江苏2025-2026学年八年级下学期数学阶段模拟试卷

**基本信息** 本试卷聚焦八年级下册8-11.2内容，以二次根式、四边形、因式分解等为核心，通过几何图形探究（如菱形面积比）、实际应用（购书盈利问题）及新定义题型（友好分式），培养抽象能力、推理意识与模型意识，适配月考综合检测需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|8|二次根式、矩形性质、分式方程解|基础概念辨析，如最简二次根式判断| |填空题|8|因式分解、动点最值、菱形性质|几何动态问题，如直角三角形动点中点最小值| |解答题|10|几何证明（菱形）、应用题（盈利）、新定义（友好分式）|综合探究，如乘法公式几何意义推导、坐标系折叠存在性问题|

江苏省2025-2026学年八年级下学期第二次月考数学模拟试卷 （范围：8-11.2） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】最简二次根式的判断 【详解】解：A．，故不是最简二次根式；     B．，故不是最简二次根式；     C．，故不是最简二次根式； D．是最简二次根式．． 2．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对边相等 C．对角相等 D．对角线互相平分 【答案】A 【知识点】矩形性质理解 【详解】解：∵平行四边形的性质为：对边相等，对角相等，对角线互相平分. 矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，额外具有四个角为直角，对角线相等的特有性质， ∴选项B，C，D中的性质都是矩形和一般平行四边形共有的，只有选项A的对角线相等是矩形具有而一般平行四边形不具有的性质. 3．已知，则实数m的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】无理数的大小估算、二次根式的乘法、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的乘法、利用二次根式的性质进行化简、无理数的估算，由二次根式的乘法法则以及二次根式的性质计算得出，估算出得出，即可得解． 【详解】解：， ∵， ∴，即， ∴， ∴，即， 故选：B． 4．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】因式分解是将一个多项式化为几个整式的乘积的变形，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解： A、左边是整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解，故此选项错误； B、右侧出现分式，不是整式乘积的形式，不符合因式分解要求，故此选项错误； C、左侧是单项式，且等式左右两边不相等，不符合因式分解定义，故此选项错误； D、左侧是多项式，右侧是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，故此选项正确． 5．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为，则长方形的另一边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】因式分解的应用 【分析】根据，再根据长方形一边长为，得出另外一条边长即可． 【详解】解： ， ∵长方形一边长为， ∴长方形的另外一条边长为． 6．如图，菱形中，点、分别是，的中点，连接、、，则与菱形的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求面积、利用菱形的性质求面积 【分析】连接，根据菱形的性质可得，再由点、分别是，的中点，可得，，，从而得到，，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点、分别是，的中点， ∴，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴与菱形的面积之比是． 7．如图，在矩形中，，，为上一点，，为边上动点且，连接，，则的最小值为（  ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、根据成轴对称图形的特征进行求解、用勾股定理解三角形 【分析】根据矩形性质证明四边形为矩形，得出，将求的最小值转化为求的最小值，利用轴对称性质（将军饮马模型）结合勾股定理求解 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 作点关于直线的对称点，连接交于点， 此时最小，即最小， ∵与关于对称， ∴，， ∵，，， ∵， ∴， 过点作交的延长线于点， 则，， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 8．在矩形中，，，将其沿折叠，点，分别落到点与点处，恰好点在上，且，则线段的长度为（    ） A． B．4 C．5 D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、矩形与折叠问题 【分析】设，证明，推出，求得，推出． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， 由折叠的性质知， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 二、填空题 9．分解因式：____________． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】先将原式变形得到相同公因式，提取公因式后利用平方差公式继续分解，即可得到结果． 【详解】解： ． 10．已知，则代数式的值是 _________． 【答案】2023 【知识点】二次根式的乘法、通过对完全平方公式变形求值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了代数式求值，二次根式的计算，完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．先利用完全平方公式将原式变形为，再根据，得到，整体代入计算即可． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：2023． 11．如果关于的分式方程的解是正数，那么实数的取值范围是_____． 【答案】且 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集 【分析】先通过去分母将分式方程化为整式方程，求出用表示的解；再根据解为正数和分母不为零（分式方程有意义）两个条件，列不等式求解的取值范围． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 方程的解是正数， , 解得, 分式方程分母不为， 即 解得， ∴实数的取值范围是且． 12．已知a，b，c满足，，，则的值为__________． 【答案】11 【知识点】完全平方公式分解因式 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．如果关于的方程无解，则______． 【答案】或0/或 【知识点】分式方程无解问题 【分析】此题考查分式方程的解，解题关键在于利用方程无解进行解答，分式方程去分母转化为整式方程，由整式方程无解或解为增根时原方程无解，确定m的值． 【详解】解：原方程为， 两边同乘（），得， 即， 整理得， 当即时，方程变为，无解； 当时，解为， 若此解为增根（即分母为零），则，解得，此时原方程无解； 综上，或 故答案为：或 14．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为__________． 【答案】 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、垂线段最短、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】根据题意可得当时，最短，同样也最短，从而不难根据三角形的面积求得其值． 【详解】解：连接，如图： ∵在中，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，且过的中点， ∵M是的中点， ∴， 当时，最短，此时也最短， ∵， ∴， 即的最小值为． 15．如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，E是边上一点（不与B，C重合），过点E作于点F，于点G，若，设的长为x，则x的取值范围是______． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质求线段长、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】连接，由菱形对角线互相垂直平分可得，则可由勾股定理求出，证明四边形是矩形，则，进一步求出即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形，对角线相交于点O， ∴ ∴， 在中，由勾股定理得， ∵于点F，于点G， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵E是边上一点（不与B，C重合）， ∴当时，取得最小值，， 此时， ∴， 则， ∴设的长为x，则x的取值范围是． 16．如图，在等腰梯形中，，，，与交于点，，，则此梯形的面积为______． 【答案】9 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、等腰梯形的性质定理 【分析】过点C作，交的延长线于点E，证明四边形是平行四边形，可得，证明，，由勾股定理推出，再根据列式求解即可． 【详解】解：过点C作，交的延长线于点E， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在等腰梯形中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴ ． 三、解答题 17．把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、综合运用公式法分解因式 【详解】（1）解：； （2）解：． 18．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】（1）对于分式方程，解题思路是先将分式方程变形，确定最简公分母为，两边同乘最简公分母化为整式方程，求解整式方程后进行验根，确定原方程的解． （2）对于分式方程，解题思路是先对分母因式分解，确定最简公分母为，两边同乘最简公分母化为整式方程，求解整式方程后验根，判断原方程解的情况． 【详解】（1）解：， ， 方程两边同乘，得 ， ， ， ， ， 检验：当时，， 故原分式方程的解为 （2）解：， 方程两边同乘，得 ， ， ， ， ， 检验：当时，， 因此不是原分式方程的解． 故原分式方程无解． 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)6 (2)5 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则． （1）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】分式化简求值 【分析】先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 21．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是：，． (1)画出关于原点的中心对称图形； (2)画出绕点顺时针旋转得到，并写出点的坐标_____； (3)若点在第二象限，且以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，则的坐标为_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， (3)或 【知识点】画旋转图形、画已知图形关于某点对称的图形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查作中心对称图形，旋转作图，图形与坐标，数形结合是解决问题的关键． （1）先作出，关于原点的中心对称点，画出图形即可； （2）先画出绕点顺时针旋转的对应点，再连接即可，得到点的坐标； （3）根据题意作出图形，即可求解． 【详解】（1）解：，， ，如图：即为所求； （2）解：如图：即为所求； ； （3）解：当以为对角线时，点的坐标为， 当以为对角线时，点的坐标为， 若点在第二象限，且以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，则的坐标为或． 故答案为：或． 22．如图，在正方形中，点E、F在对角线上，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，则四边形的面积为____________． 【答案】(1)见解析 (2)24 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、利用菱形的性质求面积、证明四边形是菱形 【分析】（1）连接交于点O，根据正方形性质得，再根据得，由此可判定四边形是菱形； （2）先由勾股定理求出，则根据得，则，然后根据菱形的面积公式即可得出四边形的面积． 【详解】（1）证明：连接交于点O，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在四边形中，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为：． 23．某书商去批发市场购买某本图书，第一次用12000元购买了若干本，并按该书定价为7元出售，很快售完，由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价比第一次提高了，用15000元购买该书比第一次多了100本． (1)求第一次购书的进价是多少元一本？ (2)若第二次进书后，按定价售出2000本时，出现滞销，书商便以定价的n折售完剩余的书，结果第二次共盈利元（n、m为正整数），求相应的n、m的值． 【答案】(1)第一次购书的进价是元一本 (2)当时，；当时，；当时， 【知识点】分式方程的经济问题、二元一次方程的解 【分析】（1）设第一次购书的单价为元，根据第一次用12000元购书若干本，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了，他用15000元所购该书的数量比第一次多100本，列出方程，求出的值即可得出答案； （2）根据（1）先求出第二次购书数目，再根据卖书数目（实际售价当次进价）等于二次赚的钱数列出方程探讨得出答案． 【详解】（1）解：设第一次购书的单价为元一本，根据题意得： ． 解得：． 经检验，是原方程的解， 答：第一次购书的进价是5元一本； （2）解：第二次购书进价为（元）， 数量为（本）， 根据题意，得 整理得， 、为正整数，且， 当，； 当时，； 当时，． 24．问题呈现：借助几何图形探究数量关系是一种重要的解题策略，图1、图2是用边长分别为，的两个正方形和长、宽分别为，的两个长方形拼成的一个大正方形． (1)利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1： ________；图2：________．（用字母，表示） 数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题． (2)在（1）的条件下若，，分别求、的值． (3)已知，求的值． 拓展运用： (4)如图3，点是线段上一点，以，为边向两侧作正方形和正方形，面积分别是和．若，，则直接写出的面积（用，表示）． 【答案】(1)， (2)， (3)4054 (4) 【知识点】平方差公式分解因式、通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了整式的混合运算——化简求值，完全平方公式的几何背景，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用面积法进行计算，即可解答； （2）利用完全平方公式进行计算，即可解答； （3）设，，则，，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答； （4）设，，则，，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：图1：大正方形的面积可以表示为：， 还可以表示为， ． 图2：左下角的正方形的面积可以表示为：， 还可以表示为：， ． 故答案为：，． （2）， 又，， ． ， 又， ． ． （3）设，， 则， ， ． ． （4）设，，则，， ． 25．定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式友好分式．如与，因为，所以是的友好分式． (1)分式__________分式的友好分式（填是或不是）； (2)小明在求分式的友好分式时，用了以下方法； 设的友好分式为，则， ． 请你仿照小明的方法求分式的友好分式． (3)①若分式的友好分式的值是正整数，求整数的值． ②若是的友好分式（，为整数），则的值为_____． 【答案】(1)是 (2) (3)①，；②． 【知识点】已知分式恒等式，确定分子或分母、异分母分式加减法、解分式方程（化为一元一次）、求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】（1）根据友好分式的定义，分别计算两个分式的差与积，比较二者是否相等，完成判断． （2）仿照示例，设分式的友好分式为，根据定义列方程，通过移项、整理求解． （3）①先根据定义求出分式的友好分式，再根据其值为正整数，结合整数的性质求解的取值；②根据友好分式的定义列等式，通分后对比等式两边的系数，建立关于、的方程，求解后计算的值． 【详解】（1）解： ， ， ， 是的友好分式； （2）解：设的友好分式为，根据定义得： ， ， ， ， ， ， ∴分式的友好分式为； （3）解：①设的友好分式为，根据定义得： ， ∴， 是正整数，为整数， 为整数，且， 为的非零因数，且． 当时，，不符合正整数，舍去； 当时，，符合； 当时，，不符合； 当时，，符合． 综上，整数的值为，． ②根据友好分式定义，其中，，得 ， ， ∴ ∴， ∴ 由方程得： ， 或． 当时，代入方程得 ∴， 本方程中，常数项为，首项系数为，因此可能的有理根为，． 代入：， 代入：， 代入：， 代入：， ∴该方程无有理根，故方程无整数解，舍去． 当，即时，代入方程得 ， ∴， ∴ 或（舍去）， 当时，． ， ∴的值为． 26．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，线段的长分别是且满足，点是线段上一点，将沿直线翻折，点落在矩形的对角线上的点处． (1)求的长； (2)求直线的解析式； (3)点在直线上，在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)点N的坐标为或或． 【知识点】一次函数与几何综合、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】（1）根据非负数的性质求得m、n的值，即可求得、的长；由勾股定理求得，由翻折的性质可得：，，，在中，由勾股定理可得，解方程求得x的值，即可得， （2）由（1）可得点D的坐标为，再利用待定系数法求得直线的解析式即可； （3）过E作，在中，根据直角三角形面积的两种表示法求得的长，再利用勾股定理求得的长，即可求得点E的坐标，利用待定系数法求得的解析式，再根据平行四边形的性质分两种情况求得点N的坐标即可． 【详解】（1）解：∵线段的长分别是且满足， ∴，， ∴，； 设， 由翻折的性质可得：，，， 而， ∴， 在中，由勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴， （2）由（1）点D的坐标为， 设的解析式为：， 把，代入解析式可得： ， 解得： ， ∴直线的解析式为：； （3）过E作，在中，， 即， 解得：， 在中， ， ∴点E的坐标为， 设直线的解析式为：， 把，代入解析式可得： ， 解得： ， 所以的解析式为：， 把代入的解析式，可得：， 此时， 即， 当以M、A、N、C为顶点的四边形是平行四边形且为边时， ∴， ∴，， ∴点N的坐标为或． 如图，当为平行四边形的对角线时， 设，，而，， ∴， 解得：， ∴； 综上：的坐标为或或． 【点睛】本题是一次函数综合题目，考查了非负性、用待定系数法求一次函数的解析式、勾股定理、平行四边形的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，通过求一次函数的解析式和平行四边形的性质才能得出结果． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省2025-2026学年八年级下学期第二次月考数学模拟试卷 （范围：8-11.2） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 2．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对边相等 C．对角相等 D．对角线互相平分 3．已知，则实数m的范围是（   ） A． B． C． D． 4．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为，则长方形的另一边长为（   ） A． B． C． D． 6．如图，菱形中，点、分别是，的中点，连接、、，则与菱形的面积之比是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在矩形中，，，为上一点，，为边上动点且，连接，，则的最小值为（  ） A．5 B． C． D． 8．在矩形中，，，将其沿折叠，点，分别落到点与点处，恰好点在上，且，则线段的长度为（    ） A． B．4 C．5 D． 二、填空题 9．分解因式：____________． 10．已知，则代数式的值是 _________． 11．如果关于的分式方程的解是正数，那么实数的取值范围是_____． 12．已知a，b，c满足，，，则的值为__________． 13．如果关于的方程无解，则______． 14．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为__________． 15．如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，E是边上一点（不与B，C重合），过点E作于点F，于点G，若，设的长为x，则x的取值范围是_________________． 16．如图，在等腰梯形中，，，，与交于点，，，则此梯形的面积为______． 三、解答题 17．把下列各式因式分解： (1)； (2)． 18．解方程： (1)； (2)． 19．计算： (1)； (2)． 20．先化简，再求值：，其中． 21．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是：，． (1)画出关于原点的中心对称图形； (2)画出绕点顺时针旋转得到，并写出点的坐标_____； (3)若点在第二象限，且以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，则的坐标为_____． 22．如图，在正方形中，点E、F在对角线上，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，则四边形的面积为____________． 23．某书商去批发市场购买某本图书，第一次用12000元购买了若干本，并按该书定价为7元出售，很快售完，由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价比第一次提高了，用15000元购买该书比第一次多了100本． (1)求第一次购书的进价是多少元一本？ (2)若第二次进书后，按定价售出2000本时，出现滞销，书商便以定价的n折售完剩余的书，结果第二次共盈利元（n、m为正整数），求相应的n、m的值． 24．问题呈现：借助几何图形探究数量关系是一种重要的解题策略，图1、图2是用边长分别为，的两个正方形和长、宽分别为，的两个长方形拼成的一个大正方形． (1)利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1： ________；图2：________．（用字母，表示） 数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题． (2)在（1）的条件下若，，分别求、的值． (3)已知，求的值． 拓展运用： (4)如图3，点是线段上一点，以，为边向两侧作正方形和正方形，面积分别是和．若，，则直接写出的面积（用，表示）． 25．定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式友好分式．如与，因为，所以是的友好分式． (1)分式__________分式的友好分式（填是或不是）； (2)小明在求分式的友好分式时，用了以下方法； 设的友好分式为，则， ． 请你仿照小明的方法求分式的友好分式． (3)①若分式的友好分式的值是正整数，求整数的值． ②若是的友好分式（，为整数），则的值为_____． 26．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，线段的长分别是且满足，点是线段上一点，将沿直线翻折，点落在矩形的对角线上的点处． (1)求的长； (2)求直线的解析式； (3)点在直线上，在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $