精品解析：重庆市大足中学2025-2026学年高二下学期5月期中数学试卷

重庆市大足中学高2027届半期数学试卷 总分150分；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在下列两个量之间的关系中，属于相关关系的是（ ） A. 匀速直线运动中时间与位移的关系 B. 学生的成绩和身高 C. 一块农田的小麦产量与施肥量 D. 正n边形的边数与内角度数之和 【答案】C 【解析】 【详解】A、D是函数关系；B是不相关关系，也不是函数关系； C是相关关系，一般来说，农田的施肥量越大，小麦产量一般会越多. 2. 假设书包里仅有4支水笔和6支铅笔，现从该书包中不放回地依次（每次取一支）取出两支笔，记事件表示“第一次取出的笔是铅笔”，事件表示“第二次取出的笔是水笔”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件概率计算即可. 【详解】由题意可得， ， 则． 3. 已知，则（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】D 【解析】 【详解】由组合数性质知， 所以，所以，得 4. 将4位老师分配到3个学校去任教，共有分配方案（ ） A. 81种 B. 12种 C. 64种 D. 256种 【答案】A 【解析】 【详解】将4位老师分配到3个学校去任教， 每位老师都可以去这3个学校中的1个学校， 故每位老师都有3种分配方案， 则这4位老师分配到3个学校去任教共有分配方案为种， 故选择A. 5. 已知的展开式中的系数为35，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】利用乘法分配律以及二项式展开式等知识列方程，由此求得的值. 【详解】的展开式中，含的项为：， 依题意，，解得. 6. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种 【答案】C 【解析】 【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得. 【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案， 故选：C. 【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解. 7. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】函数在区间上单调递增，等价于导函数在此区间恒大于等于0，进而转化成参数小于等于某个函数恒成立，即求函数最值的问题. 【详解】解：由题意知，因为函数在上单调递增， 所以恒成立，即在区间上恒成立. 令，，则，当时，，所以， 因此在上单调递增，则，所以. 8. 已知随机变量的分布列为 0 1 2 3 0.3 0.3 0.2 0.1 设函数，若，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由分布列的性质可知，，所以. 因为函数，. 当时，； 当时，； 当时，. 所以. 所以函数的值域为. 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分） 9. 在的展开式中，下列说法正确的是（　　） A. 一共有5项 B. 第3项为 C. 所有项的系数和为0 D. 所有项的二项式系数和为32 【答案】CD 【解析】 【分析】利用展开式的通项公式和赋值法可求解. 【详解】因为的展开式共有6项，所以A不正确； 通项公式为，令可得第三项为，B不正确； 令可得所有项的系数和为0，C正确； 所有项的二项式系数和为，D正确. 故选：CD 10. 某物理量的测量结果服从正态分布，下列选项中正确的是（ ） A. 越大，该物理量在一次测量中在的概率越大 B. 该物理量在一次测量中小于10的概率等于0.5 C. 该物理量在一次测量中小于9.98与大于10.02的概率相等 D. 该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 【答案】BC 【解析】 【分析】利用正态分布曲线的对称性可以判断BCD，利用方差的变化导致曲线的变化，可判断A． 【详解】由于测量结果服从正态分布，则该测量结果的平均值为10，标准差为， 根据正态分布的概率性质可知，越大，则正态分布曲线越来越矮胖， 则物理量在一次测量中在的概率会越小，故A错误； 根据正态分布的概率性质可知，物理量在一次测量中小于10的概率等于0.5，故B正确； 根据正态分布的对称性质可知，物理量在一次测量中小于9.98与大于10.02的概率相等，故C正确； 根据正态分布的对称性质可知，落在与落在的概率肯定不相等，故D错误； 故选：BC． 11. 设函数，则（ ） A. 有三个零点 B. 是的极小值点 C. 当时， D. 曲线上存在无数多对互相平行的切线 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，令，解得或，所以有两个零点，A错误； 对于B， ， 所以当时，，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极小值点，B正确； 对于C， ， 当时，，所以， 所以当时，，C正确； 对于D，， 所以对于任意的实数，都有两个解， 所以曲线上存在无数多对互相平行的切线，D正确. 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知随机变量服从两点分布，且，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】直接根据两点分布的期望公式计算即可. 【详解】因为随机变量服从两点分布，且，. . 13. 直线是曲线的一条切线，则实数___________． 【答案】 【解析】 【详解】本小题考查导数的几何意义、切线的求法．，令得，故切点为，代入直线方程，得，所以． 14. 将编号为1，2，3，4的四本不同的书随机放入编号为1，2，3，4的书架上，每个书架放一本书，至少有一本书在对应书架上的放法有______种.（用数字作答） 【答案】15 【解析】 【分析】求出四本书放在四个书架上总的方法，四本书均不在自己所对应编号上的放法，利用间接法求解. 【详解】四本书放在四个书架上共种放法，四本书均不在自己所对应编号上的放法有种， 所以至少有一本书在对应书架上的放法种. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，求下列各式的值： （1）； （2）； （3） 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）赋值法，令求解即可； （2）赋值法，令再结合（1）求解即可； （3）赋值法，令和求解即可. 【小问1详解】 令，得，故. 【小问2详解】 令，得， 故. 【小问3详解】 令，得， 结合， 故. 16. 2025年，我国能源安全保障能力再上新台阶，全口径发电量占全球总发电量的，稳居世界第一，为智能算力的爆发性电力需求持续提供稳定保障.某学习小组收集了2021年至2025年我国全口径发电量相关数据，根据数据制作了如下数据表格和散点图. 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 我国全口径发电量（单位：万亿千瓦时） 8.52 8.85 9.46 10.09 10.58 （1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； （2）建立关于的经验回归方程，并预测2026年我国全口径发电量. 参考数据：. 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，相关系数. 【答案】（1），可用线性回归模型拟合与的关系 （2），（万亿千瓦时） 【解析】 【小问1详解】 因为， 所以， 所以 ， 故可用线性回归模型拟合与的关系； 【小问2详解】 ， 则， 则经验回归方程为， 令，则， 故预估2026年我国全口径发电量为（万亿千瓦时） 17. 某工厂有甲、乙两个车间加工同一种零件，已知加工该零件需要两道工序，每道工序的加工结果相互独立，且只有每道加工工序都合格，该产品才能出厂进行销售.已知甲车间每道加工工序合格的概率均为0.9；乙车间第一、二道加工工序合格的概率分别为0.95，0.8. （1）对6个来自甲车间，4个来自乙车间的零件进行质检. （ⅰ）若从这10个零件中随机抽取2个零件，设其中来自甲车间的零件数为X，求X的分布列； （ⅱ）若从这10个零件中随机抽取1个，求该零件可以出厂销售的概率. （2）甲车间加工的每个零件，销售后可以盈利100元，若不能销售则亏损30元，乙车间加工的每个零件，销售后可以盈利100元，若不能销售则亏损20元.由于市场对这种零件需求旺盛，该工厂计划扩建其中一个车间以增加产量，若以两个车间各加工100个零件的平均获利为决策依据，请判断该工厂应扩建哪个车间. 【答案】（1）（i）分布列见解析；（ii） （2）应扩建甲车间 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）写出X的所有可能的取值，分别求出其概率，列出分布列即可. （ⅱ）根据全概率公式及条件，分析求解，即可得答案. （2）分别求出甲、乙车间的平均获利，比较即可得答案. 【小问1详解】 （ⅰ）X的所有可能取值为0，1，2. ，，， 故X的分布列为 X 0 1 2 P （ⅱ）用事件A表示“抽取的零件来自甲车间”，用事件B表示“抽取的零件来自乙车间”， 用事件C表示“抽取的零件可以出厂销售”， 则，， ， . . 【小问2详解】 估计甲车间加工100个零件可以出厂销售的有81个， 甲车间加工100个零件的平均获利为 （元）， 估计乙车间加工100个零件可以出厂销售的有76个， 乙车间加工100个零件的平均获利为 （元）， 因为 ，所以应扩建甲车间. 18. 工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立． （1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点； （2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以⑴中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求； （3）若，已知抽取检验的件产品中恰有2件不合格品，试给出的估计值.（表示件产品中不合格的件数，以使得最大的的值作为的估计值.） 【答案】（1）0.1 （2）490 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用二项分布模型写出关于概率的函数，之后对其求导，利用导数在对应区间上的符号，确定其单调区间，从而得到其最大值点. （2）以（1）的结果为参考，构造包含固定费用和随机赔偿费用的总费用的随机变量，利用二项分布的期望公式及期望的性质计算总费用的数学期望. （3）方法一，通过比较任意相邻项的值，找出概率取得最大值时的样本量，体现了统计的估计思想，同时也避免了复杂的求导运算；方法二，因为 在恒成立，利用作商法比较和的大小，进一步判断的单调性，从而得出值. 【小问1详解】 20件产品中恰有2件不合格品的概率为：， 因此，， 令，得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，的最大值点为. 【小问2详解】 由（1）知，. 令表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知：， 则，，， . 【小问3详解】 方法一： 由题意得，， 由，得， 解得，故或. 方法二： 因为 在恒成立， 由， 令 ，得， 当时， ,递增， 当时， ,递减， 故或. 19. 已知函数 ． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明： ； （3）证明：． 【答案】（1） （2）证明过程见解析； （3）证明过程见解析 【解析】 【分析】（1）求导，得到，由导函数几何意义得到切线方程； （2）即证，构造函数，求定义域，得到函数单调性，从而得到不等式； （3）在（2）基础上，得到，求和得到不等式. 【小问1详解】 由题可知， ，则， 故曲线在点处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 要证明 ，即证， 即证， 令，定义域为，显然， 则，其中， 当时，令，则， 其中，，故， 故在上单调递增， 又，故在上恒成立， 故在上单调递减， 当时，， 所以在上单调递增， 所以恒成立，从而 ，当时，等号成立； 【小问3详解】 由（2）知，当时，， 即，当时，， 故， 故 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市大足中学高2027届半期数学试卷 总分150分；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在下列两个量之间的关系中，属于相关关系的是（ ） A. 匀速直线运动中时间与位移的关系 B. 学生的成绩和身高 C. 一块农田的小麦产量与施肥量 D. 正n边形的边数与内角度数之和 2. 假设书包里仅有4支水笔和6支铅笔，现从该书包中不放回地依次（每次取一支）取出两支笔，记事件表示“第一次取出的笔是铅笔”，事件表示“第二次取出的笔是水笔”，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 4. 将4位老师分配到3个学校去任教，共有分配方案（ ） A. 81种 B. 12种 C. 64种 D. 256种 5. 已知的展开式中的系数为35，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 5 6. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种 7. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知随机变量的分布列为 0 1 2 3 0.3 0.3 0.2 0.1 设函数，若，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分） 9. 在的展开式中，下列说法正确的是（　　） A. 一共有5项 B. 第3项为 C. 所有项的系数和为0 D. 所有项的二项式系数和为32 10. 某物理量的测量结果服从正态分布，下列选项中正确的是（ ） A. 越大，该物理量在一次测量中在的概率越大 B. 该物理量在一次测量中小于10的概率等于0.5 C. 该物理量在一次测量中小于9.98与大于10.02的概率相等 D. 该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 11. 设函数，则（ ） A. 有三个零点 B. 是的极小值点 C. 当时， D. 曲线上存在无数多对互相平行的切线 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知随机变量服从两点分布，且，则__________. 13. 直线是曲线的一条切线，则实数___________． 14. 将编号为1，2，3，4的四本不同的书随机放入编号为1，2，3，4的书架上，每个书架放一本书，至少有一本书在对应书架上的放法有______种.（用数字作答） 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，求下列各式的值： （1）； （2）； （3） 16. 2025年，我国能源安全保障能力再上新台阶，全口径发电量占全球总发电量的，稳居世界第一，为智能算力的爆发性电力需求持续提供稳定保障.某学习小组收集了2021年至2025年我国全口径发电量相关数据，根据数据制作了如下数据表格和散点图. 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 我国全口径发电量（单位：万亿千瓦时） 8.52 8.85 9.46 10.09 10.58 （1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； （2）建立关于的经验回归方程，并预测2026年我国全口径发电量. 参考数据：. 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，相关系数. 17. 某工厂有甲、乙两个车间加工同一种零件，已知加工该零件需要两道工序，每道工序的加工结果相互独立，且只有每道加工工序都合格，该产品才能出厂进行销售.已知甲车间每道加工工序合格的概率均为0.9；乙车间第一、二道加工工序合格的概率分别为0.95，0.8. （1）对6个来自甲车间，4个来自乙车间的零件进行质检. （ⅰ）若从这10个零件中随机抽取2个零件，设其中来自甲车间的零件数为X，求X的分布列； （ⅱ）若从这10个零件中随机抽取1个，求该零件可以出厂销售的概率. （2）甲车间加工的每个零件，销售后可以盈利100元，若不能销售则亏损30元，乙车间加工的每个零件，销售后可以盈利100元，若不能销售则亏损20元.由于市场对这种零件需求旺盛，该工厂计划扩建其中一个车间以增加产量，若以两个车间各加工100个零件的平均获利为决策依据，请判断该工厂应扩建哪个车间. 18. 工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立． （1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点； （2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以⑴中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求； （3）若，已知抽取检验的件产品中恰有2件不合格品，试给出的估计值.（表示件产品中不合格的件数，以使得最大的的值作为的估计值.） 19. 已知函数 ． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明： ； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $