光| |多选题|3/18|频率分布直方图、空间几何|第9题通过成绩统计图表考查数据意识，落实数学语言| |填空题|3/15|等比数列、概率、切线方程|第13题以养花情境考查条件概率，贴近生活| |解答题|5/77|解三角形、线性回归、立体几何、双曲线、函数导数|第16题结合春节电影票房考线性回归与分布列，第19题导数综合题分层设计，考查逻辑推理与创新思维|

玉溪师院附中2026届高考模拟考试（一）数学试卷 命题：2026数学试题小组 审题：范晓艳 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，则的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，若，则（　　） A． B．2 C．-2 D． 4．已知抛物线的准线刚好平分圆的周长，则抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 5.的展开式中的第项与第项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为(    ) A. 第项 B. 第项或第项 C. 第项 D. 第项 6．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 7．如图所示，某学校进行“大脚板”趣味运动，需要八名同学一起团结协作，统一步调才能前进．甲同学作为队长需要喊口令，故只能站在最中间的两个位置之一，方便前后的同学都清晰地听到口令．乙、丙两位同学经验较为丰富所以站在最前或最后面，则这八位同学一共有多少种站位方式（   ） A．240 B．480 C．720 D．960 8. 若定义在上函数满足，是奇函数，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．某中学高一年级100名学生的数学期中考试成绩的频率分布直方图如图所示，下列说法正确的有（   ） A．成绩落在区间的频率为0.3 B．这100名学生成绩的中位数为75 C．这100名学生成绩的平均数为76 D．成绩低于60分的学生人数为10人 10．如图，在空间四边形中，，分别是的中点，分别在上，且，则下列说法正确的是（    ）  A．当时，四边形是一个正方形 B．当时， C．当时，四点共面 D．当时，直线相交于一点 11.已知函数，，则(    ) A. 函数的最小正周期为 B. 当时，函数的值域为 C. 当时，函数的单调递增区间为 D. 若函数在区间内恰有个零点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知等比数列的前项和为，若，则_______________. 13．李老师一家要外出游玩几天，家里有一盆花交给邻居帮忙照顾，如果这几天内邻居记得浇水，那么花存活的概率为0.8，如果这几天内邻居忘记浇水，那么花存活的概率为0.3，假设李老师对邻居不了解，即可以认为邻居记得和忘记浇水的概率均为0.5，几天后李老师回来发现花还活着，则邻居记得浇水的概率为 ． 14．曲线在处的切线也是曲线的切线，则实数________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分)已知在中，角所对的边分别为为的角平分线，，，且． (1) 求角； 求的面积． 16.本小题分年春节期间，电影飞驰人生、镖人持续火爆，现对电影镖人从正月初一到正月初六的单日票房统计如下表：由于统计原因，本题的数据与实际情形可能存在误差，以题目给出的数据为准． 日期 初一 初二 初三 初四 初五 初六 上映第天 票房单位：亿元 (1) 根据数据建立单日票房关于上映天数的线性回归方程，并预测第七日的票房收入计算结果均保留一位小数； 在某天放映结束后，随机抽取名观众，发现其中有人看过镖人，人看过飞驰人生，只有人两部电影均没看过现从这人中随机抽取人，记为抽取的人中两部电影都看过的人数，求的分布列及数学期望． 参考数据：，，． 参考公式：，． 17．(本小题15分)如图所示，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，， (1) 求证：平面DEF⊥平面DCE； (2)当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60°. 18．(本小题17分)已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率等于2，右焦点到其渐近线的距离等于． (1)求双曲线的方程； (2)经过点的直线与双曲线C交于、两点，以为直径的圆记作．求证：恒过某个定点，并求出此定点的坐标； 19．(本小题17分)已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若对所有成立，求a的最小值； (3)设,若有两个零点,求证：． 1 答案第4页，共4页 答案第3页，共页2 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪师院附中2026届高考模拟考试（一）数学试卷答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D C A A B A AC BCD 题号 11 答案 ABD 1．D 【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】解不等式，得，即，则， 解不等式，得或，则， 所以.故选：D 2．B 【分析】先求解不等式，再由“充分不必要条件”的定义可得答案. 【详解】由，得，而为上的减函数，则得. 由“充分不必要条件”的定义可知，的一个充分不必要条件为.故选：B. 3．D 【分析】根据向量的数量积的坐标表示，明确和的关系，进而求出 【详解】因为 ，且. 所以 ，故. 化简得.即.故选： 4．C 【分析】根据给定条件，利用抛物线准线过圆心求出值即可. 【详解】圆的圆心为，抛物线的准线为， 由抛物线的准线刚好平分圆的周长， 得直线过点，则，解得， 所以抛物线的焦点坐标为.故选：C 5.A 【分析】的展开式的通项为，则，，依题意有，解得，所以的展开式中共有项，二项式系数最大的项为第项故选A． 6．A 【分析】利用奇偶性的判断来排除两个错误选项，再利用余弦值的正负来判断一个错误选项即可. 【详解】由， 由于该函数的定义域为，所以可得是奇函数， 故函数的图象关于原点对称，所以C、D是错误的； 当时，所以此时有，故B是错误的； 所以A是正确的；故选：A. 7．B【分析】根据给定条件，利用有位置关系的排列问题，结合分步乘法计数原理列式求解.【详解】让甲站位有种方法，再让乙丙站位有种方法，最后排余下5人，有种方法，由分步乘法计数原理得， 所以这八位同学一共有480种站位方式.故选：B 8.A【分析】由是奇函数可得关于中心对称，结合，利用赋值法计算可得，即可得 【详解】由是奇函数，则，故该函数周期，再利用，则可计算出为到时的的值，即可得解. 关于中心对称， 由，令，则，即， 由，令，则， 故，则， 故，即有，故以为周期， 由，则， ，， ，， 则 . 9． AC 【详解】A选项，由频率分布直方图可得区间频率为，A正确； B选项，设中位数为，则，解得，B错误； C选项，平均数为，C正确； D选项，成绩低于60分的学生人数为，D错误. 10．BCD 【分析】根据线线平行得出平行四边形及菱形判断A，B，根据平行得出四点共面判断C，应用平面的基本性质得出三线共点判断D. 【详解】因为分别是的中点，所以， 当时，，所以， 四边形是一个平行四边形，且，则， 所以四边形是一个菱形，则， 不能得出四边形是一个正方形，所以A错误，B正确； 对于C，当时，，，则， 所以四点共面，C正确； 对于D，当时，，但，而， 所以但不相等，所以四边形是一个梯形， 假设相交于点，因为平面，平面， 又平面平面，所以， 从而可得直线相交于一点，D正确，故选：BCD. 10.【答案】  【解析】解：对于选项，因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为，故函数的最小正周期为，故A正确； 对于选项，当时，， 令，则，， 当时，；当时，；当时，所以，， 所以，当时，函数的值域为，故B正确； 对于选项，当时，， 则， 令，则，则外层函数， 外层函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 当时，则内层函数单调递增时，则函数为增函数， 所以，； 当时，则内层函数单调递减时，则函数为增函数， 所以，． 综上所述，当时，函数的单调递增区间为，，故C错误； 对于选项，当时，， 可得或， 由于函数的最小正周期为，且， 现在考虑函数在上的零点个数， 由可得，由可得或， 所以，函数在上的零点个数为， 因为，故，故D正确．故选：． 利用余弦型函数和正弦函数的周期性可判断选项；利用二次函数的值域可判断选项；利用复合函数的单调性可判断选项；在时解方程，结合函数的周期性可判断选项．本题考查根据函数零点的个数求参数范围、含型函数的值域和最值等，属于中档题． 12． 【分析】根据等比数列的片段和的性质可得也成等比数列，借助于等比中项列式求解即得. 【详解】等比数列中，， 因也成等比数列，则， 即，解得：.故答案为: . 13． 【分析】设出几个基本事件，按照条件概率和全概率公式直接计算即可. 【详解】设事件表示“邻居记得浇水”，表示“邻居忘记浇水”，表示“花还活着”， 由题意得，，，，， 则．故答案为：. 14． 【分析】根据导数的几何意义，结合导数的运算法则和常见函数的导数进行求解即可. 【详解】对于，当时,， 又，所以，切线斜率为，切点为； 则曲线在处的切线为， 令，则，设切点，由， 解得，则．故答案为： 15.【答案】解：因为，所以， 因为，所以，所以， 因为，所以； 因为为的角平分线，所以， 所以， 又，所以， 所以  【解析】先根据正弦定理边化角，再求解； (1) 根据角平分线性质定理和余弦定理求出，再利用三角形面积公式求解． 16.【答案】，亿元  的分布列：   【解析】解：由题意可知，，， 所以， 所以， 所以关于的线性回归方程为， 当时，亿元， 即正月初七，预计镖人的票房为亿元； 由题意可知，人中同时看过两部电影的只有人， 所以的可能取值为，，， 则，，， 所以的分布列为： 所以． 先计算，，代入回归系数公式计算即可； 根据题意得出的可能取值为，，，分别计算其概率即可求解． 本题主要考查了线性回归方程的求解，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题． 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先根据面面垂直证明出面，从而利用与垂直，即可证明.（2）首先建立空间坐标系，再分别求出平面的法向量以及面的法向量，最后利用向量公式即可表示出二面角，从而求出的值. 【详解】（1）因为，所以，因为矩形和平面垂直，所以.矩形和平面交于，所以面，又因为 面，所以.因为面，所以面，又因为面，所以平面DEF⊥平面DCE. （2）因为，所以，由上面可知，面，则以为原点，分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.如下图. 过点作于点，在中，，，则.因为，所以，. 设，则、、，， ，，，设平面的法向量为，则，得，令，则， 因为面，所以，若二面角的大小为，则 ，解得，所以当时，二面角A-EF-C的大小为60°. 18．(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）根据离心率和焦点到渐近线距离可得a，c的关系和b值，结合，求出，即可得双曲线方程； （2）当斜率不为0时，设为，联立，根据韦达定理及弦长公式，求出方程，由对称性可知，过的定点应在轴上，故令得或，当直线斜率为0时，直线为，此时方程为，分析可得所过定点； 【详解】（1）设双曲线方程为，设右焦点坐标为，则渐近线方程为， 故到的距离为， 又离心率等于2，故，又，解得，． 故双曲线方程为； （2）由（1）得，当过点的直线斜率不为0时，设为， 联立与得， 整理可得， 由直线与双曲线交于、两点，得，解得， 设，，则，， 所以， 则， 又 ， 故以为直径的圆的圆心为，半径为， 所以方程为， 由对称性可知，过的定点应在轴上，故在中，令， 得，解得或， 故与轴交点为，， 当直线斜率为0时，直线为，此时，的坐标分别为， 则方程为，经过点， 综上，恒过某个定点，此定点的坐标为； 19．(1)答案见解析；(2)1；(3)证明见解析. 【分析】（1）先求出函数的定义域和导数，然后根据的取值范围讨论导数的正负，从而确定函数的单调性.（2）将恒成立转化为恒成立，通过构造函数求其最大值，进而得到的最小值.（3）先求出的表达式，根据有两个零点得到相关等式，然后通过构造函数利用函数的单调性证明不等式. 【详解】（1）函数的定义域为，， 当时，，即在上恒成立，所以在上单调递增. 当时，令，解得, ，即在上单调递增. ，即在上单调递减. 综上，当时,在上单调递增， 当时,在上单调递减，在上单调递增. （2）由，得对所有成立， 令，则， 令， 当时，，在上单调递增. 当时，，在上单调递减. 所以在处取得最大值，. 因为恒成立， 所以,即的最小值为1. （3）. ，且， 令，得， 由有两个零点，且有唯一的正根，此时， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增. 所以是的极小值点，且，两个零点满足. 因为，解得， 又因为，，且是的极小值点， 所以，将代入得到， 若，则，与矛盾， 所以，即，可以得到. 所以位于的递增区间内. ， 将代入得，， 因为，所以， 又与都在的递增区间内， 所以有，即. 答案第 1 页 共 11 页 答案第4页，共4页 答案第 2 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $报告查询：登录zhixue.com(佣户名和初始密码均为准考证号) 玉溪师院附中2026届高考模拟考试（一） 数学答题卡 姓名： 班级： 考号： 可悦回▣ 号 [o] [0] [0] [o] [o] [0] [0] [0] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [3] [3] [3] [3] [3] ] [3] [31 正确填涂 [4] [4] [4] [4] [4 [4] ■ [5] 6 ) [5] 1 [5] [5] [6] [6] [6] [6] (6 l6 [7] [7J [7] [7] 71 ] [81 [8] [8] [8] [8] [8 [8] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] 单选题 1 BCOD□ 6 AB□CD AB□CD 7 AB□D□ 3 8 A▣B□CD ABGD□ 5 A▣G四D 多选题 9 ABG□D□ 10A▣BD☐ 11 ABOD□ 填空题（仅错误的打×） 12. 13. 000 14 ■ 囚囚■ 第1页共6页 解答题 131211109876543210 15.(13分) 囚ㄖ■ 第2页共6页 109876543210☐ ◆ 16.(15分) 第3页共6页 109876543210 D 17.(15分) B E 0 囚■囚 第4页共6页 109876543210 18.(17分) 囚■囚 第5页共6页 109876543210☐ 19.(17分) 0 第6页共6页