精品解析：重庆好教育联盟2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章第一、二节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 从甲地去乙地，可以乘船，也可以坐火车，还可以乘飞机，一天中，乘船有6个班次，坐火车有9个班次，乘飞机有2个班次，则从甲地去乙地一天中不同的走法种数为（ ） A. 17 B. 30 C. 66 D. 108 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 多项式展开后的项数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 现有壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆、伍拾圆的人民币各一张，一共可以组成的币值种数为（ ） A. 15 B. 30 C. 31 D. 32 6. 已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的导数为，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 给如图所示的花圃中A，B，C，D四块区域种花，中间圆形区域不种花.现有6种不同的花可供选择，每块区域种1种花，且相邻区域种不同的花.则不同的种法总数为（ ） A. 320 B. 630 C. 720 D. 1560 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列问题中，属于排列问题的是（ ） A. 从5人中选2人担任正、副组长 B. 从5人中选2人参加演讲比赛 C. 从6个景点中选2个安排两天的游览，每天游览1个景点 D. 从10个相同大小的球中选3个放入箱子里 10. 商场某区域的行走路线图可以抽象为一个正方体道路网，如图，图中线段均为可行走的通道.甲从某点出发，随机地选择一条最短路线，到达另一点，则（ ） A. 甲从出发经过到达的方法共有6种 B. 甲从出发到达的方法共有100种 C. 甲从出发经过到达的方法共有24种 D. 甲从出发到达的方法比从出发到达的方法少27种 11. 已知函数是定义在上的偶函数，是的导数，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的图象在点处的切线与直线互相垂直，则_______． 13. 从0，1，2，3，4这5个数字中任取2个偶数和1个奇数，组成没有重复数字的三位数的个数为_______． 14. 将个相同的篮球分给个班级，每班至少分个，则不同的分法种数为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）求值：． （2）解方程：． （3）求不等式的解集． 16. 现将6名优秀学生分配到三个班级进行研学活动． （1）若每个班级分配2名学生，求不同的分法种数； （2）若每个班至少分配1名学生，且分配到各班的人数互不相同，求不同的分法种数． 17. 已知函数． （1）若在处取得极小值，求的值； （2）若有极小值点，求的取值范围． 18. 在一场婚宴上，4对夫妇（包含甲、乙两位男性）和A，B共10人安排在一张有10个座位的圆桌上就餐（旋转后视为相同的坐法）. （1）若4对夫妇都相邻而坐，A，B也相邻而坐，求不同的坐法种数； （2）若4对夫妇都相邻而坐，其中甲、乙两人的妻子因是好友要相邻而坐，A，B不相邻，求不同的坐法种数； （3）就餐后进行合影留念，若随机选择6人站成一排合影，且恰好只有1对夫妇被选中并在合影时相邻，求不同的排法种数． 19. 已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）当时，恒成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章第一、二节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 从甲地去乙地，可以乘船，也可以坐火车，还可以乘飞机，一天中，乘船有6个班次，坐火车有9个班次，乘飞机有2个班次，则从甲地去乙地一天中不同的走法种数为（ ） A. 17 B. 30 C. 66 D. 108 【答案】A 【解析】 【详解】由分类加法计数原理可得，从甲地到乙地无论哪种交通工具都能到达， 故不同的走法有：种. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出的值，再利用导数的定义可求得的值. 【详解】因为，则，故， 所以 . 3. 多项式展开后的项数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【详解】根据分步乘法计数原理，展开后的项数有：项. 4. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的对称性和单调性判断图像的大致形状，对照各个选项可得答案. 【详解】因为，所以是奇函数，函数图像关于原点对称，可排除B． 对部分求导可得：， 所以在上为负，在上为正， 所以在上单调递增，在上单调递减， 结合图像函数在时的图像形状应当是先上升再下降，同时排除A，D． 5. 现有壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆、伍拾圆的人民币各一张，一共可以组成的币值种数为（ ） A. 15 B. 30 C. 31 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分别任选一张、两张、三张、四张或全选，结合组合数求组成的币值种数. 【详解】根据题意一共可以组成的币值种数为种． 6. 已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数单调性与导数的关系，将单调递减转化为导函数的恒成立问题，分离参数后构造新函数，通过求导判断新函数单调性，求其取值范围，进而得到参数的取值范围. 【详解】已知函数在上单调递减，等价于导数对所有恒成立. 对求导得，分离参数得对恒成立. 令，求导得对任意成立，因此在上单调递增. 则在区间上，，即在上的取值范围是. 要使对所有恒成立，只需，因此的取值范围是. 7. 已知函数的导数为，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】， ， 所以， ， ， 所以是偶函数，，则， 所以. 8. 给如图所示的花圃中A，B，C，D四块区域种花，中间圆形区域不种花.现有6种不同的花可供选择，每块区域种1种花，且相邻区域种不同的花.则不同的种法总数为（ ） A. 320 B. 630 C. 720 D. 1560 【答案】B 【解析】 【详解】现有6种不同的花可供选择，要求每个区域只种1种花且相邻区域的花不同， 则四块区域最少种2种花，最多种4种花，所以分三类： 若种2种花，则A和C相同，B和D相同，有种方法； 若种3种花，则需要其中两块区域种同一种花，A和C相同或B和D相同，有种； 若种4种花，有种， 则不同的种法总数为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列问题中，属于排列问题的是（ ） A. 从5人中选2人担任正、副组长 B. 从5人中选2人参加演讲比赛 C. 从6个景点中选2个安排两天的游览，每天游览1个景点 D. 从10个相同大小的球中选3个放入箱子里 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，从5人中选2人担任正、副组长，与选出的两个人顺序不同是不同的安排方法， 如选甲乙表示甲担任正组长，乙担任副组长，选乙甲表示乙担任正组长，甲担任副组长，故属于排列问题，故A符合题意； 对于B，从5人中选2人参加演讲比赛，比如选甲乙与乙甲是同一种选法，所以不是排列问题，故B不符合题意； 对于C，从6个景点中选2个安排两天的游览，每天游览1个景点与顺序有关，如选1，2两个景点表示第一天参观1号景点，第二天参观2号景点；如选2，1两个景点表示第一天参观2号景点，第二天参观1号景点，所以是排列问题，故C符合题意； 对于D，从10个相同大小的球中选3个放入箱子里，因为小球相同，任意拿3个放入箱子里只有1种方法，故与顺序无关，故不是排列问题，故D不符合题意. 10. 商场某区域的行走路线图可以抽象为一个正方体道路网，如图，图中线段均为可行走的通道.甲从某点出发，随机地选择一条最短路线，到达另一点，则（ ） A. 甲从出发经过到达的方法共有6种 B. 甲从出发到达的方法共有100种 C. 甲从出发经过到达的方法共有24种 D. 甲从出发到达的方法比从出发到达的方法少27种 【答案】ACD 【解析】 【分析】先建立空间直角坐标系标记方向，再结合分步乘法计数原理，依次讨论从出发到达对应点时沿轴三个方向走的段数，最后结合组合方法选出求解即可. 【详解】 对于A，甲从出发经过到达的最短路线分两步完成： 第一步：甲从到，只能沿轴方向向上走2段，故只有1种最短路线； 第二步：从到达的最短路线中，需要沿轴方向走2段，需要沿轴方向走2段， 所以，只需明确4段中沿轴方向的2段情况即可，有种， 所以从出发经过到达的最短路线共有6种，A选项正确； 对于B，甲从出发到达，需要沿轴三个方向各走2段， 故只需要确定：在6段路里，哪2段是沿轴方向，剩下的4段里，哪2段是沿轴方向， 最后剩下的2段自然是沿轴方向， 故有种，故B选项错误； 对于C，甲从出发经过到达需要分两步完成， 第一步：先从到达，需要沿轴2个方向各走1段， 故只需要确定哪一段沿轴方向即可，共有种； 第二步：从到达的最短路线中，需要沿轴三个方向分别走1，1，2段， 只需要确定哪一段沿轴方向，只需要确定哪一段沿轴方向即可，有种方法， 所以甲从出发经过到达共有种，C选项正确； 对于D，甲从出发到达，需要沿轴2个方向分别走2段，1段， 故只需要确定哪一段沿轴方向即可，故有种； 甲从出发到达，需要沿轴的负方向走2段，沿轴2个方向分别走1，2段， 故只需要确定哪2段沿轴负方向走，哪一段沿轴方向即可，故有种. 所以甲从出发到达的方法比从出发到达的方法少27种，D选项正确. 11. 已知函数是定义在上的偶函数，是的导数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据条件构造合适的辅助函数，再利用单调性比较函数值，结合偶函数性质逐一验证各选项. 【详解】由 ，可得 ， 令， 则 由题设，且， 故，即在上单调递增. 选项A：设， 满足偶函数、，则，故A错误. 选项B：取，令，则，即， 因，则，即 对，，所以，即. 所以，，即，所以B正确. 选项C：由得，即， 则，所以C正确； 选项D：，即， 化简得，即，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的图象在点处的切线与直线互相垂直，则_______． 【答案】2 【解析】 【详解】由题意得：，则在点处的切线斜率， 又因为在点处的切线与直线互相垂直，且直线的斜率为， 所以，解得：. 13. 从0，1，2，3，4这5个数字中任取2个偶数和1个奇数，组成没有重复数字的三位数的个数为_______． 【答案】28 【解析】 【分析】根据取到的数字有没有0分类讨论． 【详解】如果取到的数字没有0，则没有重复数字的三位数的个数为， 如果取到的数字有0，则选1个奇数和1个非零偶数的选法有种， 每组选出的3个数字（含0）组成的符合要求的三位数有个，故共有个, 所以所求三位数个数为． 14. 将个相同的篮球分给个班级，每班至少分个，则不同的分法种数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用隔板法可求得结果. 【详解】个相同的篮球中间形成个空位，只需在这个空位中插入两块板即可， 所以将个相同的篮球分给个班级，每班至少分个，则不同的分法种数为种. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）求值：． （2）解方程：． （3）求不等式的解集． 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】利用排列数和组合数的公式运算求解即可. 【详解】（1）原式 （2） 由题可知且 ，则， 整理得，解得或（舍去）， 故. （3）由题可知且，则， 整理得，解得，又因为且， 故，即不等式的解集为. 16. 现将6名优秀学生分配到三个班级进行研学活动． （1）若每个班级分配2名学生，求不同的分法种数； （2）若每个班至少分配1名学生，且分配到各班的人数互不相同，求不同的分法种数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将6名学生平均分为3组，再分配到三个班级即可； （2）先将6名学生分成3组，其中1组1人，1组2人，1组3人，再将3组分配到三个班即可. 【小问1详解】 解：先将6名优秀学生分为3组，每组2人，共有种情况， 再将3组学生分配到3个班级，有种情况， 所以，满足条件的不同分法为种. 【小问2详解】 解：6名学生分成3组，每组人数至少1名且互不相等，唯一的整数拆分方案为：， 即将6名学生分成3组，其中1组1人，1组2人，1组3人，有种， 再将3组分配到三个班，有种分法， 所以，总的分法为种. 17. 已知函数． （1）若在处取得极小值，求的值； （2）若有极小值点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数得到函数的单调性并结合极值求解参数值； （2）利用分类讨论的思想利用导数求解参数范围即可. 【小问1详解】 已知函数的定义域为， ， 因为在处取得极小值，故， 代入得 ， 解得. 验证：时，​，时，时，确为极小值点，且，符合题意. 故. 【小问2详解】 当时，对任意，恒成立， 此时符号由决定：时，，时，， 故是极小值点，符合要求； 当时，令，得正根可能为，， 若，，不在定义域内，仅一个零点， 则时，；时，， 此时是极大值点，无极小值点，不符合； 若，当时，，恒成立，无极值点，不符合； 当时，，两个不同正零点，必有一个点满足导数左负右正， 即存在极小值点，符合要求； 综上，的取值范围是. 18. 在一场婚宴上，4对夫妇（包含甲、乙两位男性）和A，B共10人安排在一张有10个座位的圆桌上就餐（旋转后视为相同的坐法）. （1）若4对夫妇都相邻而坐，A，B也相邻而坐，求不同的坐法种数； （2）若4对夫妇都相邻而坐，其中甲、乙两人的妻子因是好友要相邻而坐，A，B不相邻，求不同的坐法种数； （3）就餐后进行合影留念，若随机选择6人站成一排合影，且恰好只有1对夫妇被选中并在合影时相邻，求不同的排法种数． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把每对夫妇看成一个整体，A，B也看成一个整体，转化为5个元素的排列，再求安排到圆桌的排法即可； （2）利用捆绑法与插空法求解即可； （3）先选出符合条件的6人，再利用捆绑法求解即可. 【小问1详解】 每对夫妇看成一个整体，当作一个元素，A，B也看成一个整体，当作一个元素， 所以问题就是5个不同的元素的排序问题，5个不同的元素排成一列有种不同的排法， 把这一列的5个元素排在一个圆桌上时有种不同的排法； 又每个元素内部各有2种不同的排法， 所以共有； 【小问2详解】 甲、乙两对夫妇相邻，且甲妻与乙妻相邻，则这四人形成一个整体，内部排法有(甲-甲妻-乙妻-乙)和(乙-乙妻-甲妻-甲)2种把这两对夫妇看作一个元素， 另外每对夫妇看作一个元素，这3个元素排成一列有种不同的排法， 再安排到圆桌就座时有种不同的方法， 再把，A，B插入前面三个元素形成的三个空位中有种不同的方法， 又前面三个元素内部各有2种不同的排法，所以共有种不同的排法； 【小问3详解】 4对夫妇任选1对夫妇有种不同的选法，再从3对夫妇和A，B共选4人， 若A，B都选，从3对夫妇选2人（不是夫妇）有种选法， 所以6人站成一排合影，选到的1对夫妇相邻的排法有， 所以共有； 若A，B选1人，从3对夫妇选3人（不是夫妇）有种选法， 所以6人站成一排合影，选到的1对夫妇相邻的排法有， 所以共有； 综上所述：随机选择6人站成一排合影，且恰好只有1对夫妇被选中并在合影时相邻的排法有. 19. 已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）当时，恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）增区间是，减区间是； （2） 【解析】 【分析】（1）由得增区间，由得减区间； （2）首先，然后在时，结合（1）对分类讨论，时利用（1）的结论可得，，求出导函数，然后再利用导数研究的单调性，从而得出结论． 【小问1详解】 ，则，，函数定义域为， 时，，单调递增，时，，单调递减， 所以的单调增区间是，减区间是； 【小问2详解】 时，恒成立， 时，若，由（1）知当时函数的最大值为0，则当时，又， 所以恒成立， 若，， 设，则，是减函数， 由得， 若，则， 当时，在上恒成立，（因为，，，所以）， 所以即在上单调递减，， 所以在上单调递减，满足， 若，即时，当时，，递增，当时，，递减， 所以在处取得最大值， ， 令，则， ，则，所以在上单调递增， 所以， 所以，且， 所以在时，，则在上单调递增，，不满足， 综上，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $