专题02勾股定理易错必刷题型专项训练(29大题型共计87道题)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题02勾股定理易错必刷题型专项训练 本专题汇总二次根式全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区。 题型01.用勾股定理解三角形 题型02.已知两点坐标求两点距离 题型03.勾股数问题 题型04.直角三角形三边相关图形面积 题型05.勾股定理与网格问题 题型06.勾股定理与折叠问题 题型07.勾股定理求两条线段和差 题型08.勾股定理证明线段平方关系 题型09.勾股定理的证明方法 题型10.以弦图为背景的计算题 题型11.用勾股定理构造图形解决问题 题型12.梯子滑落问题 题型13.旗杆高度问题 题型14.求小鸟飞行距离 题型15.求大树折断前的高度 题型16水杯中筷子问题. 题型17.航海问题 题型18.求河宽问题 题型19.台阶上地毯长度问题 题型20.汽车是否超速问题 题型21.判断是否受台风影响问题 题型22.等距选址问题 题型23.求最短路径问题 题型24.判断三边能否构成直角三角形 题型25.已知两点找点构造直角三角形 题型26.在网格中判断直角三角形 题型27.利用勾股定理逆定理求解 题型28.勾股定理逆定理的实际应用 题型29.勾股定理逆定理拓展问题 易错必刷题型01.用勾股定理解三角形 典型特征：已知直角三角形两条边长，求第三条边长 易错点：不分类讨论谁是斜边，直接默认固定直角边，漏解、少算一种答案 1．如图，在中，，，，在上截取，在上截取，则________． 2．如图，在中，，点是边的中点，点为边上一动点，平分交于点，点是线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 3．如图，在中，点是上一点，连接．已知，． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，，求的长． 易错必刷题型02.已知两点坐标求两点距离 典型特征：平面直角坐标系给两个点坐标，求线段长度 易错点：坐标差值算错、忘记平方再开根号、正负号看错 4．点在平面直角坐标系中，则点P到原点的距离是_______． 5．已知点，点，点在轴上，并且满足，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 6．阅读材料：对于平面直角坐标系中的任意两点、，我们把叫作、两点间的距离，记作．如、，则．请根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)若、，则 ； (2)当、的距离时，求出的值； (3)若在平面内有一点，使式子有最小值，请求出这个最小值． 易错必刷题型03.勾股数问题 典型特征：以直角三角形三边向外作正方形，求面积、边长 易错点：记反面积规律，不会逐层推导，面积和关系搞混 7．若5、m、13是一组勾股数，则m的值为________． 8．若3、4、a为勾股数，则a的相反数的值为（　　） A． B．5 C．或 D．5或 9．阅读理解并解答问题 如果、、为正整数，且满足 那么，、、叫做一组勾股数． (1)请你根据勾股数的意思，说明为什么是一组勾股数； (2)如果表示大于1的整数，且，，，请你根据勾股数的意思，说明、、为勾股数． 易错必刷题型04.直角三角形三边相关图形面积 典型特征：三边作半圆、等边三角形、相似图形求面积关系 易错点：只以为正方形满足规律，其他图形不会套用，面积比例算错 10．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．正方形，，，的面积分别是，，，，则正方形的面积是______． 11．下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 12．探究不同情境，回答下面问题： (1)【初步探究】如图①，分别以三条边为边向外作正方形，其面积分别用表示．请写出之间满足的等量关系，并说明理由． (2)【类比探究】如图②，分别以三条边为直径向外作半圆，其面积分别用表示，请写出之间满足的等量关系，并说明理由． (3)【探究应用】如图③，分别以三条边为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别用表示，则之间满足的等量关系是 ． (4)【拓展应用】如图④，在四边形中，，现以四边形的四条边为边向外作正方形，其面积分别为．请写出之间满足的等量关系，并说明理由． 易错必刷题型05.勾股定理与网格问题 典型特征：方格网格里求线段长、判断三角形形状、算面积 易错点：数错网格格数、不会用勾股算斜边、乱判直角三角形 13．如图，在方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．以点D，E为两个顶点作格点三角形，使所作的格点三角形与格点三角形全等，则这样的格点三角形最多可以画出______个． 14．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 15．如图，正方形网格中每个小正方形边长都是，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形： (1)在网格中画出长为的线段． (2)在网格中画出一个腰长为、面积为的等腰． 易错必刷题型06.勾股定理与折叠问题 典型特征：矩形、三角形折叠，利用边长相等求线段长度 易错点：折叠对应边找错、不会设未知数列方程、直角三角形找不准 16．如图，在中，，将点A沿折叠，恰好可以落在点B处，则_____． 17．如图，将长方形纸片对折后展开，折痕为，点为上一点，将沿折叠，使点落到上的点处，若，则的长是（   ） A．8 B． C．6 D． 18．已知，四边形为长方形，，，点E由点D向运动，点F由点D向运动．将沿BF折叠，点C恰好落在点E处时，求此时的长； 易错必刷题型07.勾股定理求两条线段和差 典型特征：图形中求线段平方和、平方差，不直接求边长 易错点：不会作辅助线构造直角三角形，公式变形混乱 19．如图，四边形的对角线，相交于点．若，则______． 20．如图，在中，，，点、为上两点，点为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②③④ C．①③④ D．①②④ 21．如图，在中，，，点在边上，连接，在的右侧作，，连接，． (1)猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由： (2)若，．求的长． 易错必刷题型08.勾股定理证明线段平方关系 典型特征：几何证明题，证线段平方相加、相减相等关系 易错点：不会构造直角三角形，证明步骤跳步、逻辑不完整 22．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则_________． 23．如图，在四边形中，，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 24．在中，已知，，，若，如图1，由勾股定理可得结论：（；若（如图2）或（如图3）时，请你完成下列探究： (1)猜想：（i）若，则___________；（填“”“”或“”） （ii）若，则___________；（填“”“”或“”） (2)任选上述中的一个猜想证明其正确性． 易错必刷题型09.勾股定理的证明方法 典型特征：赵爽弦图、面积法证明勾股定理 易错点：图形面积拆分错误，整体面积和部分面积对应不上 25．在证明勾股定理时，甲乙两位同学给出了下图所示的两种方案，则方案正确的是__________．（填“甲”或“乙”） 26．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． .C． D． 27．如图，，，若，． (1)求证：； (2)若，，，连接，，利用不同方法计算四边形的面积，从而证明勾股定理． 易错必刷题型10.以弦图为背景的计算题 典型特征：赵爽弦图图形，已知边长求大、小正方形面积、边长 易错点：弦图里直角边、小正方形边长关系分不清，列式错误 28．新考法  如图所示，第七届国际数学教育大会（ICME-7）会徽的主体图案是由一连串有公共顶点O的直角三角形演化而成的．如果，那么为________． 29．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用表示直角三角形的两条直角边长，下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②③④ 30．阅读理解：美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长之间的一个重要结论：． (1)如图1，已知：．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：四个直角三角形全等，且， 正方形的边长为　　　　　， ，且（等面积法）， 　　　　　+　　　　　 ． (2)如图2，四边形是直角梯形，，其中．求证：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，求这个风车图案的面积． 易错必刷题型11.用勾股定理构造图形解决问题 典型特征：数轴上画无理数长度、画图构造直角三角形 易错点：构造直角边搭配错误，数轴找点单位长度看错 31．一无人超市门口的墙AB上装有一个传感器P，离地面高度，当人从门外走到离该传感器及以内时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高的小明走到处时，恰好响起“欢迎光临”，则的长为________． 32．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知，且．则的最小值是（    ） A．8 B．10 C．34 D． 33．如图，在中，． (1)求的长度； (2)D是上的一点，并且，求的长． 易错必刷题型12.梯子滑落问题 典型特征：梯子靠墙滑动，求滑动前后高度、水平距离 易错点：梯子总长不变这个关键点忽略，前后两个直角三角形混淆 34．如图，长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为0.7m，梯子顶端到地面的距离为________． 35．《九章算术》中有这样一道题目，大意为：如图，今有墙高为1丈，倚木杆于墙，使木杆之上端与墙的上端平齐，牵引木杆下端退行1尺，则木杆（从墙上）滑落至地上（即），问木杆长是多少？设木杆长x尺，根据题意可列方程为（1丈尺）（   ） A． B． C． D． 36．如图，已知一架梯子斜靠在墙角处，竹梯，梯子底端离墙角的距离． (1)求这个梯子顶端A距地面有多高； (2)如果梯子的顶端A下滑到点C，那么梯子的底部B在水平方向上滑动的距离吗？为什么？ .易错必刷题型13.旗杆高度问题 典型特征：绳子拉旗杆，求旗杆垂直高度 易错点：直角边斜边对应弄反，实际场景不会转化直角三角形 37．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千绳索的长度是______． 38．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 39．假日里，淇淇一家在广场放风筝．如图，测得放飞点与风筝的水平距离为，根据手中余线的长度，计算出的长度为，牵风筝线的手到地面的距离为，点A、B、C、D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)若想要让风筝沿射线方向再上升，还需放线多少米． 易错必刷题型14.求小鸟飞行距离 典型特征：两棵不同高度树木，求鸟飞过的直线距离 易错点：不会算树木高度差，直角边找错，不用勾股直接乱算 40．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行_____米． 41．如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 42．如图所示，有两根直杆隔河相对，一杆高30m，另一杆高，两杆相距．现两杆上各有一只鱼鹰，他们同时看到两杆之间的河面上E处浮起一条小鱼，于是以同样的速度同时飞下来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼．则两杆底部距小鱼E处的距离各是多少？ 易错必刷题型15.求大树折断前的高度 典型特征：大树折断倾倒，求树木原本总高度 易错点：只算折断斜边，忘记加上地面剩余树干高度 43．如图，一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端4尺处折断处离地面的高度是______尺（1丈＝10尺） 44．如图，一棵树在离地面处断裂，树的顶部落在离底部处，则这棵树折断前有（    ） A． B． C． D． 45．如图，一根直立于水平地面的木杆在离地面的处折断，木杆顶端落在离木杆底端的处． (1)求木杆折断之前的高度； (2)如果该木杆在点的下方的点处折断，木杆顶端落在水平地面的处，在距离木杆底端的的处有棵小草，那么小草是否会被砸到？（小草的高度忽略不计，两点在点的同侧．） 易错必刷题型16水杯中筷子问题. 典型特征：水杯里放筷子，求杯内、杯外筷子长度 易错点：水杯直径、高当成直角边，对应关系找错 46．一种盛饮料的圆柱形杯子，测得内部底面半径为，高为，吸管放进杯里（如图），杯口外面至少要露出，为节省材料，吸管长的取值范围是_______． 47．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面圆的直径是，内壁高是．这支铅笔长为，设这支铅笔在笔筒外面部分的长度为x，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 48．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这根芦苇的长度为多少尺？ 易错必刷题型17.航海问题 典型特征：船向正东正北航行，求两点相距距离 易错点：航向分不清，不会构造直角，直接加减路程计算 49．如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口向西北方向航行，它们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距________海里． 50．从海岛A上观测，海岛B在海岛A的南偏东30°的位置，且距离为30海里．轮船C与轮船D均在海岛B的正北方向上，同时向海岛A发出燃料补给请求．此时轮船C与海岛A相距20海里，轮船D与海岛B相距40海里．补给船从海岛A出发向轮船C与轮船D运送燃料，下列有关轮船C与轮船D的位置说法正确的是（    ） A．轮船C的位置能唯一确定，轮船D的位置能唯一确定 B．轮船C的位置能唯一确定，轮船D的位置不能唯一确定 C．轮船C的位置不能唯一确定，轮船D的位置能唯一确定 D．轮船C的位置不能唯一确定，轮船D的位置不能唯一确定 51．在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是80海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口B与灯塔C的距离是60海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为20海里/小时． (1)货船从港口A航行到港口B需要多少时间． (2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为50海里，这艘货船在由港口A向港口B运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1小时才符合航行安全标准．请问这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 易错必刷题型18.求河宽问题 典型特征：利用岸边距离、斜跨距离，求河流宽度 易错点：河宽不是斜边，容易找错直角边位置 52．为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．某学校的八年级（1）班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点F与欲到达地点E相距10米（即米），结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，，则河的宽度为______米． 53．为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点与欲到达地点相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 54．如图，长方形为一个花园，其中米，米，在花园内修一条长米的笔直小路，小路出口一端选在边上距点3米处，另一端出口应选在边上距点几米处？ 易错必刷题型19.台阶上地毯长度问题 典型特征：求铺满台阶需要的地毯总长 易错点：不会平移转化水平+竖直总长，错算成台阶斜边长 55．如图，在一个高为 的楼梯表面铺地毯，地毯的总长度为，则楼梯斜面的长为_______m． 56．如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，若点A处有一只蚂蚁，它从点A处爬过木块到达点C处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是（   ）    A． B． C． D． 57．某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，． (1)求BC的长； (2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶． 易错必刷题型20.汽车是否超速问题 典型特征：已知路程时间，结合勾股求距离，判断车速 易错点：米和千米、秒和小时单位换算错误，速度公式混用 58．为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线单向单排通过校门口，测温仪C与直线的距离为，已知测温仪的有效测温距离为，则学生沿直线行走时测温的区域长度为______ 59．交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？    60．如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方12米的处，过了0.5秒，小汽车到达处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为20米．这辆小汽车在段的速度约是多少米/秒？若此路段限速120千米/小时，问该小汽车是否超速，说明理由． 易错必刷题型21.判断是否受台风影响问题 典型特征：求点到台风路线最短距离，判断是否受影响 易错点：不会用勾股求垂线段最短，距离和半径对比判断错误 61．如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离．已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在______时间段内做预防工作． 62．如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以20米/秒的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（    ）    A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒 63．如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在被开发，现有一处需要爆破．已知、两点之间的距离为，、两点之间的距离为，且，为了安全起见，爆破点周围半径范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路段是否有危险？并说明理由． 易错必刷题型22.等距选址问题 典型特征：找一个点，到两个地点距离相等，求位置边长 易错点：不会设未知数列勾股方程，等量关系找不对 64．在笔直的铁路上、两点相距，、为两村庄，，，于，于，现要在上建一个中转站，使得、两村到站的距离相等．则应建在距________． 65．如图铁路上、两点相距千米，、为铁路两边的两个村庄，，，垂足分别为和，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个候车点，使得、两村到该候车点的距离相等．则候车点应距点（   ）    A．12千米 B．16千米 C．20千米 D．24千米 66．如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．，快递投放点C的正北方向有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． (1)求小区A到快递投放点C的距离． (2)在街道l上有另一个快递投放点D到小区A与快递投放点B的距离相等，求快递投放点B，D之间的距离． 易错必刷题型23.求最短路径问题 典型特征：长方体、圆柱表面，求两点之间最短路线 易错点：立体图形不会展开平面，展开方式找错，直角边搭配错误 67．如图，圆柱的底面周长是，高是，一只蚂蚁在点想吃到点的食物，需要爬行的最短路径是________． 68．如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程为（杯壁厚度不计）（    ） A． B．25 C． D．13 69．如图，A，B两块试验田相距200，C为水源地，，为了方便灌溉，现有下面两种方案修筑水渠． 甲方案：从水源地C分别沿线段修筑两条水渠到A，B两块试验田． 乙方案：过点C作的垂线，垂足为H，先从水源地C沿线段修筑一条水渠到所在直线上，再从H分别沿线段向A，B两块试验田进行修筑． 以上两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短?请通过计算说明． 易错必刷题型24.判断三边能否构成直角三角形 典型特征：给三条边长，判断是不是直角三角形 易错点：不先找最长边，随便两边平方和对比，计算平方出错 70．在平面直角坐标系中，已知点，，，那么是___________三角形．（填“等腰”或“直角”或“等腰直角”） 71．在中，，，的对边分别是，，，下列条件中，不能判断为直角三角形的是（    ） A．，， B． C． D． 72．如图，中山路一侧有两个送奶站，为中山路上一供奶站，测得，． (1)求的度数； (2)小明从点处出发，沿中山路向东一直行走，求小明与送奶站的最近距离． 易错必刷题型25.已知两点找点构造直角三角形 典型特征：给两个定点，找点组成直角三角形 易错点：不分类讨论直角在哪个点，漏找多种答案 73．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 74．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 75．如图，A，B，P是方格纸中的格点．请按要求画以为边的格点三角形（顶点在格点上）． (1)在图1中画一个直角三角形，使点P在的内部（不包括边界）． (2)在图2中画一个等腰三角形，使点P在一边的中垂线上． 易错必刷题型26.在网格中判断直角三角形 典型特征：网格格点三角形，判断是否为直角三角形 易错点：三边长度算错，不会用逆定理验证，盲目判断 76．如图，在的正方形网格中标出了和，则_____． 77．如图，每个小正方形的边长为1，则的长和的面积分别为（   ） A．，8 B．40，8 C．，16 D．40，16 78．如图，正方形网格中的，若小方格边长为1． (1)判断是否为直角三角形并说明理由； (2)求最长边上的高． 易错必刷题型27.利用勾股定理逆定理求解 典型特征：先判定直角三角形，再求边长、周长、面积 易错点：勾股定理和逆定理混用，判断完直角忘记再计算 79．如图，点E在边长为13的正方形内，，，求出图中阴影部分的面积是______． 80．如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积为（    ） A．30 B．32 C．36 D．40 81．某中学计划在如图所示的阴影区域展示学生学习数学知识的笔记，现测得，，，，，试求阴影部分的面积． 易错必刷题型28.勾股定理逆定理的实际应用 典型特征：生活场景用三边长度，判断是否垂直、是否直角 易错点：实际问题不会转化成三边，计算粗心出错 82．如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路．经测量，，，现需新修建一条从学校到公路的路，则学校到公路的最短距离为______． 83．如图，一块四边形地，已知，，，，，则这块地的面积为（    ） A． B． C． D． 84．如图，有一辆环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为和，，环卫车周围以内为受噪声影响区域． (1)学校C会受噪声影响吗？为什么？ (2)若环卫车噪声影响该学校持续的时间有，求环卫车的行驶速度为多少？ 易错必刷题型29.勾股定理逆定理拓展问题 典型特征：判断锐角、钝角三角形，勾股数规律探究 易错点：不会用最长边平方大小判断角的类型，勾股数规律记混 85．若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是(   ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 86．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形． 87．定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02勾股定理易错必刷题型专项训练 本专题汇总二次根式全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区。 题型01.用勾股定理解三角形 题型02.已知两点坐标求两点距离 题型03.勾股数问题 题型04.直角三角形三边相关图形面积 题型05.勾股定理与网格问题 题型06.勾股定理与折叠问题 题型07.勾股定理求两条线段和差 题型08.勾股定理证明线段平方关系 题型09.勾股定理的证明方法 题型10.以弦图为背景的计算题 题型11.用勾股定理构造图形解决问题 题型12.梯子滑落问题 题型13.旗杆高度问题 题型14.求小鸟飞行距离 题型15.求大树折断前的高度 题型16水杯中筷子问题. 题型17.航海问题 题型18.求河宽问题 题型19.台阶上地毯长度问题 题型20.汽车是否超速问题 题型21.判断是否受台风影响问题 题型22.等距选址问题 题型23.求最短路径问题 题型24.判断三边能否构成直角三角形 题型25.已知两点找点构造直角三角形 题型26.在网格中判断直角三角形 题型27.利用勾股定理逆定理求解 题型28.勾股定理逆定理的实际应用 题型29.勾股定理逆定理拓展问题 易错必刷题型01.用勾股定理解三角形 典型特征：已知直角三角形两条边长，求第三条边长 易错点：不分类讨论谁是斜边，直接默认固定直角边，漏解、少算一种答案 1．如图，在中，，，，在上截取，在上截取，则________． 【答案】 8 【分析】勾股定理求出的长，线段的和差求出的长即可. 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴. 2．如图，在中，，点是边的中点，点为边上一动点，平分交于点，点是线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】在上取点，使，连接，作于点证明，得到，根据垂线段最短的性质知，当点与点重合时，的最小值为的长，进行求解即可． 【详解】解：如图1，在上取点，使，连接，作于点 平分， ， ， ， ， 根据垂线段最短的性质知，当点与点重合时，的最小值为的长， 如图2，连接 在中，， 为中点， ， 即的最小值为． 3．如图，在中，点是上一点，连接．已知，． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由得，结合可得，即可证明是等腰三角形； （2）在中，由勾股定理得，设，则，．在中，由勾股定理得，解得，求出，从而可求出的长． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 是等腰三角形． （2）解：在中，，， 由勾股定理得，． 设，则，． 在中，由勾股定理得，，即． 解得． ． ，， ． ． 易错必刷题型02.已知两点坐标求两点距离 典型特征：平面直角坐标系给两个点坐标，求线段长度 易错点：坐标差值算错、忘记平方再开根号、正负号看错 4．点在平面直角坐标系中，则点P到原点的距离是_______． 【答案】 【分析】利用两点间距离公式，代入点和原点的坐标即可计算求解． 【详解】解：平面直角坐标系中，原点坐标为， 根据两点间距离公式，点到原点的距离 ． 5．已知点，点，点在轴上，并且满足，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标系中两点距离，掌握坐标系中两点的距离公式是解题的关键． 点在轴上，设其坐标为，根据，利用距离公式建立方程求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴=， 两边平方得， 化简得， 解得， 故点的坐标为， 故选B． 6．阅读材料：对于平面直角坐标系中的任意两点、，我们把叫作、两点间的距离，记作．如、，则．请根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)若、，则 ； (2)当、的距离时，求出的值； (3)若在平面内有一点，使式子有最小值，请求出这个最小值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据两点间的距离公式求解即可； （2）根据两点间的距离公式可得，则，解方程即可得到答案； （3）根据题意可得表示的是点到点的距离与点到点的距离之和，根据两点之间，线段最短可得当点在点和点组成的线段上时有最小值，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵、， ∴； （2）解：∵、的距离， ∴， ∴， ∴， 解得或； （3）解： ， ∵表示点到点的距离， 表示点到点的距离， ∴表示的是点到点的距离与点到点的距离之和， 根据两点之间，线段最短可知，当点在点和点组成的线段上时，有最小值，最小值为点与点的距离， ， ∴的最小值为． 易错必刷题型03.勾股数问题 典型特征：以直角三角形三边向外作正方形，求面积、边长 易错点：记反面积规律，不会逐层推导，面积和关系搞混 7．若5、m、13是一组勾股数，则m的值为________． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股数．勾股数是正整数且满足较大的数的平方等于较小的两个数的平方和，理解题意，先分情况讨论m是斜边或13是斜边，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，当m为斜边时，由勾股定理得， 即， 解得，不是正整数，舍去； 当13为斜边时，由勾股定理得， 即， ∴， 解得（负值已舍去）， 故答案为：12． 8．若3、4、a为勾股数，则a的相反数的值为（　　） A． B．5 C．或 D．5或 【答案】A 【分析】根据勾股数定义，勾股数是满足勾股定理的三个正整数，因此分a是斜边、4是斜边两种情况计算，舍去不符合勾股数定义的结果，最后求a的相反数即可． 【详解】解：∵勾股数是能构成直角三角形三边的正整数， ∴a为正整数，分两种情况讨论： 当a为斜边时，根据勾股定理得： ． ∵， ∴，符合勾股数定义； 当4为斜边时，根据勾股定理得： ，解得． ∵不是正整数，不符合勾股数定义，舍去； ∴，a的相反数为，故选A． 9．阅读理解并解答问题 如果、、为正整数，且满足 那么，、、叫做一组勾股数． (1)请你根据勾股数的意思，说明为什么是一组勾股数； (2)如果表示大于1的整数，且，，，请你根据勾股数的意思，说明、、为勾股数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）直接利用勾股数的定义去验证即可； （2）得到即可得到这是一组勾股数． 【详解】（1）解：∵都是正整数， 且，， ∴， ∴是一组勾股数； （2）解：∵表示大于1的整数， ∴，，都是正整数， ∵，， ∴， ∴、、是一组勾股数． 易错必刷题型04.直角三角形三边相关图形面积 典型特征：三边作半圆、等边三角形、相似图形求面积关系 易错点：只以为正方形满足规律，其他图形不会套用，面积比例算错 10．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．正方形，，，的面积分别是，，，，则正方形的面积是______． 【答案】 【分析】根据图形结构，利用勾股定理可知，正方形的面积等于正方形，面积之和与正方形，面积之和的总和，由此即可求解． 【详解】解：设正方形，下方相邻的正方形面积为，正方形，下方相邻的正方形面积为， 根据勾股定理，直角三角形两直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积， ，， 正方形的面积． 11．下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形面积，可以验证勾股定理，再逐个判断即可． 【详解】解：因为，能用面积验证勾股定理，所以A不符合题意； 因为，能用面积验证勾股定理，所以B不符合题意； 因为，能用面积验证勾股定理，所以C不符合题意； 因为，不能用面积验证勾股定理，所以D符合题意． 12．探究不同情境，回答下面问题： (1)【初步探究】如图①，分别以三条边为边向外作正方形，其面积分别用表示．请写出之间满足的等量关系，并说明理由． (2)【类比探究】如图②，分别以三条边为直径向外作半圆，其面积分别用表示，请写出之间满足的等量关系，并说明理由． (3)【探究应用】如图③，分别以三条边为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别用表示，则之间满足的等量关系是 ． (4)【拓展应用】如图④，在四边形中，，现以四边形的四条边为边向外作正方形，其面积分别为．请写出之间满足的等量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) (4)，理由见解析 【分析】（1）根据勾股定理，即可得、、之间的数量关系； （2）设，，，则，，，根据勾股定理，即可得、、之间的数量关系； （3）设，，，则，，，根据勾股定理，即可得、、之间的数量关系； （4）与的交点记为点，由勾股定理，结合正方形的面积，可得，，，，即可得、、、之间的数量关系． 【详解】（1）解：，理由如下： 在中，根据勾股定理得，， 又∵，， ∴； （2）解：，理由如下： 设，，， ∴，，， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴； （3）解：如图， 设，，，则，，， ，，， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴； （4）解：，理由如下： 如图，与的交点记为点， ∵， ∴ ， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴，， ∴． 易错必刷题型05.勾股定理与网格问题 典型特征：方格网格里求线段长、判断三角形形状、算面积 易错点：数错网格格数、不会用勾股算斜边、乱判直角三角形 13．如图，在方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．以点D，E为两个顶点作格点三角形，使所作的格点三角形与格点三角形全等，则这样的格点三角形最多可以画出______个． 【答案】4 【分析】本题考查网格作图、勾股定理、全等三角形的性质等知识，掌握这些知识是解题的关键． 由网格知，，根据勾股定理解得的长，再由全等三角形对应边相等的性质，作图即可． 【详解】解：如图： 共4个． 故答案为：4． 14．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：根据题意，得，，，， ∴， ∴． 15．如图，正方形网格中每个小正方形边长都是，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形： (1)在网格中画出长为的线段． (2)在网格中画出一个腰长为、面积为的等腰． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据勾股定理，找到直角边分别为和的直角三角形，其斜边长为，以此画出线段． （2）先根据勾股定理确定腰长为的线段（直角边为和），再结合等腰三角形面积公式，确定底边长或高，画出满足条件的等腰三角形． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求， 在中，； （2）解：如图，即为所求， ， ． 易错必刷题型06.勾股定理与折叠问题 典型特征：矩形、三角形折叠，利用边长相等求线段长度 易错点：折叠对应边找错、不会设未知数列方程、直角三角形找不准 16．如图，在中，，将点A沿折叠，恰好可以落在点B处，则_____． 【答案】 【分析】先由勾股定理求解，然后根据折叠的性质得到，再设，对运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵ ∴ 由折叠得， 设，则 ∵ ∴ ∴， 解得 ∴． 17．如图，将长方形纸片对折后展开，折痕为，点为上一点，将沿折叠，使点落到上的点处，若，则的长是（   ） A．8 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】连接，由长方形纸片沿对折，得垂直平分，则有；由沿折叠知，，则是等边三角形，，利用含30度直角三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵长方形纸片沿对折， ∴垂直平分， ∴； ∵沿折叠， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形是长方形， ∴； 由折叠知，， ∴； ∵， ∴， ∴． 18．已知，四边形为长方形，，，点E由点D向运动，点F由点D向运动．将沿BF折叠，点C恰好落在点E处时，求此时的长； 【答案】 【分析】根据折叠可得，在中利用勾股定理列方程求出，然后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠知，，， 四边形为长方形， ，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， ， 在中，由勾股定理得：， ，解得， ， 在中，由勾股定理得：． 易错必刷题型07.勾股定理求两条线段和差 典型特征：图形中求线段平方和、平方差，不直接求边长 易错点：不会作辅助线构造直角三角形，公式变形混乱 19．如图，四边形的对角线，相交于点．若，则______． 【答案】40 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理得，进而可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ． 故答案为：40． 20．如图，在中，，，点、为上两点，点为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握勾股定理、全等三角形的判定与性质以及等腰直角直角三角形的性质是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质，判断出，即可得出，根据勾股定理与等量代换可得②正确，根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可得出④，再根据勾股定理即可得出③． 【详解】解：，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故①正确； 由①中证明， ， ，， ， ， 连接， ， ， ，， ， 故②正确； 设与的交点为， ，， ，， ， 故④正确； ，， ， 故③不正确， 故选：D． 21．如图，在中，，，点在边上，连接，在的右侧作，，连接，． (1)猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由： (2)若，．求的长． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）利用可证，根据全等三角形的性质可证，，从而可得，利用勾股定理可得； （2）利用勾股定理可以求出，根据全等三角形的性质可知，利用勾股定理可以求出的长度． 【详解】（1）解：， 理由如下，， ， ， 又，， 在和中，， ， ，， ， ， 中，， ； （2）解：中，， ， ， ， ． 易错必刷题型08.勾股定理证明线段平方关系 典型特征：几何证明题，证线段平方相加、相减相等关系 易错点：不会构造直角三角形，证明步骤跳步、逻辑不完整 22．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则_________． 【答案】625 【分析】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．根据垂直的定义和勾股定理解答即可． 【详解】解：由题意得：， 由勾股定理得， 故答案为：625． 23．如图，在四边形中，，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，设与交于点，根据勾股定理得到，，，，则，整理得，据此求解即可． 【详解】解：设与交于点， ∵， ∴，，，， ∴， 整理得， 故选：D． 24．在中，已知，，，若，如图1，由勾股定理可得结论：（；若（如图2）或（如图3）时，请你完成下列探究： (1)猜想：（i）若，则___________；（填“”“”或“”） （ii）若，则___________；（填“”“”或“”） (2)任选上述中的一个猜想证明其正确性． 【答案】(1)（i）>；（ii）< (2)见解析 【分析】（1）根据题意写出猜想； （2）利用勾股定理分别证明猜想即可． 【详解】（1）解：猜想：（i）若，则>， （ii）若，则． （2）若，则>；证明如下： 如图，过点A作于点D，设，则， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴，即． ∵ ∴ 若，则．证明如下： 如图，过点A作的垂线交的延长线于点M，设，则， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴，即． ∵， ∴． 易错必刷题型09.勾股定理的证明方法 典型特征：赵爽弦图、面积法证明勾股定理 易错点：图形面积拆分错误，整体面积和部分面积对应不上 25．在证明勾股定理时，甲乙两位同学给出了下图所示的两种方案，则方案正确的是__________．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【分析】本题考查了列代数式及勾股定理与完全平方公式的验证，理解题意，结合图形求解是解题关键．根据图形列代数式即可得出结果． 【详解】解：甲出的结果为：，不符合题意； 乙得出的结果为：，即，符合题意； 故答案为：乙． 26．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． .C． D． 【答案】C 【分析】利用图形的面积关系，通过等面积法推导出，据此判断各选项是否能通过面积相等得到勾股定理的结论． 【详解】解：A、大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴，整理得，故A选项可以验证勾股定理； B、梯形的面积可表示为，也可表示为， ∴，整理得，故B选项可以验证勾股定理； C、图形的面积关系无法直接通过等面积法推导出，故C选项不能用来验证勾股定理； D、大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴，整理得，故D选项可以验证勾股定理． 27．如图，，，若，． (1)求证：； (2)若，，，连接，，利用不同方法计算四边形的面积，从而证明勾股定理． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先根据“”证明，得到，根据，得到，从而，即可得证结论； （2）根据得到，，．由四边形为直角梯形，得到，又，即可得出，化简得． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴，，． ∵四边形为直角梯形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 易错必刷题型10.以弦图为背景的计算题 典型特征：赵爽弦图图形，已知边长求大、小正方形面积、边长 易错点：弦图里直角边、小正方形边长关系分不清，列式错误 28．新考法  如图所示，第七届国际数学教育大会（ICME-7）会徽的主体图案是由一连串有公共顶点O的直角三角形演化而成的．如果，那么为________． 【答案】8 【分析】本题主要考查勾股定理、二次根式的性质，通过计算推导出是解题的关键．利用勾股定理依次求出，可总结出，由此可解． 【详解】解： 由勾股定理可得：， ， …… 可知， ，． 故答案为：． 29．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用表示直角三角形的两条直角边长，下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】利用完全平方公式以及勾股定理，逐项进行判断即可． 【详解】解：由勾股定理得， 根据题意得，， 即， ∴，，且， ∴，， ∵， ∴， 综上，正确选项为②③④． 30．阅读理解：美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长之间的一个重要结论：． (1)如图1，已知：．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：四个直角三角形全等，且， 正方形的边长为　　　　　， ，且（等面积法）， 　　　　　+　　　　　 ． (2)如图2，四边形是直角梯形，，其中．求证：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，求这个风车图案的面积． 【答案】(1)、、 (2)见解析 (3)97 【分析】（1）依据题意得，再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）先根据角度关系，证出，随后根据“”证明即可； （3）根据题意，先得出，设，则，根据勾股定理得，代入求出的值，最终可求出风车图案的面积． 【详解】（1）证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为， ∵，且（等面积法）， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ， ∴， 又∵，， ∴； （3）解：解：由题意，如下图： ∵外围轮廓的总长度为， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 将，代入可得， ， 解得， ∴小正方形的边长为， ∴风车的面积为：． 易错必刷题型11.用勾股定理构造图形解决问题 典型特征：数轴上画无理数长度、画图构造直角三角形 易错点：构造直角边搭配错误，数轴找点单位长度看错 31．一无人超市门口的墙AB上装有一个传感器P，离地面高度，当人从门外走到离该传感器及以内时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高的小明走到处时，恰好响起“欢迎光临”，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用,理解题意，正确应用勾股定理是解题的关键．过作于点，根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点 ∴ ∴ 由勾股定理可得： 即离门铃米远的地方，门铃恰好自动响起 故答案为：． 32．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知，且．则的最小值是（    ） A．8 B．10 C．34 D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理及两点之间线段最短的知识，根据题意，将代数式转化为求两条线段之和的最小值，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：，， 可将看作两直角边分别为和3的的斜边长，将看作两直角边分别为和5的的斜边长， 如图，构造图形，使，，且、在异侧， 设，，， ，即， 点在上，，， ， 根据两点之间线段最短，当、、三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长， 过点作于点，则四边形为矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 的最小值是10． 故选：B． 33．如图，在中，． (1)求的长度； (2)D是上的一点，并且，求的长． 【答案】(1)8 (2)5 【分析】（1）直接运用勾股定理求解即可； （2）设，则，然后在中运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴． （2）解：设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 易错必刷题型12.梯子滑落问题 典型特征：梯子靠墙滑动，求滑动前后高度、水平距离 易错点：梯子总长不变这个关键点忽略，前后两个直角三角形混淆 34．如图，长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为0.7m，梯子顶端到地面的距离为________． 【答案】2.4 【分析】根据题意可知梯子、墙面与地面构成直角三角形，已知斜边和一条直角边的长度，利用勾股定理即可求出另一条直角边的长度． 【详解】解：由题意可知，梯子、墙面与地面构成直角三角形，且斜边长为 ，一条直角边长为 ， 根据勾股定理，得梯子顶端到地面的距离为：． 故答案为：2.4． 35．《九章算术》中有这样一道题目，大意为：如图，今有墙高为1丈，倚木杆于墙，使木杆之上端与墙的上端平齐，牵引木杆下端退行1尺，则木杆（从墙上）滑落至地上（即），问木杆长是多少？设木杆长x尺，根据题意可列方程为（1丈尺）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为x尺，则木杆底端离墙有尺，根据勾股定理可列出方程． 【详解】解：设木杆长为x尺，则木杆底端B离墙的距离即的长有尺， 在中， ∵， ∴． 36．如图，已知一架梯子斜靠在墙角处，竹梯，梯子底端离墙角的距离． (1)求这个梯子顶端A距地面有多高； (2)如果梯子的顶端A下滑到点C，那么梯子的底部B在水平方向上滑动的距离吗？为什么？ 【答案】(1)梯子顶端距地面24米高 (2)滑动不等于，理由见解析 【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度． （2）先利用勾股定理求出的长度，进而利用线段和差关系计算即可． 【详解】（1）解：根据勾股定理： ∴梯子距离地面的高度为：； （2）解：梯子的底部B在水平方向上滑动的距离不等于，理由如下： ∵梯子的顶端A下滑到点C， ∴，， ∴， 根据勾股定理得到， ∴， ∴梯子的底部B在水平方向上滑动的距离不等于． .易错必刷题型13.旗杆高度问题 典型特征：绳子拉旗杆，求旗杆垂直高度 易错点：直角边斜边对应弄反，实际场景不会转化直角三角形 37．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千绳索的长度是______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．掌握勾股定理是解题的关键．设，表示出，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设秋千绳索， ，， ， ， 在中，，即， 解得， 秋千绳索的长度是． 故答案为：． 38．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理； 设绳索的长是，则，故，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设绳索的长是，则， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 根据勾股定理，得， ∴， 解得，， ∴绳索的长是， 故选：B． 39．假日里，淇淇一家在广场放风筝．如图，测得放飞点与风筝的水平距离为，根据手中余线的长度，计算出的长度为，牵风筝线的手到地面的距离为，点A、B、C、D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)若想要让风筝沿射线方向再上升，还需放线多少米． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作构造矩形和，先用勾股定理求出，再加上的长度得到风筝离地面的垂直高度； （2）先算出风筝上升后到的垂直距离，再用勾股定理求出新的风筝线长，最后减去原线长得到还需放线的长度． 【详解】（1）解：如图1，过点作于点，则四边形是矩形， ∴，，， 在中， ， ∴， ∴风筝离地面的垂直高度为； （2）解：如图2，延长至点，连接， 则， 在中， ， ∵， ∴还需放线． 易错必刷题型14.求小鸟飞行距离 典型特征：两棵不同高度树木，求鸟飞过的直线距离 易错点：不会算树木高度差，直角边找错，不用勾股直接乱算 40．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行_____米． 【答案】 10 【分析】先求出两棵树的高度差，再结合两树的水平距离构造直角三角形，最后用勾股定理求出树梢间的直线距离，即小鸟飞行的最短距离． 【详解】解：两棵树的高度差为（米） 两树水平距离为8米，根据勾股定理，小鸟飞行的最短距离为: （米）. 故答案为：10． 41．如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案． 【详解】解：过作于，如图所示： 由题意可知，， ， 根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得， ∴它要飞回巢中所需的时间至少是． 42．如图所示，有两根直杆隔河相对，一杆高30m，另一杆高，两杆相距．现两杆上各有一只鱼鹰，他们同时看到两杆之间的河面上E处浮起一条小鱼，于是以同样的速度同时飞下来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼．则两杆底部距小鱼E处的距离各是多少？ 【答案】和 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键．由题意可得：，，那么，代入数据，解方程即可． 【详解】解：由题意可得：，， 则， 故， 解得：， 则（m）， 答：两杆底部距小鱼E处的距离分别是和． 易错必刷题型15.求大树折断前的高度 典型特征：大树折断倾倒，求树木原本总高度 易错点：只算折断斜边，忘记加上地面剩余树干高度 43．如图，一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端4尺处折断处离地面的高度是______尺（1丈＝10尺） 【答案】4.2 【分析】设尺，则尺，由勾股定理得，即，解方程即可得到答案. 【详解】解：设尺，则尺， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ∴折断处离地面的高度是尺. 44．如图，一棵树在离地面处断裂，树的顶部落在离底部处，则这棵树折断前有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 由勾股定理得，， ∴这棵树在折断前的高度． 45．如图，一根直立于水平地面的木杆在离地面的处折断，木杆顶端落在离木杆底端的处． (1)求木杆折断之前的高度； (2)如果该木杆在点的下方的点处折断，木杆顶端落在水平地面的处，在距离木杆底端的的处有棵小草，那么小草是否会被砸到？（小草的高度忽略不计，两点在点的同侧．） 【答案】(1)米 (2)小草不会被砸到 【分析】（）利用勾股定理求出即可求解； （）利用勾股定理求出，再与比较即可判断求解； 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意知，，，， 在中，根据勾股定理得：， ， ， ∴木杆折断之前的高度为米； （2）解：如图，由题意得，， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ， ， ∴小草不会被砸到． 易错必刷题型16水杯中筷子问题. 典型特征：水杯里放筷子，求杯内、杯外筷子长度 易错点：水杯直径、高当成直角边，对应关系找错 46．一种盛饮料的圆柱形杯子，测得内部底面半径为，高为，吸管放进杯里（如图），杯口外面至少要露出，为节省材料，吸管长的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据题中已知条件，首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时最短为；最长时与底面直径和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答即可． 【详解】解：∵圆柱形杯子底面半径， ∴底面直径， 杯子内最短长度：吸管垂直放入杯内时，长度等于杯子的高，即； 杯子内最长长度：吸管斜放至杯底边缘时，长度为， ∴吸管总长度a需满足：最小值：， 最大值：， 吸管长的取值范围是：． 47．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面圆的直径是，内壁高是．这支铅笔长为，设这支铅笔在笔筒外面部分的长度为x，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出的长度．然后求其差，即可得出结果． 【详解】解：当铅笔与笔筒底垂直时最大，最大． 当铅笔如图放置时最小． 在中，， ， ． 的取值范围：． 48．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这根芦苇的长度为多少尺？ 【答案】这根芦苇长为尺． 【分析】设芦苇的长度为尺，则水深为尺，根据题意，构造直角三角形，利用勾股定理列出关于的方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图，设芦苇的长度为尺，则水深为尺， 芦苇长在水池中央， 尺， 根据勾股定理，得：， ，解得：， 答：这根芦苇长为尺． 易错必刷题型17.航海问题 典型特征：船向正东正北航行，求两点相距距离 易错点：航向分不清，不会构造直角，直接加减路程计算 49．如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口向西北方向航行，它们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距________海里． 【答案】15 【详解】解：由题意可得：（海里），（海里），， （海里）． 50．从海岛A上观测，海岛B在海岛A的南偏东30°的位置，且距离为30海里．轮船C与轮船D均在海岛B的正北方向上，同时向海岛A发出燃料补给请求．此时轮船C与海岛A相距20海里，轮船D与海岛B相距40海里．补给船从海岛A出发向轮船C与轮船D运送燃料，下列有关轮船C与轮船D的位置说法正确的是（    ） A．轮船C的位置能唯一确定，轮船D的位置能唯一确定 B．轮船C的位置能唯一确定，轮船D的位置不能唯一确定 C．轮船C的位置不能唯一确定，轮船D的位置能唯一确定 D．轮船C的位置不能唯一确定，轮船D的位置不能唯一确定 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，勾股定理的应用； 根据题意，海岛B位于海岛A南偏东30°方向30海里处，轮船C和D均在海岛B的正北方向．轮船D与海岛B相距40海里，因此位置唯一确定；轮船C与海岛A相距20海里，且在B的正北方向，求出，可知满足条件的点有两个，因此位置不能唯一确定． 【详解】解：如图，海岛A为原点，北为y轴正方向，东为x轴正方向．海岛B在南偏东30°方向30海里处， ∴B点坐标：，． ∵轮船D在海岛B正北方向且距B40海里， ∴D点坐标唯一：． ∵轮船C在海岛B正北方向且距A20海里，设C点坐标为，则， ∴ ∴C点有两个可能的位置，位置不能唯一确定， 故选：C． 51．在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是80海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口B与灯塔C的距离是60海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为20海里/小时． (1)货船从港口A航行到港口B需要多少时间． (2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为50海里，这艘货船在由港口A向港口B运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1小时才符合航行安全标准．请问这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 【答案】(1)5小时 (2)符合航行安全标准，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及方位角的应用，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出，结合勾股定理列式（海里），因为货船的航行速度为20海里/小时，则（小时），即可作答． （2）先在上取两点M，N使得海里，结合，分别算出的长度，然后结合等腰三角形的三线合一，得出海里，因为货船的航行速度为10海里/小时，则小时，即可作答． 【详解】（1）解：∵港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口B在灯塔C的南偏西方向上， ∴， ∵港口A与灯塔C的距离是80海里，港口B与灯塔C的距离是60海里 （海里）， ∵货船的航行速度为20海里/小时 （小时）， 答：货船从A港口到B港口需要5小时； （2）答：这艘船在本次运输中符合航行安全标准，理由如下： 如图：过C作交于D， 在上取两点M，N使得海里 ∵， ∴（海里）， ∴（海里）， ∵， ∴是等腰三角形 ∵ ∴海里， ∴（小时） ∵， ∴这艘货船在本次运输中符合航行安全标准． 易错必刷题型18.求河宽问题 典型特征：利用岸边距离、斜跨距离，求河流宽度 易错点：河宽不是斜边，容易找错直角边位置 52．为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．某学校的八年级（1）班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点F与欲到达地点E相距10米（即米），结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，，则河的宽度为______米． 【答案】24 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【详解】解：在中，根据勾股定理得到， 即， 解得， 故答案为：24． 53．为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点与欲到达地点相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【详解】解：在中，根据勾股定理得到， 即， 解得， 故选：D． 54．如图，长方形为一个花园，其中米，米，在花园内修一条长米的笔直小路，小路出口一端选在边上距点3米处，另一端出口应选在边上距点几米处？ 【答案】3米 【分析】先根据长方形对边相等的性质求出的长度，结合点的位置计算出的长度；再利用长方形的直角构造直角三角形，通过勾股定理求出的长度；最后用的长度减去的长度，得到点到点的距离． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，米． ∵在边上且距点3米，即米， ∴(米)． 在中，，米，米， 根据勾股定理：(米)， ∴米． 答：另一端出口应选在边上距点3米处． 易错必刷题型19.台阶上地毯长度问题 典型特征：求铺满台阶需要的地毯总长 易错点：不会平移转化水平+竖直总长，错算成台阶斜边长 55．如图，在一个高为 的楼梯表面铺地毯，地毯的总长度为，则楼梯斜面的长为_______m． 【答案】5 【分析】根据题意，所有台阶高的和，恰好是，所有台阶宽的和，恰好是，再利用勾股定理求解即可； 【详解】解：如图所示，地毯的总长度为， 根据题意，所有台阶高的和，恰好是，所有台阶宽的和，恰好是， 故， 故， 根据勾股定理，得； 56．如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，若点A处有一只蚂蚁，它从点A处爬过木块到达点C处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平面展开最短路径问题，两点之间线段最短，有一定的难度，要注意培养空间想象能力，将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答，解题的关键是能将侧面展开成长方形，从而用勾股定理求解． 【详解】解：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的边长， ∴长为米；宽为米． 于是最短路径为：米． 故选：B．    57．某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，． (1)求BC的长； (2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了平移的性质，勾股定理的应用． （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据题意，结合图形，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，进一步求出面积即可． 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）解：利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，地毯的长为， ∴地毯面积为， 故答案为： 易错必刷题型20.汽车是否超速问题 典型特征：已知路程时间，结合勾股求距离，判断车速 易错点：米和千米、秒和小时单位换算错误，速度公式混用 58．为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线单向单排通过校门口，测温仪C与直线的距离为，已知测温仪的有效测温距离为，则学生沿直线行走时测温的区域长度为______ 【答案】/8米 【分析】设有效测温距离为的长，连接、，推理出，过点作于，易知，然后在分别求出、的长，进而可得的长． 【详解】解：设有效测温距离为的长，连接、，过点作于， ∵测温仪的有效测温距离为， ∴， 又测温仪与直线的距离为， 在中，据勾股定理得： ， 同理得， ∴， 即学生沿直线行走时测温的区域长度为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 59．交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？    【答案】超速了，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．由勾股定理得，再求出小汽车的速度为，然后由，即可得出结论． 【详解】解：这辆小汽车超速了，理由如下： 如图，在中，，， 根据勾股定理得：， 小汽车的速度为， ， 这辆小汽车超速行驶． 答：这辆小汽车超速了． 60．如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方12米的处，过了0.5秒，小汽车到达处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为20米．这辆小汽车在段的速度约是多少米/秒？若此路段限速120千米/小时，问该小汽车是否超速，说明理由． 【答案】小汽车速度为32米/秒，该小汽车不超速，理由见解析 【分析】根据勾股定理求出的值，根据速度公式求出小汽车在段的速度，与限速比较即可． 【详解】解：由题意可知米，米，， ∴米， ∴小汽车速度为米/秒， ∵32米/秒千米/小时千米/小时， ∴不超速． 易错必刷题型21.判断是否受台风影响问题 典型特征：求点到台风路线最短距离，判断是否受影响 易错点：不会用勾股求垂线段最短，距离和半径对比判断错误 61．如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离．已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在______时间段内做预防工作． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意是解答的关键．根据勾股定理求得的长，进而分别求得台风开始影响到台风结束影响时的时间，然后可求解． 【详解】解：由题意，，，， ∴， ∵距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，且台风速度为， ∴台风开始影响点D的时刻为（时）， 台风结束影响点D的时间为（时）， 故台风开始影响到台风结束影响，则他们要在时间段内做预防工作， 故答案为：． 62．如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以20米/秒的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（    ）    A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒 【答案】B 【分析】本题考查的是点勾股定理的应用，过点作，利用直角三角形的性质求出的长与相比较，发现受到影响，然后过点作，求出的长即可得出受噪音影响的时间． 【详解】解：如图：过点作，米， ，米， 米， 当火车到点时对处产生噪音影响，此时米， 米，米， 由勾股定理得：米，米，即米， 火车在铁路上沿方向以20米秒的速度行驶， 影响时间应是：秒． 故选：B．    63．如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在被开发，现有一处需要爆破．已知、两点之间的距离为，、两点之间的距离为，且，为了安全起见，爆破点周围半径范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路段是否有危险？并说明理由． 【答案】在进行爆破时，公路段有危险，理由见解析 【分析】过点C作于点D，根据勾股定理求出的长，利用等面积法求出的长，再比较的长与的大小即可得到结论． 【详解】解：如图，过点C作于点D． ，，， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴在进行爆破时，公路段有危险． 易错必刷题型22.等距选址问题 典型特征：找一个点，到两个地点距离相等，求位置边长 易错点：不会设未知数列勾股方程，等量关系找不对 64．在笔直的铁路上、两点相距，、为两村庄，，，于，于，现要在上建一个中转站，使得、两村到站的距离相等．则应建在距________． 【答案】15 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．利用，再结合勾股定理求出即可． 【详解】解：设，则， ， ， 故， 解得；． 故答案为：15． 65．如图铁路上、两点相距千米，、为铁路两边的两个村庄，，，垂足分别为和，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个候车点，使得、两村到该候车点的距离相等．则候车点应距点（   ）    A．12千米 B．16千米 C．20千米 D．24千米 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意得到是解题的关键． 设，则，利用勾股定理得到，则，解方程即可． 【详解】解：设，则， ，，，两村到候车点的距离相等， ， ， ， 解得：， 则候车点应距点． 故选：B． 66．如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．，快递投放点C的正北方向有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． (1)求小区A到快递投放点C的距离． (2)在街道l上有另一个快递投放点D到小区A与快递投放点B的距离相等，求快递投放点B，D之间的距离． 【答案】(1)小区A到快递投放点C的距离为 (2)快递投放点B，D之间的距离为 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）设，则，根据勾股定理列方程求解即可； 【详解】（1）解：∵小区A在点C的正北方向， ∴， ∴，， ∴， ∴小区A到快递投放点C的距离为； （2）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴快递投放点B，D之间的距离为． 易错必刷题型23.求最短路径问题 典型特征：长方体、圆柱表面，求两点之间最短路线 易错点：立体图形不会展开平面，展开方式找错，直角边搭配错误 67．如图，圆柱的底面周长是，高是，一只蚂蚁在点想吃到点的食物，需要爬行的最短路径是________． 【答案】10 【分析】作出圆柱的侧面展开图，根据两点之间线段最短，可知在展开图中A点和B点连接的线段即为需要爬行的最短路径，再由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，作出圆柱的侧面展开图，连接，，其中， 由题意可知：， ∴需要爬行的最短路径是， ∴由勾股定理得， ∴需要爬行的最短路径是． 68．如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程为（杯壁厚度不计）（    ） A． B．25 C． D．13 【答案】D 【分析】延长至，使，作于，连接交于，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，延长至，使，作于，连接交于，    ∴，，， ∵底面周长为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴最短距离为． 69．如图，A，B两块试验田相距200，C为水源地，，为了方便灌溉，现有下面两种方案修筑水渠． 甲方案：从水源地C分别沿线段修筑两条水渠到A，B两块试验田． 乙方案：过点C作的垂线，垂足为H，先从水源地C沿线段修筑一条水渠到所在直线上，再从H分别沿线段向A，B两块试验田进行修筑． 以上两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短?请通过计算说明． 【答案】甲方案所修的水渠较短，说明见解析 【分析】设对，，运用勾股定理得到，然后建立方程求解，然后比较和即可． 【详解】解：∵过点C作的垂线，垂足为H， ∵在中，， 在中，， 由题意得，设，则． ， ， 解得， ， ． ， ， ∴甲方案所修的水渠较短． 易错必刷题型24.判断三边能否构成直角三角形 典型特征：给三条边长，判断是不是直角三角形 易错点：不先找最长边，随便两边平方和对比，计算平方出错 70．在平面直角坐标系中，已知点，，，那么是___________三角形．（填“等腰”或“直角”或“等腰直角”） 【答案】等腰 【分析】利用两点间距离公式求出三角形三边长度的平方，根据边的关系先判断是否为等腰三角形，再结合勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形，即可得到结论． 【详解】解：，，， ∴， ∴， ∵， ∴不是直角三角形． ∴是等腰三角形． 71．在中，，，的对边分别是，，，下列条件中，不能判断为直角三角形的是（    ） A．，， B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，结合条件逐项判断即可． 【详解】解：A、，，， ， 是直角三角形，故A不符合题意； B、， ， 是直角三角形，故B不符合题意； C、， ， ， 是直角三角形，故C不符合题意； D、， 设，则 ，， 由三角形内角和定理得， 解得，三角形最大角不是， 不是直角三角形，故D符合题意． 72．如图，中山路一侧有两个送奶站，为中山路上一供奶站，测得，． (1)求的度数； (2)小明从点处出发，沿中山路向东一直行走，求小明与送奶站的最近距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行判断即可； （2）作垂线段构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系及勾股定理进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ，， ， ； （2）解：如图，过点作，垂足为， ，， ． ． 在△中，，， ， ， 答：小明与送奶站的最近距离为． 易错必刷题型25.已知两点找点构造直角三角形 典型特征：给两个定点，找点组成直角三角形 易错点：不分类讨论直角在哪个点，漏找多种答案 73．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可． 【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个， 故选D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键． 74．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可． 【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个， ． 75．如图，A，B，P是方格纸中的格点．请按要求画以为边的格点三角形（顶点在格点上）． (1)在图1中画一个直角三角形，使点P在的内部（不包括边界）． (2)在图2中画一个等腰三角形，使点P在一边的中垂线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作图—应用与设计作图，根据直角三角形和等腰三角形的定义作图即可． （1）根据题意作符合要求的直角三角形即可； （2）根据题意作符合要求的等腰三角形即可． 【详解】（1）解：即为所求（答案不唯一）； （2）解：即为所求（答案不唯一）． 易错必刷题型26.在网格中判断直角三角形 典型特征：网格格点三角形，判断是否为直角三角形 易错点：三边长度算错，不会用逆定理验证，盲目判断 76．如图，在的正方形网格中标出了和，则_____． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定和性质．根据题意，作出合适的辅助线，然后根据勾股定理的逆定理即可解答本题． 【详解】解：如图所示，作，连接，    则， 设每个小正方形的边长为， 则，，， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ， 故答案为：． 77．如图，每个小正方形的边长为1，则的长和的面积分别为（   ） A．，8 B．40，8 C．，16 D．40，16 【答案】A 【分析】根据勾股定理，找到、、的长分别为、、，由勾股定理的逆定理可判断是直角三角形，然后根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：；；； ∴， ∴是直角三角形，， ∴的面积． 78．如图，正方形网格中的，若小方格边长为1． (1)判断是否为直角三角形并说明理由； (2)求最长边上的高． 【答案】(1)为直角三角形，理由见解析 (2)2 【分析】（1）根据勾股定理和勾股定理的逆定理可直接判断； （2）根据三角形的面积公式可求解． 【详解】（1）解：为直角三角形，理由： 由勾股定理得，， ∴， ∴为直角三角形； （2）解：设最长边上的高为， 由题意得，， ∴． 易错必刷题型27.利用勾股定理逆定理求解 典型特征：先判定直角三角形，再求边长、周长、面积 易错点：勾股定理和逆定理混用，判断完直角忘记再计算 79．如图，点E在边长为13的正方形内，，，求出图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】根据题意证明，得到，据此根据进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴ ∴． 80．如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积为（    ） A．30 B．32 C．36 D．40 【答案】C 【分析】连接，根据勾股定理求得的长，再根据勾股定理的逆定理判定，从而四边形的面积即为两个直角三角形的面积的和求解． 【详解】 解：如图，连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形， ， 四边形的面积为 ． 81．某中学计划在如图所示的阴影区域展示学生学习数学知识的笔记，现测得，，，，，试求阴影部分的面积． 【答案】阴影部分的面积是96 【分析】先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，进而可得出结论． 【详解】解：如图，连接． 在中，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 故阴影部分的面积是96． 易错必刷题型28.勾股定理逆定理的实际应用 典型特征：生活场景用三边长度，判断是否垂直、是否直角 易错点：实际问题不会转化成三边，计算粗心出错 82．如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路．经测量，，，现需新修建一条从学校到公路的路，则学校到公路的最短距离为______． 【答案】24 【分析】由勾股定理逆定理得出，再根据计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 83．如图，一块四边形地，已知，，，，，则这块地的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点，连接，由，，利用勾股定理可求出的长，再根据，，利用勾股定理的逆定理可证为直角三角形，然后即可求出这块地的面积． 【详解】解：连接， ，，， ∴， ， ，， ∴，， ，则为直角三角形，且， 这块地的面积为． 故选：B． 84．如图，有一辆环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为和，，环卫车周围以内为受噪声影响区域． (1)学校C会受噪声影响吗？为什么？ (2)若环卫车噪声影响该学校持续的时间有，求环卫车的行驶速度为多少？ 【答案】(1)学校会受噪声影响，理由见解析 (2) 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形面积得出的长，即可得出结论； （2）利用勾股定理得出以及的长，即可解决问题． 【详解】（1）解：学校会受噪声影响，理由如下： 如图，过点作于， ，，， ． 是直角三角形，． ， ， 即， ， 环卫车周围以内为受噪声影响区域， 学校会受噪声影响． （2）解：如图，当，时，正好影响学校， ， ， 环卫车噪声影响该学校持续的时间有， 环卫车的行驶速度为：， 答：环卫车的行驶速度为． 易错必刷题型29.勾股定理逆定理拓展问题 典型特征：判断锐角、钝角三角形，勾股数规律探究 易错点：不会用最长边平方大小判断角的类型，勾股数规律记混 85．若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是(   ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的拓展知识，只需比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系即可得解．若三角形的三边分别是、、，是三角形的最长边，则有：（1）这个三角形是锐角三角形；（2）这个三角形是直角三角形；（3）这个三角形是钝角三角形．掌握利用比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系来推导三角形的形状是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴这个三角形是锐角三角形． 故选：A． 86．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形． 【答案】 锐角三角形 或 钝角 【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案； （2）直接利用勾股定理得出x的值； （3）直接利用已知结合三边关系得出答案． 【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角三角形； （2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边， ∴52+122=x2， ∴x=13， 当12是斜边， 则52+x2=122， 解得：x=， 综上所述：x=13或． 故答案为：13或； （3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=(x-)2+(y-1)2+3z2+＞0， ∴a2＞b2+c2， ∴该三角形是钝角三角形． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确进行相关计算是解题关键． 87．定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 【答案】(1)A (2) 【分析】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质． （1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”进而可以判断； （2）根据题意可得，根据“方倍三角形”定义可得为等边三角形，从而证明为等腰直角三角形，可得，延长交于点，根据勾股定理求出的长，根据为等腰直角三角形，可得，进而可以求的面积． 【详解】（1）解：对于①等边三角形，三边相等， 设边长为， 则， 根据“方倍三角形”定义可知： 等边三角形一定是“方倍三角形”； 对于②直角三角形，三边满足关系式： ， 根据“方倍三角形”定义可知： 直角三角形不一定是“方倍三角形”； 故答案为：； （2）由题意可知： ， ，， 根据“方倍三角形”定义可知： ， ， 为等边三角形，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 延长交于点，如图， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 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