精品解析：广东东莞市海德实验学校2025-2026学年第二学期高一年级数学期中考试试题

东莞市海德实验学校2025—2026学年 第二学期高一年级数学期中考试 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：人教A版（2019）必修第二册第六章+第七章+第八章前5节. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知平面向量，，若，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】由，，且，得，解得. 故选：D. 2. 设是平面内的一个基底，下列不可以作为平面内基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量基底定义可判断选项正误. 【详解】平面内不共线的一组向量可作为一组基底，则不可以作为基底的两向量共线. 对于A，假设两向量共线，则存在实数，使，显然不存在，故这组向量可作为一组基底，A错误； 对于B，假设两向量共线，则存在实数，使，显然满足等式，故这组向量共线，B正确； 对于C，假设两向量共线，则存在实数，使，显然不存在，故这组向量可作为一组基底，C错误； 对于D，假设两向量共线，则存在实数，使，显然不存在，故这组向量可作为一组基底，D错误. 3. 若一水平放置的正方形的边长为2，则其用斜二测画法得到的直观图的面积是（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由求解. 【详解】解：因为一水平放置的正方形的边长为2，且， 所以其直观图的面积是， 故选：A 4. 将上下底分别为、，高为的直角梯形绕其最短的底边旋转一周得到的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】本题可将旋转后得到的几何体看作在一个圆柱中挖去一个圆锥的组合体，分别计算圆柱和圆锥的体积，再将它们相减即可得到该几何体的体积． 【分析】将上、下底分别为、，高为的直角梯形绕其最短的底（即上底）旋转一周， 得到的几何体是在一个底面半径为，高为的圆柱中挖去个底面半径为，高为的圆锥所形成的组合体． 已知圆柱底面半径，高，则圆柱体积． 已知圆锥底面半径，高，则圆锥体积． 所以，该组合体的体积． 故选：D. 5. 若直线不平行于平面，且，则下列结论成立的是（ ） A. 内的所有直线与是异面直线 B. 内不存在与平行的直线 C. 内的所有直线与都相交 D. 内存在唯一一条直线与平行 【答案】B 【解析】 【详解】依题意，直线与平面相交，内的直线与直线相交或异面，故B正确，ACD错误. 6. 的内角，，的对边分别为，，，，，若有两解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】方法一： 已知是锐角，固定角、边，画： 把角固定，一边固定射线，另一边为线段且. 过点向作高， ，这是点到直线的最短距离， 边是的长， ：以为圆心、为半径画圆， 和射线交于两个不同点，能构成两个不同三角形，两解， 即三角形有两解的条件为 ， 计算 ， 所以 的取值范围为 . 方法二： 已知，，由余弦定理：， 代入得，整理为：， 有两解等价于上述关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根， 设方程两根为，满足：， 解得: . 两根之和：，恒成立， 两根之积： ⇒ ⇒ ， 综上所述，的取值范围：. 7. 已知平面内不共线的三个向量、、两两夹角相等，且为单位向量，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知三个向量、、两两的夹角为，利用平面向量数量积的定义和运算性质可求得的值. 【详解】由题意可知，三个向量、、两两的夹角为， 由平面向量数量积的定义可得， 同理可得，, 所以， . 故选：B. 8. 如图，在边长为2的正方形中．以为圆心，1为半径的圆分别交于点．当点在劣弧上运动时，的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，建立坐标系，设出点的坐标，利用数量积的坐标表示建立函数关系，求出函数的值域即可. 【详解】依题意，以点为原点，直线分别为轴建立平面直角坐标系，如图， 设点，而， 则， 因此， 由，得，则， 因此， 所以的取值范围为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：涉及动点的向量运算问题，根据题设条件建立适当的直角坐标系，利用坐标法求解是关键. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列结论正确的有（ ） A. 的虚部是 B. 在复平面内对应的点在第二象限 C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】， 的虚部是，故A错误； 在复平面内对应的点，在第二象限，故B正确； 故C错误； ，故D正确． 10. 在中，，D为边BC上一动点，则（ ） A. B. △ABC的外接圆半径为 C. 当D为BC中点时， D. 当AD为角A的角平分线时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】由余弦定理，求得，可判定A正确；根据弦定理，求得的外接圆的半径，可判定B正确；取的中点，得到，由余弦定理，求得，可判定C不正确；由为角的平分线，根据，列出方程，求得的长，可判定D正确. 【详解】对于A，由余弦定理，可得， 所以，所以A正确； 对于B，由正弦定理，可得， 所以的外接圆的半径为，所以B正确； 对于C，如图所示，取的中点，连接，则，可得， 在中，由余弦定理，可得 ，可得，所以C不正确； 对于D，因为为角的平分线，设， 由，可得， 可得，所以D正确. 故选：ABD. 11. 如图，为圆锥的底面直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的表面积为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 的取值范围是 D. 若，为线段上的动点，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据圆锥的表面积公式可判断A；由体积转化可得，然后转化为求的最大值可判断B；设，根据余弦定理可得，然后根据余弦函数的单调性可判断C；将与沿展开为同一平面，根据三点共线结合余弦定理即可判断D. 【详解】圆锥高，底面半径，母线长，底面直径， 对于A： ，A错误； 对于B：， 为直径，故， 设到的距离为，则，在圆上， 的最大值为底面半径，故，​，B正确； 对于C：设，，则，在中，由余弦定理： ， 因为，故​， 又为锐角，余弦函数在递减，得，C正确； 对于D：若，则为等腰直角三角形，， 又，故为等边三角形， 将与沿展开为同一平面，的最小值为到的线段长， 展开后，，由余弦定理： ， 故，即的最小值为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设为虚数单位，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的乘除法运算法则计算即可. 【详解】. 故答案为：. 13. 在中，角所对的边分别为，若，则的面积为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先应用余弦定理得出，再应用同角三角函数得出正弦值，最后应用面积公式计算求解. 【详解】由余弦定理得：，所以， 所以. 14. 如图正八边形，为正八边形中心，已知，为正八边形边上的动点，给出下列结论： ①与夹角为 ②在上的投影向量为 ③的最大值为 ④存在点，使得 其中正确结论的序号是______. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据正八边形的性质和向量夹角的定义判断①.根据投影向量的概念判断②.建立平面直角坐标系，结合数量积的几何意义求解数量积最值判断③.设，通过向量运算解得，随后验证符合范围，判断④. 【详解】正八边形中心角为，. ①与的夹角为正八边形中心角，故①正确. ②与夹角为，在上的投影向量为，故②正确. ③以为原点，建立平面直角坐标系：，，， 则.. 为在上的投影. 由图可知在上运动时，可取最大值，即在处时， ，最大值为 所以最大值为，③错误. ④设到中心的距离为，利用公式. 所以. 由正八边形对称性可知， 所以. 令，得，则， ，. .得. 又，故. 由图可知正八边形边上的点到中心距离最短为中点到的距离，最长为， 所以正八边形边上的点到中心距离介于和之间，在此范围内. 因此存在这样的点，故④正确. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数 （1）如果复数是纯虚数，求的值 （2）如果复数在复平面上所对应的点在第四象限，求的取值范围 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由复数为纯虚数，根据复数的定义，列出关系式，即可求解； （2）先求得复数在复平面内对应的点为，根据题意，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 解：由复数， 因为复数为纯虚数，则满足，解得. 【小问2详解】 解：由复数在复平面内对应的点为， 因为复数在复平面上所对应的点在第四象限， 则满足，解得，所以实数的取值范围为. 16. 已知向量是同一平面内的三个向量，其中． （1）若，且，求向量的坐标； （2）若是单位向量，且，求与的夹角． 【答案】（1）或. （2） 【解析】 【分析】（1）设向量的坐标，由模的坐标表示，及向量平行的坐标表示，列出关于的方程组，即可求解； （2）由，得到，求得，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 解：设，因为，且， 可得，即，解得或， 所以向量或. 【小问2详解】 解：由向量为单位向量，可得，因为，可得， 又因为，可得 ，所以， 则， 因为，可得，即向量与的夹角为． 17. 如图，在正方体中，点 分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． （1）求证：平面； （2）已知点是棱上的一点，且 ，求证：平面平面． 【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）作辅助线，利用三角形相似得到比例关系，进而可得线线平行，结合判定定理可证结论. （2）作辅助线，根据题意可证平面，平面，进而可得面面垂直. 【小问1详解】 连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得，所以，所以， 又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 连接，因为点分别为棱的中点，则， 因为， ，则， 可得，则， 且平面，平面，则平面， 取的中点，连接， 因为分别为的中点，则， 又因为分别为的中点，则，， 且，，则，， 可知为平行四边形，则，可得， 且平面，平面，则平面， 又因为，平面，所以平面平面. 18. 已知，，分别为三个内角，，的对边， （1）求角； （2）若，的面积为，求，； （3）若，且为锐角三角形，为的中点，求中线的取值范围. 【答案】（1） （2），. （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和差的正弦公式化简计算可得； （2）利用余弦定理及面积公式得到方程组，解得即可； （3）依题意可得将两边平方，结合余弦定理得到，再由正弦定理将边化角，结合三角恒等变换公式及三角函数的性质求出的取值范围，即可得解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理知可得， 而， ， 即，又， ，即， 又，则 ，则. 【小问2详解】 由（1）及题设可得，即， 将代入，整理得，则， 即（负值舍去），故. 【小问3详解】 因为为的中点，所以， 两边平方得， 在中，由余弦定理得，即， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以且，解得， 所以，所以，则， 所以， 所以中线的取值范围是. 19. 如图1，若平面内两条射线，相交成角，，分别为与，同向的单位向量，则称平面坐标系为“仿射坐标系”．在“仿射坐标系”中，若，则记． （1）在“仿射坐标系”中，，，求； （2）在“仿射坐标系”中，若，且与的夹角为，求； （3）如图2，在“仿射坐标系”中，点，分别在射线，射线上（均与点不重合），，，，分别为，的中点，求的最大值． 【答案】（1）3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用仿射坐标系等价于直角坐标系的性质，直接对向量进行坐标线性运算求出对应坐标，再由向量模长公式直接算出模的值. （2）先在直角坐标系下写出基底的坐标表示，再依据仿射坐标系向量分解规则把向量转化为直角坐标形式，接着利用向量夹角余弦公式列出等式，化简方程后求解cos并结合题意舍去不合理解，最终求出夹角的值. （3）先在给定基底夹角的直角坐标系中写出两个基底的坐标，用参数表示的坐标，借助余弦定理由得到的约束等式，再利用中点向量公式表示出，展开数量积并化简为含的表达式，接着在三角形中用正弦定理把转化为角的三角函数，通过降幂公式化简，再用辅助角公式整理成正弦型函数，结合的范围求出最大值，最后代回数量积式子算出最大值. 【小问1详解】 仿射坐标系即为直角坐标系，所以， 所以 ； 【小问2详解】 在直角坐标系中，记，则， 在仿射坐标系中，， ， 整理得. 解得（舍去）或，所以； 【小问3详解】 在直角坐标系中，，， 设，，，，，即， ， 则，所以 ， ，分别为，的中点， 则， 中，由正弦定理， 设，则， 所以 ，， . 其中为锐角，且， 因为，则 ， 故当时，取得最大值， 则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东莞市海德实验学校2025—2026学年 第二学期高一年级数学期中考试 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：人教A版（2019）必修第二册第六章+第七章+第八章前5节. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知平面向量，，若，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2. 设是平面内的一个基底，下列不可以作为平面内基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 3. 若一水平放置的正方形的边长为2，则其用斜二测画法得到的直观图的面积是（ ） A. B. 2 C. D. 4 4. 将上下底分别为、，高为的直角梯形绕其最短的底边旋转一周得到的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 若直线不平行于平面，且，则下列结论成立的是（ ） A. 内的所有直线与是异面直线 B. 内不存在与平行的直线 C. 内的所有直线与都相交 D. 内存在唯一一条直线与平行 6. 的内角，，的对边分别为，，，，，若有两解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知平面内不共线的三个向量、、两两夹角相等，且为单位向量，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在边长为2的正方形中．以为圆心，1为半径的圆分别交于点．当点在劣弧上运动时，的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列结论正确的有（ ） A. 的虚部是 B. 在复平面内对应的点在第二象限 C. D. 10. 在中，，D为边BC上一动点，则（ ） A. B. △ABC的外接圆半径为 C. 当D为BC中点时， D. 当AD为角A的角平分线时， 11. 如图，为圆锥的底面直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的表面积为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 的取值范围是 D. 若，为线段上的动点，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设为虚数单位，则________． 13. 在中，角所对的边分别为，若，则的面积为__________. 14. 如图正八边形，为正八边形中心，已知，为正八边形边上的动点，给出下列结论： ①与夹角为 ②在上的投影向量为 ③的最大值为 ④存在点，使得 其中正确结论的序号是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数 （1）如果复数是纯虚数，求的值 （2）如果复数在复平面上所对应的点在第四象限，求的取值范围 16. 已知向量是同一平面内的三个向量，其中． （1）若，且，求向量的坐标； （2）若是单位向量，且，求与的夹角． 17. 如图，在正方体中，点 分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． （1）求证：平面； （2）已知点是棱上的一点，且 ，求证：平面平面． 18. 已知，，分别为三个内角，，的对边， （1）求角； （2）若，的面积为，求，； （3）若，且为锐角三角形，为的中点，求中线的取值范围. 19. 如图1，若平面内两条射线，相交成角，，分别为与，同向的单位向量，则称平面坐标系为“仿射坐标系”．在“仿射坐标系”中，若，则记． （1）在“仿射坐标系”中，，，求； （2）在“仿射坐标系”中，若，且与的夹角为，求； （3）如图2，在“仿射坐标系”中，点，分别在射线，射线上（均与点不重合），，，，分别为，的中点，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $