第十九章 二次根式基础知识达标卷 2025-2026学年人教版八年级下册数学

**基本信息** 初中数学二次根式单元达标卷，100分钟120分，涵盖选择、填空、解答题，全面考查二次根式意义、化简、运算及应用，基础巩固与能力提升结合，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次根式有意义条件（第1题）、运算（第2题）、最简二次根式（第3题）|结合新定义“型无理数”（第4题），培养抽象能力| |填空题|6/18|二次根式求值（第11题）、最小值问题（第12题）、算术与几何平均数应用（第15题）|融入数学文化，发展推理意识| |解答题|9/72|化简（第17题）、新定义“美好二次根式”（第18题）、实际应用（第23题高空抛物）|分层设计，综合考查运算能力与应用意识，如“完美根式”（第24题）培养创新意识|

第19章 二次根式基础知识达标卷 （时间：100分钟 满分：120分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．使二次根式 有意义的x的取值范围是（　　） A．x> B．x≥- C．x≤3 D．x≤-3 2．下列计算中，正确的是（　　）． A． B． C． D． 3．下列式子是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 4．我们把形如（，为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则属于无理数的类型为（　　）． A．型 B．型 C．型 D．型 5．墨迹覆盖了等式“”中的运算符号，则覆盖的是（　　） A．＋ B．－ C．× D．÷ 6．化简：（　　） A．1 B． C． D．2 7．实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（　　） A． B． C． D． 8．下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 9．已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（　　） A．11 B．12 C．15 D．19 10． 已知，则的值（　　） A．2011 B．2012 C．2013 D．2014 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11． 当x=3时，二次根式的值为　 　. 12．已知对所有实数 ，满足 ，则 的最小值为　 　． 13．　 　； 14．已知，化简　 　． 15．如果两个正数a、b，即，，我们把叫做正数a、b的算术平均数，把叫做正数a、b的几何平均数，于是可以得到结论：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即．该结论在数学中有广泛的应用，是解决最大值、最小值问题的有力工具．根据上述结论，若，则的最小值为　 　． 16． 已知是整数，则正整数n的最小值为　 　． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．在解决问题“已知，求（a﹣2）2的值”时，小明是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴（a﹣2）2＝3． 请你观察小明的解答过程后，解决如下问题： （1）化简：； （2）若，求2a2+4a﹣1的值． 18．定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的美好二次根式． （1）若与是关于6的美好二次根式，求的值： （2）若与是关于的美好二次根式，求和的值． 19．对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“⊕”如下： ，如． （1）填空，　 　． （2）若，求x的值． 20．小明家装修，电视背景墙长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的大理石图案（图中阴影部分）． （1）长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，若壁布造价为6元，大理石的造价为200元，则整个电视墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 21．有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出面积分别为和的三块正方形木板. （1）截出的三块正方形木板的边长分别为　 　dm，　 　dm和　 　dm； （2）求长方形木板的面积；(结果保留根号) （3）如果木工师傅想从剩余的A木板中截出长为1.5dm、宽为1dm的长方形木块，最多能截出多少块这样的木块? 22． （1）计算：　 　，　 　； （2）已知，求代数式的值； （3）比较大小：　 　． 23．小明同学每次回家进入电梯间时，总能看见如图所示的提示“高空抛物 害人害己”．为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响，，） （1）已知小明家住20层，每层的高度近似为3m，假如从小明家坠落一个物品，求该物品落地的时间；（结果保留根号） （2）小明查阅资料得知，伤害无防护人体只需要64焦的动能，高空抛物动能（焦）物体质量（千克）高度（米），某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后，最少经过几秒落地就可能会伤害到楼下的行人？ 24．若一个含根号的式子可以写成的平方（其中，，，都是整数，x为正整数），即，则称为完美根式．是的完美平方根．例如：因为，所以是的完美平方根． （1）已知是的完美平方根，求a的值； （2）若是的完美平方根，用含，的式子表示，． （3）已知为完美根式，直接写出它的一个完美平方根． 25．已知二次根式 ． （1）求 的取值范围． （2）当 时， 求二次根式 的值． （3）若二次根式 的值为零， 求 的值． 答案 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．使二次根式 有意义的x的取值范围是（　　） A．x> B．x≥- C．x≤3 D．x≤-3 【答案】B 【解析】【解答】由题意得：3x+1≥0， ∴x≥ 故答案为：B. 【分析】要使二次根式有意义，即被开方数为非负数，据此解答即可. 2．下列计算中，正确的是（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：选项错误； 故选项正确； 选项错误； 选项错误. 故答案为：B. 【分析】根据二次根式的性质化简、二次根式的加法、乘法和除法法则逐项判断解题即可. 3．下列式子是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：A中是最简二次根式，故符合要求； B中，不是最简二次根式，故不符合要求； C中，不是最简二次根式，故不符合要求； D中，不是最简二次根式，故不符合要求； 故答案为：A． 【分析】满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： 被开方数的因数是整数，因式是整式； 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．上述两个条件同时具备(缺一不可)的二次根式叫最简二次根式，再对各选项逐一判断即可. 4．我们把形如（，为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则属于无理数的类型为（　　）． A．型 B．型 C．型 D．型 【答案】B 【解析】【解答】 故选：B 【分析】运用完全平方公式将代数式展开化简即可判断． 5．墨迹覆盖了等式“”中的运算符号，则覆盖的是（　　） A．＋ B．－ C．× D．÷ 【答案】D 【解析】【解答】解：A ，故A项不符合题意； B ，故B项不符合题意； C ，故C项不符合题意； D ，故D项符合题意. 故答案为：D. 【分析】根据二次根式的加减法和乘除法分别计算，即可求得. 6．化简：（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解析】【解答】解：令， 展开平方，得 化简合并同类项，得t2 利用平方差公式：， 代入上式，得t2， ∴， 即， 故选：B． 【分析】通过将原表达式转化为平方差的形式，计算t2的值，利用平方差公式和二次根式的性质进行化简，最终得到t2=2，从而得出t的值. 7．实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：∵，，， ∴，， ∴ ． 故选：D． 【分析】先根据数轴的定义得出a，a-b-c，b-a的符号，将原式化为绝对值，化去绝对值，再合并同类项. 8．下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：A、正确，故不符合题意； B、，正确，故不符合题意； C、 ，正确，故不符合题意； D、， 故符合题意； 故答案为：D. 【分析】根据二次根式的减法，二次根式的除法法则、二次根式的乘法法则、多项式乘多项式分别计算，再判断即可. 9．已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（　　） A．11 B．12 C．15 D．19 【答案】D 【解析】【解答】解：∵是整数，且n是正整数， ∴，即8-n=0或8-n=1或8-n=4， 解得n=8或n=7或n=4， ∴n的所有可能取值之和为：8+7+4=19. 故选：D. 【分析】由二次根式整数分析，可以分析推理出被开方数对应取值并求出所有可能的n值. 10． 已知，则的值（　　） A．2011 B．2012 C．2013 D．2014 【答案】C 【解析】【解答】解：由题易知a≥2013，所以原式可得 ∴ ∴故C正确，A、B、D错误. 正确答案：C. 【分析】由已知等式中的二次根式可知a的取值范围，进而可进行绝对值的化简，再利用二次根式的性质可求得代数式的值。 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11． 当x=3时，二次根式的值为　 　. 【答案】2 【解析】【解答】解：将代入，得， 故答案为：2. 【分析】将x的值代入二次根式，再求值即可. 12．已知对所有实数 ，满足 ，则 的最小值为　 　． 【答案】3 【解析】【解答】解：根据题意，得， 解得． 当时，， ∵， ∴； 当时，， ∴． 综上所述，m的最小值为3． 故答案为：3． 【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数大于等于0”确定x的范围，再分两种情况，分别去绝对值化简，整理出m关于x的表达式，即可解答. 13．　 　； 【答案】7 【解析】【解答】解：， 故答案为：7． 【分析】根据“”求解即可． 14．已知，化简　 　． 【答案】a 【解析】【解答】解：∵有意义， ∴， 又a2≥0 ∴b≤0， 又∵ab<0， ∴a>0，b<0， ∴. 故答案为：a. 【分析】根据二次根式有意义及偶数次幂的非负性得到b≤0，再结合ab<0，得a>0，b<0，进而根据二次根式的性质即可得到答案. 15．如果两个正数a、b，即，，我们把叫做正数a、b的算术平均数，把叫做正数a、b的几何平均数，于是可以得到结论：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即．该结论在数学中有广泛的应用，是解决最大值、最小值问题的有力工具．根据上述结论，若，则的最小值为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：，时，， ， ， ，， ， 的最小值为． 故答案为：． 【分析】根据题意先求出，再求出，最后计算求解即可. 16． 已知是整数，则正整数n的最小值为　 　． 【答案】6 【解析】【解答】解：∵是整数，且n为正整数， ∴是一个为正的完全平方数， ∴正整数n的最小值为6， 故答案为：6． 【分析】根据题意可知是一个数的平方，然后可得答案. 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．在解决问题“已知，求（a﹣2）2的值”时，小明是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴（a﹣2）2＝3． 请你观察小明的解答过程后，解决如下问题： （1）化简：； （2）若，求2a2+4a﹣1的值． 【答案】（1）解： ； （2）解：， ∴2a2+4a﹣1 ＝2（a2+2a+1）﹣3 ＝2（a+1）2﹣3 ＝2×2﹣3 ＝4﹣3 ＝1． 【解析】【分析】（1）二次根式的分母有理化，通过分子分母同乘进行化简。 （2）二次根式的分母有理化，通过分子分母同乘进行化简后代入2a2+4a﹣1运算即可。 18．定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的美好二次根式． （1）若与是关于6的美好二次根式，求的值： （2）若与是关于的美好二次根式，求和的值． 【答案】（1）解：∵m与是关于6的美好二次根式， ∴m·=6， 解得：m=. （2）解：∵与是关于n的美好二次根式， ∴()·()=n， ∴4-3m+(m-4)=n， ∵n是有理数， ∴， 解得：，． 【解析】【分析】（）根据美好二次根式的新定义可得关于m的方程，解方程即可求解； （）根据美好二次根式的新定义可得关于m、n的方程组，解方程组即可求解. 19．对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“⊕”如下： ，如． （1）填空，　 　． （2）若，求x的值． 【答案】（1）3 （2）∵，∴， ∵， ∴， 解得， 故x的值为． 【解析】【解答】 解：（1）∵， ∴， 故答案为：3． 【分析】 （1）根据新运算的定义即可得； （2）先根据新运算的定义可得一个关于x的一元一次方程，再解方程即可得． 20．小明家装修，电视背景墙长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的大理石图案（图中阴影部分）． （1）长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，若壁布造价为6元，大理石的造价为200元，则整个电视墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】（1）解：长方形的周长为； （2）解：长方形的面积：， 大理石的面积：， 壁布的面积：， 整个电视墙的总费用：（元）． 【解析】【分析】（1）直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案； （2）直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则计算得出答案． 21．有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出面积分别为和的三块正方形木板. （1）截出的三块正方形木板的边长分别为　 　dm，　 　dm和　 　dm； （2）求长方形木板的面积；(结果保留根号) （3）如果木工师傅想从剩余的A木板中截出长为1.5dm、宽为1dm的长方形木块，最多能截出多少块这样的木块? 【答案】（1）；； （2）根据题意得：长方形的边长为； 阴影部分的面积 （3）根据题意的：剩余A木料的长为，宽为， 且， 能截出这样的木块共2块. 【解析】【解答】解：（1）∵ 三块正方形木板面积分别为和 ， ∴边长分别为dm，dm，dm， 故答案为：dm；dm；dm； 【分析】（1）根据正方形的面积＝a2，即可分别求出边长； （2）由（1）结论可计算出长方形的边长，再根据长方形的面积公式计算即可； （3）先求出A木料的边长，再根据边长截取，注意不能直接用面积计算. 22． （1）计算：　 　，　 　； （2）已知，求代数式的值； （3）比较大小：　 　． 【答案】（1）； （2）解：∵， ∴， ∴ （3）＞ 【解析】【解答】解：（1）， . 故答案为：，. （3）∵， ∴ 故答案为：＞. 【分析】（1）根据二次根式的化简法则进行计算，即可得到答案； （2）根据x的值得到，根据平方差公式即可得到答案； （3）根据题意可知，进而即可得到答案. 23．小明同学每次回家进入电梯间时，总能看见如图所示的提示“高空抛物 害人害己”．为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响，，） （1）已知小明家住20层，每层的高度近似为3m，假如从小明家坠落一个物品，求该物品落地的时间；（结果保留根号） （2）小明查阅资料得知，伤害无防护人体只需要64焦的动能，高空抛物动能（焦）物体质量（千克）高度（米），某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后，最少经过几秒落地就可能会伤害到楼下的行人？ 【答案】（1）解：∵小明家住20层，每层的高度近似为3m， ∴， ∴， ∴该物品落地的时间为 （2）解：该玩具最低的下落高度为， ∴． ∴最少经过3.5776秒落地就可能会伤害到楼下的行人． 【解析】【分析】（1）先求出h的值，再将h和g的值代入计算即可； （2）先求出h的值，再将h和g的值代入计算即可. 24．若一个含根号的式子可以写成的平方（其中，，，都是整数，x为正整数），即，则称为完美根式．是的完美平方根．例如：因为，所以是的完美平方根． （1）已知是的完美平方根，求a的值； （2）若是的完美平方根，用含，的式子表示，． （3）已知为完美根式，直接写出它的一个完美平方根． 【答案】（1）解：∵是的完美平方根， ∴， ∴. （2）解：∵是的完美平方根， ∴， ∴，. （3）​​​​​​​ 【解析】【解答】（3）解：∵为完美根式， ∴， ∴，， ∴可取，， ∵均为整数， ∴，或，， ∴的一个完美平方根是． 故答案为：. 【分析】（1）参照题干中的定义及“完美平方根”的定义可得，再求解即可； （2）参照题干中的定义及“完美平方根”的定义可得，再利用待定系数法求解即可； （3）参照题干中的定义及“完美平方根”的定义可得，再求出，，最后结合均为整数分析求解即可. 25．已知二次根式 ． （1）求 的取值范围． （2）当 时， 求二次根式 的值． （3）若二次根式 的值为零， 求 的值． 【答案】（1）解： 解得x≤6. （2）解：将x=-2代入 得 （3）解： 解得x=6. 【解析】【分析】（1）根据被开方数是非负数解答； （2）将x=-2代入计算即可； （3）根据0的算术平方根是0解答即可. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $