第二十章 勾股定理 【50道单选题·专项集训】 2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦勾股定理核心考点，通过50道单选题构建"概念理解-性质应用-综合拓展"的递进训练体系，强化数学抽象与几何直观素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|10题（如1/10/22题）|判断三角形形状|从勾股定理到逆定理的逻辑推导| |性质应用|15题（如2/5/28题）|直角三角形边长/中线计算|定理与直角三角形性质的融合| |实际情境|12题（如11/15/33题）|最短路径/面积问题|几何建模与空间观念的构建| |综合创新|13题（如7/26/49题）|跨知识整合（圆/函数）|从单一应用到多维度关联|

【50道单选题·专项集训】人教版数学八年级下册第二十章 勾股定理 1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　） A．3，4，5 B．10，15，20 C．1， ，3 D．2，3，4 2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，若∠B＝90°，则下列等式中成立的是（　　） A．a2＋b2＝c2 B．b2＋c2＝a2 C．a2＋c2＝b2 D．c2﹣a2＝b2 3．如图，平面直角坐标系上，A，B两点对应的坐标为（0，3），（0，-3），C为x正半轴上一点，AC＝BC＝4，则C的坐标为（　　） A．（5，0） B．（2.5，0） C．（ ，0） D．（3.5，0） 4．如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为-2，2，于点B，且.连接，在上截取，以点A为圆心，的长为半径画弧，交线段于点E，则点E表示的实数是（　　） A． B． C． D． 5．三角形的三边长分别为，则它最大边上的中线长为（　　） A． B． C．10 D．12 6．在 中，斜边AB=2，则 的值是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 7．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作方形，面积分别为S1，S2，S3；如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为S4，S5，S6，其中S1＝1，S2＝3，S5＝2，S6＝4，则S3+S4＝（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 8．如图，这是一块农家菜地的平面图，其中BD=4m，CD=3m，AB=13m，AC=12m，∠BDC=90°，则这块地的面积为（　　） A．24m2 B．30m2 C．36m2 D．42m2 9．如图，平分，且，点为上任意点，于，，交于，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 10．下列四组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（　　） A．5，12，13 B．2，3，4 C．1，， D．1，2， 11．如图，已知圆柱高为8cm，底面圆的周长为12cm，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B处吃食，那么它爬行的最短路程是（　　） A．20cm B．15cm C．12cm D．10cm 12．如图是一个底面为等边三角形的三棱镜，在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为5cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为（　　） A．8cm B．13cm C．12cm D．15cm 13．如图，在 中， ，点 、 分别是 、 的中点，在 上找一点 ，使 最小，则这个最小值是（　　）． A． B． C． D． 14．如图，在数轴上点A，B所表示的数分别为-1，1，CB⊥AB，BC=1，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点D（点D在点B的右侧），则点D所表示的数是（　　） A． B． C． D． 15．有一个棱长为1m且封闭的正方形体纸箱，一只蚂蚁沿纸箱表面从顶点A爬到顶点B，那么这只蚂蚁爬行的最短路程是（　　) A．3m B．m C．m D．m 16．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（　　） ①a= ，b= ，c= ②a=6，∠A=45°；③∠A=32°，∠B=58°；④a=7，b=24，c=25 ⑤a=2，b=2，c=4． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 17．如图，过正方形的顶点作直线，点、到直线的距离分别为和，则的长为（　　） A． B． C． D． 18．如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°， AC、BC的长分别为6、8，则∠CAB的平分线AP的长为（　　） A．3 B．4 C．3 D．4 19．若一个直角三角形的一条直角边长是7cm，另一条直角边比斜边短1cm，则斜边长为（　　） A．18 cm B．20 cm C．24 cm D．25 cm 20．一个直角三角形的两条直角边分别是5和12，则斜边是（　　） A．13 B．12 C．15 D．10 21．如图，点，都在格点上，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 22．下列以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（　　） A．a＝1，b＝1，c＝ B．a＝2，b＝3，c＝ C．a＝3，b＝5，c＝7 D．a＝6，b＝8，c＝10 23．如图， 点 M 是线段的中点，于点C，于点 D， 连接．若则的长为（ ） A． B． C．3 D． 24．如图，，，，点A在点O的北偏西方向，则点B在点O的（　　） A．北偏东 B．北偏东 C．东偏北 D．东偏北 25．如图， 在 Rt 中， ， 和 分别是 边上的高和中线． 若 ， 则 的长是(　　) A．3 B．4 C．5 D． 26．如图，在△ABC中，AB=AC，AB=8，BC=12，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B．16π﹣32 C． D． 27．如图，四边形 中， ， ， ，点M是对角线 的中点，点N是 边的中点，连结 ， ，若 ，则线段 的长是（　　） A． B．3 C． D．5 28．若直角三角形的两条直角边的长分别为6和8，则斜边上的中线长是（　　） A． B． C． D． 29．在 中，若 ，则下列说法正确的是（　　） A． 是锐角三角形 B． 是直角三角形且 C． 是钝角三角形 D． 是直角三角形且 30．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD是AB边上的中线，则CD的长是（　　） A．10 B．8 C．6 D．5 31．锐角△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（　　） A．42 B．32 C．52 D．51 32．如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知，且，则的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D． 33．如图，一圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是（　　）． A． B． C．3 D．9 34．如图，在平面直角坐标系中， 的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30度，C为OA的中点，BC=1，则A点的坐标为（　　） A． B． C． D． 35．如图，中，，AD平分与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若的面积是24，，则PE的长是（　　） A．2.5 B．2 C．3.5 D．3 36．在平面直角坐标系中，点A（0，-1），点B（4，2），点C在坐标轴上，使∠ACB为直角的点C有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 37． 在学习勾股定理时，甲同学用四个相同的直角三角形直角边长分别为，，斜边长为构成如图所示的正方形；乙同学用边长分别为，的两个正方形和长为，宽为的两个长方形构成如图所示的正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（　　） A．甲 B．乙 C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以 38．以下列数据为三角形的三边长，能够成直角三角形的是（　　） A．1，，4 B．，， C．1，，1 D．6，7，8 39．如图，在 中，以点 为圆心，任意长为半径作弧，交射线 于点 ，交射线 于点 ，再分别以 、 为圆心， 的长为半径，两弧在 的内部交于点 ，作射线 ，若 ，则 两点之间距离为（　　） A．10 B．12 C．13 D． 40．在 中， ， ， .下列关于a的四种说法：①a是无理数；②a可以用数轴上的一个点来表示；③a是8的算术平方根；④ .其中，所有正确的说法的序号是（　　） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④ 41．下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（　　） A．三个角的比是2：3：5 B．三条边a，b，c满足关系a2＝c2﹣b2 C．三条边的比是2：3：5 D．三边长为1，2， 42．如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 43．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以BC，AB，AC为边向外作正方形面积分别记为S1，S2，S3．若S2＝6，S3＝10．则面积为S1的正方形的边长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 44．以下各组数为三角形的三条边长，其中不能构成直角三角形的是（　　） A．3，4，5 B．6，8，10 C．1，1，2 D．5，12，13 45．如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是（　　） A．3cm2 B．4cm2 C．5cm2 D．6cm2 46．将一个等腰三角形纸板沿垂线段进行剪切，得到三角形①②③，再按如图2方式拼放，其中与共线．若，则的长为（　　） A． B． C．10 D． 47．如图，在中，P为平面内的一点，连接，若，则的最小值是（　　） A． B．36 C． D． 48．如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（　　） A． B． C． 5 D． 49．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S9的值为（　　） A．（ ）6 B．（ ）7 C．（ ）6 D．（ ）7 50．如图 ， 在 Rt 中， ， 以该三角形的三条边为边向外作正方形， 正方形的顶点 都在同一个圆上． 记该圆面积为 面积为 ， 则 的值是（　　） A． B． C． D． 答案 1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　） A．3，4，5 B．10，15，20 C．1， ，3 D．2，3，4 【答案】A 【解析】【解答】解：A： ，选项符合题意； B： ，选项不符合题意； C： ，选项不符合题意； D： ，选项不符合题意； 故答案为：A. 【分析】由题意先分别计算每一个选项中各数的平方，再观察是否满足a2+b2=c2，然后根据勾股定理的逆定理可求解. 2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，若∠B＝90°，则下列等式中成立的是（　　） A．a2＋b2＝c2 B．b2＋c2＝a2 C．a2＋c2＝b2 D．c2﹣a2＝b2 【答案】C 【解析】【解答】解：在△ABC中，∠B＝90°， ∴△ABC为直角三角形， 则根据勾股定理得： ． 故答案为：C． 【分析】利用勾股定理可得答案。 3．如图，平面直角坐标系上，A，B两点对应的坐标为（0，3），（0，-3），C为x正半轴上一点，AC＝BC＝4，则C的坐标为（　　） A．（5，0） B．（2.5，0） C．（ ，0） D．（3.5，0） 【答案】C 【解析】【解答】解：根据题意：在Rt△AOC中，AC＝4，AO=3 ∴ ∴C的坐标为：( ) 故答案为：C 【分析】根据坐标轴点的特征及勾股定理，求得OC的长，从而求得点C的坐标. 4．如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为-2，2，于点B，且.连接，在上截取，以点A为圆心，的长为半径画弧，交线段于点E，则点E表示的实数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：∵点A，B表示的数分别为-2，2， ∴， ∵于点B，且. ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点E表示的实数是， 故答案为：B. 【分析】首先算出AB的长，根据勾股定理算出AC的长，进而根据AD=AC-CD算出AD的长，接着根据同圆的半径相等可得AE的长，进而根据数轴上的点所表示的数的特点可得点E所表示的数. 5．三角形的三边长分别为，则它最大边上的中线长为（　　） A． B． C．10 D．12 【答案】B 【解析】【解答】解：， 三边长分别为的三角形是直角三角形， 它最大边上的中线长为， 故答案为：B． 【分析】根据勾股定理的逆定理可知：三角形为直角三角形，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求解． 6．在 中，斜边AB=2，则 的值是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【解析】【解答】解：根据勾股定理，得： ， 故 ， 故答案为：B. 【分析】利用勾股定理可求出AC2+BC2和AB2的值，然后整体代入求值. 7．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作方形，面积分别为S1，S2，S3；如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为S4，S5，S6，其中S1＝1，S2＝3，S5＝2，S6＝4，则S3+S4＝（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【解析】【解答】解：如图， ∵ ， ， ∴ ， 同理可得， ， ∵S1＝1，S2＝3，S5＝2，S6＝4， ∴S3+S4＝（1+3）+（2+4）=10， 故答案为：A ． 【分析】从条件出发通过数形结合，结合勾股定理、正方形和圆的面积公式可以得到，，最后求出S3+S4即可。 8．如图，这是一块农家菜地的平面图，其中BD=4m，CD=3m，AB=13m，AC=12m，∠BDC=90°，则这块地的面积为（　　） A．24m2 B．30m2 C．36m2 D．42m2 【答案】A 【解析】【解答】解：连接BC， ∵∠BDC=90°，BD=4m，CD=3m， ∴BC=5， ∵AB=13m，AC=12m， ∴AC2+BC2=122+52=169=132=AB2， ∴△ABC为直角三角形， ∴S四边形ABDC=S△ABC﹣S△BCD =AC×BC﹣BD×CD =×12×5﹣×4×3 =30﹣6 =24． 故选A． 【分析】连接BC，在Rt△BDC中，已知BD，CD的长，运用勾股定理可求出BC的长，在△ABC中，已知三边长，运用勾股定理逆定理，可得此三角形为直角三角形，故四边形ABDC的面积为Rt△ACB与Rt△DBC的面积之差． 9．如图，平分，且，点为上任意点，于，，交于，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB于E， ∵∠AOB=60°，OC平分∠AOB， ∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=30°， ∵PM⊥OA，∴OP=2PM，PE=PM， ∵OM=3，而OM2+PM2=OP2， ∴32+PM2=（2PM）2，解得PM=； ∴PE=PM=； 又∵PD∥OA，∴∠PDE=∠AOB=60°， ∴∠DPE=30°，∴DE=PD， 而PE2+DE2=DP2， ∴（）2+（PD）2=PD2，解得PD=2. 故答案为：A. 【分析】如图，过点P作PE⊥OB于E，在直角三角形POM中，由30度角所对的直角边等于斜边的一半可得OP=2PM，然后用勾股定理可得关于PM的方程，解方程求出PM=PE的值，由平行线的性质可得∠PDE=∠AOB，同理可求得PD的值. 10．下列四组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（　　） A．5，12，13 B．2，3，4 C．1，， D．1，2， 【答案】B 【解析】【解答】解：A、，则此项能作为直角三角形三边长，不符合题意； B、，则此项不能作为直角三角形三边长，符合题意； C、，则此项能作为直角三角形三边长，不符合题意； D、，则此项能作为直角三角形三边长，不符合题意； 故答案为：B． 【分析】根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可. 11．如图，已知圆柱高为8cm，底面圆的周长为12cm，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B处吃食，那么它爬行的最短路程是（　　） A．20cm B．15cm C．12cm D．10cm 【答案】D 【解析】【解答】解：圆柱的侧面展开图如下，连接AB， ∵底面圆的周长为12cm， ∴AD=AC=×12=6， 在Rt△ABD中， ， ∵两点之间线段最短，此时AB的长最短， ∴最短路程为10cm. 故答案为：D 【分析】画出圆柱的侧面展开图，根据已知条件可求出AD的长，利用勾股定理求出AB的长，再根据两点之间线段最短，可得到最短路程的长就是线段AB的长. 12．如图是一个底面为等边三角形的三棱镜，在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为5cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为（　　） A．8cm B．13cm C．12cm D．15cm 【答案】B 【解析】【解答】解：将三棱柱沿AA′展开，其展开图如图： 则AA′(cm) . 故答案为：B. 【分析】将三棱柱沿AA′展开，然后利用勾股定理进行计算即可. 13．如图，在 中， ，点 、 分别是 、 的中点，在 上找一点 ，使 最小，则这个最小值是（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】作E点关于CD的对称点点F，连接AF，AF与CD的交点即为P点， 此时PA+PE=PA+PF=PA最小， ∵AC=BC，D是AB的中点， ∴CD平分∠ACB， ∴线段AC和线段BC关于线段CD对称， ∴对称点F恰好在线段BC上， ∵E是AC中点， ∴AE=EC=2， ∴CF=2， ∴AF= = . 故答案为：A. 【分析】作E点关于CD的对称点点F，连接AF，AF与CD的交点即为P点，此时PA+PE=PA+PF=PA最小，根据等腰三角形的三线合一得出CD平分∠ACB，根据对称性得出线段AC和线段BC关于线段CD对称，故对称点F恰好在线段BC的中点上，然后根据勾股定理算出AF的长。 14．如图，在数轴上点A，B所表示的数分别为-1，1，CB⊥AB，BC=1，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点D（点D在点B的右侧），则点D所表示的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：由题意可得， AB=2，BC=1，AB⊥BC， ∴AC= ， ∴AD= ， ∴点D表示数为： -1， 故答案为：B. 【分析】根据题意，利用勾股定理可以求得AC的长，从而可以求得AD的长，进而可以得到点D表示的数． 15．有一个棱长为1m且封闭的正方形体纸箱，一只蚂蚁沿纸箱表面从顶点A爬到顶点B，那么这只蚂蚁爬行的最短路程是（　　) A．3m B．m C．m D．m 【答案】C 【解析】【解答】解：如图： 因为BC=1m，AC=2m， 所以AB==m． 故选C． 【分析】由于纸箱为正方体，且A、B两点对称，故将其按任意方式展开，连接A、B即可求得蚂蚁爬行的最短路程． 16．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（　　） ①a= ，b= ，c= ②a=6，∠A=45°；③∠A=32°，∠B=58°；④a=7，b=24，c=25 ⑤a=2，b=2，c=4． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【解析】【解答】解：① ，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故不是； ②a=6，∠A=45不是成为直角三角形的必要条件，故不是； ③∠A=32°，∠B=58°则第三个角度数是90°，故是； ④72+242=252，根据勾股定理的逆定理是直角三角形，故是； ⑤22+22≠42，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故不是． 故选A． 【分析】计算出三角形的角利用定义判定或在知道边的情况下利用勾股定理的逆定理判定则可． 17．如图，过正方形的顶点作直线，点、到直线的距离分别为和，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AC，∠ABC=90°． ∵∠ABE+∠EAB=90°，∠ABE+∠CBF=90°， ∴∠EAB=∠CBF． 又∠AEB=∠CFB=90°， ∴△ABE≌△BCF（AAS）． ∴BE=CF=4． 在Rt△ABE中，利用勾股定理可得AB=＝=5． 则AC=AB=5． 故答案为：A． 【分析】先利用“AAS”证明△ABE≌△BCF，可得BE=CF=4，再利用勾股定理可得AB=＝=5，因此AC=AB=5。 18．如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°， AC、BC的长分别为6、8，则∠CAB的平分线AP的长为（　　） A．3 B．4 C．3 D．4 【答案】A 【解析】【解答】解：如图，作FD⊥AB， ∵∠C=90°，AP平分∠CAB， ∴PD=PC，AD=AC， ∵AB==10， 设PC=x， 则PD=x， PB=BC-PC=4-x， BD=AB-AD=10-6=4， ∵PB2=PD2+BD2， ∴（8-x）2=x2+42， 解得：x=3， ∴AP=. 故答案为：A. 【分析】作FD⊥AB，根据角平分线性质定理可得PD=PC，AD=AC， 设PC=x，把△PDB的各边用含x的代数式表示，利用勾股定理列等式，求出PC的长，在△APC中，利用勾股定理即可求出AP的长. 19．若一个直角三角形的一条直角边长是7cm，另一条直角边比斜边短1cm，则斜边长为（　　） A．18 cm B．20 cm C．24 cm D．25 cm 【答案】D 【解析】【解答】解：设直角三角形的斜边是xcm，则另一条直角边是（x﹣1）cm． 根据勾股定理，得 （x﹣1）2+49=x2， 解得：x=25． 则斜边的长是25cm． 故选D． 【分析】设直角三角形的斜边是xcm，则另一条直角边是（x﹣1）cm．根据勾股定理列方程求解即可． 20．一个直角三角形的两条直角边分别是5和12，则斜边是（　　） A．13 B．12 C．15 D．10 【答案】A 【解析】【解答】解；由一个直角三角形的两条直角边分别是5和12， 利用勾股定理得斜边长为=13． 故选A． 【分析】此题利用勾股定理a2+b2=c2可直接得出答案． 21．如图，点，都在格点上，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】由网格可知：AB= ∵ AC= ∴ BC=AB-AC 则 故答案为：C. 【分析】本题考查网格中勾股定理的计算。 根据AB所在直角三角形，利用勾股定理计算出AB的长，再根据线段的和差即可求出BC的长。 22．下列以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（　　） A．a＝1，b＝1，c＝ B．a＝2，b＝3，c＝ C．a＝3，b＝5，c＝7 D．a＝6，b＝8，c＝10 【答案】C 【解析】【解答】解：、，该三角形是直角三角形，故此选项不符合题意； 、，该三角形是直角三角形，故此选项不符合题意； 、，该三角形不是直角三角形，故此选项符合题意； 、，该三角形是直角三角形，故此选项不符合题意； 故答案为：C． 【分析】利用勾股定理的逆定理逐项判断即可。 23．如图， 点 M 是线段的中点，于点C，于点 D， 连接．若则的长为（ ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【解析】【解答】解：延长交于点E， ∵ ∴ ∴， ∵点M是线段的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，AC=2 ∴， 在中， ， ∴， 故选：A． 【分析】延长交于点E，根据ASA证明：，得出，最后在中，利用勾股定理：求出DE，而DM是DE的一半. 24．如图，，，，点A在点O的北偏西方向，则点B在点O的（　　） A．北偏东 B．北偏东 C．东偏北 D．东偏北 【答案】B 【解析】【解答】解：∵，，， ∴， ∴∠AOB=90°， 又∵点A在点O的北偏西方向，90°-40°=50°， ∴点B在点O的北偏东50°， 故答案为：B. 【分析】利用勾股定理先求出，再求出∠AOB=90°，最后计算求解即可。 25．如图， 在 Rt 中， ， 和 分别是 边上的高和中线． 若 ， 则 的长是(　　) A．3 B．4 C．5 D． 【答案】B 【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线， ∴AE＝CE＝AB， ∵AD＝2，DE＝3， ∴AE＝5， ∴CE＝5， 在Rt△CDE中，CD＝． 故答案为：B． 【分析】先利用直角三角形斜边上中线的性质可得CE＝5，再利用勾股定理求出CD的长即可. 26．如图，在△ABC中，AB=AC，AB=8，BC=12，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B．16π﹣32 C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：设半圆与底边的交点是D，连接AD． ∵AB是直径， ∴AD⊥BC． 又∵AB=AC， ∴BD=CD=6． 根据勾股定理，得 AD= =2 ． ∵阴影部分的面积的一半=以AB为直径的半圆的面积﹣三角形ABD的面积 =以AC为直径的半圆的面积﹣三角形ACD的面积， ∴阴影部分的面积=以AB为直径的圆的面积﹣三角形ABC的面积=16π﹣ ×12×2 =16π﹣12 ． 故答案为：D． 【分析】设半圆与底边的交点是D，连接AD．利用直径所对的圆周角是直角得出AD⊥BC．再由等腰三角形底边上的三线和一得出BD=CD，由勾股定理得出AD的长度，由于阴影部分的面积的一半=以AB为直径的半圆的面积﹣三角形ABD的面积=以AC为直径的半圆的面积﹣三角形ACD的面积，得出阴影部分的面积=以AB为直径的圆的面积﹣三角形ABC的面积，算出答案。 27．如图，四边形 中， ， ， ，点M是对角线 的中点，点N是 边的中点，连结 ， ，若 ，则线段 的长是（　　） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【解析】【解答】解：∵ ， ， ， ∴ ， ∵点M是对角线 的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵点N是 边的中点， ∴ ； 故答案为：C. 【分析】首先由勾股定理可求出AC，根据线段中点的概念可得BM，进而求出MN，最后再次利用线段中点的概念进行求解. 28．若直角三角形的两条直角边的长分别为6和8，则斜边上的中线长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：直角三角形的两条直角边的长分别为6和8， 斜边为． 斜边上的中线长是5． 故答案为：D． 【分析】首先利用勾股定理求出斜边，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解。 29．在 中，若 ，则下列说法正确的是（　　） A． 是锐角三角形 B． 是直角三角形且 C． 是钝角三角形 D． 是直角三角形且 【答案】D 【解析】【解答】∵ ， ， ∴ ， ∴△ABC是直角三角形，且∠B=90 . 故答案为：D. 【分析】根据勾股定理逆定理若则三角形是直角三角形且∠C=90°可得结果. 30．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD是AB边上的中线，则CD的长是（　　） A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】D 【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝ ＝ ＝10． 又∵CD是AB边上的中线， ∴CD＝ AB＝5． 故答案为：D． 【分析】根据勾股定理即可得到AB=10，继而根据CD为AB上的中线，求出CD的值。 31．锐角△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（　　） A．42 B．32 C．52 D．51 【答案】A 【解析】【解答】如图， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=90°， 在Rt△ABD中，AB=15，AD=12，∴BD= =9， 在Rt△ACD中，AC=13，AD=12，∴CD= =5， ∴BC=BD+CD=14， ∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=15+13+14=42， 故答案为：A. 【分析】根据题意画出图形，然后根据勾股定理求出BD、DC的长，继而根据三角形周长公式进行求解即可. 32．如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知，且，则的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D． 【答案】C 【解析】【解答】解：∵， ∴， 即， ∵ ∴， ∵， ∴， 故C正确． 故选：C． 【分析】根据圆的面积公式，结合列出等式，借助勾股定理进行整理可得，结合完全平方公式求解即可． 33．如图，一圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是（　　）． A． B． C．3 D．9 【答案】A 【解析】【解答】解：由题意可得，圆柱展开图如图所示，根据两点间线段最短，连接，即为最短距离， ∵圆柱体的底面圆周长为，高为， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 故选：A． 【分析】把圆柱的侧面展开，根据两点间线段最短，利用勾股定理解答即可. 34．如图，在平面直角坐标系中， 的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30度，C为OA的中点，BC=1，则A点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：如图，过A点作 轴于D点， 的斜边 在第一象限，并与 轴的正半轴夹角为 . ， ， 为 的中点， ， ， ， 则点 的坐标为： ， . 故答案为：B. 【分析】根据题画出图形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 的值，再根据勾股定理可得 的值，进而可得点 的坐标. 35．如图，中，，AD平分与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若的面积是24，，则PE的长是（　　） A．2.5 B．2 C．3.5 D．3 【答案】A 【解析】【解答】解：如图，连接DE，取AD的中点G，连接EG， ∵AB=AC，AD平分与BC相交于点D， ∴AD⊥BC，BD=CD， ∴S△ABD==12， ∵E是AB的中点， ∴S△AED==6， ∵G是AD的中点， ∴S△EGD==3， ∵E是AB的中点，G是AD的中点， ∴EGBC，EG=BD=CD， ∴∠EGP=∠FDP=90°， ∵F是CD的中点， ∴DF=CD， ∴EG=DF， ∵∠EPG=∠FPD， ∴△EGP≌△FDP（AAS）， ∴GP=PD=1.5， ∴GD=3， ∵S△EGD==3，即， ∴EG=2， 在Rt△EGP中，由勾股定理，得 PE==2.5， 故答案为：A． 【分析】，连接DE，取AD的中点G，连接EG，先利用“AAS”证明△EGP≌△FDP可得GP=PD=1.5，再利用S△EGD==3，即，求出EG的长，最后利用勾股定理求出PE的长即可。 36．在平面直角坐标系中，点A（0，-1），点B（4，2），点C在坐标轴上，使∠ACB为直角的点C有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】【解答】当C在y轴上时，有∠ACB=90°，此时C（0，2）； 当C在x轴上时，设C（x，0），假设∠ACB=90°，则有：AC2+BC2=AB2. ∴1+x2+(x-4)2+22=42+32 整理得：x2-4x-2=0 解得： ， ∴点C的坐标为：（，0 ），（，0） 故点C有三个. 故答案为：C. 【分析】点C在坐标轴上，分两种情况，一种为点C在x轴上；一种为点C在y轴上。根据每一种的情况画出大致图形，可得出点C在y轴上时，可直接观察出点C的坐标为（0，2）；当点C在x轴上时，根据勾股定理确定出点C的坐标，存在两个不同的位置，合计点C的位置共有三个，即答案为C。 37． 在学习勾股定理时，甲同学用四个相同的直角三角形直角边长分别为，，斜边长为构成如图所示的正方形；乙同学用边长分别为，的两个正方形和长为，宽为的两个长方形构成如图所示的正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（　　） A．甲 B．乙 C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以 【答案】A 【解析】【解答】解：甲同学的方案：， ∴， ∴， ∴甲同学的方案可以证明勾股定理； 乙同学的方案：，无法得到， ∴乙同学的方案不可以证明勾股定理； 故答案为：A. 【分析】结合图形，利用面积间的关系证明勾股定理即可。 38．以下列数据为三角形的三边长，能够成直角三角形的是（　　） A．1，，4 B．，， C．1，，1 D．6，7，8 【答案】C 【解析】【解答】解：A、∵ 12+（）2=4≠42，∴此三边不能够成直角三角形 ，故不符合题意； B、 ∵（）2+（）2=7≠（）2，∴此三边不能够成直角三角形 ，故不符合题意； C、∵ 12+12=2=（）2，∴此三边能够成直角三角形 ，故符合题意； D、∵ 62+72=85≠82，∴此三边不能够成直角三角形 ，故不符合题意； 故答案为：C. 【分析】根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可. 39．如图，在 中，以点 为圆心，任意长为半径作弧，交射线 于点 ，交射线 于点 ，再分别以 、 为圆心， 的长为半径，两弧在 的内部交于点 ，作射线 ，若 ，则 两点之间距离为（　　） A．10 B．12 C．13 D． 【答案】B 【解析】【解答】连接CD，交OE于点F． 由作法知，OC=OD=CE，OE平分∠AOB， ∴AE⊥CD， ∴OF= OE=8． 在Rt△OCF中， CF= ， ∴CD=2CF=12． 故答案为：B． 【分析】连接CD，交OE于点F．根据等腰三角形的性质可证AE⊥CD，利用三线合一可求出OF=8，然后利用勾股定理求出CF，进而可求出CD的长． 40．在 中， ， ， .下列关于a的四种说法：①a是无理数；②a可以用数轴上的一个点来表示；③a是8的算术平方根；④ .其中，所有正确的说法的序号是（　　） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④ 【答案】C 【解析】【解答】解：∵ 中， ， ， ， ∴ ， ① 是无理数，说法正确； ②a可以用数轴上的一个点来表示，说法正确； ③a是8的算术平方根，说法正确； ④∵4＜8＜9，∴ ，即2＜a＜3，说法错误； 所以说法正确的有①②③. 故答案为：C. 【分析】利用勾股定理求出a的值，根据a的值，可对①作出判断；根据实数与数轴上的点成一一对应，可对②作出判断；利用正数的算术平方根是正数，可对③作出判断；利用估算无理数的大小方法，可知，可对④作出判断，综上所述可得到正确说法的个数. 41．下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（　　） A．三个角的比是2：3：5 B．三条边a，b，c满足关系a2＝c2﹣b2 C．三条边的比是2：3：5 D．三边长为1，2， 【答案】C 【解析】【解答】A、三个角的比是2：3：5，可得最大角＝，是直角三角形，不符合题意； B、三条边a，b，c满足关系a2＝c2﹣b2，可得：a2+b2＝c2，是直角三角形，不符合题意； C、三条边的比是2：3：5，设三边分别为，（2x）2+（3x）2≠（5x）2，不是直角三角形，符合题意； D、12+（）2＝22，是直角三角形，不符合题意； 故答案为：C． 【分析】根据直角三角形的判定方法对每个选项一一判断即可。 42．如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解析】【解答】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线， ∴AD⊥BC，BD=CD， ∵AB=5，AD=3， ∴BD= =4， ∴BC=2BD=8， 故选C． 【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD=CD，根据勾股定理即可得到结论．本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 43．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以BC，AB，AC为边向外作正方形面积分别记为S1，S2，S3．若S2＝6，S3＝10．则面积为S1的正方形的边长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】【解答】解： 中， ， ， ， ， ， ， ． 则 边长为2， 故答案为：B． 【分析】先根据勾股定理求出三角形ABC的三边关系，再根据正方形的性质即可求出 的值。 44．以下各组数为三角形的三条边长，其中不能构成直角三角形的是（　　） A．3，4，5 B．6，8，10 C．1，1，2 D．5，12，13 【答案】D 【解析】【解答】解：A、32+42=52，能组成直角三角形，故此选项错误； B、62+82=102，能组成直角三角形，故此选项错误； C、12+12≠22，不能组成直角三角形，故此选项正确； D、52+122=132，能组成直角三角形，故此选项错误； 故选：D． 【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 45．如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是（　　） A．3cm2 B．4cm2 C．5cm2 D．6cm2 【答案】C 【解析】【解答】解：由勾股定理得： =5（cm）， ∴阴影部分的面积=5×1=5（cm2）； 故选：C． 【分析】由勾股定理求出直角三角形的斜边长，再由长方形的面积公式即可得出结果． 46．将一个等腰三角形纸板沿垂线段进行剪切，得到三角形①②③，再按如图2方式拼放，其中与共线．若，则的长为（　　） A． B． C．10 D． 【答案】B 【解析】【解答】解：如图，设为为为，图2中的余角为， ∵为等腰三角形，， ， ， ， 结合两图，可得， 设为， 根据勾股定理得， ， 解得：， ， 故选：B． 【分析】 如图所示，直角三角形板 ③ 斜边上的中线恰好与直角三角形板 ① 的斜边共线，即，为便于计算可设出AB的长，则AD可用AB的代数式表示，再根据等腰三角形三线合一可得BD的长，最后在中应用勾股定理即可． 47．如图，在中，P为平面内的一点，连接，若，则的最小值是（　　） A． B．36 C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：分别以、为边在下方构造等边三角形、，分别取、中点，连接，如图所示， ∵取、中点， ∴， ∵等边三角形， ∴， ∵等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时最小， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：A. 【分析】分别以CP、CB为边在下方构造等边△PCQ、△DBC，分别取CQ、CD的中点E、F，连接EF、QD、PE，则EF=QD，PE=PC，PC=QC，DC=BC，∠DCB=60°，CF=DC，利用SAS证明△BPC≌△DQC，得到PB=QD，推出EF=QD=PB，则PA+PB+PC=AP+PE+EF≥AF，故当A、P、F三点共线时，4PA+2PB+PC=4AF最小，据此求解. 48．如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（　　） A． B． C． 5 D． 【答案】A 【解析】【解答】如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD， ∵OD≤OE+DE， ∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大， 此时，∵AB=2，BC=1，∴OE=AE= AB=1. DE= ， ∴OD的最大值为： . 故答案为：A. 【分析】取AB的中点E，连接OE、DE、OD，根据三角形三边的关系可知，当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时OD=OE+DE，再利用勾股定理求出DE的长，根据直角三角形斜边上中线的性质求出OE的长，则DE的长可求. 49．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S9的值为（　　） A．（ ）6 B．（ ）7 C．（ ）6 D．（ ）7 【答案】A 【解析】【解答】如图所示． ∵正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形，∴DE2+CE2=CD2，DE=CE，∴S2+S2=S1．观察发现规律：S1=22=4，S2= S1=2，S3= S2=1，S4= S3= ，…，由此可得Sn=（ ）n﹣3．当n=9时，S9=（ ）9﹣3=（ ）6， 故答案为：A． 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得S2+S2=S1，=4，从而可得S2= S1=2，分别求出S3、S4······，从而求出规律Sn=（ ）n﹣3．最后求出当n=9时的S的值即可. 50．如图 ， 在 Rt 中， ， 以该三角形的三条边为边向外作正方形， 正方形的顶点 都在同一个圆上． 记该圆面积为 面积为 ， 则 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：如图所示， 正方形的顶点都在同一个圆上， 圆心在线段的中垂线的交点上，即在斜边的中点，且AC=MC，BC=CG， ∴AG=AC+CG=AC+BC，BM=BC+CM=BC+AC， ∴AG=BM， 又∵OG=OM，OA=OB， ∴△AOG≌△BOM， ∴∠CAB=∠CBA， ∵∠ACB=90°， ∴∠CAB=∠CBA=45°， ， ， ． 故答案为：C． 【分析】本题考查勾股定理、直角三角形斜边的中线的性质、圆的面积、三角形的面积．先确定圆的圆心在直角三角形斜边的中点，利用线段的运算可得：AG=BM，再根据OG=OM，OA=OB，利用全等三角形的判定定理可证明△AOG≌△BOM，利用全等三角形的性质可得：∠CAB=∠CBA=45°，利用等腰直角三角形的判定定理可证明△ABC是等腰直角三角形，再根据直角三角形斜边中线的性质和三角形的面积计算公式可得：，再利用勾股定理可得：，解得，再进行计算可求出答案. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $