广东东莞市第一中学2025-2026学年度第二学期4月段考高一数学试题

**基本信息** 高一数学段考试卷以核心素养为导向，融合乡村振兴规划、阿基米德多面体等真实情境与文化素材，通过基础巩固与创新应用的梯度设计，考查向量、立体几何、解三角形等知识，体现数学眼光、思维与语言的综合运用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量运算、空间位置关系、圆台体积|基础概念辨析，如空间线面关系判断| |多选题|3/18|解三角形性质、阿基米德多面体|文化渗透（半正多面体）与空间想象结合| |填空题|3/15|单位向量、锐角三角形边角范围|数学抽象，如向量模长计算| |解答题|5/77|复数方程、向量夹角、解三角形应用、立体几何证明与存在性、乡村振兴规划|综合应用，如乡村振兴情境中解三角形与面积最值，考查数学建模与运算能力|

东莞市第一中学2025-2026学年度第二学期4月段考 高一数学试题 1、 单选题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若 ，则 （    ） A．0 B．1 C． D．2 2．在中，为边上一点，且，若，则等于（ ） A． B． C． D． 3．在空间中，若直线平面，直线平面，则与的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．异面 D．平行或异面 4．一圆台的上底面半径为2，下底面半径为3，母线长为8，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 5．在中，，则角的大小为（    ） A． B．或 C． D．或 6．已知按照斜二测画法画出它的直观图（如图所示），其中 则的长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 7．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的体积是（    ） A． B． C． D． 8． 如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为线段AD的中点，F为PC上一点，当平面时， =（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的） 9．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(    ). A．若，则 B．若，则为锐角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为 10．“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到如图，正八面体的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（    ）    A．共有18个顶点 B．共有36条棱 C．表面积为 D．体积为 11．如图，点为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足直线平面的是（   ） A．   B．   C．   D．   三、填空题 12．已知空间中的两个角和，若，则_____. 13．设为单位向量，且，则______． 14．在锐角三角形中，内角所对的边分别为，若，则的取值范围为__________. 三、解答题 15．（本题满分13分）已知复数在复平面内对应的点位于第一象限，且满足 (1)求a； (2)若z是关于x的方程的一个复数根，求pq的值. 16．（本题满分15分）已知向量， (1)若，求的值； (2)当时，求； (3)若向量，夹角为锐角，求的取值范围 17．（本题满分15分）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，满足． (1)求A， (2)若的周长为20，面积为，求a． 18．（本题满分17分）如图，在长方体中，分别是棱的中点. (1)证明：平面. (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19． （本题满分17分）为响应国家“乡村振兴”号召，农民老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为荔枝林和放养走地鸡，区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏．已知，，，． （注意：记） (1)若，求护栏的长度（的周长）； (2)若鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，求值； (3)当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 东莞市第一中学2025-2026学年度第二学期4月段考 高一数学试题【评分标准】 单选 BADBB CAA 多选 AD BD AD 12. 13. 1 14. 15．【详解】（1）由题意知复数z在复平面内对应的点为， 因为点Z在第一象限，所以， 2分 由，得， 3分 即 4分 解得a＝±1 5分 又a＞0，所以. 6分 解法2：，即|z|2＝5， 1分 即4＋a2＝5， 2分 得a＝±1 3分 又点Z在第一象限，所以a＞0， 5分 所以. 6分 （2）由（1）知， 由是关于x的方程 的一个复数根，可知是 的另一个复数根， 8分 因此， 10分 解得.    12分 所以 13分 解法2：由（1）知， 由是关于x的方程 的一个复数根， 得p(2＋i)2＋2(2＋i)＋q＝0， 8分 即3p＋q＋4＋(4p＋2)i＝0， 所以3p＋q＋4＝0且4p＋2＝0， 10分 解得p＝－，q＝－， 12分 所以pq＝. 13分 16．【详解】（1）由题设，得， 2分 即， 所以. 4分 （2）当时，， 所以 6分 故. 8分 （3）由题设，， 10分 故， 11分 当，同向共线时，有且，此时， 可得，不满足，夹角为锐角， 13分 综上，或. 所以的取值范围为. 15分 17．【详解】（1）由及正弦定理，得，--------2分 而，即， 3分 则， 4分 即， 5分 又， 6分 所以. 7分 （2）由的面积为，得， 9分 解得， 10分 由的周长为20，得， 11分 即， （消元1分）12分 由余弦定理得， 13分 即， 14分 于是，解得. 15分 18．【详解】（1）证明：如图所示，连接，---------------------------------------------1分 因为分别是棱的中点，所以，-------------------------2分 又-----------------------------------------------------------------------------3分 则且，所以四边形是平行四边形------------------------------5分 所以，------6分 又因为平面，且平面，所以平面.-------------------8分 注：若由面面平行证线面平行也给分。 （2）解：当 H是的中点时，满足平面平面，-----------9分 证明如下： 连接，因为分别为棱的中点，所以，--------------------------10分 因为分别为棱的中点，所以，所以，----------------11分 因为平面且平面，所以平面，-------------------------13分 由（1）可知平面，--------------------------------------------------------------------14分 且平面，平面，，所以平面平面----------------16分 下结论不规范只扣一分 故在棱上存在点，使得平面平面，此时.--------------------17分 19． 【详解】（1）∵，，， ∴，∴，∴， ∴，-----------------------------------------------------------------------1分 在中，由余弦定理可得：， 则，----------------------------------------------------------------------------------------2分 ∴，∴，∵，∴，∴， --------------------------------------------------3分 ∴护栏的长度（的周长）为；----------------------------4分 （2） 因为鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，所以， 即，------------------------------------------------------------------------------------5分 ，中，由三角形外角定理可得，------6分 在中，由，-------------------------------------------------7分 得，------------------------------------------------------------------------------------------8分 从而，即，------------------------------------------------------------9分 由，得，所以------------------------------10分 （3），由（2）知，， 中，由外角定理可得，------------------------------11分 又在中，由，得，----------------------13分 所以 ，------------------------------------------------16分 所以当且仅当， 即时，的面积取最小值为.--------------------------------------17分 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $